Pitágoras
Pitágoras, cuya influencia en los tiempos antiguos y modernos es el tema de este capítulo, es intelectualmente uno de los hombres más importantes que han existido, tanto cuando era sabio como cuando no lo era. La matemática como argumento deductivo-demostrativo empieza con él, y en él está unida con una forma peculiar de misticismo. La influencia de las matemáticas en la filosofía, en parte debida a él, ha sido desde entonces tan profunda como funesta.
Empecemos con lo poco que sabemos de su vida. Nació en la isla de Samos, y tuvo su época de florecimiento alrededor de 532 a. C. Según algunos autores era hijo del dios Apolo, otros dicen que fue hijo del rico ciudadano Mnesarcos; que elija el lector entre las dos posibilidades. En su tiempo, Samos fue gobernada por el tirano Polícrates, un viejo pícaro que se había enriquecido mucho, y que poseía una gran flota.
Samos era la rival comercial de Mileto; sus negociantes llegaron hasta Tartesos, en España, famoso por sus minas. Polícrates fue tirano de Samos, alrededor de 535 a. C., y gobernó hasta 515 a. C. No tenía escrúpulos morales, se deshizo de dos hermanos que al principio habían reinado con él, y solía emplear su gran flota para la piratería. Se aprovechó de que Mileto había sido sometida recientemente a Persia. Para impedir una mayor expansión de los persas hacia Occidente, se hizo aliado de Amasis, rey de Egipto. Pero cuando Cambises, rey de Persia, dedicó todas sus fuerzas a la conquista de Egipto, Polícrates vio que éste tenía probabilidades de ganar, y se pasó al otro lado. Mandó una flota, compuesta de sus enemigos políticos, para atacar Egipto; pero las tripulaciones se rebelaron, y volvieron a Samos para atacarle. Sin embargo, los dominó, pero por fin cayó porque le traicionó su avaricia. El sátrapa persa de Sardes fingió que quería rebelarse contra el gran rey, y que pagaría enormes sumas por la ayuda de Polícrates. Éste marchó al continente para celebrar una entrevista, y allí fue capturado y crucificado.
Polícrates patrocinaba el arte y embelleció Samos con notables obras públicas. Anacreonte era el poeta de su corte. Pitágoras, sin embargo, vivía en desacuerdo con su Gobierno, y abandonó Samos. Se dice con ciertos visos de probabilidad que Pitágoras visitó Egipto y aprendió allí mucho; sea como fuere, lo cierto es que se estableció por fin en Crotona, en el sur de Italia.
Las ciudades griegas del sur de Italia, lo mismo que Samos y Mileto, eran ricas y prósperas; además no estaban expuestas al peligro de los persas.[23] Las dos mayores eran Síbaris y Crotona. Síbaris tiene fama proverbial por su lujo. Diodoro dice que sus habitantes en las épocas de mayor grandeza, deben haber ascendido a unos 300.000, aunque esto es indudablemente una exageración. Crotona tenía poco más o menos las mismas dimensiones que Síbaris. Las dos ciudades vivían de la importación de mercancías jónicas a Italia, en parte para el concurso de este país, en parte para la reexportación, desde la costa occidental a Galia y España. Las distintas ciudades griegas de Italia lucharon entre sí con ahínco; cuando Pitágoras llegó a Crotona había sido vencida en aquel momento por Lócride. Poco después, sin embargo, Crotona obtuvo una victoria absoluta en la guerra contra Síbaris, la cual fue casi del todo destruida (510 a. C.). Síbaris había estado estrechamente unida con Mileto por el comercio. Crotona era famosa por la medicina; Demócedes de Crotona fue el médico de Polícrates, y después de Darío.
