EL TITULO DE ESTE CAPITULO es una adaptación del título del célebre artículo de Gödel, de 1931: “TNT” sustituye a “Principia Mathematica”. El trabajo de Gödel es de índole técnica, dirigido a que su demostración fuese hermética y rigurosa; este capítulo, en cambio, será más intuitivo, y hará énfasis en las dos ideas claves que constituyen el corazón de la demostración. La primera idea clave es el profundo descubrimiento de que hay cadenas de TNT de las cuales se puede interpretar que hablan de otras cadenas de TNT; en síntesis, que TNT, en tanto que lenguaje, es capaz de “introspección", o de autoanálisis. De aquí proviene la numeración Gödel. La segunda idea clave consiste en que la propiedad de autoanálisis puede estar totalmente circunscrita a una cadena en particular, de manera que el único foco de atención de tal cadena sea ella misma. Este “recurso de focalización” reaparece, en esencia, en el método diagonal de Cantor.

En mi opinión, si uno está interesado en comprender profundamente la demostración de Gödel, debe reconocer que esta demostración, en el fondo, consiste en una fusión de esas dos ideas principales. Cada una de ellas, por sí misma, es un hallazgo magistral; haberlas reunido es un acto de genialidad. No obstante, si yo tuviera que decidir cuál de ambas es más profunda, me inclinaría con completa certidumbre por la primera: la idea de la numeración Gödel, pues está vinculada al conjunto de nociones acerca de qué son la significación y la referencia en los sistemas que manipulan símbolos. Esta idea va mucho más allá de los confines de la lógica matemática, en tanto que el expediente de Cantor, pese a la riqueza de sus consecuencias matemáticas, tiene escasa relación —si es que tiene alguna— con los hechos de la vida real.

La primera idea: pares de prueba

Dejando atrás los rodeos, procederemos a desarrollar la demostración misma. En el Capítulo IX ofrecimos una exposición muy prolija del isomorfismo Gödel. Ahora, describiremos una noción matemática que nos permitirá convertir un enunciado tal como “La cadena 0=0 es un teorema de TNT” en un enunciado de teoría de los números. Ello involucrará la noción de pares de prueba; un par de prueba es un par de números naturales relacionados de una manera específica. Se trata de lo siguiente:

Dos números naturales, m y n, forman un par de prueba TNT si, y sólo si, m es el número Gödel de una derivación TNT cuya línea final sea la cadena cuyo número Gödel sea n.

Esta noción puede verse, análogamente, en el sistema MIU; será más sencillo, para la intuición, considerar primero este caso. Dejemos atrás por un momento, entonces, los pares de prueba TNT, y examinemos los pares de prueba MIU. Su definición es paralela a la anterior:

Dos números naturales, m y n, forman un par de prueba MIU si, y sólo si, m es el número Gödel de una derivación del sistema MIU cuya línea final sea la cadena cuyo número Gödel sea n.

Veamos algunos ejemplos de pares de prueba MIU. Primero, establecemos que m = 3131131111301, n = 301. Estos valores de m y n forman ciertamente un par de prueba MIU, porque m es el número Gödel de la derivación MIU

cuya última línea es MUI, que tiene el número Gödel 301, vale decir, n. En contraste, establezcamos que m = 31311311130, y n = 30. ¿Por qué estos dos valores no forman un par de prueba MIU? Para conocer la respuesta, formulemos la derivación de la cual se pretende que es codificada por m:

¡Hay un paso ilegítimo en la derivación aducida! Es el que va de la segunda a la tercera línea: de MII a MIII; no hay regla de inferencia en el sistema MIU que permita semejante paso tipográfico. En forma correspondiente —y esto es más crucial— no hay regla aritmética de inferencia que lleve de 311 a 3111. Quizá se trate de una observación trivial, a la luz de nuestra exposición del Capítulo IX, pero se trata de algo ubicado en el corazón del isomorfismo Gödel. Lo que hagamos en cualquier sistema formal tiene un paralelo en la manipulación aritmética.

Como quiera que sea, los valores m = 31311311130, n = 30 es seguro que no forman un par de prueba MIU. Ello no implica que 30 no es un número MIU; podría haber otro valor de m que forme un par de prueba MIU con 30. (En verdad, sabemos por razonamientos anteriores que MU no es un teorema MIU y que, en consecuencia, ningún número en absoluto puede formar un par de prueba MIU con 30).

Pasemos ahora a los pares de prueba TNT. Tenemos dos ejemplos paralelos, uno de los cuales es un par de prueba TNT válido, y el otro no. ¿Cuál es cuál? (Dicho sea de paso, aquí es donde aparece el codón ‘611’; su finalidad es separar entre sí las sucesivas líneas de números Gödel. En este sentido, ⁴6ir sirve como signo de puntuación. En el sistema MIU basta con el ‘3’ inicia) de cada línea; no se requiere puntuación adicional).

Es muy fácil determinar cuál es uno y cuál es otro, mediante la simple traducción a la notación anterior, y un examen de rutina que permita ver:

El paso 2 es trivial, y también el paso 1 es absolutamente directo, en este sentido: no hay involucradas búsquedas sin límite, ni ocultos bucles sin fin. Consideremos los ejemplos anteriores referidos al sistema MIU, y limitémonos ahora a sustituir las reglas del sistema MIU por las reglas de TNT, y el axioma único del sistema MIU por los axiomas de TNT. En ambos casos, el algoritmo es el mismo. Lo explicaré:

En cada estadio, hay un conjunto definido de tareas por realizar, y el número de éstas puede ser determinado en forma previa con suma facilidad.

La calidad de par de prueba es recursiva primitiva…

El motivo por el que enfatizo el carácter limitado de esos bucles estriba en que, como habrá percibido el lector, estoy a punto de afirmar el

HECHO FUNDAMENTAL 1: La propiedad de ser un par de prueba es una propiedad teórico-numérica recursiva primitiva, y en consecuencia puede ser verificada mediante un programa BuD.

Se debe hacer aquí una distinción bien marcada con respecto a la otra propiedad teórico-numérica, estrechamente relacionada con ésta: la de ser un número-teorema. Sostener que n es un número-teorema significa sostener que existen ciertos valores de m que forman un par de prueba con n. (Entre paréntesis, estas observaciones se aplican tanto a TNT como al sistema MIU, exactamente por igual; tal vez sea útil conservar ambos en mente, con el sistema MIU sirviendo como prototipo). Para verificar si n es un número teorema, es necesario embarcarse en una búsqueda a través de todos sus posibles “socios” m de par de prueba, con lo cual es posible ingresar a una persecución interminable. Nadie puede decir qué extensión tendrá la búsqueda de un número que forme un par de prueba con n como segundo elemento. Éste es el gran problema de contar con reglas de ampliación y de reducción dentro del mismo sistema: conducen a un cierto grado de impredictibilidad.

