CAPÍTULO XV

Brincos fuera del sistema

Un sistema formal más poderoso

UNA DE LAS COSAS que podría hacer un crítico cauteloso de la demostración de Gödel sería examinar su generalidad. Tal crítico podría, por ejemplo, sospechar que Gödel no ha hecho sino aprovecharse sagazmente de un defecto escondido de un sistema formal específico, TNT. Si así fuera, quizá podría desarrollarse un sistema formal superior a TNT, el cual evadiría el ardid gödeliano, y el Teorema de Gödel, entonces, vería debilitada la eficacia de su aguijón. En este capítulo vamos a analizar cuidadosamente las propiedades de TNT que lo hacen vulnerable a las argumentaciones expuestas en el capítulo anterior.

La siguiente es una reflexión normal: si el problema básico de TNT es que contiene un “agujero” —en otras palabras, una oración que es indecidible, a saber, G— entonces, ¿por qué, simplemente, no obturar el agujero? ¿Por qué no añadir G a TNT como sexto axioma? Ciertamente, en comparación con el resto de los axiomas, G es de un gigantismo ridículamente descomunal; el sistema resultante, TNT+G, tendría un aspecto sumamente cómico a causa de lo desproporcionado de sus axiomas. Sea como fuere, el agregado de G es una sugerencia razonable; démoslo por hecho. Ahora bien, es de esperar que el nuevo sistema, TNT+G, sea un sistema formal superior: un sistema no solamente exento de sobrenaturales, sino también completo. Con seguridad, TNT+G es superior a TNT por lo menos en un aspecto: la cadena G ya no es indecidible en este nuevo sistema, puesto que es un teorema.

¿A qué se debía la vulnerabilidad de TNT? En esencia, a su capacidad de expresar enunciados acerca de sí mismo; en particular, el enunciado:

“No puedo ser demostrado en el sistema formal TNT”.

O bien, expandiendo un poco el anterior:

“No existe un número natural que forme un par de prueba TNT con el número Gödel de esta cadena”.

¿Hay algún motivo para confiar o esperar que TNT+G sea invulnerable a la demostración de Gödel? No, por cierto; nuestro nuevo sistema es sólo tan expresivo como TNT. Como la prueba de Gödel se atiene primariamente al poder expresivo de un sistema formal, no debemos sorprendernos si vemos que también nuestro nuevo sistema sucumbe. El truco consistirá en encontrar una cadena que exprese el enunciado:

“No puedo ser demostrada en el sistema formal TNT+G”.

En realidad, no tiene mucho de truco, en la medida en que lo hemos visto hacer en TNT; se emplean exactamente los mismos principios, y lo único que cambia en forma leve es el contexto (hablando figurativamente, es como volver a entonar una melodía que conocemos, nada más que en una tonalidad más alta). Como antes, la cadena que estamos buscando —llamémosla “G”— es construida con la intermediación de un “tío”, pero en lugar de basarse en la fórmula que representa los pares de prueba TNT, lo hará en la noción similar pero un tanto más complicada de pares de prueba TNT+G. Esta noción de pares de prueba TNT+G no es más que una ligera extensión de la noción inicial de pares de prueba TNT.

Se puede intentar una extensión similar con respecto al sistema MIU. Ya hemos visto la forma genuina de los pares de prueba MIU; si ahora agregáramos MU como segundo axioma, estaríamos operando con un nuevo sistema MIU+MU. Sigue una derivación de este sistema extendido:

En correspondencia, hay un par de prueba MIU+MU, a saber, m=30 300; n=300. Este par de números no forma, por supuesto, un par de prueba MIU, sino tan sólo un par de prueba MIU+MU. La incorporación de un axioma adicional no complica sustancialmente las propiedades aritméticas de los pares de prueba. El hecho importante respecto a éstos —consistente en que ser un par de prueba es recursivamente primitivo— se mantiene.

Reutilización del método de Gödel

Si volvemos ahora a TNT+G, encontraremos una situación similar. Los pares de prueba TNT+G, lo mismo que sus predecesores, son primitivos recursivos, de modo que están representados dentro de TNT+G por una fórmula, la cual abreviaremos de una manera obvia:

PAR DE PRUEBA (TNT + G){a,a′}

Y en adelante nos limitamos a rehacer los mismos pasos. Elaboramos el equivalente de G comenzando con un “tío”, igual que antes:

~∃a:∃a′:<PAR DE PRUEBA (TNT+G){a,a′}∧ARITMOQUINEREAR{a″,a′}>

Diremos que su número Gödel es u′ Ahora, aritmoquinereamos a este mismo tío, lo cual nos dará G′:

Su interpretación es:

“No existe un número a que forme un par de prueba TNT+G con la aritmoquinificación de u′”.

Más concisamente:

“No puedo ser demostrada en el sistema formal TNT+G”.

