Un bonito día de mayo, la Tortuga y Aquiles se encuentran mientras pasean por el bosque. Este último, primorosamente ataviado, va danzando al compás de una melodía que él mismo musita. En su chaqueta luce una gran chapa con las palabras “¡Hoy es mi cumpleaños!”.
Tortuga: Hola, ¿Aquiles? ¿Qué lo tiene tan contento hoy día? ¿Es acaso su cumpleaños, por casualidad?
Aquiles: ¡Sí, sí! ¡Hoy es mi cumpleaños!
Tortuga: Es lo que yo había sospechado, tomando en cuenta esa chapa que lleva puesta y también porque, a menos que yo esté equivocado, está Ud. cantando una melodía de una Cantata de Cumpleaños de Bach; una escrita en 1727 para el quincuagésimo séptimo cumpleaños de Augusto, Rey de Sajonia.
Aquiles: Tiene Ud. razón. Y el cumpleaños de Augusto coincide con el mío, de modo que ESTA Cantata de Cumpleaños tiene doble significado. Sin embargo, no le diré mi edad.
Tortuga: Oh, me parece muy bien. No obstante me gustaría saber otra cosa. A partir de lo que Ud. me ha dicho hasta ahora, ¿sería correcto concluir que hoy es su cumpleaños?
Aquiles: Sí, sí, lo sería. Hoy ES mi cumpleaños.
Tortuga: Excelente. Tal como yo lo sospechaba. De modo que ahora CONCLUIRÉ que es su cumpleaños, salvo…
Aquiles: Sí, ¿salvo qué?
Tortuga: Salvo que eso sería sacar una conclusión prematura o precipitada, Ud. sabe. Después de todo, a las Tortugas no les gusta sacar conclusiones apresuradas. (No nos gusta apresurarnos en absoluto, mucho menos nos gustan las conclusiones apresuradas). De modo que sólo permítame preguntarle, sabiendo muy bien acerca de su debilidad por el pensamiento lógico, si sería razonable deducir lógicamente de las oraciones precedentes, que de hecho hoy es su cumpleaños.
Aquiles: Creo detectar el patrón de sus preguntas, Sr. T. Pero en lugar de sacar conclusiones precipitadas por mí mismo, tomaré su pregunta al pie de la letra y la responderé sin rodeos. La respuesta es: SÍ.
Tortuga: ¡Espléndido! ¡Espléndido! Entonces sólo me resta saber una cosa más para estar completamente seguro de que hoy es…
Aquiles: Sí, sí, sí, sí… Ya puedo ver la línea que sigue su interrogatorio, Sr. T. Le haré saber que ya no soy tan ingenuo como lo era cuando discutimos la prueba de Euclides, tiempo atrás.
Tortuga: Vaya, ¿quién ha pensado alguna vez que Ud. sea ingenuo? Muy por el contrario, yo lo considero como un experto en las formas del pensamiento lógico, una autoridad en la ciencia de las deducciones válidas, una fuente de conocimiento acerca de los métodos correctos de razonamiento… A decir verdad, Aquiles, Ud. es en mi opinión un verdadero titán en el arte de la reflexión racional. Y es sólo por esta razón que me gustaría preguntarle, “¿Las oraciones precedentes presentan evidencia suficiente como para que yo pueda concluir, sin necesidad de seguir rompiéndome la cabeza, que hoy es su cumpleaños?”.
Aquiles: Me abruma con elogios de tanto peso, Sr. T., ACLAMA, quiero decir. Pero estoy impresionado con la naturaleza repetitiva de sus preguntas, y según yo estimo, Ud., así como yo, podría haber respondido ‘sí’ en cada oportunidad.
Tortuga: Por supuesto que podría haberlo hecho, Aquiles. Pero, Ud. ve, ello habría significado formular una Generalización Osada, y las Tortugas aborrecen las Generalizaciones Osadas. Las Tortugas sólo formulan Generalizaciones Educadas. Ah, sí, el poder de las Generalizaciones Educadas… No tiene Ud. idea de cuánta gente falla en tomar en cuenta todos los Factores Relevantes cuando conjetura.
Aquiles: Me parece que sólo había un factor relevante en toda esta jerigonza y ése fue mi primer enunciado.
