Aquiles no ha podido conciliar el sueño durante las últimas noches. Su amigo, la Tortuga, ha venido esta noche a hacerle compañía durante estas fastidiosas horas.

Tortuga: Lamento tanto oír acerca de las molestias que ha estado sufriendo, mi querido Aquiles. Espero que mi compañía le proporcione el ansiado alivio a toda esa excitación insoportable que lo ha mantenido despierto. Quizá pueda aburrirlo lo suficiente como para que Ud. finalmente pueda quedarse dormido. De esta manera, espero poder serle de alguna utilidad.

Aquiles: Oh, no, me temo que ya algunos de los latosos más grandes del mundo han intentado aburrirme para hacerme dormir y, es triste decirlo, todo ha sido en vano. Así es que Ud. no les hará el peso. No, Sr. T., yo lo invité esperando que quizás Ud. pudiera entretenerme con algo tomado de la teoría de los números, de modo que yo pudiera al menos pasar estas largas horas en forma agradable. Vea, he descubierto que un poco de teoría de los números hace maravillas con mi afligida psiquis.

Tortuga: ¡Qué idea más original! Sabe Ud., esto me recuerda, muy remotamente, la historia del pobre conde Kaiserling.

Tortuga: Oh, era un Conde de Sajorna del siglo dieciocho —un Conde muy condescendiente, pero poco condescendiente, a decir verdad— y debido a él —bueno, ¿le cuento la historia? Es muy entretenida.

Tortuga: Hubo un tiempo en que el pobre conde sufría de insomnio; y resulta que justamente en el mismo pueblo vivía un músico muy competente; de modo que el conde Kaiserling le encomendó a este músico que compusiera una serie de variaciones para que le fueran tocadas por el clavicordista de su corte durante sus noches de insomnio, para poder pasar así las horas en forma más placentera.

Tortuga: Supongo que sí, puesto que después de que fueron compuestas, el conde lo recompensó abundantemente, le regaló un grial de oro que contenía un centenar de Louis d’or.

Aquiles: ¡No me diga! Me pregunto de dónde habrá sacado ese grial y, en especial, todos esos Louis d’or.

Tortuga: Bueno, bueno, yo no lo pondría de esa manera exactamente, pero… En aquellos días los condes se podían permitir casi todo. De cualquier manera, está claro que el conde estaba muy complacido con la música, pues constantemente entretenía a su clavicordista —sólo un muchacho, de nombre Goldberg— haciéndolo tocar una u otra de estas treinta variaciones. En consecuencia (y un tanto irónicamente) las variaciones quedaron ligadas al nombre del joven Goldberg, y no al distinguido nombre del conde.

Aquiles: ¿Se refiere a que el compositor fue Bach, y éstas son las así llamadas “Variaciones Goldberg”?

Tortuga: ¡Precisamente! En realidad, la obra fue titulada Aria con Variaciones Diversas, de las cuales hay treinta. ¿Sabe Ud. cómo estructuró Bach estas treinta magníficas variaciones?

Tortuga: Todas las piezas —excepto la última— están basadas en un tema único, al cual llamó “aria”. En realidad, lo que las liga a todas entre sí no es una melodía común, sino un fondo armónico común. Las melodías pueden variar, pero por debajo subsiste un tema constante. Sólo en la última variación, Bach se tomó libertades. Es una clase de “final post-final”. Contiene extrañas melodías musicales que tienen poco que ver con el Tema original —de hecho, dos melodías folklóricas alemanas. Esa variación es llamada un “quodlibet”.

Tortuga: Bueno, cada tercera variación es un canon. Primero, un canon en que las dos voces canonizadas entran en la MISMA nota. Segundo, un canon en que una de las voces canonizadas entra UNA NOTA MÁS ALTO que la primera. Tercero, una voz entra DOS notas más alto que la otra. Y así sucesivamente, hasta que en el canon final, las entradas se han distanciado exactamente una novena. Diez cánones, en total. Y…

Aquiles: Espere un momento. ¿No recuerdo haber leído en alguna parte algo acerca de catorce cánones Goldberg recientemente descubiertos…?

Tortuga: ¿No apareció eso en el mismo diario donde recientemente informaron del descubrimiento de catorce días de noviembre previamente desconocidos?

Aquiles: No, sí es verdad. Un tipo llamado Wolff —un musicólogo— supo acerca de una copia especial de las Variaciones Goldberg en Estrasburgo. Viajó hasta allí con el propósito de examinarla, y para su sorpresa, en las páginas traseras, como una clase de “final post-final”, encontró estos catorce cánones, todos basados en las primeras ocho notas del tema de las Variaciones Goldberg. De modo que ahora se sabe que en realidad hay cuarenta y cuatro Variaciones Goldberg, no treinta.