Multifurcación

Bien (bostezo), los detalles son muy aburridos de aquí en adelante. G′ es exactamente a TNT+G lo que G era a TNT. Se descubre que, o bien G′, o bien ~G′, pueden ser agregados a TNT+G, para producir nuevas ramificaciones de la teoría de los números. Y, para que no se piense que esto sucede sólo con los “buenos compañeros”, hago notar que este mismo solapado truco puede ejercitarse en TNT+~G, es decir, en la extensión inhabitual de TNT obtenida gracias al agregado de la negación de G. Como podemos ver en la figura 75, hay toda clase de bifurcaciones en teoría de los números.

Por supuesto, esto es nada más que el comienzo. Imaginemos que bajamos por el brazo izquierdo de este árbol que crece hacia abajo, que es donde lanzamos siempre las oraciones Gödel (no sus negaciones). Esto es lo máximo que podemos conseguir por la vía de la eliminación de los sobrenaturales. Después de agregar G, agregamos G′; y luego G′′, G′′′, y así en más. Cada vez que elaboramos una nueva extensión de TNT, su vulnerabilidad al método de la Tortuga —perdón, al método de Gödel, quiero decir— permite idear una nueva cadena, a la cual cabe la interpretación:

“No puedo ser demostrada en el Sistema Formal X.”

Naturalmente, transcurrido cierto lapso, todo el proceso comienza a parecer enteramente predictible y rutinario: ¡como que todos los “agujeros” están hechos siguiendo la misma técnica! Esto significa que, vistos como objetos tipográficos, todos ellos están vaciados en un mismo molde, lo cual, a su vez, ¡implica que hasta un solo esquema de axioma para representarlos en su totalidad! De manera que, si esto es así, ¿por qué no taponar al mismo tiempo los agujeros y dar entonces por liquidado este odioso asunto de la incompletitud de una vez por todas? Ello se obtendrías mediante el agregado de un esquema de axioma a TNT, en lugar de agregar un axioma por vez. Específicamente, este esquema de axioma sería el molde en el cual son vaciados G, G′, G′′, G′′′, etc. Agregando este esquema de axioma (llamémoslo “G_ω”), aventajaríamos en astucia al método de la “gödelización”. Por cierto, parece indiscutible que la adición de G_ω a TNT sería el último paso necesario para la completa axiomatización de todas las verdades teórico-numéricas.

Fue a propósito de esta cuestión que la Tortuga, en el Contracrostipunctus, se refirió a la invención del “Fonógrafo Omega” por parte del Cangrejo. Lamentablemente, los lectores fueron dejados en suspenso en cuanto al destino corrido por el invento, ya que, antes de completar su narración, la fatigada Tortuga resolvió marcharse a su casa a dormir (no sin lanzar, previamente, una socarrona alusión al Teorema de la Incompletitud, de Gödel). Ahora, por fin, podemos emprender el esclarecimiento de aquel detalle pendiente… quizá el lector ya cuenta con algún indicio, luego de haber leído la Cantatatata de Cumpleaños.

Incompletitud esencial

Tal como el lector probablemente haya sospechado, inclusive esta fantástica modificación de TNT sufre el mismo destino. Y lo que hace de esto algo sumamente misterioso es que se produce, en esencia, por la misma razón. El esquema de axioma no es suficientemente poderoso, y la construcción Gödel puede ejecutarse también aquí. Voy a analizar esto un poco (se lo puede hacer mucho más rigurosamente de lo que yo lo haré aquí). Si hay un medio de capturar las diversas cadenas, G, G′, G′′, G′′′… en un único molde tipográfico, entonces hay un medio de describir sus números Gödel a través de un único molde aritmético. Y este retrato aritmético de una clase infinita de números puede, luego, ser representado dentro de TNT+G_ω por una fórmula AXIOMA OMEGA{a}, cuya interpretación sea: “a es el número Gödel de uno de los axiomas que resultan de G_ω. Cuando es reemplazada por cualquier numeral específico, la fórmula que surge será un teorema de TNT+G_ω si, y sólo si, el numeral representa el número Gödel de un axioma resultante del esquema.

Con la ayuda de esta nueva fórmula, llegará a ser posible la representación hasta de una noción tan complicada como la de pares de prueba TNT+G_ω en el interior de TNT+G_ω:

PAR DE PRUEBA (TNT+G_ω){a,a′}

Utilizando esta fórmula, podemos construir un nuevo tío, al cual procederemos a aritmoquinerear en la forma que ya tan bien conocemos, elaborando así otra cadena indecidible más, a la que llamaremos “TNT+G_ω+1”. En este punto, uno puede preguntarse: “¿Por qué G_ω+1 no está dentro de los axiomas creados por el esquema de axioma G_ω?”. La respuesta es que G_ω no fue lo suficientemente sagaz como para prever su propia incorporabilidad a la teoría de los números.