En este punto, puede servir de auxilio la Variación Goldbach. Es trivial verificar si un par de números (m,n) forma un par-Tortuga: es decir, tanto m como n tienen que ser primos. La verificación es simple porque la propiedad de primidad es recursiva primitiva: admite una verificación de finalización predictible. Pero si queremos saber si n posee la propiedad Tortuga, nos encontraremos preguntando: “¿Cualquier número m forma un par-Tortuga con n como segundo elemento?”, y otra vez nos veremos dentro del indómito e ignoto reino de los bucles MU.

… y, por consiguiente, está representada en TNT

El concepto clave, en esta coyuntura, es entonces el Hecho Fundamental 1 enunciado más atrás, a partir del cual podemos concluir:

HECHO FUNDAMENTAL 2: La propiedad de formar un par de prueba es verificable a través de BuD y, consecuentemente, está representada en TNT por alguna fórmula que tenga dos variables libres.

Una vez más nos mostramos indiferentes acerca del sistema con el cual estén vinculados estos pares de prueba; es que ello no tiene real importancia, pues ambos Hechos Fundamentales contienen cualquier sistema formal. Tal es la naturaleza predictiblemente finalizable, si una determinada secuencia de líneas integra una demostración, o no, y esto se traslada al campo correspondiente a las nociones aritméticas.

El poder de los pares de prueba

A fin de ser más concretos, vamos a suponer que estamos trabajando con el sistema MIU. El lector recordará, probablemente, la cadena a la que llamamos “MUMON”, cuya interpretación, en un nivel, era el enunciado “MU es un teorema del sistema MIU”. Podemos mostrar de qué manera sería expresado MUMON en TNT, en función de la fórmula que representa la noción de pares de prueba MIU. Abreviaremos esta fórmula, cuya existencia nos es asegurada por el Hecho Fundamental 2, de este modo:

Puesto que se trata de una propiedad de dos números, es representada por una fórmula con dos variables libres. (Nota: en este capítulo, emplearemos siempre el TNT austero, por lo que se debe distinguir cuidadosamente entre las variables a, a′, a′′). Para afirmar que “MU es un teorema del sistema MIU”, deberíamos formular el enunciado isomórfico “30 es un número-teorema del sistema MIU”, y luego trasladarlo a notación TNT. Con la ayuda de nuestra abreviatura, esto es fácil (conviene recordar la indicación del Capítulo VIII en el sentido de que el remplazo de cada a′ por un numeral debe ser señalado mediante la inclusión, después del numeral, de la expresión “/a′”):

Contemos las eses: hay 30. Adviértase que es una acabada oración de TNT, porque una de las variables libres ha sido cuantificada, y la otra sustituida por un numeral. Ya que estamos, podemos decir que es una cosa inteligente la que se ha logrado aquí. El Hecho Fundamental 2 nos proporcionó un medio para hablar de los pares de prueba; hemos resuelto, también, cómo hablar de los números-teoremas: ¡sencillamente, poniendo delante un cuantificador existencial! Una traducción más literal de la cadena anterior rezaría: “Existe algún número a que forma un par de prueba MIU con 30 como segundo elemento”.

Supongamos que queremos hacer algo paralelo con respecto a TNT: digamos, expresar el enunciado “O = O es un teorema de TNT”. Podemos abreviar la fórmula, cuya existencia nos es asegurada por el Hecho Fundamental 2, de una forma análoga (de nuevo con dos variables libres):

(La interpretación de esta fórmula TNT abreviada es: “Los números naturales a y a′ forman un par de prueba TNT”). El paso siguiente consiste en llevar este enunciado al campo de la teoría de los números, siguiendo el modelo de MUMON ya visto. El enunciado que resulta es: “Existe algún número a que forma un par de prueba TNT con 666.111.666 como segundo elemento”. La fórmula TNT que expresa esto es la siguiente:

Tenemos así una oración acabada de TNT. (La llamaremos “JOSHU”, por causas que aparecerán de inmediato). Como está a la vista, pues, hay no solamente una forma de hablar de la noción recursiva primitiva de pares de prueba TNT, sino también de la noción asociada, pero más compleja, de números-teorema TNT.

A fin de evaluar el grado de comprensión, por parte del lector, de estas ideas, le proponemos que resuelva cómo traducir a TNT los siguientes enunciados de meta-TNT:

(1) O=O no es un teorema de TNT.

(2) ~O=O es un teorema de TNT.

(3) ~O=O no es un teorema de TNT.

¿En qué medida difieren las soluciones con respecto al ejemplo dado más atrás, y también entre sí? Siguen unos pocos ejercicios más de traducción:

(4) JOSHU es un teorema de TNT. (Apelar a la cadena TNT que expresa este “META-JOSHU”)

(5) META-JOSHU es un teorema de TNT. (Apelar a la cadena TNT que expresa ente “META-META-JOSHU”.)

(6) META-META-JOSHU es un teorema de TNT.

(7) META-META-META-JOSHU es un teorema de TNT.

(etc., etc.)

El ejemplo 5 muestra que los enunciados de meta-meta-TNT pueden ser traducidos a notación TNT; el ejemplo 6, lo mismo para meta-meta-meta-TNT, etc.

En este punto, es importante tener presente la diferencia entre expresar una propiedad, y representarla. La propiedad de ser un número-teorema TNT, por ejemplo, es expresada por la fórmula:

Traducción: “a′ es un número-teorema TNT”. Sin embargo, no tenemos garantizado que esta fórmula represente la noción, ya que no tenemos garantizado que esta propiedad sea recursiva primitiva: en realidad, no tenemos más que la escondida sospecha de que no lo es. (Una sospecha que es bien garantizada: la propiedad de ser un número-teorema TNT no es recursiva primitiva, y ninguna fórmula de TNT puede representar esa propiedad…). Por el contrario, la propiedad de ser un par de prueba, en virtud de su recursividad primitiva, es tanto expresable como representable, a través de la fórmula ya presentada.

La sustitución conduce a la segunda idea

La exposición precedente nos ha llevado a un punto en el cual sabemos de qué manera TNT puede hacer “introspección” a propósito de la noción de teoremidad TNT. Ésta es la esencia de la primera parte de la demostración. Ahora, queremos ir en pos de la segunda idea principal de aquélla, mediante el desarrollo de una noción que permita concentrar dicha introspección en una fórmula en particular. Para obtener esto, necesitamos observar lo que sucede con el número Gödel de una fórmula cuando ésta es modificada estructuralmente, de una manera simple. Concretamente, observaremos la modificación específica que sigue:

A continuación, se muestra un par de ejemplos de esta operación en la columna de la izquierda, mientras que en la columna de la derecha vemos los cambios paralelos que se producen en los números Gödel.