Tortuga: Es decir, hay cuarenta y cuatro de ellas, salvo que algún otro musicólogo descubra aún otra serie de ellas en algún lugar increíble. Y, aun cuando parece improbable, es aún posible, aunque inverosímil, que todavía sea descubierta otra serie, y luego otra, y otra y otra y otra… Caramba, ¡podría no acabar nunca! No podremos saber nunca si es que ya tenemos, o cuándo tendremos, la serie completa de las Variaciones Goldberg.

Aquiles: Qué idea tan curiosa. Presumiblemente todos piensan que este último descubrimiento fue una feliz coincidencia, y que ahora sí tenemos todas las Variaciones Goldberg. Pero suponiendo que Ud. tenga razón, y que alguna otra aparezca en algún momento, entonces deberemos empezar a esperar que ocurra este tipo de cosas. En ese momento, el nombre “Variaciones Goldberg” comenzará a cambiar levemente de significado, de manera de incluir no sólo las conocidas, sino también cualesquiera de las otras que eventualmente pudieran aparecer. Su número —llamémoslo “g”— ciertamente tiene que ser finito, ¿no le parece?, pero saber simplemente que ‘g’ es finito no es lo mismo que saber cuán grande es ‘g’. Por consiguiente, esta información no nos dirá cuándo haya sido localizada la última Variación Goldberg.

Aquiles: Dígame, ¿cuándo fue que Bach escribió estas célebres variaciones?

Tortuga: Así debe ser, pues resulta que es un número muy interesante; es la suma de dos primos impares: 1723 y 19.

Aquiles: ¡Rayos! ¡Qué curioso! Me pregunto cuán a menudo uno encuentra un número con esa propiedad. Veamos…

Bueno, nunca se sabe, de acuerdo a mi pequeña tabla, parece ser un acontecimiento muy común. Sin embargo, hasta ahora no puedo descubrir ni la más mínima regularidad en la tabla.

Aquiles: ¡Pero por supuesto que la hay! Sólo que no soy lo suficientemente astuto como para cogerla al vuelo.

Aquiles: No tengo la menor duda. Me pregunto… ¿Es posible que TODOS los números pares (excepto el 4) puedan ser escritos como una suma de dos primos impares?

Tortuga: Hmm… Esa pregunta me sugiere algo… Ah, ¡ya sé por qué! Ud. no es la primera persona en preguntar eso. Bueno, de hecho, en el año 1742, un matemático aficionado propuso esta misma pregunta en una…

Aquiles: ¿Dijo Ud. 1742? Perdóneme por interrumpirlo, pero acabo de notar que 1742 resulta que es un número muy interesante; es la diferencia de dos primos impares: 1747 y 5.

Tortuga: ¡Rayos! ¡Qué curioso! Me pregunto cuán a menudo uno encuentra un número con esa propiedad.

Tortuga: Oh, sí, como estaba diciendo, en 1742, un cierto matemático aficionado, cuyo nombre se me escapa momentáneamente, envió una carta a Euler, quien en esa época estaba en la corte del Rey Federico el Grande en Sanssouci, y —bueno, ¿le cuento la historia? No deja de tener su encanto.

Tortuga: Muy bien. En su carta, este intruso en la teoría de los números proponía una conjetura no demostrada al gran Euler: “Todo número par puede ser representado como una suma de dos primos impares”. ¿Pero cómo se llamaba este tipo?

Aquiles: Recuerdo vagamente esa historia; estaba en algún libro sobre teoría de los números o algo así. ¿Ese tipo no se llamaba “Kupfergödel”?

Tortuga: No, tampoco es ése. Tengo el nombre en la punta de mi lengua …ah …ah ¡oh sí! ¡Era “Goldbach”! Goldbach era el tipo.

Tortuga: Sí, sus sugerencias ayudaron a estimular mi memoria. Es muy extraño esto de que uno ocasionalmente tenga que rastrear en su propia memoria como siguiéndole la pista a un libro en una biblioteca sin número de referencia… Pero volvamos a 1742.

Aquiles: Por cierto, volvamos. Quería preguntarle: ¿demostró alguna vez Euler que esta conjetura de Goldbach era correcta?

Tortuga: Curiosamente, él nunca consideró que valiese la pena trabajar en ella. Sin embargo, su desdén no fue compartido por todos los matemáticos. De hecho, cautivó el interés de muchos, y llegó a ser conocida como la “Conjetura Goldbach”.

Tortuga: No, no se ha hecho. Pero ha habido algunas notables aproximaciones. Por ejemplo, en 1931 el teórico de los números ruso Schnirelmann demostró que cualquier número —par o impar— puede ser representado como una suma de no más de 300.000 primos.