En el Contracrostipunctus, uno de los pasos esenciales dados por la Tortuga en su elaboración de un “disco inejecutable” consistió en obtener el diseño de fabricación del fonógrafo que ella quería destruir. Ello le era necesario para descubrir a qué tipo de vibraciones era vulnerable el aparato, e incorporar entonces a su disco estrías tales que codificaran sonidos inductores de dichas vibraciones. Esto guarda una analogía exacta con el ardid Gödel, en el cual las mismas propiedades del sistema son reflejadas dentro de la noción de pares de prueba y luego utilizadas contra él. A cualquier sistema, por más complejo o artificioso que fuere, se le puede asignar numeración Gödel y, en consecuencia, puede ser definida la noción de sus pares de prueba… y ésta es la red en la cual es cogido. Una vez que un sistema ha sido bien definido, o “encajonado”, se convierte en vulnerable.

Este principio es magníficamente ilustrado por el truco de la diagonal de Cantor, el cual descubre la omisión de un número real en toda lista bien definida de reales entre 0 y 1. Es el acto de dar una lista explícita, o “cajón” de reales, lo que provoca la ruina. Veamos cómo puede ser repetido una y otra vez el truco de Cantor; consideremos lo que ocurre si, comenzando con una lista L, hacemos lo siguiente:

Pero este proceso paso a paso puede parecer un estúpido modo de remendar L, pues podríamos haber hecho la lista completa d, d′, d′′, d′′′… de una sola vez, dada L inicialmente. Pero si creemos que la elaboración de tal lista permitirá completar nuestra lista de reales, estamos rotundamente equivocados. El problema aparece en el instante en que preguntamos: “¿Dónde incorporamos la lista de números diagonales dentro de L?”. Por muy diabólicamente sagaz que sea el esquema que se invente para ubicar los números d dentro de L, una vez logrado esto último la nueva lista sigue siendo vulnerable. Como se dijo antes: es el acto de dar una lista explícita, o “cajón” de reales, lo que provoca la ruina.

Y, en el caso de los sistemas formales, es el acto de dar una receta explícita de lo que supuestamente caracteriza la verdad teórico-numérica el causante de la incompletitud. Éste es el meollo del problema de TNT+G_ω. Luego de insertadas todas las G, de una manera bien definida, dentro de TNT, resulta que hay alguna otra G —una G no prevista— que no ha sido capturada por nuestro esquema de axioma. En el caso de la batalla TC del Contracrostipunctus, el momento en que se determina la “arquitectura” de un fonógrafo es el momento en que este fonógrafo adquiere la posibilidad de ser sacudido hasta hacerse pedazos.

¿Qué se hace, pues? No hay un final de esto a la vista. Está claro que TNT, aun cuando fuese extendido ad infinitum, no se convertiría en completo. Se dice, en consecuencia, que TNT padece de incompletitud esencial porque la incompletitud es la médula misma de TNT: es una parte esencial de su naturaleza y no puede ser suprimida por ningún medio, ni ingenuo ni alambicado. Más aún, este problema habrá de rondar toda versión formal de teoría de los números, sea una extensión de TNT, una modificación de TNT, o una alternativa a TNT. El hecho básico es éste: la posibilidad de construir una cadena indecidible, en un sistema dado, por vía del método de Gödel de la autorreferencia, depende de tres condiciones fundamentales:

1. Que el sistema sea lo suficientemente dotado como para que todos los enunciados requeridos acerca de números, sean verdaderos o falsos, puedan ser expresados en él. (Si hay insuficiencia en este aspecto, ello significará que el sistema, desde el comienzo mismo, es demasiado débil para rivalizar con TNT, porque ni siquiera puede expresar nociones teórico-numéricas que TNT sí puede. En la metáfora del Contracrostipunctus, es como si uno no contara con un fonógrafo sino con un refrigerador u otro objeto similar.)
2. Que todas las relaciones recursivas generales puedan ser representadas dentro del sistema, a través de fórmulas. (Si hay insuficiencia en este aspecto, ello significará que el sistema no consigue capturar, en un teorema, alguna verdad recursiva general, lo cual puede ser considerado únicamente como un conmovedor desinflamiento si el propósito del sistema era producir todas las verdades teórico-numéricas. En la metáfora del Contracrostipunctus, es como tener un fonógrafo, pero de baja fidelidad.)
3. Que los axiomas y patrones tipográficos definidos por sus reglas sean reconocibles a través de un procedimiento de decisión finalizable. (Si hay insuficiencia en este aspecto, ello significará que en el sistema no hay ningún método para distinguir las derivaciones válidas de las que no lo son, y en consecuencia ese “sistema formal”, a fin de cuentas, no es formal, y en realidad ni siquiera es bien definido. En la metáfora del Contracrostipunctus, es un fonógrafo que todavía permanece en el tablero de proyectos, diseñado solamente a medias.)

La satisfacción de estas tres condiciones asegura a todo sistema coherente que será incompleto, ya que le será aplicable la construcción de Gödel.