Tortuga: Oh, seguro, ése es por lo menos UNO de los factores a tomar en cuenta, diría yo, ¿pero me haría Ud. omitir la Lógica, esa venerada ciencia de los antiguos? La Lógica es siempre un Factor Relevante al hacer Generalizaciones Educadas y, ya que tengo a mi lado a un renombrado experto en Lógica, creí que nada sería más Lógico que aprovechar esa circunstancia y confirmar mis impresiones preguntándole directamente si mis intuiciones eran correctas. De modo que permítame finalmente seguir adelante y preguntarle sin rodeos: “¿Las oraciones precedentes me permiten concluir, sin lugar a dudas, que Hoy es su Cumpleaños?”.
Aquiles: Una vez más, SÍ. Pero, francamente hablando, tengo la clara impresión de que Ud. podría haber dado esa respuesta —así como las anteriores— por sí mismo.
Tortuga: ¡Cómo me duelen sus palabras! ¡Ojalá fuera tan sabio como su insinuación sugiere! Pero como una simple y mortal Tortuga, profundamente ignorante y ansiosa por tomar en cuenta todos los Factores Relevantes, necesitaba saber la respuesta a todas aquellas preguntas.
Aquiles: Entonces bien, permítame aclarar el asunto de una vez por todas. La respuesta a todas las preguntas previas y a todas las preguntas sucesivas que Ud. me hará en la misma línea es simplemente ésta: si.
Tortuga: ¡Maravilloso! De un golpe, ha eludido Ud. todo este embrollo en la forma creativa que lo caracteriza. Espero que no le importe si llamo a este ingenioso truco un ESQUEMA DE RESPUESTA. Este hace un solo ovillo con las respuestas-sí números 1, 2, 3, etc. De hecho, apareciendo como lo hace al final de la línea, merece el título de “ESQUEMA DE RESPUESTA OMEGA”, puesto que “ω” es la última letra del alfabeto griego, ¡como si USTED necesitara que le dijeran ESO!
Aquiles: No me importa cómo lo llame. Simplemente me alivia saber que finalmente Ud. está de acuerdo con que es mi cumpleaños, con lo cual podemos pasar a algún otro tema, tal como, por ejemplo, lo que Ud. me dará como regalo.
Tortuga: Espere, no tan rápido, ACEPTARÉ que es su cumpleaños bajo una condición.
Aquiles: ¿Cuál? ¿Que no pida regalo?
Tortuga: En absoluto. De hecho, Aquiles, tengo previsto agasajarlo con una comida de cumpleaños, siempre que me convenza de que el conocimiento simultáneo de todas esas respuestas-sí (tal como lo da el Esquema de Respuesta ω) me permite proceder directamente y sin más rodeos a la conclusión de que hoy es su cumpleaños. Ése es el caso, ¿o no?
Aquiles: Sí, por supuesto.
Tortuga: Bien. Y ahora tengo la respuesta-sí ω + 1. De acuerdo a ella, puedo proceder a aceptar la hipótesis de que hoy es su cumpleaños, siempre que sea válido proceder así. ¿Sería tan amable de aconsejarme en esta materia, Aquiles?
Aquiles: ¿Qué es esto? Pensé que ya le había ayudado a resolver su infinita trama. ¿No le satisface ahora su respuesta-sí ω + 1? Está bien. No le daré sólo la respuesta-sí ω + 2, sino también las respuestas-sí ω + 3, ω + 4, y así sucesivamente.
Tortuga: Qué generoso de su parte, Aquiles. Y como es su cumpleaños, debería ser yo quien debiera estar dándole regalos a usted en lugar de lo contrario. O más bien, SOSPECHO que es su cumpleaños. Imagino que ahora puedo concluir que ES su cumpleaños, armado con el nuevo Esquema de Respuesta que llamaré “Esquema de Respuesta 2ω”. Pero dígame, Aquiles: ¿El Esquema de Respuesta 2ω REALMENTE me permite dar ese enorme brinco, o falta algo?
Aquiles: No me hará más trucos, Sr. T. He descubierto la forma de terminar con este estúpido juego. ¡Mediante ésta le regalaré un Esquema de Respuesta para terminar con todos los Esquemas de Respuesta! Esto es, le regalo simultáneamente los Esquemas de Respuesta ω, 2ω, 3ω, 4ω, etc. Con este Meta-Esquema de Respuesta he BRINCADO FUERA de todo el sistema, con todo, he trascendido este estúpido juego en que Ud. pensó que me tenía atrapado, ¡y ahora estamos listos!
