CAPÍTULO IX

Mumon y Gödel

¿Qué es el zen?

NO ESTOY MUY SEGURO de saber qué es el zen. En un sentido, creo comprenderlo perfectamente; pero en otro, pienso que nunca podré comprenderlo por entero. Desde que, estando en el primer año del liceo, el profesor de inglés leyó el MU de Jōshū en mi clase, me he debatido con aspectos zen de la vida, y es probable que no deje de hacerlo nunca. Para mí, el zen es una arena movediza intelectual: anarquía, oscuridad, sin sentido, caos. Atormenta y enfurece. Y sin embargo es jocoso, refrescante, seductor. El zen tiene su propia clase específica de significación, de lucidez y de claridad. Espero que, en este capítulo, me sea posible conseguir que el lector comparta algunas de estas apreciaciones. Así, por raro que parezca, ello nos conducirá directamente a los problemas gödelianos.

Uno de los principios básicos del budismo zen es que no hay modo de caracterizar qué es el zen. Por más extensión verbal que se dedique a abarcar al zen, éste se resiste, y permanece más allá. Podría parecer, entonces, que todos los esfuerzos por explicar el zen son irremediables pérdidas de tiempo. Pero los maestros y estudiosos del zen no piensan así. Por ejemplo, los kōans zen son una parte central del estudio del zen, y son pensamiento verbal. Se considera que los kōans son “disparadores”; aunque no contengan información suficiente como para, por sí mismos, infundir la iluminación, sí es posible que puedan bastar para poner en acción los mecanismos internos del entendimiento que conduzcan a la iluminación. En general, sin embargo, la postura del zen es que las palabras y la verdad son incompatibles o que, al menos, no hay palabras que puedan capturar la verdad.

El maestro zen Mumon

Con la finalidad, posiblemente, de fijar lo anterior de manera rigurosa, el monje Mumon (“Sin paso”), durante el siglo trece, recopiló cuarenta y ocho kōans, acompañando a cada uno con un comentario y un breve “poema”. La obra fue llamada “El paso sin paso”, o bien Mumonkan (“Muralla sin paso”). Es interesante advertir que las existencias de Mumon y de Fibonacci coincidieron casi exactamente en el tiempo: Mumon vivió entre 1183 y 1260, en China; Fibonacci entre 1180 y 1250, en Italia.

Quienes se aproximen al Mumonkan con la esperanza de hallar un sentido en los kōans, o de “comprenderlos”, pueden sufrir una gran frustración pues los comentarios y los poemas son tan faltos de transparencia como los kōans que, supuestamente, deberían ser clarificados por ellos. Veamos el siguiente ejemplo:^[1]

Tenemos esta otra muestra:^[2]

El lector deberá reconocer que Mumon no aclara precisamente el panorama. Se puede decir que el metalenguaje (es decir, el lenguaje de Mumon) no difiere mayor cosa con respecto al lenguaje objeto (el del kōan). Según algunas opiniones, los comentarios de Mumon son deliberadamente galimáticos, quizá para hacer patente lo inútil que es perder el tiempo en parloteos acerca del zen. Sin embargo, los comentarios de Mumon presentan más de un nivel de consideración. Veamos, por ejemplo, el siguiente:^[3]

En este poema, Mumon da la impresión de estar hablando de algo muy capital dentro del zen, y no la de hacer afirmaciones abstrusas. Curiosamente, empero, el poema es autorreferencial, y entonces no sólo plantea un comentario sobre las palabras de Nansen, sino también sobre su propia ineficacia. Este tipo de paradoja es sumamente característico del zen. Su propósito es “destruir la propensión lógica”. También el kōan muestra esta cualidad paradójica. Respecto al comentario de Mumon, ¿pensaríamos que Nansen estaba realmente tan seguro acerca de su respuesta? ¿O que la “corrección” de esa respuesta tiene alguna importancia? ¿O que la “corrección” cumple alguna función en el zen? ¿Cuál es la diferencia entre corrección y verdad, si es que la hay? ¿Y si Nansen hubiese dicho: “No. no hay tal enseñanza”, su respuesta habría sido inmortalizada en un kōan?

He aquí otro kōan que pretende destruir la inclinación lógica:^[4]

Si existe algún kōan apto para crear perplejidad, seguramente es éste. Y lo más probable es que ése sea exactamente su propósito, pues cuando uno se encuentra en estado de perplejidad es el momento en que el pensamiento comienza a operar, en cierta medida, de manera no lógica. Únicamente si uno se aparta de la lógica, así dice la doctrina, es posible brincar hacia la iluminación. ¿Pero por qué es tan indeseable la lógica? ¿Por qué es un impedimento para brincar hacia la iluminación?