Lo fascinante de tales sistemas es que ellos mismos cavan sus agujeros; su propia riqueza es lo que genera su destrucción. Esta ocurre, esencialmente, porque el sistema es lo suficientemente poderoso como para contar con oraciones autorreferenciales. En física existe la noción de “masa crítica” de una sustancia fisionable, como el uranio, por ejemplo. Una sólida porción de tal sustancia se limitará a permanecer sin sobresaltos en su sitio, siempre que su masa no alcance a ser crítica; sin embargo, si es superado el punto crítico, dicha porción sufrirá una reacción en cadena y estallará. Pareciera que en los sistemas formales hay un punto crítico semejante: por debajo del mismo, un sistema es “inofensivo” y ni siquiera se propone definir formalmente la verdad aritmética, pero más allá del punto crítico, el sistema adquiere súbitamente el atributo de la autorreferencia, y como consecuencia de ello se condena a sí mismo a la incompletitud. El umbral parece coincidir, en términos generales, con la posesión de las tres propiedades enumeradas anteriormente. Una vez obtenido aquel atributo de la autorreferencia, el sistema presenta un agujero que él mismo se ha practicado; el agujero toma nota de los rasgos que caracterizan al sistema y los utiliza contra este último.

La pasión según Lucas

La desconcertante repetitividad de la argumentación Gödel ha sido empleada por diversas personas —en particular, por J. R. Lucas—, quienes se han servido de ella como munición en su batalla por mostrar que existe cierta cualidad elusiva e inefable en la inteligencia humana, la cual pasa entonces a ser algo inalcanzable por los “autómatas mecánicos”, esto es, por las computadoras. Lucas inicia su artículo “Minds, Machines, and Gödel” con estas palabras:

A mi entender, el teorema de Gödel demuestra que el Mecanicismo es falso; es decir, que la mente no puede ser explicada como una máquina.^[1]

Luego pasa a exponer una argumentación que, parafraseada, consiste en lo siguiente: para que una computadora merezca ser considerada tan inteligente como un ser humano, debe poder realizar cualquier tarea intelectual de la que sea capaz aquél; y Lucas sostiene que ninguna computadora puede hacer “gödelización” (una de sus graciosamente irreverentes expresiones) de la manera en que lo hace una persona. ¿Por qué no? Bueno, consideremos cualquier sistema formal determinado, como TNT, o TNT+G, o inclusive TNT+G_ω. Con bastante facilidad, se puede formular un programa que, en forma sistemática, habrá de generar teoremas de dicho sistema de forma tal que, a la larga, aparecerá cualquier teorema al cual se haya preseleccionado. En otros términos, el programa generador de teoremas no habrá de pasar por alto ningún sector del “espacio” de todos los teoremas. Un programa así estaría formado por dos partes principales: (1) una subrutina que acuña axiomas, a partir de los “moldes” dados por los esquemas de axioma (si los hay), y (2) una subrutina que toma los teoremas conocidos (incluidos los axiomas, por supuesto) y aplica reglas de inferencia para producir nuevos teoremas. El programa alternaría entre el procesamiento de una de estas subrutinas, primero, y luego de la otra.

Hablando antropomórficamente, podemos decir que este programa “conoce” algunos hechos pertenecientes a la teoría de los números: en particular, conoce los hechos a los cuales va dando salida impresa. Si no consigue enunciar determinado hecho verdadero de teoría de los números, es naturalmente porque no “conoce” ese hecho. En consecuencia, un programa de computadora será inferior a los seres humanos si se puede mostrar que éstos conocen lo que el programa no puede conocer. Aquí es donde Lucas comienza a meter su cuña; dice que los seres humanos siempre pueden jugarle el ardid Gödel a cualquier sistema formal tan poderoso como TNT, por lo cual, sea cual fuere el sistema formal, aquéllos saben más que éste. Ahora bien, esto puede impresionar como una observación acerca de los sistemas formales, pero también puede ser ligeramente modificada para que se convierta en un argumento aparentemente irrefutable en contra de la posibilidad de que las inteligencias artificiales puedan llegar a reproducir el nivel humano de inteligencia. Lo que sigue es el esqueleto de este desplazamiento:

Disfrutemos, junto con Lucas, de un fugaz instante de glorificación antropocéntrica:

Por más complicada que sea la máquina que construyamos, se corresponderá, si es una máquina, con un sistema formal, el cual estará expuesto, a su vez, al procedimiento Gödel de hallazgo de una fórmula indemostrable-en-tal-sistema. La máquina será incapaz de producir dicha fórmula como verdadera, en tanto que una mente puede percibir ese carácter. De este modo, la máquina seguirá sin lograr constituirse en un modelo adecuado de la mente. Estamos tratando de producir un modelo de la mente que sea mecánico: es decir, esencialmente “muerto”, pero la mente, al ser de hecho “viva”, siempre aventajará a cualquier osificado y muerto sistema formal. Gracias al teorema de Gödel, la mente tiene siempre la última palabra.^[2]