En Crotona, Pitágoras fundó una sociedad de discípulos que durante cierto tiempo adquirió influencia en la ciudad. Pero al final los ciudadanos se volvieron contra él, y se marchó a Metapontio (también en el sur de Italia), donde murió. Pronto se convirtió en una figura mística, a la que se atribuyeron milagros y poderes mágicos, pero también fue el fundador de una escuela de matemáticos.[24] De esta forma, dos tradiciones opuestas se disputaron su memoria, y es difícil entresacar la verdad. Pitágoras es una de las figuras más interesantes y desconcertantes de la Historia. No sólo las tradiciones que se refieren a él son a la vez una mezcla de verdad y fantasía, sino que incluso en su forma menos discutible y desnuda se nos presenta una psicología muy extraña. Se le puede describir, brevemente, como una combinación de Einstein y Mrs. Eddy. Fundó una religión cuyos dogmas principales eran la transmigración de las almas[25] y que el comer alubias era un pecado. Su religión se encarnó en una Orden religiosa, que en algunos lugares tomó las riendas del Estado, y estableció una regla de los santos. Pero los no regenerados suspiraban por las alubias, y se rebelaron más pronto o más tarde.
Algunas de las reglas de la Orden de Pitágoras eran las siguientes:
1. Abstenerse de las alubias.
2. No recoger lo que se había caído.
3. No tocar un gallo blanco.
4. No romper el pan.
5. No pasar sobre un travesaño.
6. No remover la lumbre con hierro.
7. No comer de una hogaza de pan entera.
8. No coger una guirnalda.
9. No sentarse en una medida de a cuarto.
10. No comer corazón.
11. No andar por las carreteras.
12. No dejar que las golondrinas aniden en el tejado de la propia casa.
13. Cuando el puchero se quita de la lumbre, no dejar su marca en la ceniza, sino removerla.
14. No mirar un espejo al lado de una luz.
15. Al levantarse de las sábanas, enrollarlas y hacer desaparecer la huella del cuerpo.[26]
Todas estas prescripciones pertenecen a conceptos primitivos de tabú.
Cornford (De la religión a la filosofía), dice que, a su juicio, «la escuela de Pitágoras representa la principal corriente de la tradición mística que hemos puesto en contraste con la tendencia científica». Considera a Parménides, al que llama «descubridor de la lógica», como un producto del pitagorismo, y Platón mismo encontró la fuente principal de su inspiración en la filosofía italiana. Dice que el pitagorismo fue un movimiento de reforma dentro del orfismo, y el orfismo, a su vez, una reforma de la adoración a Dioniso. El contraste de lo racional con lo místico —que se extiende por toda la Historia— aparece primeramente entre los griegos como una oposición entre los dioses olímpicos y los otros menos civilizados que tenían más afinidad con las creencias primitivas tratadas por los antropólogos. En esta división, Pitágoras estaba del lado del misticismo, aunque el suyo tenía una nota particularmente intelectual. Él se atribuía a sí mismo un carácter semidivino, y parece haber dicho: «Hay hombres y dioses, y seres como Pitágoras». Todos los sistemas que inspiró presentan una tendencia, como dice Cornford, «ultramundana, dando todo el valor a la unidad invisible de Dios, y condenando el mundo visible como falso y engañoso, un medio turbio, en el cual los rayos de la luz celeste se quiebran y transforman en bruma y tinieblas».
Dicearco dice que Pitágoras enseñó «primero, que el alma es inmortal y que se transforma en otras especies de cosas vivientes; además, que todo lo que nace vuelve a nacer en las revoluciones de un determinado ciclo, pues nada es absolutamente nuevo; y que todo lo que nace con vida debe ser tratado como cosa afín».[27] Se cuenta que Pitágoras, como San Francisco, predicaba a los animales.
En la sociedad que fundó fueron admitidos hombres y mujeres en iguales condiciones; la propiedad era común, y había modo de vivir común. Incluso los descubrimientos científicos y matemáticos fueron considerados colectivos, y místicamente atribuidos a Pitágoras aun después de su muerte. Hippasos de Metapontio, que violó esta regla, naufragó, porque la ira divina le castigó por su impiedad.