Tortuga: Ha traído el problema al dominio de lo finito. Antes de la demostración de Schnirelmann, era concebible que a medida que Ud. tomara números de pares más y más grandes, ellos requerirían más y más primos para representarlos. ¡Algún número par podría tomar un billón de primos para representarlo! Ahora se sabe que eso no es así, una suma de 300.000 primos (o menos) será siempre suficiente.

Tortuga: Luego, en 1937, un tipo muy astuto llamado Vinogradov —un ruso también— se las arregló para establecer algo mucho más cercano al resultado deseado: a saber, todo número IMPAR lo suficientemente grande puede ser representado como una suma de no más de TRES primos impares. Por ejemplo, 1937 = 641 + 643 + 653. Podríamos decir que un número impar que es representable como una suma de tres primos impares tiene “la propiedad Vinogradov”. Así, todos los números impares lo suficientemente grandes tienen la propiedad Vinogradov.

Tortuga: Significa que algún número finito de números impares puede carecer de la propiedad Vinogradov, pero que hay un número —llamémoslo “v”— más allá del cual todos los números impares tienen la propiedad Vinogradov. Pero Vinogradov fue incapaz de decir cuán grande es ‘v’. De modo que en cierta forma ‘v’ es como ‘g’ el número finito pero desconocido de las Variaciones Goldberg. Saber simplemente que ‘v’ es finito no es lo mismo que saber cuán grande es ‘v’. Por consiguiente, esta información no nos dirá cuándo haya sido localizado el último número impar que necesita más de tres primos para ser representado.

Aquiles: Ya veo. Y así cualquier número par 2N lo suficientemente grande puede ser representado como una suma de CUATRO primos, representando primero 2N-3 como una suma de tres primos, y luego sumándole de vuelta el número primo 3.

Tortuga: Precisamente. Otra aproximación cercana está contenida en el Teorema que dice: “Todos los números pares pueden ser representados como una suma de un primo y un número que es el producto de a lo más dos primos”.

Aquiles: Este asunto acerca de las sumas de dos primos, ciertamente nos conduce a un territorio extraño. Me pregunto dónde sería conducido si considerara las DIFERENCIAS de dos primos impares. Apuesto a que podría obtener alguna comprensión de este embrollo haciendo una pequeña tabla de números pares, y de sus representaciones como diferencias de dos primos impares, tal como lo hice para las sumas. Veamos…

¡Caramba! Parece no haber fin para el número de representaciones diferentes que puedo encontrar para estos números pares. Sin embargo, hasta ahora no puedo descubrir ni la más mínima regularidad en la tabla.

Aquiles: Oh, ¡Ud. y sus constantes rumores acerca del caos! No quiero saber nada de eso, gracias.

Tortuga: ¿Cree Ud. que TODO número par puede ser representado de algún modo como la diferencia de dos primos impares?

Aquiles: La respuesta ciertamente parecería ser sí, de acuerdo a mi tabla. O bien, supongo que también podría ser no. Realmente esto no nos lleva muy lejos, ¿o sí?

Tortuga: Con los debidos respetos, yo diría que se puede obtener una comprensión más profunda del asunto.

Aquiles: Qué curioso lo similar que es este problema al original de Goldbach. Quizás debería ser llamado una “Variación Goldbach”.

Tortuga: Por cierto. Pero Ud. sabe, existe una diferencia impresionante entre la Conjetura Goldbach y esta Variación Goldbach, acerca de la cual me gustaría hablarle. Digamos que un número par 2N tiene la “propiedad Goldbach” si es la SUMA de dos primos impares, y que tiene la “propiedad Tortuga” si es la DIFERENCIA de dos primos impares.

Aquiles: Creo que debería Ud. llamarla “propiedad Aquiles”. Después de todo, yo sugerí el problema.

Tortuga: Justamente estaba por proponer que deberíamos decir que un número que CARECE de la propiedad Tortuga tiene la “propiedad Aquiles”.

Tortuga: Ahora considere, por ejemplo, si acaso 1 billón tiene la propiedad Goldbach o la propiedad Tortuga. Por supuesto, puede tener las dos.

Aquiles: Puedo considerarlo, pero dudo que pueda darle una respuesta a una u otra pregunta.

Tortuga: No se dé por vencido tan pronto. Suponga que le pidiera que respondiera una o la otra pregunta. ¿Cuál tomaría para trabajar en ella?

Tortuga: ¡Ajá! ¡Pero hay un mundo de diferencia! Si Ud. toma la propiedad Goldbach, que comprende SUMAS de primos, entonces está limitado a usar primos que están confinados entre 2 y 1 billón, ¿correcto?

Tortuga: De modo que su búsqueda de una representación de 1 billón como una suma de dos primos tiene la GARANTÍA DE FINALIZAR.

