Las matemáticas y la astronomía griegas primitivas
Me enfrento en este capítulo con las matemáticas, no por sí mismas sino en relación con la filosofía griega, una relación que especialmente en Platón era muy estrecha. La preeminencia de los griegos aparece con mayor claridad en las matemáticas y en la astronomía que en ninguna otra cosa. Lo que ellos hicieron en arte, en literatura y en filosofía, puede juzgarse mejor o peor según gustos, pero lo que realizaron en geometría está fuera de toda cuestión. Aprendieron algo de Egipto y todavía menos de Babilonia; pero lo que obtuvieron de estas fuentes fue, en matemáticas, principalmente, reglas rudimentarias, y en astronomía, registros de observaciones extendidas sobre períodos muy largos. El arte de la demostración matemática fue enteramente de origen griego.
Hay muchas historias divertidas, probablemente no históricas, demostrativas de que los problemas prácticos estimularon las investigaciones matemáticas. La primera y más simple refiere que, cuando Tales estuvo en Egipto, fue interpelado por el rey para que determinase la altura de una pirámide. Esperó la hora del día en que las sombras son tan largas como su propia altura; midió luego la sombra de la pirámide, que era, por supuesto, igual a su altura. Se ha dicho que las leyes de la perspectiva las estudió primero Agatarco, a fin de determinar el escenario para las obras de Esquilo. El problema de determinar la distancia de un barco en el mar, que se dijo lo había estudiado Tales, se resolvió en un estudio anterior. Uno de los grandes problemas que ocuparon a los geómetras griegos, el de la duplicación del cubo, lo suscitaron, se dice, los sacerdotes de cierto templo que estaban informados por el oráculo de que el dios quería una estatua dos veces más grande que la que tenía. Al principio, pensaron simplemente en duplicar todas las dimensiones de la estatua, pero comprobaron entonces que el resultado sería ocho veces mayor que el original, lo cual implicaría mayor gasto de lo que el dios había pedido. Enviaron una comisión a Platón a preguntarle si alguien en la Academia resolvería su problema. Los geómetras lo aceptaron y trabajaron en él durante siglos, produciendo, incidentalmente, muchos trabajos admirables. El problema es, por supuesto, determinar la raíz cúbica de dos.
La raíz cuadrada de dos, que era el primer irracional por descubrir, era conocida por los primeros pitagóricos, e ingeniosos métodos de aproximación a su valor fueron descubiertos. El mejor es como sigue: fórmense dos columnas que llamaremos a y b; cada una comienza con el 1. El a siguiente, en cada período, está formado por la adición del último a y b ya obtenidos; el b siguiente por la adición del doble del previo a al previo b. Los primeros seis pares así obtenidos son (1,1), (2,3), (5,7), (12,17), (24,41), (70,99). En cada par, 2a2-b2 es 1 o –1. Así b/a es aproximadamente la raíz cuadrada de dos y en cada nuevo paso se va aproximando más. Por ejemplo, el lector puede verificar por sí mismo que el cuadrado de 99/70 es muy aproximadamente igual a dos. Pitágoras —siempre una figura más bien nebulosa— lo describe Proclo como el primero que hizo de la geometría una educación liberal. Muchas autoridades, incluyendo a sir Thomas Heath,[32] creen que probablemente fuera él quien descubrió el teorema que lleva su nombre. A saber: en un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. En cualquier caso este teorema era conocido por los pitagóricos desde fecha muy temprana. Sabían también que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos.
Se estudiaron otros irracionales aparte de la raíz cuadrada de dos, en casos particulares por Teodoro, un contemporáneo de Sócrates, y uno más general por Teetetes, que era contemporáneo de Platón, aunque algo más viejo. Demócrito escribió un tratado sobre irracionales, pero se conoce muy poco de su contenido. Platón estaba profundamente interesado en el asunto; menciona el trabajo de Teodoro y de Teetetes en el diálogo que lleva el nombre de éste. En las Leyes (819-820), dice que la ignorancia general sobre este asunto es lamentable, y comprende que él mismo comenzó a investigar sobre la materia más bien tarde en su vida. Tuvo, por supuesto, una influencia importante en la filosofía pitagórica.
Una de las consecuencias más importantes del descubrimiento de los irracionales fue la invención de la teoría geométrica de la proporción por Eudoxio (ca. 408-ca. 355 a. C.). Antes de él hubo solamente una teoría aritmética de la proporción. De acuerdo con esta teoría, la razón de a a b es igual a la razón de c a d si a veces d es igual a b veces c. Esta definición, en ausencia de una teoría aritmética de los irracionales, es solamente aplicable a los racionales. Eudoxio, sin embargo, dio una nueva definición no sujeta a esta restricción, en una forma que evoca el método moderno del análisis. La teoría se desarrolla en Euclides y tiene una gran belleza lógica.