En la columna de la derecha tiene lugar un proceso aritmético isomórfico, dentro del cual un número enorme se transforma en otro más enorme todavía. La función que produce el nuevo número a partir del anterior no sería excesivamente difícil de describir de forma aritmética, en términos de sumas, multiplicaciones, potencias de 10, etc.: pero no necesitamos hacerlo. El aspecto principal reside en que la relación entre (1) el número Gödel original, (2) el número cuyo numeral es incluido, y (3) el número Gödel resultante, es una relación recursiva primitiva. Esto equivale a decir que se podría formular una verificación BuD, la cual, cuando recibe como entrada tres números naturales cualesquiera, diga SI, si los mismos se relacionan de esta manera, y NO en caso contrario. El lector puede verificar su propia capacidad de realizar una verificación semejante —y al mismo tiempo convencerse de que no hay bucles sin fin ocultos en el proceso— a través del análisis de los dos conjuntos de tres números siguientes:

Como de costumbre, uno de los ejemplos llena las condiciones, no así el restante. Esta relación entre tres números será llamada de sustitución. Como es primitiva recursiva, está representada por alguna fórmula de TNT que tenga tres variantes libres. Abreviemos esa fórmula TNT mediante la notación que sigue:

Puesto que esta fórmula representa la relación de sustitución, la fórmula de más abajo será un teorema TNT:

(Esto se basa en el primer ejemplo de relación de sustitución mostrado en las columnas paralelas, en esta misma sección). Y a causa, otra vez, de que la fórmula SUST representa la relación de sustitución, la fórmula que sigue no es, ciertamente, un teorema TNT:

Aritmoquinereamiento

Hemos llegado al momento crucial en que podemos combinar todas las partes sueltas en un conjunto significativo. Necesitamos emplear los mecanismos de las fórmulas PAR DE PRUEBA TNT y SUST, de algún modo que nos permita construir una sola oración de TNT, cuya interpretación sea: “Esta misma cadena de TNT no es un teorema TNT”. ¿Cómo conseguirlo? Inclusive en este punto, con todos los mecanismos necesarios a nuestra disposición, la respuesta no es fácil de descubrir.

Una noción curiosa, y que tal vez parezca frívola, es la de insertar el propio número Gödel de una fórmula dentro de la misma. Es algo enteramente análogo a aquella otra noción curiosa, de apariencia tal vez frívola, de “quinereamiento”, que aparece en el Aire en la cuerda de G. Sin embargo, el quinereamiento ha resultado estar provisto de un extraño género de importancia, en la medida en que se muestra como un nuevo medio para convertir una oración en autorreferencial. La autorreferencia de la variedad Quine se nos oculta la primera vez que la vemos, pero una vez entendido su principio se advierte que es completamente sencilla, y además entretenida. La versión aritmética del quinereamiento —llamémosla aritmoquinereamiento— nos permitirá elaborar una oración TNT que sea “acerca de sí misma”.

Veamos un ejemplo de aritmoquinereamiento. Necesitamos una fórmula que tenga, por lo menos, una variable libre, como la siguiente:

El número Gödel de esta fórmula es 262.111.123.666, e introduciremos este número dentro de la fórmula misma o, mejor dicho, introduciremos su numeral. He aquí el resultado:

Esta nueva fórmula afirma una falsedad ridícula: la de que 262.111.123.666 es igual a 1. Si hubiéramos comenzado con la cadena ~a = SO, y luego aritmoquinereado, habríamos obtenido un enunciado verdadero, tal como el lector puede comprobar por sí mismo.

Cuando se aritmoquinerea, se está ejercitando, por cierto, un caso especial de la operación de sustitución que definimos anteriormente. Si deseamos hablar acerca del aritmoquinereamiento dentro de TNT, tendremos que emplear la fórmula:

Aquí, las dos primeras variables son la misma. Esto deriva del hecho de que estamos utilizando un mismo número de dos formas diferentes (reflejos del método diagonal de Cantor…). El número a″ es tanto (1) el número Gödel original, como (2) el número de inclusión. Inventemos una abreviatura para la fórmula anterior:

a′ es el número Gödel de la fórmula obtenida mediante el aritmoquinereamiento de la fórmula que tiene el número Gödel a″.

Pero esta oración es extensa y desagradable; introduciremos entonces un término conciso y elegante con la misión de sintetizarla: diremos

para significar la misma cosa. Por ejemplo, la aritmoquinificación de 262.111.123.666 es este número inexpresablemente gigantesco:

(Éste es sólo el número Gödel de la fórmula que obtuvimos cuando aritmoquinereamos a = SO). Podemos hablar sin ninguna dificultad del aritmoquinereamiento dentro de TNT.

El golpe de gracia

Si volvemos a examinar el Aire en la cuerda de G, veremos que el truco esencialmente necesario para producir autorreferencia a la manera de Quine consiste en quinerear una oración que, ella misma, se refiera al concepto de quinereamiento. No basta con quinerear, ¡se debe quinerear una oración que mencione el quinereamiento! Correcto, entonces: en nuestro caso, el truco paralelo será aritmoquinerear una fórmula que, ella misma, se refiera a la noción de aritmoquinereamiento…

Sin más preámbulos, enunciaremos esa fórmula a continuación, y la llamaremos el tío de G:

Se ve claramente cuán profundamente implicada en la conspiración está la aritmoquinificación. Ahora bien, este “tío” tiene, por supuesto, un número Gödel, al cual llamaremos ‘u’ Los pies y la cabeza de la expansión decimal de u, e inclusive un pequeñísimo fragmento de su parte media, pueden ser leídos directamente:

En cuanto al resto, sólo habría que saber qué aspecto presentan cuando son enunciadas por entero. Esto es demasiado complejo y, de todas maneras, no viene para nada al caso.

Ahora no necesitamos más que ¡aritmoquinerear al propio tío! Ello implica el “desalojo” de todas las variables libres —de las cuales hay, aquí, exclusivamente una: a″— y la intercalación, en su lugar, del numeral correspondiente a u. Tenemos así

Y esto, créase o no, es la cadena de Gödel, a la cual podemos llamar ‘G’. Y hay dos preguntas a las que debemos dar respuesta sin demora; son:

Comencemos con la pregunta 1. ¿Cómo elaboramos G? Bueno, tomamos al tío, y lo aritmoquinereamos. Entonces, en virtud de la definición de aritmoquinificación, el número Gödel de G es:

Pasemos a la pregunta 2. Haremos la traducción idiomática de G por etapas, haciéndola gradualmente más comprensible a medida que avancemos. En una primera aproximación, formulamos una traducción bastantes literal:

“No existen números a y a′ tales que, a un mismo tiempo, (1) formen un par de prueba TNT, y (2) a′ sea la aritmoquinificación de u.”

Ahora bien, ciertamente hay un número a′ que es la aritmoquinificación de u, de modo que el problema debe residir en el otro número, a. Esta observación nos permite reformular la traducción de G como sigue:

“No hay ningún número a que forme un par de prueba TNT con la aritmoquinificación de u”.

(Este paso, que puede crear confusiones, será explicado más abajo con mayor detalle). ¿Está a la vista lo que está sucediendo? G está diciendo:

“La fórmula cuyo número Gödel es la aritmoquinificación de u no es un teorema de TNT”.

Pero —y esto no deberá sorprendernos— esa fórmula no es otra que G; luego, podemos terminar traduciendo G así:

Paulatinamente, hemos ido extrayendo una interpretación de alto nivel —una oración de meta-TNT— de lo que originalmente era una interpretación de bajo nivel: una oración de teoría de los números.