Pero ¿qué tiene que ver todo esto con las matemáticas? Se relaciona por medio de una ética que ensalzaba la vida contemplativa. Burnet resume esta ética de la manera siguiente:
«Somos extranjeros en este mundo; el cuerpo es la tumba del alma y, sin embargo, no debemos intentar escaparnos por el suicidio; porque somos rebaños de Dios, que es nuestro pastor, y sin su mandato no tenemos derecho a desaparecer. En esta vida hay tres clases de hombres, lo mismo que hay tres clases de personas que van a los juegos olímpicos. La más baja es la que va a comprar y vender, la segunda a tomar parte en las competencias. Pero los mejores son los que solamente van a contemplar el espectáculo. La más grande purificación es, por lo tanto, la ciencia desinteresada, y el hombre que se dedica a ella, el verdadero filósofo, se libra más eficazmente de la rueda del nacimiento».[28]
Los cambios en el significado de las palabras son muchas veces muy instructivos. Por ejemplo, hablé de la palabra orgía; ahora voy a tratar de la palabra teoría. Originalmente fue una palabra órfica que Cornford interpreta como «contemplación apasionada simpática». Dice: «El espectador se identifica con el dios que sufre, muere su muerte y renace nuevamente con su nacimiento». Para Pitágoras, «la contemplación simpática apasionada» era intelectual y desembocó en la ciencia de las matemáticas. De esta manera, por el pitagorismo, la palabra teoría ha adquirido poco a poco su sentido moderno; pero para los admiradores de Pitágoras conservaba un elemento de revelación extática. Para los que de mala gana han aprendido en la escuela un poco de matemáticas, les parecerá algo extraño; pero los que han experimentado el placer embriagador de la súbita intelección que producen las matemáticas, de vez en cuando, a los que las aman, el concepto de Pitágoras les parecerá muy natural, aunque no fuese cierto. Podría parecer como si el filósofo empírico fuese esclavo de su materia, pero que el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de belleza ordenada.
Es interesante observar en la descripción que hace Burnet de la ética de Pitágoras la oposición a los valores modernos. Los hombres de nuestro tiempo, por ejemplo, en un partido de fútbol, consideran a los jugadores más valiosos que a los espectadores. Lo mismo pasa con el Estado: admiran más a los políticos, que son los que participan en el juego, que a los simples espectadores. Este cambio de valores está relacionado con el cambio del sistema social: el guerrero, el aristócrata, el plutócrata y el dictador tienen cada uno su propia norma de lo bueno y verdadero. El aristócrata poseía cierta parte de la teoría filosófica por estar asociado con el genio griego, porque la virtud de la contemplación conquistó el apoyo teológico, y porque el ideal de la verdad desinteresada prestó dignidad a la vida académica. Se debe definir al aristócrata como una persona perteneciente a una sociedad de iguales que vive del trabajo de los esclavos o, en todo caso, del trabajo de hombres cuya inferioridad no se pone en duda. Hay que observar que esta definición incluye al santo y al sabio, en cuanto las vidas de estos hombres son más contemplativas que activas.
Las definiciones modernas de la verdad, tales como las del pragmatismo e instrumentalismo, que son más prácticas que contemplativas, están inspiradas por el industrialismo en oposición a la aristocracia.
Piénsese lo que se desee de un sistema social que tolera la esclavitud, hay que reconocer que debemos las matemáticas puras a la aristocracia en el sentido que hemos dado a esta clase. El ideal contemplativo, puesto que condujo a la creación de las matemáticas puras, fue la fuente de una actividad útil; esto aumentó su prestigio y le preparó un éxito en la teología, en la ética y en la filosofía, que de otra manera no hubiera disfrutado.
Hemos tratado, pues, de dos aspectos de Pitágoras: como profeta religioso y como matemático puro. En ambos campos tuvo una influencia inconmensurable, y los dos campos de su actividad no distaban tanto el uno del otro como puede parecer a una mente moderna.