Eudoxio también inventó o perfeccionó el «método exhaustivo», que fue usado, como consecuencia, con gran éxito por Arquímedes. Este método es una anticipación del cálculo integral. Tomemos la cuestión del área del círculo. Se puede inscribir en un círculo, por ejemplo, un hexágono regular, o un dodecágono regular o un polígono regular de mil o un millón de lados. El área de ese polígono, tenga los lados que tenga, es proporcional al cuadrado del diámetro del círculo. Cuantos más lados tenga el polígono, tanto más se aproxima al círculo; puede probarse que, si se dan al polígono lados bastantes, su área puede obtenerse difiriendo de la del círculo menos de lo que un área previamente asignada y por pequeña que sea. Con este propósito se usa el «axioma de Arquímedes». Éste (algo simplificado después) establece que si se halla la mitad de la mayor de dos cantidades y luego esta mitad se divide por la mitad, pronto se llegará a una cantidad, al fin, que es menor que la más pequeña de las dos cantidades originales. En otras palabras, si a es mayor que b, hay algún número entero n tal que 2n veces b sea mayor que a.
El método exhaustivo a veces conduce a un resultado exacto como en el cuadrado de la parábola, que fue determinado por Arquímedes; a veces, como en el intento de la cuadratura del círculo, sólo puede conducir a sucesivas aproximaciones. El problema de la cuadratura del círculo es el problema de determinar la razón de la circunferencia al diámetro, llamada pi. Arquímedes usó la aproximación 22/7 en sus cálculos; inscribiendo y circunscribiendo un polígono de noventa y seis lados, probó que pi es menor que 3 1/7 y mayor que 3 10/71. Él habría conducido al grado requerido de aproximación, y eso es todo lo que un método puede lograr en este problema. El uso de inscribir y circunscribir polígonos para las aproximaciones de pi se remonta a Antifón, contemporáneo de Sócrates.
Euclides, que todavía en mi mocedad era el único texto conocido de geometría para muchachos, vivió en Alejandría hacia el 300 a. C., unos pocos años después de la muerte de Alejandro y Aristóteles. La mayor parte de sus Elementos no eran originales, pero el orden de las proposiciones y la estructura lógica eran muy personales. Cuanto más se estudia geometría, más admirables se encuentran. El tratamiento de las paralelas por medio del famoso postulado de las paralelas tiene el doble mérito del rigor en la deducción y de no ocultar la duda de la suposición inicial. La teoría de la proporción, continuada por Eudoxio, evita todas las dificultades relacionadas con los irracionales, por métodos esencialmente similares a los de Weierstrass en el análisis en el siglo XIX. Euclides pasa luego a una especie de álgebra geométrica y trata, en el libro X, del tema de los irracionales. Después de esto procede a estudiar la geometría de los sólidos terminando con la construcción de sólidos regulares que había sido perfeccionada por Teetetes y supuestos en el Timeo de Platón.
Los Elementos, de Euclides, ciertamente son uno de los libros más grandes que se hayan escrito nunca y uno de los más perfectos monumentos del intelecto griego. Tiene, por supuesto, las típicas limitaciones griegas: el método es puramente deductivo y no hay forma, dentro de él, de verificar las suposiciones iniciales. Estas suposiciones se consideraban incuestionables, pero en el siglo XIX la geometría no euclidiana demostró que podían ser erróneas, en parte, y que sólo la observación decidiría si lo eran.
Se da en Euclides el desdén por la utilidad práctica que había sido inculcado por Platón. Se refiere que un alumno, después de oír una demostración, preguntó qué ganaría con aprender geometría, a lo cual Euclides llamó a un esclavo y le dijo: «Dale al joven tres monedas, puesto que necesita sacar dinero de lo que aprende». El desdén por la práctica estaba, en todo caso, pragmáticamente justificado. Nadie, en tiempo de los griegos, suponía que la sección cónica tuviera alguna utilidad; al fin, en el siglo XVII, Galileo descubrió que los proyectiles se mueven en parábolas y Kepler que los planetas lo hacen en elipses. Súbitamente, el trabajo que los griegos habían hecho por puro amor a la teoría se convirtió en la clave de la estrategia y de la astronomía.