Aquiles: ¡Ahhh! Ya veo a qué se refiere. Mientras que si elijo trabajar en representar 1 billón como la DIFERENCIA de dos primos, no tendría ningún límite para el tamaño de los primos involucrados. Podrían ser tan grandes que me tomaría un billón de años encontrarlos.

Tortuga: O bien, ¡podrían ni siquiera EXISTIR! Después de todo, eso era lo que planteaba la pregunta ¿existen tales primos? No era de mucha importancia saber cuán grandes podían resultar ser.

Aquiles: Tiene razón. Si es que no existieran, entonces el proceso de búsqueda continuaría por siempre, sin responder nunca sí, y sin responder nunca no. Y, no obstante, la respuesta sería no.

Tortuga: De modo que si Ud. tiene algún número, y desea verificar si acaso tiene la propiedad Goldbach o la propiedad Tortuga, la diferencia entre las dos verificaciones será ésta: en la primera, la búsqueda implicada cuenta con la GARANTÍA DE FINALIZAR; en la segunda, es POTENCIALMENTE INACABABLE, no hay garantías de ningún tipo. Podría continuar apaciblemente por siempre, sin producir una respuesta. Y, sin embargo, por otra parte, en algunos casos podría terminar en el primer paso.

Aquiles: Veo que hay una vasta diferencia entre las propiedades Goldbach y Tortuga.

Tortuga: Sí, aquellos dos problemas similares se relacionan con estas dos propiedades tan notablemente diferentes. La Conjetura Goldbach supone que todos los números pares tienen la propiedad Goldbach; la Variación Goldbach sugiere que todos los números pares tienen la propiedad Tortuga. Ambos problemas no están resueltos, pero lo más interesante es que, aun cuando suenan parecidos, implican propiedades de los números enteros que son totalmente diferentes.

Aquiles: Ya veo a qué se refiere. La propiedad Goldbach es una propiedad detectable o reconocible de cualquier número par, ya que sé cómo verificar su presencia, simplemente embarcarse en una búsqueda. Automáticamente llegará a su fin con una respuesta sí o una respuesta no. La propiedad Tortuga, sin embargo, es más elusiva, ya que una búsqueda a fuerza bruta puede simplemente no dar nunca una respuesta.

Tortuga: Bueno, puede haber maneras más astutas de buscar en el caso de la propiedad Tortuga, y quizá siguiendo una de ellas llegaría siempre a un final, y produciría una respuesta.

Aquiles: ¿No era que la búsqueda sólo podía terminar si la respuesta era sí?

Tortuga: No necesariamente. Podría haber otra manera de probar que siempre que la búsqueda demore más que un cierto lapso de tiempo, entonces la respuesta debe ser no. Podría incluso haber alguna OTRA manera de buscar primos, que no fuese la fuerza bruta, la cual garantizara encontrarlos si existen, y decirnos en caso de que no existan. Pero no sé si una cosa así puede ser demostrada o no. Buscar a través de espacios infinitos es siempre un asunto truculento, Ud. sabe.

Aquiles: De modo que como están las cosas ahora, Ud. no sabe de ninguna verificación para la propiedad Tortuga dotada de la garantía de finalizar y, sin embargo, PODRÍA existir una búsqueda así.

Tortuga: Correcto. Supongo que uno se podría embarcar en una búsqueda de tal búsqueda, pero tampoco puedo dar ninguna garantía de que esa “metabúsqueda” finalice.

Aquiles: Sabe Ud., me parece muy peculiar que si algún número par —por ejemplo, un billón— carece de la propiedad Tortuga, es a causa de un número infinito de piezas separadas de información. Es divertido pensar en envolver toda esa información en un solo atado, y llamarlo, como tan gentilmente ha sugerido Ud., “la propiedad Aquiles” de 1 billón. Es realmente una propiedad del sistema de los números como un TODO, no solamente del número 1 billón.

Tortuga: Interesante observación, Aquiles, pero sin embargo sostengo que tiene muchísimo sentido ligar este hecho al número un billón. Con el propósito de ilustrarlo, permítame sugerirle que considere la afirmación más simple “29 es primo”. Ahora bien, de hecho, esta afirmación realmente significa que 2 veces 2 no es 29, y que 5 veces 6 no es 29, y así sucesivamente, ¿o no?

Tortuga: ¿Pero Ud. se siente completamente satisfecho tras reunir todos aquellos hechos, y ligarlos en un atado al número 29, diciendo simplemente, “29 es primo”?

Tortuga: Y el número de hechos implicados es realmente infinito, ¿o no? Después de todo, hechos tales como “4444 veces 3333 no es 29” son todos parte de ello, ¿o no?

Aquiles: Estrictamente hablando, supongo que sí. Pero Ud. y yo sabemos que no se puede producir 29 multiplicando dos números que son ambos más grandes que 29. De modo que en realidad, decir “29 es primo” es sólo resumir un número FINITO de hechos acerca de la multiplicación.