La mayor parte de la ciencia ha estado unida, al principio, a ciertas creencias falsas que le dieron un valor ficticio. La astronomía estaba asociada con la astrología, la química con la alquimia. Las matemáticas estaban ligadas a un tipo de error más refinado. El conocimiento matemático pareció seguro, exacto y aplicable a la realidad; además, se adquiría solamente por el pensamiento, sin necesidad de la observación. Por consiguiente, se creía que proporcionaba un ideal, del que el conocimiento empírico corriente distaba mucho. Se suponía, basándose en las matemáticas, que el pensamiento era superior a los sentidos, y la intuición a la observación. Si el mundo de los sentidos no es apto para las matemáticas, tanto peor para él. Se buscaban de distintas maneras métodos para acercarse al ideal del matemático, y las sugerencias que de allí resultaban fueron la fuente de muchos errores en la metafísica y en la teoría del conocimiento. Esa forma de filosofía empieza con Pitágoras.
Pitágoras, como sabe todo el mundo, dijo que «todas las cosas eran números». Esta afirmación, interpretada a la manera moderna, es lógicamente un disparate, pero lo que quería expresar no lo era del todo. Él descubrió la importancia de los números en la música, y la relación que estableció entre la música y la aritmética sobrevive en los términos matemáticos «media armónica» y «progresión armónica». Se imaginaba los números como figuras, tal como aparecen en los dados o los naipes; todavía hoy hablamos de cuadrados y cubos de los números, y estos términos proceden de Pitágoras. También cita números oblongos, triangulares, piramidales, etc. Eran éstos los números de guijarros (o, como diríamos con más naturalidad, perdigones), necesarios para hacer las formas en cuestión. Él consideraba, probablemente, el mundo como atómico, y los cuerpos hechos de moléculas compuestas de átomos dispuestos en varias formas. Así esperaba hacer de la aritmética el estudio fundamental para la física y la estética.
El descubrimiento más grande de Pitágoras, o de sus discípulos más allegados, fue la proposición de los triángulos rectángulos, de que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Los egipcios ya sabían que un triángulo cuyos lados son 3, 4, 5, tiene un ángulo recto, pero parece que los griegos fueron los primeros en observar que 32 + 42 = 52 y, siguiendo esta sugerencia, los primeros en descubrir una prueba de la proposición general.
Desgraciadamente para Pitágoras, este teorema condujo al descubrimiento de los inconmensurables, que parecía refutar toda su filosofía. En un triángulo rectángulo isósceles el cuadrado de la hipotenusa es el doble del cuadrado de cada cateto. Supongamos que cada cateto mide una pulgada; ¿qué longitud tiene, pues, la hipotenusa? Supongamos que su longitud es m/n pulgadas; entonces m2/n2 = 2. Si m y n tienen un factor común, hágase la división, y entonces m o n deben ser impares. Ahora es m2 = 2n2, por lo tanto, m2 es par, por lo tanto, m es par y n es impar. Supongamos que m = 2p. Entonces 4p2 = 2n2; por consiguiente, n2 = 2p2 y, por lo tanto, n es par, contra hip. Por consiguiente, ninguna fracción de m/n medirá la hipotenusa. Esta prueba, en su sustancia, está en Euclides, libro X.[29]
Este argumento demostraba que, sea la que fuere la unidad de longitud que adoptemos, hay longitudes que no guardan relación numérica exacta con la unidad, en el sentido de que no hay dos enteros m, n, tales que m veces la longitud en cuestión, sea n veces la unidad. Esto convenció a los matemáticos griegos de que la geometría debía establecerse independiente de la aritmética. Hay pasajes en los diálogos de Platón que prueban que la consideración por separado de la geometría era muy corriente en su época; Euclides la perfeccionó. Este sabio, en el libro II, demuestra geométricamente muchas cosas que naturalmente deberíamos demostrar por álgebra, por ejemplo (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. A causa de la dificultad de los inconmensurables estimó necesario este método. Lo mismo ocurre con las proposiciones de los libros V y VI. Todo el sistema es lógicamente delicioso y anticipa el rigor de los matemáticos del siglo XIX. Mientras no existió una teoría aritmética adecuada de los inconmensurables, el método de Euclides era el mejor posible en geometría. Cuando Descartes introdujo la geometría coordenada, dando el lugar supremo a la aritmética, supuso la posibilidad de una solución del problema de los inconmensurables, aunque entonces no fue encontrada.