Los romanos tenían una mente demasiado práctica para apreciar a Euclides; el primero que le menciona es Cicerón, en cuyos días no había probablemente traducción latina; verdaderamente no hay testimonios de traducción al latín antes de Boecio (ca. 480 d. C.). Los árabes lo apreciaron más: el emperador bizantino dio una copia al califa hacia 760 y se hizo una traducción al árabe bajo el mandato de Harun al Raschid alrededor del año 800 d. C. La primera traducción latina todavía existente la hizo del árabe Atelhardo de Bath en 1120 d. C. A partir de esta fecha el estudio de la geometría revivió gradualmente en Occidente, pero no se consiguieron avances importantes hasta el Renacimiento.
Llego ahora a la astronomía, donde las realizaciones griegas fueron tan notables como en geometría. Antes de su época, entre los babilonios y los egipcios, muchos siglos de observación habían fijado ya los cimientos. Los movimientos aparentes de los planetas habían sido computados, pero no se sabía que la estrella de la mañana y la de la tarde fuesen la misma. Se había descubierto un ciclo de eclipses con seguridad en Babilonia y, con probabilidad, en Egipto, lo cual hizo justamente posible la predicción de los eclipses de Luna, pero no de los eclipses de Sol, puesto que éstos no eran siempre visibles en un sitio dado. Debemos a los babilonios la división del ángulo recto en noventa grados y del grado en sesenta minutos; sentían inclinación por el número sesenta y hasta tenían un sistema de numeración basado en él. Los griegos eran aficionados a atribuir la sabiduría de sus investigadores a los viajes por Egipto, pero lo que realmente se había hecho antes de los griegos era muy poco. La predicción de un eclipse por Tales fue, sin embargo, un ejemplo de influencia extranjera; no hay razón para suponer que añadiese algo a lo que aprendiera de las fuentes egipcias o babilonias y, resultó un azar de la fortuna, que esta predicción se verificase.
Empecemos por algunos de los primeros descubrimientos e hipótesis correctos. Anaximandro pensaba que la Tierra flotaba libremente y no estaba soportada por nada. Aristóteles,[33] que a menudo rechazaba las mejores hipótesis de su tiempo, objetaba a la teoría de Anaximandro que por estar la Tierra en el centro permanecería inmóvil por no haber razón para que se moviese en una dirección con preferencia a otra. Si esto fuera posible, dice, un hombre situado en el centro de un círculo con movimientos en varios puntos de la circunferencia, perecería por falta de razones para elegir una porción de alimento mejor que la otra. Este argumento reaparece en la filosofía escolástica, no en relación con la astronomía, sino con el libre albedrío. Reaparece en la forma del «asno de Buridán», incapaz de escoger entre dos haces de heno situados a igual distancia a derecha e izquierda y que por lo mismo se murió de hambre.
Pitágoras, según todas las probabilidades, fue el primero en suponer esférica la Tierra, pero sus razones fueron (hay que suponerlo) más estéticas que científicas. Las razones científicas, sin embargo, se encontraron pronto. Anaxágoras descubrió que la Luna brilla porque refleja la luz, y enunció la teoría exacta de los eclipses. Él mismo imaginaba plana la Tierra, pero la forma de su sombra en los eclipses lunares dio a los pitagóricos argumentos concluyentes en favor de la esfericidad. Fueron más lejos y consideraron la Tierra como uno de los planetas. Sabían —por Pitágoras mismo, se dice— que la estrella de la mañana y la de la tarde son idénticas y dedujeron que todos los planetas, incluso la Tierra, se movían en círculos, no alrededor del Sol, sino alrededor del «fuego central». Habían descubierto que la Luna siempre vuelve la misma cara hacia la Tierra y dedujeron que ésta siempre vuelve la misma cara al «fuego central». Las regiones mediterráneas estaban en el lado contrario del vuelto al fuego central, el cual era, por lo tanto, invisible siempre. El fuego central fue llamado «la casa de Zeus» o «la Madre de los dioses». El Sol se suponía que brillaba por la luz refleja del fuego central. Además de la Tierra había otro cuerpo, la Contratierra, a la misma distancia del fuego central. Para esto tenían dos razones: una científica y otra derivada de su misticismo aritmético. La razón científica era la observación correcta de que un eclipse de Luna a veces ocurre cuando el Sol y la Luna están a la vez sobre el horizonte. La refracción, que es la causa de este fenómeno, era desconocida para ellos y pensaban que, en tales casos, el eclipse tenía que ser debido a la sombra de otro cuerpo que la Tierra. La otra razón era que el Sol y la Luna, los cinco planetas, la Tierra y la Contratierra y el fuego central hacían diez cuerpos celestes y diez era el número místico de los pitagóricos.