La lucha del zen contra el dualismo

Para dar una respuesta a lo anterior, es necesario saber algo acerca de qué es la iluminación. Quizás el modo más conciso de sintetizarla sea decir: consiste en trascender el dualismo. Ahora bien, ¿qué es el dualismo? El dualismo es la división conceptual del mundo en categorías. ¿Es posible trascender esta tendencia tan natural? Al acompañar la palabra “división” con la palabra “conceptual”, puedo haber creado la impresión de que se trata de un esfuerzo intelectual o consciente, y de allí, quizá, haber sugerido la idea de que el dualismo puede ser trascendido mediante la simple supresión del pensamiento (como si suprimir el pensamiento fuese algo tan simple…). Por el contrario, la partición del mundo en categorías se produce muy por debajo de los estratos superiores del pensamiento; en realidad, el dualismo es tanto una división perceptual del mundo como una división conceptual. En otras palabras, la percepción humana es, por naturaleza, un fenómeno dualista, lo cual convierte a la búsqueda de la iluminación en una lucha dificultosa, para decir lo menos.

La esencia del dualismo, según el zen, consiste en palabras: meras palabras. El empleo de palabras es intrínsecamente dualista, ya que cada palabra representa, muy obviamente, una categoría conceptual. En consecuencia, uno de los aspectos principales del zen es su pugna contra la confianza en las palabras. Para combatir el uso de palabras, uno de los mejores recursos es el kōan, donde aquéllas son tan profundamente violadas que el pensamiento queda poco menos que tambaleándose, si el kōan es tomado con seriedad. De manera que quizá sea erróneo decir que el enemigo de la iluminación es la lógica; antes bien, lo sería el pensamiento dualista, verbal. En realidad, el enemigo sería algo más elemental aún: la percepción. Ni bien se percibe un objeto, se traza una línea entre éste y el resto del mundo; se divide al mundo, artificialmente, en partes y, como resultado, se extravía el Camino.

El kōan incluido a continuación muestra esta lucha contra las palabras:^[5]

(Los “patriarcas” son los seis venerados fundadores del budismo zen, de los cuales el primero es Bodhidharma, y Enō el sexto).

¿Por qué llamar a un corto cayado por ese nombre es oponerse a su realidad? Probablemente, porque tal categorización crea la apariencia de capturar la realidad, cuando lo cierto es que ese enunciado no va más allá de la superficie. Podría ser comparado a la afirmación: “5 es un número primo”. Es mucho más —una cantidad infinita de elementos— lo que resulta omitido actuando así. Del otro lado, no llamarlo un cayado es, por cierto, ignorar la circunstancia de que constituye un hecho particular, por minúsculo que sea. Luego, las palabras conducen a cierta verdad —cierta falsedad también, quizá— pero de ningún modo a toda la verdad. Confiarse en las palabras para alcanzar la verdad es como confiar en un sistema formal incompleto para alcanzar el mismo fin. Un sistema formal puede aportarnos ciertas verdades, pero, tal como veremos muy pronto, un sistema formal —por poderoso que sea— no puede conducirnos a todas las verdades. El dilema de los matemáticos es: ¿en qué otra cosa se puede confiar, fuera de los sistemas formales? Y el dilema de los adeptos al zen es: ¿en qué otra cosa se puede confiar, fuera de las palabras? Mumon hace una formulación muy clara del dilema: “No puede ser expresado con palabras y no puede ser expresado sin palabras”.

En este punto, escuchemos de nuevo a Nansen:^[6]

Se diría que esta curiosa formulación es sumamente paradójica. Recuerda un tanto a aquella infalible cura para el hipo: “Da tres vueltas a la casa sin pensar en la palabra ‘lobo’”. El zen es una filosofía que parece haber adoptado la noción de que el sendero hacia la verdad última, lo mismo que la cura infalible para el hipo, puede estar erizado de paradojas.