¡TNT se rinde, tío!

La consecuencia principal de esta sorprendente interpretación ya ha sido esbozada en el Capítulo IX: se trata de la incompletitud de TNT. Repitamos la argumentación:

¿G es un teorema TNT? Si es así, entonces debe afirmar una verdad. Pero, ¿qué afirma, en realidad, G? Su propia no teoremidad. En consecuencia, de su teoremidad se seguiría su no teoremidad: una contradicción.

¿Y qué diremos a propósito de G en tanto que no teorema? Se trata de algo aceptable, en la medida en que no conduce a una contradicción. Ahora, lo que G afirma es la no teoremidad de G; por consiguiente, G afirma una verdad. Y, puesto que G no es un teorema, existe (por lo menos) una verdad que no es un teorema de TNT.

Explicar esto nos requiere un nuevo paso laborioso. Usaremos un ejemplo similar; veamos esta cadena:

Hay aquí dos abreviaturas de cadenas de TNT, las cuales pueden ser enunciadas por el lector. DÉCIMA POTENCIA{a″,a′} representa la proposición “a′ es la décima potencia de a″”. Su traducción idiomática literal es, entonces, la siguiente:

“No existen números a y a′ tales que, a un mismo tiempo, (1) formen un par Tortuga, y (2) a′ sea la décima potencia de 2.”

Sin embargo, no cabe duda de que hay una décima potencia de 2, a saber, 1024. Luego, la cadena está diciendo, en realidad, que:

Lo importante es que hemos conseguido introducir la descripción de un número, no su numeral, en un predicado, como consecuencia del empleo de una variable (a′) adicionalmente cuantificada. En este caso, lo descripto es el número 1024, como “la décima potencia de 2”; en el caso anterior, es el número descripto como “la aritmoquinificación de u”.

“Produce no teoremidad cuando es aritmoquinereada"

Hagamos una breve pausa para tomar aliento, y reveamos lo hecho. El mejor medio que percibo para aportar alguna perspectiva es establecer explícitamente una comparación entre las conclusiones anteriores y la versión de Quine de la paradoja de Epiménides. A continuación, pues, un cuadro de correspondencias:

Segundo teorema de Gödel

Puesto que la interpretación de G es verdadera, la de su negación, ~G, es falsa. Y sabemos que ningún enunciado falso es derivable a través de TNT. Luego, ni G ni su negación ~G pueden ser teoremas de TNT. Hemos descubierto un “agujero” en nuestro sistema: una proposición indecidible. Surge de aquí una cantidad de ramificaciones, como por ejemplo este curioso hecho que resulta de la indecidibilidad de G: a pesar de que ni G ni ~G son teoremas, la fórmula <G∨~G> es un teorema, porque las reglas del cálculo proposicional nos aseguran que todas las fórmulas bien formadas de la forma <P∨~P> son teoremas.

Éste es un ejemplo simple de aparente choque entre una afirmación interior al sistema y una afirmación acerca del sistema, el cual nos lleva a preguntarnos si el sistema, en realidad, se refleja a sí mismo con exactitud. ¿La “reflexión metamatemática” que existe en el interior de TNT se corresponde adecuadamente con la que desarrollamos nosotros? Éste era uno de los interrogantes que intrigaban a Gödel cuando elaboró su trabajo; en particular, le interesaba saber si era posible, a través de esa “reflexión metamatemática”, demostrar la coherencia de TNT. Recordemos que se trataba del gran dilema filosófico de la época: cómo demostrar la coherencia de un sistema. Gödel descubrió un recurso sencillo para expresar el enunciado “TNT es coherente” a través de una fórmula TNT; después de ello, mostró que esta fórmula (y toda otra que expresara la misma idea) es un teorema de TNT solamente con una condición: la de que TNT sea incoherente. Esta maligna conclusión significó un severo revés para los optimistas que aguardaban el hallazgo de una demostración que probase rigurosamente la carencia de contradicciones de la matemática.

¿Cómo expresar el enunciado “TNT es coherente” dentro de TNT? Ello gira en torno al simple hecho siguiente: la incoherencia significa que dos fórmulas, x y ~x, una de las cuales es la negación de la otra, son ambas teoremas. Pero si tanto x como ~x son teoremas, entonces, de acuerdo al cálculo proposicional, todas las fórmulas bien formadas son teoremas. Así, para mostrar la coherencia de TNT, sería suficiente exhibir una sola oración de TNT de la cual se pueda demostrar que es un no teorema. En consecuencia, una manera de expresar “TNT es coherente” consiste en decir: “La fórmula O=O no es un teorema de TNT”. Esto ya fue propuesto como ejercicio escasas páginas atrás. La traducción es:

Es posible mostrar, por medio de un razonamiento extenso pero impecablemente transparente, que —en tanto TNT sea coherente— este decreto de coherencia por parte de TNT no es un teorema de TNT. Luego, las facultades de introspección de TNT son grandes cuando se aplican a expresar cosas, pero sumamente débiles cuando se aplican a demostrarlas. Ésta es una conclusión muy incitante si se la desplaza, por vía metafórica, al problema humano del autoconocimiento.

TNT es ω-incompleto

¿Y cuál es la variedad de incompletitud de la cual “goza” TNT? Veremos que la incompletitud de TNT es de la variedad “omega”, definida en el Capítulo VIII. Esto significa que hay una familia piramidal infinita de cadenas, todas las cuales son teoremas, pero cuya “cadena sintetizadora” es un no teorema. Es sencillo mostrar la cadena sintetizadora que es un no teorema:

Para comprender por qué esta cadena es un no teorema, conviene reparar en que es extremadamente similar a la propia G: en realidad, G puede ser obtenida, a partir de ésta, en un solo paso (de acuerdo a la Regla de Intercambio de TNT). En consecuencia, si fuera un teorema, también lo sería G. Sin embargo, como G no es un teorema, ninguna de ambas puede serlo.

Necesitamos mostrar ahora que todas las cadenas de la familia piramidal son teoremas. Podemos enunciarlas con bastante facilidad:

¿Qué afirma cada una de ellas? Sus respectivas traducciones, siguiendo el orden, son las siguientes:

“0 y la aritmoquinificación de u no forman un par de prueba TNT”.

“1 y la aritmoquinificación de u no forman un par de prueba TNT”.

“2 y la aritmoquinificación de u no forman un par de prueba TNT”.

“3 y la aritmoquinificación de u no forman un par de prueba TNT”.

Ahora bien, cada una de estas afirmaciones hace referencia a si dos enteros en particular forman un par de prueba o no. (En cambio, G se refiere a si un entero en particular es un número teorema o no). Y como G es un no teorema, ningún entero forma un par de prueba con el número Gödel de G. En consecuencia, todos los enunciados de la familia son verdaderos. Pero el centro del problema estriba en que la propiedad de ser un par de prueba es recursiva primitiva, y por ende representada, de manera que, siendo verdaderos, los enunciados de la lista de más arriba deben traducirse a teoremas de TNT… lo cual significa que todos los miembros de nuestra infinita familia piramidal son teoremas. Y esto muestra por qué TNT es ω-incompleto.