Tortuga: Puede Ud. ponerlo de esa manera si lo desea, pero piense en esto: el hecho de que dos números que son más grandes que 29 no puedan tener un producto igual a 29 implica la estructura entera del sistema numérico. En ese sentido, ese hecho en sí mismo es un resumen de un número infinito de hechos. Ud. no puede escapar al hecho, Aquiles, de que cuando Ud. dice “29 es primo”, en realidad está afirmando un número infinito de cosas.

Aquiles: Puede que sea así, pero a mí me da la sensación de que se trata sólo de un hecho.

Tortuga: Eso sucede, porque una infinitud de hechos están contenidos en su conocimiento anterior, ellos están envueltos implícitamente en la forma en que Ud. visualiza las cosas. Ud. no ve un infinito explícito, porque éste esta implícitamente capturado dentro de las imágenes que Ud. manipula.

Aquiles: Supongo que tiene Ud. razón. Aun así, me parece raro amontonar una propiedad del sistema numérico entero dentro de una unidad, y rotular a esa unidad como “primidad de 29”.

Tortuga: Quizá parezca raro, pero es también una manera muy conveniente de mirar las cosas. Ahora bien, volvamos a su idea hipotética. Si, como Ud. sugirió, el número 1 billón tiene la propiedad Aquiles, entonces no importa qué primo le sume, no obtendrá otro primo. Tal situación sería causada por un número infinito de “eventos” matemáticos separados. Ahora bien, ¿todos estos “eventos” necesariamente emanan de la misma fuente? Porque si no es así, entonces alguna clase de “coincidencia infinita” ha creado el hecho, y no una regularidad subyacente.

Aquiles: ¿Una “coincidencia infinita”? Entre los números naturales, NADA es coincidencia, nada sucede sin que exista algún patrón subyacente. Tome el 7, en lugar de un billón. Puedo trabajar más fácilmente con él, porque es más pequeño. 7 tiene la propiedad Aquiles.

Y si le suma cualquier otro primo a 7, está Ud. sumando dos números impares, lo que resulta en un número par, así que nuevamente falla en obtener un primo. De modo que aquí la “aquileanidad” de 7, para acuñar un término, es una consecuencia de sólo DOS razones: lo cual está lejos de ser cualquier “coincidencia infinita”. Esto simplemente viene a apoyar mi afirmación: nunca se requiere un número infinito de razones para dar cuenta de alguna verdad aritmética. Si es que HUBIERA un hecho aritmético que fuera causado por un conjunto infinito de coincidencias no relacionadas, entonces Ud. nunca podría dar con una demostración finita para esa verdad. Y eso es ridículo.

Aquiles: ¿Realmente hay quienes no estén de acuerdo con este punto de vista? Dicha gente tiene que creer que existen “coincidencias infinitas”, que existe el caos en medio de la más perfecta, armoniosa, y bella de todas las creaciones: el sistema de los números naturales.

Tortuga: Quizá crean eso; ¿pero ha considerado Ud. alguna vez que tal caos podría ser una parte integral de la belleza y la armonía?

Aquiles: ¿El caos parte de la perfección? ¿El orden y el caos formando una unidad placentera? ¡Herejía!

Tortuga: Es sabido que su artista favorito, M. C. Escher, sugirió tal herético punto de vista en uno de sus cuadros… Y ya que estamos en el tema del caos, creo que Ud. puede estar interesado en oír acerca de dos categorías diferentes de búsqueda, las cuales están ambas dotadas de la garantía de finalizar.

Tortuga: El primer tipo de búsqueda —el tipo no caótico— es ejemplificado por la verificación requerida por la propiedad Goldbach. Ud. simplemente considera los primos menores que 2N, y si algún par suma 2N, entonces 2N tiene la propiedad Goldbach; de otro modo, no. Esta clase de verificación no sólo es seguro que finaliza, sino que también puede predecir Ud. CUÁNDO finalizará.

Aquiles: De modo que es una verificación de FINALIZACIÓN PREDICTIBLE. ¿Me va a decir Ud. que la comprobación de algunas propiedades teórico-numéricas implica verificaciones dotadas de garantía de finalizar, pero acerca de las cuales no hay manera de saber por anticipado cuánto tiempo requerirán?

Tortuga: Qué profético, Aquiles. Y la existencia de tales verificaciones muestra que hay un caos intrínseco, en cierto sentido, en el sistema de los números naturales.

Aquiles: Bueno, en ese caso, tendría que decir que la gente simplemente no sabe lo suficiente acerca de la verificación. Si investigaran un poquito más podrían determinar cuánto tiempo requerirá, a lo más, hasta terminar. Después de todo, siempre debe haber algún sentido en los patrones dentro de los enteros. ¡No puede haber simplemente patrones caóticos que desafíen la predicción!