A primera vista, e inclusive, tal vez, luego de un examen atento, la argumentación de Lucas parece difícil de resistir. Por lo común, provoca reacciones polarizadas; hay quienes se adhieren a su demostración casi religiosa de la existencia del espíritu, mientras otros la toman a risa, como algo que no vale la pena comentar. A mi juicio, dicha argumentación es errónea, pero también cautivante, y por consiguiente merecedora de que se la tome en cuenta, para refutarla. En realidad, se trató de una de las principales motivaciones primeras que me condujeron a reflexionar en los temas de este libro. Trataré de rebatirla de una manera en este capítulo y de otras en el Capítulo XVII.

Debemos tratar de comprender con mayor profundidad por qué dice Lucas que la computadora no puede ser programada para que “conozca” todo lo que conocemos nosotros. Básicamente, la idea es que nosotros estamos siempre fuera del sistema y que desde allí no es siempre posible ejecutar la operación “gödelizadora”, la cual produce una cosa que el programa, desde dentro, no puede ver que es verdadera. Pero, ¿por qué el “operador de gödelización”, como lo llama Lucas, no puede ser programado, y agregado al programa como tercer componente principal? Explica Lucas:

El procedimiento mediante el cual es construida la fórmula Lucas es un procedimiento habitual: únicamente así podemos estar seguros de que se puede construir una fórmula gödeliana para todo sistema formal. No obstante, si se trata de un procedimiento estándar, debería poder programarse una máquina para que lo ejecute… Esto se correspondería con una situación donde se contase con un sistema dotado de una regla adicional de inferencia que permitiese agregar, como un teorema más, ta fórmula gödeliana del resto del sistema formal, y luego la fórmula gödeliana de este nuevo y fortalecido sistema formal, y asf siguiendo. Lo mismo sería agregar, al sistema inicial, una secuencia infinita de axiomas, cada uno de los cuales fuese la fórmula gödeliana del sistema elaborado hasta ese punto… Podemos confiar en que una mente, enfrentada a una máquina que posea un operador de gödelización, tendrá eso en cuenta y habrá de regödelizar la nueva máquina con todo y operador de gödelización. Está a la vista, en realidad, que tal es el caso. Aun si agregamos a un sistema el conjunto infinito de axiomas formado por las sucesivas fórmulas gödelianas, el sistema resultante sigue siendo incompleto, y contiene una fórmula que no puede ser demostrada-en-el-sistema, pese a que un ser racional, ubicado fuera del sistema, puede ver que la misma es verdadera. Esto es lo que esperábamos, pues inclusive en el caso de que fuese agregado un conjunto infinito de axiomas, éstos tendrían que ser especificados por una regla finita de especificación, y esta nueva regla de especificación puede entonces ser tomada en cuenta por una mente que examine el sistema formal ampliado. En cierto sentido, precisamente porque la mente tiene la última palabra es que siempre puede agujerear cualquier sistema formal que le sea presentado como modelo de su propio funcionamiento. El modelo mecánico está forzado a ser, en alguna medida, finito y definido: como consecuencia, la mente siempre puede aventajarlo.^[3]

Brincando una dimensión

En este momento, nos será sumamente útil una imagen visual ofrecida por M. C. Escher para auxiliar a nuestra intuición: su dibujo Dragón (figura 76). Su rasgo más saliente consiste, por supuesto, en su motivo: un dragón comiéndose la cola, con todas las connotaciones gödelianas que esto conlleva. Pero hay un tema más profundo en esta representación.

Escher mismo escribió los interesantísimos comentarios de más abajo; el primero se refiere a un conjunto de dibujos suyos vinculados “al conflicto entre lo plano y lo espacial”; el segundo habla específicamente de Dragón.

Esta segunda observación es verdaderamente ilustrativa. Su mensaje consiste en que, por más ingeniosamente que se pretendan simular tres dimensiones en dos, siempre se pierde determinada “esencia de la tridimensionalidad”. El dragón intenta esforzadamente sortear su bidimensionalidad. Desafía la bidimensionalidad del papel sobre el cual sabe que está dibujado, mediante el recurso de pasar su cabeza a través del mismo; sin embargo, desde fuera del dibujo, podemos ver en todo momento la patética futilidad de todo ello, pues el dragón y los agujeros y los pliegues, sin excepción, no son más que simples simulaciones bidimensionales de aquellos conceptos, y ninguno de ellos es real. El dragón no puede abandonar su espacio bidimensional, y no lo sabe del modo en que nosotros sí lo sabemos. Podríamos perfectamente aplicar una gran cantidad de nuevos pasos a esta imagen de Escher; separarla del libro, por ejemplo, doblarla, practicarle agujeros, pasarla a través de sí misma y fotografiar el revoltijo conseguido, de modo que vuelva a ser bidimensional. Podríamos luego utilizar el mismo recurso con esta fotografía. En cada oportunidad, en el momento en que la imagen vuelve a ser bidimensional —por más habilidosamente que hayamos podido simular tres dimensiones en el interior de dos—, vuelve a ser vulnerable a nuevos cortes y plegados.