Dos formas diferentes de taponar el agujero

Puesto que la interpretación de G es verdadera, la interpretación de su negación, ~G, es falsa. Y, aplicando el supuesto de que TNT es coherente, sabemos que a través de TNT no es derivable ningún enunciado falso. Luego, ni G ni su negación ~G son teoremas de TNT. Hemos descubierto un agujero en nuestro sistema: una proposición indecidible. Pero ello no tiene por qué alarmamos, si nos apartamos lo suficiente de la filosofía como para reconocer que se trata de un síntoma determinado. Esto significa que TNT puede ser extendido, del mismo modo que puedo serlo la geometría absoluta. E, igual que ésta, puede ser extendido en dos direcciones distintas, habitual una —lo cual se corresponde con la extensión de la geometría absoluta en la dirección euclidiana—, inhabitual la otra —lo cual se corresponde, por supuesto, con la extensión de la geometría absoluta en la dirección no euclidiana—. El primer tipo de extensión involucraría:

Esta propuesta parece más bien inofensiva y tal vez, inclusive, provechosa, puesto que G, al fin y al cabo, afirma una cosa verdadera con relación al sistema de los números naturales. ¿Pero qué ocurre con el tipo inhabitual de extensión? Si su caso es paralelo, en alguna medida, al del postulado paralelo, tendría que involucrar:

¿Pero cómo es posible que consideremos, siquiera, algo tan repugnante y espantoso? En definitiva, y parafraseando las célebres palabras de Girolamo Saccheri: lo que dice ~G, ¿no es acaso “repugnante a la naturaleza de los números naturales”?

Números sobrenaturales

Espero que lo irónico de la cita anterior toque al lector. Lo que sucede cabalmente con la investigación geométrica de Saccheri es que la inició a partir de una noción preestablecida acerca de lo verdadero y lo no verdadero, y la llevó adelante solamente para probar lo que había afirmado como verdadero al comenzar. A pesar de lo talentoso de su enfoque —que implicó la negación del quinto postulado, y en consecuencia la demostración de muchas proposiciones “repugnantes” de la geometría que sobrevino a ello— Saccheri jamás tomó en cuenta la posibilidad de considerar de manera diferente los puntos y las líneas. Debemos ser muy prudentes, entonces, para no repetir su famosa equivocación. Tenemos que analizar objetivamente, en la medida en que nos sea posible hacerlo, qué significaría agregar ~G como axioma de TNT. Pensemos solamente en lo que sería la matemática de la actualidad si a nadie se le hubiese ocurrido nunca agregar axiomas como los siguientes:

Cada uno de ellos es “repugnante a la naturaleza de los sistemas numéricos conocidos hasta entonces”, cada uno de ellos brinda una profunda y maravillosa extensión de la noción de número entero: números racionales, números negativos, números irracionales, números imaginarios. Una posibilidad semejante es la que — G está tratando de hacemos percibir. Ahora bien, cada nueva extensión de la noción de número fue recibida, en el pasado, con burlas y rechiflas; tal estrépito puede ser advertido muy particularmente en las denominaciones asignadas a los desagradables recién llegados: “números irracionales”, “números imaginarios”. Acogiéndonos a esta tradición, llamaremos, a los números que ~G nos está anunciando, números sobrenaturales, evidenciando así nuestra impresión de que los mismos transgreden todas las nociones amparadas por la sensatez y el sentido común.

Si es que vamos a incorporar a ~G como sexto axioma de TNT, deberíamos entender mejor cómo fue posible que pudiera coexistir, en un mismo sistema, con la infinita familia piramidal que acabamos de comentar Llevando las cosas a términos claros, ~G dice:

“Existe algún número que forma un par de prueba TNT con la aritmoquinificación de u”.

Sin embargo los diversos miembros de la familia piramidal afirman, sucesivamente:

“0 no es ese número”

“1 no es ese número”

“2 no es ese número”

Esto es bastante confuso, porque tiene la apariencia de una total contradicción (y por eso se la llama “ω-incoherencia”). En la raíz de nuestra confusión —de modo muy similar a lo sucedido en el caso del desdoblamiento de la geometría— se esconde nuestra tenaz resistencia a adoptar una interpretación nueva de los símbolos, pese a que sabemos perfectamente que el sistema es un sistema modificado. Queremos escapar sin reinterpretar ningún símbolo… y, por supuesto, eso se demostrará imposible.

La reconciliación se produce cuando reinterpretamos ∃ como “Existe un número natural generalizado”, y no como “Existe un número natural”. Al proceder así, también reinterpretaremos ∀ del modo correspondiente. Esto significa que abrimos la puerta a algunos otros números, además de los números naturales: son los números sobrenaturales. Los naturales y los sobrenaturales forman, en conjunto, la totalidad de los naturales generalizados.

La aparente contradicción, ahora, se desvanece en el aire; la familia piramidal sigue diciendo, igual que antes: “Ningún número natural forma un par de prueba TNT con la aritmoquinificación de u”, pero no dice nada acerca de los números sobrenaturales, pues no hay numerales para ellos. Por su parte, ahora ~G dice: “Existe un número natural generalizado que forma un par de prueba TNT con la aritmoquinificación de u”. Es manifiesto que, tomados en conjunto, la familia y ~G nos están diciendo algo: que hay un número sobrenatural que forma un par de prueba TNT con la aritmoquinificación de u. Eso es todo: ya no hay contradicción; TNT + ~G es un sistema coherente, bajo una interpretación que incorpora a los números sobrenaturales.

Puesto que ya hemos acordado extender la interpretación de los dos cuantificadores, ello implica que cualquier teorema que comprenda uno u otro de ellos tendrá una significación extendida. Por ejemplo, veamos el teorema de la conmutatividad:

Lo que ahora nos dice es que la suma es conmutativa con respecto a todos los números naturales generalizados; en otras palabras, no sólo con respecto a los números naturales sino también con respecto a los sobrenaturales. De igual forma, el teorema TNT que dice “2 no es el cuadrado de un número natural”:

Este teorema nos dice ahora que 2 tampoco es el cuadrado de un número sobrenatural. En realidad, los números sobrenaturales comparten todas las propiedades de los números naturales, a condición de que dichas propiedades nos sean presentadas a través de teoremas de TNT. Dicho de otro modo, todo lo que pueda ser formalmente demostrado acerca de los números naturales vale también, por tal causa, para los números sobrenaturales. Esto significa, particularmente, que los números sobrenaturales no coinciden con nada de lo que ya nos es familiar, como las fracciones, los números negativos, los complejos o cosas por el estilo. Por el contrario, lo más conveniente es visualizar los números sobrenaturales como enteros mayores que todos los números naturales: como enteros infinitamente grandes. He aquí la cuestión central: pese a que los teoremas de TNT pueden excluir los números negativos, las fracciones, a los números irracionales y los complejos, no hay manera de que excluyan los enteros infinitamente grandes. El problema es que tampoco hay manera de expresar el enunciado “No hay cantidades infinitas”.