Tortuga: Puedo comprender su fe intuitiva, Aquiles. Sin embargo, no siempre se justifica. Por supuesto, en muchos casos ciertamente tiene Ud. razón, ¡sólo porque alguien no conoce algo, uno no puede concluir que es incognoscible! Pero hay ciertas propiedades de los enteros para las cuales se puede probar que existen verificaciones finitas y, sin embargo, acerca de las cuales también se puede probar que no hay manera de predecir por anticipado cuánto tiempo requerirán.

FIGURA 71. Orden y caos, de M. C. Escher (litografía, 1950).

Aquiles: Me resulta difícil creer eso. ¡Suena como si el diablo mismo se las hubiera arreglado para infiltrarse subrepticiamente y meter su cola en el bello reino de Dios de los números naturales!

Tortuga: Quizá le consuele saber que de ningún modo es fácil, o natural, definir una propiedad para la cual haya una verificación finita, pero de finalización no PREDICTIBLE. La mayoría de las propiedades “naturales" de los enteros sí admiten verificaciones de finalización predictible. Por ejemplo, la primidad, la calidad de cuadrado, la de ser potencia de diez, etc.

Aquiles: Sí, puedo ver que esas propiedades están completamente abiertas a ser verificadas directamente. ¿Me podría decir una propiedad para la cual la única verificación posible sea una finita, pero impredictible?

Tortuga: Eso es demasiado complicado para mí en el somnoliento estado en que me encuentro. Permítame en su lugar, mostrarle una propiedad que es muy fácil de definir y, sin embargo, para la cual no se conoce ninguna verificación finita. Fíjese, no estoy diciendo que nunca será descubierta una, sólo que no se conoce ninguna. Ud. empieza con un número. ¿Querría Ud. escoger uno?

Tortuga: Una excelente elección. Empezamos con su número, y si es IMPAR, lo triplicamos, y le sumamos 1. Si es PAR, tomaremos la mitad. Luego repetimos el proceso. Llamemos a un número que de esta manera eventualmente llegue a 1, un número MARAVILLOSO, y a un número que no llegue, un número INMARAVILLOSO.

¡Guau! Qué viaje más lleno de rodeos para llegar de 15 a 1. Pero finalmente lo logré. Esto muestra que 15 tiene la propiedad de ser maravilloso. Me pregunto qué números son INmaravillosos…

Tortuga: ¿Se fijó Ud. cómo los números oscilan para arriba y para abajo en este proceso de definición tan simple?

Aquiles: Sí. Me sorprendió particularmente el encontrarme, tras trece pasos, en 16, apenas uno más que el 15, el número con que partí. En un cierto sentido, estaba casi de vuelta en el punto de partida, sin embargo, en otro sentido, no estaba nada de cerca de donde había partido. También encontré curioso que tuviera que subir hasta 160 para resolver el problema. Me pregunto por qué.

Tortuga: Sí, hay un “cielo” infinito en el cual puede Ud. planear, y es muy difícil saber por anticipado cuán alto ascenderá Ud. planeando en dicho cielo. Por cierto, es perfectamente posible que Ud. pudiera ascender planeando más y más alto, y nunca bajar.

Aquiles: ¿Realmente? Supongo que es concebible, ¡pero qué extraña coincidencia requeriría! Tendría que dar con un número impar tras otro, con sólo unos pocos pares mezclados entremedio. Dudo que eso pudiera ocurrir alguna vez, pero no puedo estar seguro.

Tortuga: ¿Por qué no intenta partir con 27? Nótese, no le prometo nada. Pero inténtelo alguna vez como entretención. Y le aconsejaría que tuviera a mano una hoja de papel bastante larga.

Aquiles: Hmm… Suena interesante. Sabe Ud., todavía me parece divertido asociar la maravillosidad (o inmaravillosidad) con el número de partida, cuando es obviamente una propiedad del sistema numérico entero.

Tortuga: Comprendo lo que quiere decir, pero no es tan diferente a decir “29 es primo”, o “el oro es valioso”, ambas afirmaciones atribuyen a una entidad individual una propiedad que sólo tiene en virtud de estar incrustada en un contexto específico.

Aquiles: Supongo que tiene Ud. razón. Este problema de la “maravillosidad” es maravillosamente truculento, debido a la manera en que oscilan los números —ora creciendo, ora decreciendo. El patrón DEBE ser regular, sin embargo, en la superficie parece ser completamente caótico. Por eso me puedo imaginar perfectamente bien por qué, hasta ahora, nadie sabe de una verificación para la propiedad de maravillosidad dotada de la garantía de finalizar.