Tortuga: ¡Qué emoción! ¡Me siento honrado, Aquiles, de ser el depositario de un Esquema de Respuesta tan poderoso! Creo que rara vez ha sido ideado algo tan gigantesco por la mente humana, y estoy espantado con su poder. ¿Le importaría si le doy un nombre a su regalo?
Aquiles: En absoluto.
Tortuga: Entonces lo llamaré “Esquema de Respuesta ω2”. Y podemos pasar en breve a otras materias, tan pronto como Ud. me diga si la posesión del Esquema de Respuesta ω2 me permite deducir que hoy es su cumpleaños.
Aquiles: ¡Oh, pobre de mí! ¿Podré alguna vez alcanzar el final de esta tormentosa pista? ¿Qué viene luego?
Tortuga: Bueno, después del Esquema de Respuesta ω2 viene la respuesta ω2 + 1. Y luego la respuesta ω2 + 2. Y así sucesivamente. Pero Ud. puede envolverlas todas juntas en un paquete, el Esquema de Respuesta ω2 + ω. Y luego hay otros pocos paquetes de respuesta tales como ω2 + 2ω, y ω2 + 3ω… Eventualmente, llega Ud. al Esquema de Respuesta 2ω2, y después de un rato, a los Esquemas de Respuesta 3ω2 y 4ω2. Más allá de ellos aún hay Esquemas de Respuesta ulteriores, tales como ω3, ω4, ω5, y así sucesivamente. Esto prosigue así su curso, Ud. sabe.
Aquiles: Puedo imaginarlo, supongo que llega al Esquema de Respuesta ωω después de un rato.
Tortuga: ¡Por supuesto!
Aquiles: ¿Y luego ωωω, y ωωωω?
Tortuga: Está Ud. captando sumamente rápido, Aquiles. Tengo una sugerencia que hacerle, si no le importa. ¿Por qué no los inserta todos en un solo Esquema de Respuesta?
Aquiles: Está bien, aunque estoy empezando a dudar de si acaso servirá de algo.
Tortuga: Me parece que dentro de nuestras convenciones denominativas hasta ahora establecidas, no existe un nombre obvio para éste. De modo que quizá deberíamos arbitrariamente denominarlo Esquema de Respuesta ε0.
Aquiles: ¡Maldición! Cada vez que Ud. le da un NOMBRE a una de mis afirmaciones, éste parece señalar el inminente derrumbe de mis esperanzas de que esa respuesta lo satisfará. ¿Por qué no dejamos este Esquema de Respuesta sin nombre?
Tortuga: Difícilmente podemos hacer eso, Aquiles. Sin un nombre no tendríamos ninguna forma para referirnos a él. Y además, hay algo inevitable y muy hermoso acerca de este Esquema de Respuesta particular. ¡Carecería completamente de gracia dejarlo sin nombre! ¿Y Ud. no desearía hacer algo carente de gracia en su cumpleaños? Oiga, hablando de cumpleaños, ¡hoy es MI cumpleaños!
Aquiles: ¿Sí?
Tortuga: Sí, sí. Bueno, realmente es el cumpleaños de mi tío, pero es casi lo mismo. ¿Qué le parecería agasajarme con una deliciosa cena de cumpleaños esta noche?
Aquiles: Un momentito, Sr. T. Hoy es MI cumpleaños. ¡Ud. debería agasajarme!
Tortuga: Ah, pero si Ud. nunca logró convencerme de la veracidad de esa afirmación. Siguió yéndose por las ramas con respuestas, Esquemas de Respuesta, y qué sé yo. Todo lo que yo quería saber era si acaso era su cumpleaños o no, pero Ud. se las arregló para marearme por completo. Oh, bueno, es una lástima. En todo caso, me sentiré feliz de dejarlo agasajarme con una cena de cumpleaños esta noche.
Aquiles: Muy bien. Conozco el lugar preciso. Tiene una gran variedad de sopas deliciosas. Y yo sé exactamente de qué especie deberíamos tomar…