Al principio, esto suena sumamente extraño. ¿Cómo es exactamente de grande el número que forma un par de prueba TNT con el número Gödel de G? (Llamémoslo ‘I’ por ningún motivo en particular). Lamentablemente, carecemos de un vocabulario adecuado para la descripción de las dimensiones de los enteros infinitamente grandes, por lo cual dudo de poder transmitir una idea acerca de la magnitud de I. ¿Y cómo es de grande i (la raíz cuadrada de −1)? Su dimensión no puede ser imaginada en términos de las dimensiones de los números naturales ordinarios. No se puede decir, “Bueno, i es más o menos la mitad de 14 y 9/10 es como 24”. Se tiene que decir, “i al cuadrado es −1”, y dejarlo aproximadamente así. Ciertas palabras de Abraham Lincoln vienen muy al caso aquí; se le preguntó, “¿Cómo deberían ser de largas las piernas de un hombre?”, su respuesta fue la siguiente: “Lo suficiente como para que lleguen al suelo”. Algo así es lo que cabe responder ante la pregunta referida al tamaño de I: debe tener exactamente la dimensión de un número que especifique la estructura de una demostración de G, ni más, ni menos.

Por supuesto, todo teorema de TNT tiene muchas derivaciones diferentes, y en consecuencia se podría objetar que mi caracterización de I no es la única posible. Así es, sin duda, pero el paralelo con i —la raíz cuadrada de −1— se mantiene en vigencia. Es decir: recordemos que hay otro número cuyo cuadrado también es −1, es −i. Pero i y −i no son el mismo número, sólo tiene una propiedad en común. ¡El único inconveniente es que se trata de la propiedad que los define! Tenemos que optar por uno de ambos, no importa cuál, y llamarlo “i”. En realidad, no hay modo de designarlos por separado, así que, hasta donde sabemos, se le podría haber estado llamando durante todos estos siglos al erróneo, sin que de ello resultase ninguna diferencia. Ahora bien, tal como i, I tampoco ha sido definido de forma exclusiva; entonces, sólo debe ser considerado como cierto número sobrenatural específico de entre los muchos posibles que forman pares de prueba TNT con la aritmoquinificación de u.

Los teoremas sobrenaturales tienen derivaciones infinitamente largas

Todavía no hemos hecho frente a las consecuencias de incorporar a ~G como axioma. Lo hemos mencionado, pero sin desarrollarlo. La cuestión radica en que ~G afirma que G tiene una demostración: ¿cómo puede subsistir un sistema, si uno de sus axiomas afirma que su propia negación puede ser demostrada? ¡Ahora sí que estamos listos! Bueno, no es tan grave como parecería: en tanto construyamos únicamente demostraciones finitas, G nunca quedará probada; en consecuencia, no se producirá ninguna colisión catastrófica entre G y su negación ~G. El número sobrenatural I no será causante de ningún desastre.

Sin embargo, nos tendremos que hacer ahora a la idea de que sólo ~G afirma una verdad (“G tiene una demostración”), mientras que G afirma una falsedad (“G no tiene demostración”). En la teoría de los números habitual esto es al revés, pero allí no hay ninguna clase de números sobrenaturales. Adviértase que un teorema sobrenatural de TNT —particularmente G— puede afirmar una falsedad, pero todos los teoremas naturales siguen afirmando verdades.

Suma y multiplicación sobrenaturales

Hay un hecho curioso e inesperado con respecto a los sobrenaturales que me gustaría indicar, sin agregar demostración (no la conozco, tampoco). Este hecho puede hacernos recordar el principio de incertidumbre de Heisenberg, en el campo de la mecánica cuántica. Resulta que los sobrenaturales se pueden “indexar”, de un modo sencillo y común, mediante la vinculación de cada número sobrenatural con un terceto de enteros corrientes (incluidos los negativos). Así, nuestro número sobrenatural inicial, I, puede tener el conjunto índice (9, −8, 3), y su subsiguiente, I + 1, tendría el conjunto índice (9, −8, 4). Pero no hay un solo medio de asignación de índices a los sobrenaturales: existen diferentes métodos, que ofrecen diferentes ventajas y desventajas. En ciertos esquemas de indexación, es muy fácil calcular el triplete índice correspondiente a la suma de dos sobrenaturales, dados los índices de los dos números que han de ser sumados. En otros esquemas, es muy fácil calcular el triplete índice del producto de dos sobrenaturales, dados los índices de los dos números que han de ser multiplicados. Sin embargo, en ningún esquema es posible calcular ambas cosas; más exactamente: si el índice de la suma puede ser calculado por medio de una función recursiva, el índice del producto, entonces, no será una función recursiva; inversamente, si el índice del producto es una función recursiva, el índice de la suma no lo será. En consecuencia, los niños de las escuelas sobrenaturales que aprendan sus tablas sobrenaturales de sumar deberán ser disculpados si no conocen bien las tablas que les recuerdan sus tareas y horarios… y viceversa… No se pueden conocer ambas cosas al mismo tiempo…

Los sobrenaturales son útiles…

Se puede ir más allá de la teoría de los números de los sobrenaturales, y plantearse fracciones sobrenaturales (razones entre dos sobrenaturales), números reales sobrenaturales, etc. De hecho, el cálculo puede ser colocado sobre nuevas bases a través de la utilización de la noción de números reales sobrenaturales. Los infinitesimales como dx y dy, esos viejos cocos de los matemáticos, pueden ser fundamentados a satisfacción considerándolos recíprocos de números reales infinitamente grandes… Ciertos teoremas del análisis superior pueden ser demostrados más intuitivamente con la ayuda de un “análisis inhabitual”.

… pero, ¿son reales?

La teoría inhabitual de los números es algo que desorienta cuando se produce nuestro primer contacto con ella. Sin embargo, también la geometría no euclidiana es un tema desconcertante. En ambos casos, nos sentimos poderosamente inclinados a preguntar: “¿Pero cuál de las dos teorías en competencia es correcta? ¿Cuál es la verdadera?”. En cierto sentido, no hay respuesta a semejante pregunta (sin embargo, en otro sentido —que comentaremos más adelante— sí hay una respuesta). La razón para que no haya respuesta es que las teorías opuestas, aunque emplean los mismos términos, no hablan de los mismos conceptos. Por consiguiente, la oposición es superficial, como ocurre entre las geometrías euclidiana y no euclidiana. Dentro de la geometría, las palabras “punto”, “línea”, etc. son términos indefinidos, y su significación es determinada por los sistemas axiomáticos en cuyo interior sean usadas.