Esta teoría pitagórica se atribuye a Filolao, un tebano, que vivió hacia fines del siglo V a. C. No obstante ser caprichosa y, en gran parte, nada científica, es muy importante, puesto que supone la mayor parte del esfuerzo imaginativo requerido para la concepción de la hipótesis de Copérnico. Al concebir la Tierra, no como el centro del Universo, sino como uno de los planetas; no como eternamente fijo, sino como errante por el espacio, mostró una independencia extraordinaria del pensamiento antropocéntrico. Una vez dada esta conmoción al cuadro natural del Universo de los hombres, no era tan difícil llegar por argumentos científicos a una teoría más exacta.
A estas varias observaciones contribuyó Enópidas, que había descubierto poco después que Anaxágoras la oblicuidad de la eclíptica. Pronto se hizo patente que el Sol había de ser mucho mayor que la Tierra, hecho que sostuvieron los que negaban que la Tierra era el centro del Universo. El fuego central y la Contratierra fueron descartados por los pitagóricos poco después de la época de Platón.
Heráclides de Ponto (cuyas fechas son hacia 388 a 315 a. C., contemporáneo de Aristóteles) descubrió que Venus y Mercurio giran en torno al Sol, y adoptó el criterio de que la Tierra gira sobre su propio eje una vez cada veinticuatro horas. Esto último era un paso muy importante que ningún predecesor había dado. Heráclides era de la escuela de Platón y debió de haber sido un gran hombre, pero no fue tan respetado como podía esperarse; se le describe como un petimetre gordo.
Aristarco de Samos, que vivió aproximadamente desde 310 a 230 a. C. y era, por lo tanto, unos veinticinco años más viejo que Arquímedes, es el más interesante de todos los astrónomos antiguos: anticipó completa la hipótesis de Copérnico de que todos los planetas, incluso la Tierra, giran en círculos alrededor del Sol y que la Tierra gira sobre su propio eje una vez cada veinticuatro horas. Es un poco decepcionante encontrar que la única obra existente de Aristarco, Sobre el tamaño y las distancias del Sol y de la Luna se adhiere al concepto geocéntrico. Bien es verdad que para los problemas considerados en este libro no supone ninguna diferencia con la teoría adoptada y puede, en consecuencia, haber juzgado imprudente remachar sus cálculos con una innecesaria oposición a la opinión general de los astrónomos; o bien pudo haber llegado a la hipótesis de Copérnico después de haber escrito este libro. Sir Thomas Heath, en su trabajo sobre Aristarco,[34] que contiene el texto de dicho libro con una traducción, se inclina por este último concepto. La evidencia de que Aristarco sugirió la idea copernicana es, en todo caso, completamente concluyente.
La primera y mejor evidencia es la de Arquímedes quien, como hemos visto, era contemporáneo de Aristarco y algo más joven. Escribiendo a Gelón, rey de Siracusa, dice que Aristarco publicó «un libro consistente en ciertas hipótesis». Y continúa: «sus hipótesis son las de que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, que la Tierra gira alrededor del Sol en el contorno de un círculo, estando el Sol en el centro de la órbita». Hay un pasaje de Plutarco donde dice de Cleanto que «pensaba que era el deber de los griegos acusar a Aristarco de Samos del delito de impiedad por poner en movimiento el Corazón del Universo (es decir, la Tierra), pues éste fue el efecto de su tentativa para salvar los fenómenos, suponiendo que los cielos permanecen en reposo y la Tierra gira en un círculo oblicuo, mientras lo hace al mismo tiempo sobre su propio eje». Cleanto fue un contemporáneo de Aristarco y murió hacia el 232 a. C. En otro pasaje, Plutarco dice que Aristarco anticipó este criterio sólo a título de hipótesis, pero que su sucesor, Seleuco, lo mantuvo como una opinión definitiva (Seleuco floreció hacia 150 a. C.). Accio y Sexto Empírico también afirman que Aristarco anticipó la hipótesis heliocéntrica, pero no dicen que lo enseñase sólo como una hipótesis. Aunque lo hiciese, no parece inverosímil que él, como Galileo, dos mil años más tarde, estuviese cohibido por el temor a ofender prejuicios religiosos, temor que la actitud de Cleanto (mencionado más arriba) muestra que estuvo bastante justificado.