Ahora, acompañados por esta admirable metáfora escheriana, retornamos al enfrentamiento programa-ser humano. Habíamos hablado de la posibilidad de encapsular al “operador de gödelización” dentro del programa mismo; bien, inclusive en el caso de que hubiéramos formulado un programa que realice la operación, ese programa no apresaría la esencia del método de Gödel. Una vez más, pues, ubicados fuera del sistema, podemos “desintegrar” éste de un modo que al sistema mismo no le es posible. Pero entonces, ¿estamos argumentando en favor o en contra de Lucas?

Los límites de los sistemas inteligentes

En contra, pues el propio hecho de que no podamos formular un programa que haga “gödelización” tiene que hacernos entrar en sospechas acerca de que nosotros mismos podemos hacerlo en todos los casos. Una cosa es declarar en abstracto que la gödelización “puede ser hecha”, y otra distinta saber cómo hacerla en cada caso particular. En realidad, en la medida en que los sistemas formales (o los programas) se hacen más complejos, nuestra capacidad de “gödelizar” llega a un punto en que comienza a tambalearse. Así debe ser, puesto que, tal como ya dijimos, no contamos con ningún procedimiento algorítmico que nos indique cómo efectuar la gödelización. Si no podemos establecer explícitamente los requerimientos inherentes a la aplicación del método de Gödel en todos los casos, como consecuencia, cada uno de nosotros se encontrará finalmente con ciertos casos tan complicados que, sencillamente, no podrá descubrir de qué modo aplicar dicho método.

Por supuesto, los límites de esta capacidad son relativamente fluctuantes, tal como los del peso que podamos levantar del piso. Mientras que, algunos días, es posible que no consigamos levantar un objeto de 70 kilos, habrá otros días en que sí podamos. Sin embargo, no habrá ningún día en que podamos alzar del suelo un objeto de 70 toneladas. En ese sentido, pese a que el umbral personal de gödelización es incierto, para cada persona existen sistemas que están ubicados mucho más allá de su capacidad gödelizadora.

Esta noción es ilustrada por la Cantatatata de cumpleaños. Al principio, parece obvio que la Tortuga puede seguir fastidiando a Aquiles todo lo que quiera. Pero luego éste trata de sumar todas las respuestas a través de un solo movimiento. Esta operación tiene un carácter distinto al de las anteriores, y recibe el nombre de ‘ω’. La novedad de la denominación es sumamente importante: es el primer ejemplo donde la nomenclatura usada hasta allí —la cual incluía únicamente los nombres de todos los números naturales— tiene que ser trascendida. Después vienen algunas extensiones más, cuyos nombres son a veces enteramente obvios, y otras veces un tanto artificiosos. Por último, volvemos a agotar las denominaciones en el sitio donde los esquemas de respuesta

ω, ω^ω, ω^ωω …

son subsumidos en su totalidad en un esquema de respuesta desmesuradamente complejo, al cual le es asignado un nombre totalmente nuevo: ‘ε₀’.

Y la razón para que hiciera falta una denominación nueva es que se había dado cierto género fundamentalmente nuevo de paso: se había topado con una especie de irregularidad. De este modo, era necesario proveer un nuevo nombre ad hoc.

No existe ninguna regla recursiva para denominar ordinales

Se podría pensar, de pronto, que tales irregularidades en la progresión que va de ordinal a ordinal (como son llamados estos nombres de infinitudes) podrían ser manejadas por un programa de computadora. O sea que podría haber un programa que produzca nuevos nombres de una manera regular y, cuando se le acaba la gasolina, apela al “manipulador de irregularidad”, el cual se encargaría de aportar un nuevo nombre y devolver el control al manipulador simple. Pero esto no funcionaría: resulta que las irregularidades, por su parte, aparecen en forma irregular y haría falta un programa de segundo orden, es decir, un programa que elabore nuevos programas que elaboren nuevos nombres. E inclusive esto no bastaría porque, a la larga, se haría necesario un programa de tercer orden, y luego otro, y luego otro…

Toda esta complejidad, de aspecto tal vez risible, proviene de un profundo teorema, obra de Alonzo Church y Stephen C. Kleene, relativo a la estructura de estos “ordinales infinitos”, el cual expresa:

No hay sistema de notación recursivamente relacionado que asigne un nombre a todo ordinal constructivo.