Tortuga: Hablando de procesos finitos e infinitos, y de aquellos que revolotean suspendidos entremedio, me recuerda a un amigo mío, un autor, que está trabajando en un libro.

Tortuga: Cobre, Plata, Oro: una Indestructible y Metálica Aleación. ¿No le suena atractivo?

Aquiles: Francamente, ese título me confunde un poco. Después de todo, ¿qué tienen que ver el Cobre, la Plata y el Oro entre sí?

Aquiles: Ahora bien, si el título fuera, digamos, Gorilas, Plata, Oro, o Cobre, Elefantes, Oro; bueno, podría entenderlo…

Aquiles: ¡Oh, claro! Pero ese título tan original está condenado al fracaso. Nadie lo entendería.

Tortuga: Se lo diré a mi amigo. Estará encantado de tener un título efectista (como también lo estará su editor).

Aquiles: Me alegro. ¿Pero cómo fue que nuestra discusión le recordó ese libro?

Tortuga: Ah, sí. Vea, en su libro habrá un Diálogo en el cual él desea desafiar a sus lectores haciéndolos BUSCAR el final.

Tortuga: Sin duda, habrá notado Ud. como algunos autores se hacen tantos problemas para crear una gran tensión unas pocas páginas antes del final de sus historias, pero un lector que está sosteniendo físicamente el libro entre sus manos puede PALPAR que la historia está por terminar. Luego, él tiene cierta información adicional que actúa como una advertencia anticipada, en cierto sentido. La tensión es un tanto estropeada por la fisicalidad del libro. Sería tanto mejor si, por ejemplo, hubiera un montón de relleno al final de las novelas.

Tortuga: Sí; lo que quiero decir, es un montón de hojas impresas adicionales que no formen parte de la historia para ocultar la localización exacta del final, tal como lo permite una ojeada por encima, o el palpar el libro.

Aquiles: Ya veo. ¿De este modo, el verdadero final de una historia podría ocurrir, digamos, cincuenta o cien páginas antes que el final físico del libro?

Tortuga: Sí. Esto proveería un elemento de sorpresa, porque el lector no sabría por anticipado cuántas páginas son relleno, y cuántas son historia.

Aquiles: Si esto fuera una práctica común, podría ser muy efectivo. Pero existe un problema. Suponga que su relleno fuera demasiado obvio, tal como un lote de páginas en blanco, o cubiertas de X o letras al azar. Entonces, sería lo mismo que si no las tuviera.

Tortuga: De acuerdo. Ud. tendría que hacer que semejara hojas impresas normales.

Aquiles: Pero incluso una ojeada por encima a una página normal de una historia cualquiera sería generalmente suficiente como para distinguirla de otra historia. De modo que Ud. tendría que hacer que el relleno se asemeje mucho a la historia genuina.

Tortuga: Por cierto. La manera en que siempre lo he visualizado es ésta: Ud. lleva la historia a su final; entonces, sin ninguna interrupción, la prosigue con algo que se ve como una continuación, pero que en realidad es sólo relleno, el cual no tiene ninguna relación con el verdadero tema. El relleno es, en cierto modo, un “final post-finaP’. Puede contener extrañas ideas literarias que tienen poco que ver con el tema original.

Aquiles: ¡Sinvergüenza! Pero entonces el problema es que Ud. no será capaz de decir cuándo se produce el verdadero final. Simplemente se unirá mezclándose con el relleno.

Tortuga: Ésa es la conclusión a la que también llegamos mi amigo autor y yo. Es una lástima, pues encuentro la idea muy atractiva.

Aquiles: Oiga, tengo una sugerencia. La transición entre la historia genuina y el material de relleno podría ser hecha de tal manera que, mediante una inspección lo suficientemente cuidadosa del texto, un lector inteligente sea capaz de detectar cuándo se acaba una y empieza la otra. Quizá le tomará un buen rato. Quizá no habrá manera de predecir cuánto tiempo tomará… Pero el editor podría garantizar que una búsqueda lo suficientemente cuidadosa del verdadero final siempre tendrá fin, aun cuando él mismo no pueda decir cuánto tiempo pasará antes de que la verificación finalice.

Aquiles: Significa que el lector debe estar atento a la aparición de algún pequeño, pero revelador rasgo en algún punto del texto. Éste señalaría el final. Y debe ser lo suficientemente ingenioso como para buscar y considerar muchos de esos rasgos antes de hallar el correcto.

Tortuga: ¿Tal como un repentino cambio en la frecuencia de las letras o en la longitud de las palabras? ¿O una seguidilla de errores gramaticales?