Lo mismo ocurre en la teoría de los números: cuando decidimos formalizar TNT, preseleccionamos los términos que usaríamos como palabras de interpretación; por ejemplo, palabras tales como “número”, “más”, “veces”, etc. Al abordar la empresa de la formalización, nos estamos obligando a aceptar cualquier significación pasiva que estos términos lleguen a asumir. Pero, igual que Saccheri, no teníamos prevista ninguna sorpresa; creíamos saber en qué consistía la verdadera, la legítima, la única teoría de los números; no sabíamos que habría ciertas preguntas relativas a números que TNT dejaría sin responder y que, en consecuencia, podrían ser contestadas ad libitum por extensiones de TNT que adoptasen diferentes direcciones. Luego, no hay fundamentos que permitan sostener que la teoría de los números es “realmente” de este modo o de aquél, tal cual como, frente a la raíz cuadrada de −1, sentimos reparos en sostener que “realmente” existe, o bien que “realmente” no existe.

Bifurcaciones en geometría, y los físicos

Hay una argumentación contra lo expuesto precedentemente que puede ser planteada y, es más, quizá debiera serlo. Supongamos que las experimentaciones en el mundo físico real pudieran ser explicadas más económicamente en función de una versión particular de la geometría que en función de cualquier otra. Entonces, podría tener sentido decir que esa geometría es “verdadera”. Desde el punto de vista de un físico que necesita utilizar la geometría “correcta”, tiene sentido la distinción entre la geometría “verdadera”, y las restantes geometrías. Pero esto no puede ser tomado en forma demasiado simplista. Los físicos siempre están tratando con aproximaciones e idealizaciones de situaciones; por ejemplo, mi propio trabajo de doctorado, aludido en el Capítulo V, se basó en una extrema idealización del problema de un cristal dentro de un campo magnético. La matemática que surgió de allí tuvo un alto grado de belleza y simetría. A pesar de —o más bien, a causa de— la artificialidad del modelo, en la representación gráfica resaltaron destacadamente algunos aspectos fundamentales. Estos aspectos, a posteriori, sugieren determinadas conjeturas acerca del tipo de cosas que pueden ocurrir en situaciones más realistas; sin embargo, de no haber sido por las suposiciones simplificadoras que originaron mi gráfica, jamás podrían haberse producido aquellas profundizaciones. Este tipo de circunstancia puede apreciarse repetidamente en la física, donde un físico emplea una situación “irreal” para aprender acerca de rasgos profundamente ocultos de la realidad. En consecuencia, es necesario ser extraordinariamente cauto al decir que la clase de geometría que elijan los físicos constituiría ‘la geometría verdadera” porque, en rigor, los físicos optarán siempre por una variedad de geometrías, y aplicarán a cada situación la que parezca más simple y más conveniente.

Además —y tal vez esto sea aún más pertinente— los físicos no estudian solamente el espacio 3-D donde vivimos. Hay familias enteras de “espacios abstractos”, dentro de los cuales tienen lugar los cálculos físicos, espacios dotados de propiedades geométricas totalmente diferentes de las vinculadas con el espacio físico que habitamos. ¿Quién podrá decir, entonces, que la “geometría verdadera” es la definida por el espacio dentro del cual Urano y Neptuno giran en torno al Sol? Hay un “espacio de Hilbert”, donde ondulan las funciones de onda de la mecánica cuántica; hay un “espacio de impulsos”, donde residen los componentes Fourier; hay un “espacio recíproco”, donde brincan los vectores de onda; hay un “espacio fásico”, donde zumban las configuraciones de grandes cantidades de partículas, y así siguiendo. No hay absolutamente ninguna razón para que las geometrías de todos estos espacios tengan que ser la misma; en realidad, ¡es posible que no puedan ser la misma! Así, para los físicos, es esencial y vital que existan las diferentes y ‘opuestas” geometrías.

Bifurcaciones en teoría de los números, y los banqueros

Lo anterior, en cuanto a la geometría, ¿y en cuanto a la teoría de los números?, ¿también es vital y esencial que coexistan diferentes teorías de los números? Si uno se lo preguntase a un funcionario de un banco, obtendría, es mi impresión, muestras de horror y de incredulidad. ¿Cómo es posible que 2 y 2 sumen otra cosa que no sea 4? Además, si 2 más 2 no fueran 4, ¿la economía mundial no entraría en colapso de inmediato, ante la insufrible confusión que sobrevendría? No es así en realidad; en primer lugar, la teoría inhabitual de los números no amenaza la milenaria noción de que 2 más 2 es igual a 4. Sólo se aparta de la teoría habitual de los números en la forma en que maneja el concepto de infinito. Al fin y al cabo, ¡todo teorema de TNT sigue siendo un teorema en cualquier extensión de TNT! Los banqueros no tienen, pues, por qué pensar con desesperación en el caos que se desate cuando la teoría inhabitual de los números asuma el control.

De todos modos, albergar el temor de que los hechos acostumbrados sufran transformaciones revela una incomprensión de la relación existente entre la matemática y el mundo real. La matemática sólo responde a nuestras preguntas referidas al mundo real después de que hemos dado el paso determinante de elegir qué clase de matemática vamos a utilizar. Aun cuando existiera una teoría de los números opuesta que empleara los símbolos ‘2’, ‘3’ y ‘+’, y dentro de la cual un teorema dijera “2 + 2 = 3”, ¡no habría mayor motivo para que los banqueros optaran por tal teoría! Ésta no se amolda a la manera en que funciona la moneda: adaptamos nuestra matemática al mundo, y no al revés. Por ejemplo, no aplicamos la teoría de los números a los sistemas nube, porque el concepto mismo de número entero sería de aplicación inadecuada; habría una nube, y luego otra, y a continuación, tal vez, se fundirían en una sola en lugar de mantenerse como dos nubes, y no habría más que esa sola nube. Esto no prueba que 1 más 1 sea igual a 1, sino que nuestro concepto teórico-numérico de “uno” no es aplicable, en todo su poderío, al cómputo de nubes.

Bifurcaciones en teoría de los números, y los metamatemáticos

De manera pues que los banqueros, los enumeradores de nubes, y casi todos los demás, no tenemos por qué preocuparnos por el advenimiento de los números sobrenaturales: éstos no han de afectar ni remotamente nuestra percepción cotidiana del mundo. Los únicos que sí podrían sentirse un tanto inquietos son aquellos cuya labor depende, en una medida sustancial, de la naturaleza de las entidades infinitas. No constituyen un número dilatado, pero los lógicos matemáticos son miembros de esa categoría. ¿Y cómo puede afectarlos la existencia de una bifurcación en la teoría de los números? Bueno, la teoría de los números llena dos papeles en la lógica: (1) cuando es axiomatizada, es un objeto de estudio; (2) cuando es utilizada informalmente, es una herramienta indispensable para la investigación de sistemas formales. Otra vez estamos frente a la distinción uso-mención: en el papel (1), la teoría de los números es mencionada; en el papel (2), es usada.

Ahora bien, los matemáticos han juzgado que la teoría de los números es aplicable al estudio de los sistemas formales, aunque no al cómputo de nubes, así como los banqueros han juzgado que la aritmética de los números reales es aplicable a sus transacciones. Se trata de juicios extramatemáticos, y muestra que los procesos de pensamiento abarcados por los hechos matemáticos, y tal como ocurre en otras áreas, involucran “jerarquías enredadas”, en las cuales los pensamientos de un nivel pueden afectar los pensamientos de cualquier otro nivel; los niveles no están nítidamente separados, como nos lo haría creer la versión formalista acerca de qué es la matemática.