De qué se tratan los “sistemas de notación recursivamente relacionados” y los “ordinales constructivos” es algo para lo cual es preferible que nos remitamos a fuentes más especializadas, como por ejemplo el libro de Hartley Rogers; de todos modos, la noción intuitiva queda satisfactoriamente presentada. Cuando los ordinales se hacen más y más grandes, hay irregularidades, e irregularidades de las irregularidades, e irregularidades de las irregularidades de las irregularidades, etc. Ningún esquema individual, por más complejo que sea, puede nombrar a todos los ordinales, y de esto se sigue que no existe método algorítmico que pueda indicar cómo debe aplicarse el método de Gödel a todas las clases posibles de sistemas formales. Luego, a menos que se tengan fuertes inclinaciones místicas, se está obligado a concluir que cada ser humano, lisa y llanamente, en algún punto chocará con los limites de su propia capacidad para gödelizar. De aquí en más, los sistemas formales de esa complejidad, aún reconocidamente incompletos por causa de la razón Gödel, tendrán el mismo poder que los seres humanos.

Otras refutaciones de Lucas

Pero la anterior es exclusivamente una manera de argumentar contra la posición de Lucas; existen otras, tal vez más eficaces, a las cuales nos referiremos más adelante. Pero esta refutación tiene un interés especial porque trae a colación la seductora idea de crear un programa de computadora que pueda salirse de sí mismo, verse entero desde el exterior y aplicarse a sí mismo el truco zapador de Gödel. Por cierto, esto es algo tan imposible como que un fonógrafo ejecute los discos que tienen la capacidad de causar su destrucción.

Ahora bien, no se debe entender, con base en estas razones, que TNT es defectuoso. Si existe un defecto en alguna parte, no está en TNT, sino en nuestras expectativas de lo que ella debería ser capaz de hacer. Además, es muy provechoso advertir que nosotros somos igualmente vulnerables frente a la trampa verbal que Gödel trasplantó al ámbito de los formalismos matemáticos: la paradoja de Epiménides. Esto ha sido muy inteligente ente puntualizado por C. H. Whiteley, cuando propuso la oración: “Lucas no puede, coherentemente, enunciar esta oración”. Si lo pensamos bien, veremos que, (1) es una oración verdadera; sin embargo, (2) Lucas no puede, coherentemente, enunciarla. De modo, pues, que también Lucas es “incompleto” con respecto a las verdades acerca del mundo: la forma en que él refleja el mundo en sus estructuras cerebrales le impide, al mismo tiempo, ser “coherente” y enunciar esa oración verdadera. Pero Lucas no es más vulnerable que cualquiera de nosotros; simplemente, está al mismo nivel que un sistema formal refinado.

Una manera divertida de apreciar la incorrección de la argumentación de Lucas surge de su transposición a una disputa de hombres contra mujeres… En sus vagabundeos, Lucus el Pensador se topó un día con un objeto desconocido: una mujer. Jamás había visto tal cosa, y al principio le causó una viva conmoción el verse muy parecido a ella; pero luego, levemente atemorizado también ante la nueva presencia, pregonó a todos los demás hombres del contorno: “¡Mirad! ¡Yo puedo contemplar su cara, cosa que ella no puede hacer; luego, las mujeres no pueden ser como yo!”.

Y así demostró él la superioridad de los hombres con respecto a las mujeres, para su tranquilidad y la de sus compañeros masculinos. Marginalmente, la misma argumentación prueba también la superioridad de Lucus con respecto a todos los demás hombres, pero él no hizo hincapié en ello. La mujer, en respuesta, adujo: “Sí, usted puede ver mi cara, cosa que yo no puedo hacer, pero yo puedo ver su cara, ¡cosa que usted no puede hacer! Estamos parejos”. No obstante, Lucus salió con una objeción inesperada: “Perdone, pero se engaña si piensa que puede ver mi cara. Lo que hacen ustedes las mujeres no es lo mismo que hacemos nosotros, los hombres, sino que tiene, como ya lo he señalado, un grado inferior, y no le corresponde ser llamado por el mismo nombre. Llámele, si quiere, ‘femivisión’. Ahora bien, el hecho de que pueda usted ‘femiver’ mi cara carece de toda importancia, pues la situación no es simétrica, ya lo ve”. “Lo femiveo”, femicontestó la mujer, y se femifué…

Bueno, éste es el tipo de argumentación “del avestruz” que aceptará con gusto quien se sienta inclinado a ver que los hombres y las mujeres aventajan a las computadoras en estas disputas intelectuales.