Aquiles: Posiblemente. O alguna clase de mensaje oculto podría revelarle el verdadero final a un lector lo suficientemente cuidadoso. ¿Quién sabe? Uno incluso podría incorporar algunos personajes o eventos extraños que sean inconsistentes con el espíritu de la historia precedente. Un lector ingenuo se lo tragaría todo, mientras que un lector sofisticado sería capaz de trazar exactamente la línea divisoria.

Tortuga: Ésa es una idea muy original, Aquiles. Se la transmitiré a mi amigo, y quizá pueda incorporarla en su Diálogo.

Tortuga: Bueno, temo que me estoy empezando a quedar dormido, Aquiles. Es mejor que me vaya, mientras aún estoy en condiciones de encontrar el rumbo hasta mi casa.

Aquiles: Me siento muy halagado de que se haya quedado tanto rato, y a horas tan inusuales de la noche, sólo por mi bien. Le aseguro que su entretenimiento teórico-numérico ha sido un antídoto perfecto para mi agitación y mi darme vueltas acostumbrado. Y quién sabe, quizá puede que incluso sea capaz de quedarme dormido esta noche. Como muestra de gratitud, Sr. T., me gustaría obsequiarle un regalo especial.

Aquiles: Es un placer, Sr. T. Vaya hasta ese armario; encima de él verá una caja asiática.

Aquiles: La misma. Acéptela, por favor, Sr. T., con mis más cálidos cumplidos.

Tortuga: Muchas gracias, Aquiles, de veras. Hmm… ¿Por qué están grabados los nombres de todos estos matemáticos en la tapa? Que lista más curiosa:

D e M o r g a n

A b e l

B o o l e

B r o u w e r

S i e r p i n s k i

W e i e r s t r a s s

Aquiles: Se supone que se trata de una Lista Completa de Todos los Grandes Matemáticos. Lo que no he podido descubrir es por qué las letras que forman la diagonal están destacadas.

Tortuga: Abajo dice, “Sustraer 1 de la diagonal para encontrar a Bach en Leipzig”.

Aquiles: Ya lo vi, pero no le hallo pies ni cabeza. Oiga, ¿qué le parece un trago de un excelente whisky para decantar el problema? Tengo un poco en esa botella sobre mi armario.

Tortuga: No gracias. Estoy demasiado cansado. Me voy a ir a mi casa. (Casualmente, abre la caja.) Oiga, espere un momento, Aquiles, ¡hay un centenar de Louis d’or aquí adentro!

Aquiles: Nada de objeciones ahora. La caja, el oro, son suyos. ¡Y gracias por una velada sin igual!

Tortuga: Qué buen anfitrión es Ud., Aquiles. Le agradezco mucho su excesiva generosidad, y espero que tenga dulces sueños acerca de la extraña Conjetura Goldbach y su Variación. Buenas noches.

(Recoge la caja asiática de oro, repleta con el centenar de Louis d’or, y camina hacia la puerta. Cuando está a punto de irse, se oye que tocan a la puerta.)

¿Quién puede estar tocando a esta hora tan inoportuna, Aquiles? Aquiles: No tengo la menor idea. Me parece muy sospechoso. Por qué no se esconde detrás del armario, por si acaso se tratara de algún asunto escabroso.

Policía: Yo soy Cobreros. Éste es Plateros. Y esto es Oropel. (Señala su insignia.) ¿Hay algún Aquiles en esta dirección?

Policía: Bueno, Aquiles, tenemos razones para creer que hay una caja asiática de oro, repleta con un centenar de Louis d’or, escondida aquí. Alguien la sustrajo del museo esta tarde.

Policía: De encontrarse aquí, Aquiles, lamento tener que decirle que al ser Ud. el único sospechoso posible, tendría que llevarle preso. Ahora bien, tengo aquí una orden de allanamiento que garantiza que la búsqueda es…

Aquiles: ¡Oh, caballeros, me alegro tanto de que hayan llegado! Durante toda la noche, he estado siendo aterrorizado por el Sr. Tortuga y sus conjeturas con variaciones diversas acerca del origen de la caja de oro asiático. ¡Por fin han venido Uds. a liberarme! Por favor, caballeros, den un vistazo detrás del armario y allí encontrarán al culpable que ha querido meterles un gol bajo sus propias narices.

(Los policías miran detrás del armario y descubren allí a la Tortuga acurrucada, sosteniendo su caja de oro asiático, y temblando.)

Policía: ¡Ahí está! De modo que el Sr. Tortuga es el granuja, ¿eh? Nunca hubiera sospechado de ÉL. ¡Pero lo pillamos con las manos en la masa!

Aquiles: ¡Llévense a ese villano de aquí, amables caballeros! ¡Por suerte, ésta será la última vez que tenga que oír acerca de él, de la caja de oro asiático, y de sus Conjeturas con Variaciones Diversas con las que ha querido meternos un Gol Baj’ nuestras propias narices!

Aria con variaciones diversas