La filosofía formalista sostiene que los matemáticos tratan únicamente con símbolos abstractos, y que deberían despreocuparse de si tales símbolos son aplicables a la realidad o tienen vinculaciones con ella. Pero esto implica una imagen sumamente distorsionada, y en ninguna parte ello adquiere mayor claridad que en la metamatemática. Si la teoría de los números es usada para ayudar a obtener conocimiento fáctico de los sistemas formales, los metamatemáticos están mostrando tácitamente, entonces, su convicción de que esas cosas etéreas llamadas “números naturales” son concretamente parte de la realidad, y no sólo invenciones de la imaginación. Por este motivo señalé más atrás, entre paréntesis, que en cierto sentido hay una respuesta a la pregunta relativa a cuál versión de la teoría de los números es “verdadera”. Aquí está el meollo del problema: los lógicos matemáticos deben decidir en cuál teoría de los números han de depositar su confianza; en particular, no pueden permanecer neutrales en la cuestión de la existencia o inexistencia de los números sobrenaturales, pues cada una de estas dos posiciones aporta diferentes respuestas a las interrogaciones metamatemáticas.

Por ejemplo, veamos la pregunta: “¿~G es finitamente derivable en TNT?”. En rigor, nadie conoce la respuesta; sin embargo, casi todos los lógicos matemáticos contestarían sin vacilar que no. La intuición que origina tal actitud se basa en el hecho de que si ~G fuera un teorema, TNT sería ω-incoherente, y esto obligaría a tragarse los sobrenaturales si se quiere interpretar significativamente a TNT: semejante perspectiva es de muy difícil asimilación para mucha gente. Al fin y al cabo, cuando inventamos TNT no planeamos ni esperábamos que los sobrenaturales formasen parte de éste. Es decir, pensamos —la mayoría, al menos— que es posible elaborar una formalización de teoría de los números que no nos fuerce a creer que los números sobrenaturales son tan enteramente reales como los naturales. Es aquella intuición acerca de la realidad lo que determina en cuál de los “brazos” de la teoría de los números depositará su fe el matemático cuando llega la hora de la verdad. Pero esta fe puede ser errónea. Tal vez toda formalización coherente de teoría de los números que imaginen los seres humanos implique la existencia de sobrenaturales, al ser ω-incoherente: es una suposición muy insólita, pero concebible.

Si éste fuera el caso —lo pongo en duda, pero no se dispone de ninguna contraprueba— G no tendría que ser indecidible; de hecho, podría no haber en absoluto fórmulas indecidibles de TNT: habría simplemente una teoría de los números sin bifurcaciones, la cual incluiría, necesariamente, los sobrenaturales. No es eso lo que aguardan los lógicos matemáticos, pero se trata de algo que no debe ser rechazado sin análisis. Habitualmente, los lógicos matemáticos creen que TNT —y sistemas similares— es ω-coherente, y que la cadena Gödel que pueda construirse dentro suyo es indecidible en el interior del sistema. Esto significa que ellos pueden adoptar la resolución de agregar la cadena, o su negación, como axioma.

El décimo problema de Hilbert y la Tortuga

Me gustaría concluir este capítulo mencionando una extensión del Teorema de Gödel (este tema es cubierto de manera más completa por el artículo de Davis y Hersh: “Hilbert’s Tenth Problem”; véase la Bibliografía). Para ello, debo definir qué es una ecuación diofántica: es una ecuación en la cual un polinomio al que se han fijado coeficientes y exponentes enteros es puesto en equivalencia con cero. Por ejemplo:

a = 0

5x + 13y − 1 = 0

5p⁵ + 17q¹⁷ − 177 = 0

a^{123.666.111.666} + b^{123.666.111.666} − c^{123.666.111.666} = 0

Todas las anteriores son ecuaciones diofánticas. En general, es sumamente difícil saber si una determinada ecuación diofántica tiene o no solución en enteros. Pero algo, en una célebre conferencia que tuvo lugar a comienzo de siglo, Hilbert pidió a los matemáticos que tratasen de hallar un algoritmo general que permitiese determinar, a través de un número finito de pasos, si una ecuación diofántica dada tiene o no solución en enteros. ¡Poco sospechaba que semejante algoritmo no existe!

Pensemos ahora en la simplificación de G. Se ha mostrado que, siempre que se cuenta con una teoría formal de los números lo suficientemente poderosa, dotada de una numeración Gödel, hay una ecuación diofántica que es equivalente a G. La equivalencia reside en el hecho de que esta ecuación, cuando es interpretada en un nivel metamatemático, afirma de sí misma que no tiene solución. A la inversa: si se le encuentra una solución, ¡a partir de ésta se podría construir el número Gödel de una demostración, dentro del sistema, de que la ecuación no tiene solución! Es lo que hizo la Tortuga en el Preludio, utilizando la ecuación de Fermat como ecuación diofántica. ¡Es hermoso saber que, cuando se procede así es posible recuperar el sonido de Bach a partir de las moléculas del aire!

Fórmula	Número de Gödel
a = a	262.111.262
Reemplazamos ahora todas las variables libres por el numeral correspondiente a 2:	↓
SSO = SSO	123.123.666.111.123.123.666

~∃a:∃a′:∃a″ = (SSa·SSa′)	223.333.262.636.333.262.163.636. 262.163.163.111.362.123.123.262. 236.123.123.262.163.323
Reemplazamos ahora todas las variables libres por el numeral correspondiente a 4:	↓
~∃a:∃a′:SSSSO = (SSa·SSa′)	223.333.262.636.333.262.163.636. 123.123.123.123.666.111.362.123. 123.262.236.123.123.262.163.323

falsedad	⇔	no teoremidad
cita de una expresión	⇔	número Gödel de una cadena
hacer preceder un predicado por un sujeto	⇔	introducir un numeral (o término definido) en una fórmula abierta
hacer preceder un predicado por una expresión entrecomillada	⇔	introducir el número Gödel de una cadena en una fórmula abierta
hacer preceder un predicado por sí mismo, entrecomillado (“quinereamiento”)	⇔	introducir el número Gödel de una fórmula abierta dentro de la fórmula misma (“aritmoquinereamiento”)
produce falsedad cuando es quinereada (un predicado sin sujeto)	⇔	el “tío” de G (una fórmula abierta de TNT)
“produce falsedad cuando es quinereada” (el predicado anterior, entrecomillado)	⇔	el número u (el número Gödel de la fórmula abierta anterior)
“produce falsedad cuando es quinereada” produce falsedad cuando es quinereada (oración completa, formada por quinereamiento de predicado anterior)	⇔	G misma (oración de TNT, formada por la inclusión de u en el tío; es decir, por aritmoquinereamiento del tío)

CAPÍTULO XIV

Las dos ideas de la “ostra”