La influencia de la geometría en la filosofía y el método científico ha sido profunda. La geometría, tal como fue establecida por los griegos, comienza con axiomas que son (o creían serlo) evidentes en sí mismos. Luego avanza la geometría por razonamientos deductivos hasta los teoremas que no son, ni mucho menos, evidentes en sí. Los axiomas y teoremas se tienen por ciertos en el espacio real, y éste es algo dado por la experiencia. Así parecía ser posible descubrir cosas del mundo real, descubriendo primero lo que es evidente en sí, y después haciendo uso de la deducción. Esta idea influyó en Platón, Kant y en la mayoría de los filósofos intermedios. Cuando dice la Declaración de la Independencia que «estas verdades las consideramos como evidentes en sí», se rige por Euclides. La doctrina del siglo XVIII de los derechos naturales es una búsqueda de axiomas euclidianos en el campo de la política.[30] La forma de «los principios» de Newton, a pesar de su materia reconocidamente empírica, está dominada del todo por Euclides. La teología, en sus exactas formas escolásticas, se nutre de la misma fuente; la religión personal se deriva del éxtasis; la teología, de las matemáticas, y ambas se encuentran en Pitágoras.
Creo que la matemática es la fuente principal de la fe en la verdad eterna y exacta y en un mundo suprasensible e inteligible. La geometría trata de círculos exactos, pero ningún objeto sensible es exactamente circular; por muy cuidadosamente que manejemos el compás, siempre habrá imperfecciones e irregularidades. Esto sugiere la idea de que todo el razonamiento exacto comprende objetos ideales, en contraposición a los sensibles; es natural seguir adelante y argüir después que el pensamiento es más noble que los sentidos y los objetos de la idea más reales que los que percibimos por los sentidos. Las doctrinas místicas respecto a la relación del tiempo con la eternidad también se apoyaron en las matemáticas puras, porque los objetos, como los números, si son reales, son eternos y no colocados en el tiempo. Estos objetos eternos pueden ser concebidos como pensamientos de Dios. De allí se deriva la doctrina de Platón de que Dios es un geómetra, y la de sir James Jeans de que Dios ama la aritmética. La religión racionalista en contraposición a la apocalíptica ha sido completamente dominada desde Pitágoras y, sobre todo, desde Platón, por las matemáticas y sus métodos.
La combinación de matemáticas y teología que se inició con Pitágoras caracterizó la filosofía religiosa en Grecia, en la Edad Media y en los tiempos modernos, hasta Kant. El orfismo anterior a Pitágoras era análogo a las religiones asiáticas de misterios. Pero en Platón, San Agustín, Tomás de Aquino, Descartes, Spinoza y Leibniz existe una fusión íntima de religión y razonamiento, de aspiración moral y admiración lógica por lo eterno, que procede de Pitágoras, distinguiéndose la teología intelectualizada de Europa del misticismo más directo de Asia. Solamente en los tiempos modernos ha sido posible declarar abiertamente que Pitágoras estaba en un error. No conozco ningún otro hombre que hubiese tenido mayor influencia en el campo del pensamiento. Lo digo porque lo que aparece como platonismo resulta, después de analizarlo, esencialmente pitagorismo. Toda la concepción de un mundo eterno que se revela al intelecto y no a los sentidos, se deriva de él. Si no fuera por él, los cristianos no habrían considerado a Cristo como el Verbo; a él deben los teólogos la búsqueda de pruebas lógicas de la existencia de Dios y de la inmortalidad. Sin embargo, en Pitágoras todo eso queda aún sobreentendido. Cómo se hizo explícito lo veremos más adelante.