Autotrascendencia: un mito moderno

Sigue siendo de gran interés considerar si los seres humanos podemos brincar fuera de nosotros mismos, o bien si los programas de computadora pueden brincar fuera de sí mismos. Ciertamente, a un programa le es posible automodificarse, pero tal modificabilidad tiene que ser inherente al programa de iniciación, por lo cual no puede ser incluido como un ejemplo de “brinco fuera del sistema”. Por mucho que un programa gire y se contorsione para salir de sí mismo, permanece obediente a las reglas que le son inherentes; sus posibilidades de evadirse son equivalentes a las que tiene un ser humano de decidir, por un acto de voluntad, no acatar las leyes de la física. El de la física es un sistema inexorable, del cual no hay huida posible. Sin embargo, hay una ambición más modesta que se puede satisfacer: indudablemente, uno puede saltar, desde un subsistema del propio cerebro, a otro subsistema más amplio; en ocasiones, uno puede eludir los senderos habituales. Esto se debe a la interacción de diversos subsistemas de nuestro cerebro, pero impresiona como si se tratase de un verdadero salto fuera de nosotros mismos. Análogamente es perfectamente concebible que una capacidad parcial de “salir fuera de sí misma” pueda ser incorporada a un programa de computadora.

Es importante, empero, tomar nota de la distinción entre percibirse y trascenderse. Podemos adquirir visiones de nosotros mismos a través de distintos medios: en un espejo, en fotografías o en películas, en grabaciones, gracias a las descripciones hechas por otros, haciendo un tratamiento psicoanalítico, etc. Pero no se puede en absoluto abandonar la propia piel y ubicarse en el exterior de uno mismo (a pesar de las pretensiones de los movimientos oculistas modernos, de los adeptos de la psicología transpersonal, etc.). TNT puede hablar de sí mismo, pero no puede brincar fuera de sí mismo. Un programa de computadora puede modificarse a sí mismo, pero no puede infringir sus instrucciones: todo lo más, puede transformar ciertas partes de sí mismo siguiendo sus instrucciones. Esto trae al recuerdo aquella ingeniosa paradoja: “¿Dios puede hacer una piedra tan pesada que él mismo no la pueda levantar?”.

Publicidad y recursos de enmarcamiento

Este impulso a brincar fuera del sistema es intenso y subyace a todos los progresos que se producen en el arte, la música y otras actividades humanas. Subyace también a empresas tan triviales como la elaboración de avisos comerciales de radio y televisión. Esta inadvertida tendencia ha sido magníficamente percibida y descripta por Erving Goffman en su libro Frame Analysis:

Tenemos aquí una escalada de la batalla TC, donde los antagonistas son ahora la Trascendente y lo Comercial.

Simplicio, Salviati, Sagredo: ¿por qué tres?

Hay una vinculación fascinante entre el problema de brincar fuera del sistema y la búsqueda de la objetividad total. Cuando leí los cuatro Diálogos de Jauch, incluidos en su libro Are Quanta Real?, que tienen por base los cuatro Diálogos a propósito de dos nuevas ciencias, de Galileo, me encontré preguntándome por qué participaban tres personajes: Simplicio, Salviati y Sagredo. ¿Por qué no habían sido suficientes dos: Simplicio, el simplón educado, y Salviati, el pensador talentoso? ¿Qué función cumplía Sagredo? Bueno, se da por supuesto que es una especie de tercero neutral, que evalúa desapasionadamente las dos posiciones y emite un fallo “justo” e “imparcial”. Esto parece muy equilibrado, pero hay un problema: Sagredo siempre concuerda con Salviati, no con Simplicio, ¿cómo eso de que la Objetividad Personificada tenga preferidos? Una respuesta posible, por supuesto, es la de que Salviati formula puntos de vista correctos, de modo que Sagredo no tiene otra opción. ¿Pero qué ocurre entonces con la justicia o “distribución pareja”?

Además de Sagredo, Galileo (y Jauch) arregló los naipes más bien en perjuicio que en beneficio de Simplicio. Quizá hubiera sido necesario agregar un Sagredo de nivel aún más alto, alguien que fuese objetivo con respecto la situación en su conjunto… Está a la vista hacia dónde estamos marchando: estamos ingresando a una serie sin fin de “acrecentamientos de objetividad”, la cual tiene la extraña propiedad de no llegar a ser nunca más objetiva que en el primer nivel, allí donde Salviati, simplemente, está acertado, y Simplicio desacertado. Luego, el enigma permanece: ¿qué necesidad había de agregar a Sagredo? La respuesta es que este personaje aporta la ilusión de salida fuera del sistema, en cierto sentido intuitivamente atractivo.

El zen y la “salida”

También en el zen es visible esta preocupación por el concepto de trascendencia con respecto al sistema. Por ejemplo, el kōan en el cual Tozan dice a sus monjes que “el budismo más elevado no es Buda”. Es posible, inclusive, que la autotrascendencia sea el tema central del zen. Un adepto al zen siempre está tratando de comprender más profundamente qué es él mismo, apartándose para ello más y más de lo que él ve que es, violando todas las reglas y convenciones que, según advierte, lo encadenan, incluyendo, obviamente, las del propio zen. En algún punto de este elusivo sendero puede suceder la iluminación. De todas maneras (como yo lo veo), se espera que mediante la paulatina profundización de autoconocimiento, mediante la paulatina ampliación del ámbito del “sistema”, sobrevenga por último un sentimiento de unidad con todo el universo.