Ismo, la Ultravía y Unmon

Si hay que desechar las palabras, si hay que desechar el pensamiento, ¿a qué hay que apelar? Por supuesto, plantear esta pregunta es de por sí un horrible dualismo, pero lo que estamos haciendo no es comentar el zen desde una postura obediente del zen, de modo que podemos tratar de responder con seriedad al interrogante. Tengo un nombre para lo que persigue el zen: ismo. El ismo es una antifilosofía, una forma de ser sin pensar. Los maestros del ismo son las rocas, los árboles, las almejas; por el contrario, las especies animales más evolucionadas están destinadas a perseguir el ismo, sin obtenerlo nunca por completo. Así y todo, de vez en cuando se producen resplandores fugaces de ismo. Quizás el kōan que sigue ofrezca un resplandor así:^[7]

Suprimir la percepción; suprimir el pensamiento lógico, verbal, dualista: tal es la esencia del zen, la esencia del ismo. Tal es la Ultravía: ni Inteligente, ni Mecánica, sólo “Ultra”. Jōshū iba por la Ultravía, y por eso ultradesformuló la pregunta con su ‘MU’. La Ultravía era algo natural, también, para el maestro zen Unmon:^[8]

Dijo un día Unmon a sus discípulos, “¡Este cayado mío se ha transformado en un dragón y se ha tragado el universo! Oh, ¿dónde están los ríos y las montañas y la magna Tierra?”.

El zen es un holismo llevado a sus extremos lógicos. Si el holismo postula que las cosas sólo pueden ser comprendidas como conjuntos, no como sumas de sus partes, el zen va más allá al sostener que de ninguna manera el mundo puede ser fragmentado en partes. Dividir el mundo en partes es caer en el engaño, y ser apartado de la iluminación.

Evidentemente, el maestro desea transmitir la idea de que el estado de iluminación disuelve los límites entre el yo y el resto del universo. Ello comporta la completa liquidación del dualismo pues, como dice el kōan, no queda en pie ningún sistema que tenga el deseo de percibir. Pero si ese estado no es la muerte, ¿cuál es? ¿Cómo, un ser humano vivo, puede disolver los límites entre sí mismo y el mundo exterior?

El zen y Tumbolia

El monje zen Bassui escribió una carta a uno de sus discípulos que estaba por morir; decía: “Tu final, el cual no tiene final, es como un copo de nieve disolviéndose en el aire puro”. El copo de nieve, que antes fue un subsistema perfectamente discernible del universo, ahora se disuelve en el sistema más grande, que hasta entonces lo contuvo. Aunque ya no está presente bajo la forma de un subsistema sustantivo, su esencia se conserva, de alguna forma, y así permanecerá. Flota en Tumbolia, junto con los hipos que no están siendo hipados y con los personajes de las narraciones que no están siendo leídas… Así es como entiendo yo el mensaje del Bassui.

Así como los matemáticos han aprendido a reconocer las limitaciones de los métodos axiomáticos como métodos para alcanzar la verdad, también el zen reconoce sus limitaciones propias. Esto no significa que el zen tenga una respuesta para lo que está situado más allá del zen: cuando más, su caso es análogo al de los matemáticos, con su clara conciencié de las formas de razonamiento válido que existen fuera de la formalización. Una de las expresiones más claras del zen acerca de sus límites aparece en el kōan siguiente, muy acorde con el espíritu de Nansen:^[10]

Siempre hay una meta ubicada más adelante; la iluminación no es el punto terminal del zen. Pero no hay receta que indique cómo trascender el zen: únicamente se puede estar seguro de que la vía para ello no es Buda. El zen es un sistema, y no puede ser su propio metasistema; siempre queda algo fuera del zen, que no puede ser comprendido o descrito dentro del zen.

Escher y el zen

En su cuestionamiento de la percepción, y en su hábito de plantear absurdos enigmas sin respuesta, el zen cuenta con la compañía de M. C. Escher. Observemos Día y noche (figura 49), una obra maestra donde “lo positivo y lo negativo se entremezclan” (en palabras de Mumon). Es posible preguntarse, “¿en realidad, se trata de pájaros o de campos parcelados?, ¿es de noche o de día?”. Sin embargo, sabemos perfectamente que estas preguntas no vienen muy al caso; la obra, igual que un kōan zen, trata de fisurar la propensión lógica. Escher se complace también en producir imágenes contradictorias, como en Otro Mundo (figura 48): imágenes que juegan con la realidad y la irrealidad de un modo semejante a como lo hace el zen. ¿Escher ha de ser tomado con seriedad? ¿El zen ha de ser tomado con seriedad?

En Gota de rocío (figura 47) hay un delicado análisis de reflejos visuales, parecido al que elaboran los haiku. Por su parte, Charco (figura 51) y Superficie Ondulada (figura 52) presentan sosegadas imágenes de la luna reflejándose en aguas quietas. El reflejo lunar es un tema reiterado en diversos kōans; en el siguiente, por ejemplo:^[11]

Chiyono había estudiado el zen durante muchos años, bajo la dirección del maestro Bukko, de Engaku. Sin embargo, no conseguía practicar satisfactoriamente la meditación. Una noche de luna, traía agua en un viejo cubo de madera ceñido con tallos de bambú, cuando éstos se cortaron, y el fondo del cubo se desprendió. En ese instante, ella quedó liberada, y dijo: “Ya no hay agua en el cubo, ya no hay luna en el agua”.