La hipótesis copernicana, después de haber sido anticipada por Aristarco, sea como cosa positiva, sea como tentativa, fue adoptada definitivamente por Seleuco, pero no por ningún otro astrónomo antiguo. Esta repulsa general se debió, principalmente, a Hiparco, que floreció de 161 a 126 a. C. Heath le describe como el «astrónomo más grande de la Antigüedad».[35] Fue el primero en escribir sistemáticamente sobre trigonometría; descubrió la precesión de los equinoccios; apreció la extensión del mes lunar con un error de menos de un segundo; perfeccionó las apreciaciones de Aristarco sobre los volúmenes y distancias del Sol y de la Luna; hizo un catálogo de 850 estrellas fijas, dando su latitud y longitud. En contra de la hipótesis heliocéntrica de Aristarco, adoptó y perfeccionó la teoría de los epiciclos, que había sido inventada por Apolonio, quien floreció hacia 220 a. C.; fue un desarrollo de esta teoría lo que llegó a conocerse más tarde como sistema tolemico, del astrónomo Tolomeo, quien floreció a mediados del siglo II d. C.
Copérnico acaso llegara a conocer algo, aunque no mucho, de la casi olvidada hipótesis de Aristarco y se sintiera animado al encontrar autoridades antiguas para su innovación. Por otra parte, el efecto de esta hipótesis sobre los astrónomos posteriores fue, prácticamente, nulo.
Los astrónomos antiguos, al estimar los volúmenes de la Tierra, la Luna y el Sol, emplearon métodos que tenían validez teórica, pero se enmarañaron por la carencia de instrumentos de precisión. Muchos de sus resultados, habida cuenta de esta deficiencia, fueron sorprendentemente buenos. Eratóstenes estimó el diámetro de la Tierra en 7850 millas, lo que es sólo unas cincuenta millas menos de la realidad. Tolomeo apreció la distancia media a la Luna en veintinueve veces y media el diámetro de la Tierra; la cifra correcta es unos 30,2. Ninguno de ellos se acercó al volumen y distancia del Sol, que todos subestimaron. Sus apreciaciones en términos del diámetro de la Tierra fueron:
Aristarco, 180; Hiparco, 1245; Posidonio, 6545.
La cifra correcta es 11.726. Se habrá visto que estas apreciaciones se perfeccionaron continuamente (en las que Tolomeo, sin embargo, muestra un retroceso), que la de Posidonio[36] es alrededor de la mitad de la cifra exacta. En conjunto, su cuadro del sistema solar no estaba tan alejado de la verdad.
La astronomía griega no era dinámica, sino geométrica. Los antiguos suponían uniformes y circulares los movimientos de los cuerpos celestes, o compuestos de movimientos circulares. No tenían el concepto de fuerza. Había esferas que se movían como conjuntos y en las que estaban fijos los diferentes cuerpos celestes. Con Newton y la gravitación se introdujo un nuevo punto de vista menos geométrico. Es curioso observar que hay una nueva reversión al punto de vista geométrico en la Teoría general de la relatividad de Einstein, de la cual la concepción de fuerza, en el sentido newtoniano, ha sido desterrada.
El problema para los astrónomos es éste: dados los movimientos aparentes de los cuerpos celestes en la esfera celeste, introducir, por hipótesis, un tercero coordinado, profundo, de modo tal que haga la descripción del fenómeno tan simple como se pueda. El mérito de la hipótesis copernicana no es su verdad, sino su simplicidad; en vista de la relatividad del movimiento, ninguna cuestión de verdad está implicada. Los griegos, en su búsqueda de hipótesis que pudieran «salvar los fenómenos», en efecto, aunque no del todo intencionalmente, afrontaban el problema por el lado correctamente científico. Una comparación con sus predecesores y con sus sucesores hasta Copérnico puede convencer a los estudiantes de su genio verdaderamente asombroso.
Dos hombres muy grandes, Arquímedes y Apolonio, en el siglo III a. C. completaron la lista de los matemáticos griegos de primera clase. Arquímedes era amigo, probablemente primo, del rey de Siracusa y fue asesinado cuando los romanos capturaron la ciudad en 212 a. C. Apolonio, en su juventud, vivió en Alejandría. Arquímedes era no sólo matemático sino también físico y estudiante de hidrostática. Apolonio es notable principalmente por su obra sobre las secciones cónicas. No diré más de ellos, pues llegaron demasiado tarde para influir en la filosofía.
Después de estos dos hombres, aunque continuó efectuándose en Alejandría un trabajo floreciente, la edad de oro había concluido. Bajo la dominación romana, los griegos perdieron la confianza en sí mismos que les otorgaba su libertad política y, al perderla, adquirieron un respeto paralizante por sus predecesores. El soldado romano que mató a Arquímedes era un símbolo de la muerte del pensamiento original que produjo Roma en todo el mundo helénico.