Tres Mundos es una litografía de Escher (figura 46), y también el tema de un kōan zen:^[12]

Un monje preguntó a Gantō, “Si me amenazan los tres mundos, ¿qué debo hacer?”. Gantō respondió, “Siéntate”. “No comprendo”, dijo el monje. Gantō respondió, “Levanta la montaña y tráemela. Luego te contestaré”.

La hemiolia y Escher

En Verbum (figura 149), hay una elaboración de oposiciones dentro de unidades ubicadas en diversos niveles. Mirando circularmente, vemos allí un tránsito gradual: de pájaros negros, a pájaros blancos, a peces negros, a peces blancos, a ranas negras, a ranas blancas, a pájaros negros… ¡Luego de seis pasos, volvemos al comienzo! ¿Es una forma de reconciliar la dicotomía entre negro y blanco? ¿O la tricotomía entre pájaros, peces y ranas? ¿O es una unidad séxtuple compuesta a partir de la oposición entre el carácter par de 2 y el impar de 3? En música, seis notas de igual valor temporal crean una ambigüedad rítmica: ¿se trata de 2 grupos de 3, o de 3 grupos de 2? Esta ambigüedad tiene un nombre: hemiolia. Chopin manejó magistralmente la hemiolia, como lo muestran su Vals op. 42 o su Estudio op. 25, número 2. En Bach, se puede observar lo mismo en el Tempo di Menuetto, de la Partita para teclado número 5, o en el increíble Finale de la primera Sonata para violín solo, en Sol menor.

Cuando uno se desliza hacia el centro de Verbum, las distinciones se van borrando paulatinamente hasta que, por fin, no permanecen ni tres, ni dos, sino una única esencia: “VERBUM”, fulgurante… símbolo, quizá, de la iluminación. Ahora bien, suena paradójico el hecho de que “verbum” no sólo es una palabra, sino que significa “palabra”, lo cual no configura, precisamente, una noción compatible con el zen. Por otro lado, sin embargo, “verbum” es la única palabra del cuadro; y el maestro zen Tozan dijo, en una ocasión: “Todo el Tripitaka puede ser expresado mediante un solo signo”. (“Tripitaka”, cuyo significado es “tres cestos”, designa al conjunto completo de los escritos budistas originarios). ¿Qué clase de mecanismo decodificador —yo me pregunto— será el que extracte los tres cestos en un solo signo? Posiblemente un mecanismo dotado de dos hemisferios.

La red de Indra

Por último, veamos Tres Esferas II (figura 53), donde cada parte del mundo parece contener a las otras partes, y estar contenida en ellas: la superficie del escritorio donde reposan produce un reflejo de las esferas, las esferas se reflejan entre sí, y además reflejan el escritorio, el acto de dibujar que las construye, y al artista que las está dibujando. Esta vinculación sin fin de todas las cosas entre sí no está más que insinuada aquí, pero es una insinuación suficiente. La alegoría budista de “La red de Indra” habla de una trama interminable de hilos que recorren el universo: los horizontales atraviesan el espacio; los verticales, el tiempo. Cada intersección de los hilos es un individuo, y cada individuo es una bolita de cristal; cada bolita, a su vez, refleja la imagen de todas las demás… y también todos los reflejos de todos los reflejos del universo.

A mi entender, esto produce un símil de las partículas re normal izadas: en cada electrón hay, de modo virtual, fotones, positrones, neutrinos, muones…; en cada fotón hay, también de modo virtual, electrones, protones, neutrones, piones,…; en cada pión hay,…

Y entonces surge otro símil: el de las personas, cada una de ellas reflejada en el pensamiento de muchas otras, quienes a su vez son reflejadas por otras más, y así sucesivamente.

La imagen de estas dos situaciones podría ser representada en forma sintética y precisa mediante las Redes de Transición Aumentada. En el caso de las partículas, habría una red para cada categoría de partículas; en el caso de las personas, una para cada individuo. Cada red contendría apelaciones a muchas otras, generando así un enjambre virtual de redes RTA alrededor de cada RTA. Una apelación produciría otras apelaciones, desencadenando un proceso que, antes de agotarse, puede alcanzar una amplitud difícil de acotar.

Mumon, MU

Concluiremos esta breve visita a los territorios del zen con otra cita de Mumon. He aquí su comentario del MU de Jōshū:^[13]

De Mumon al acertijo MU

Desde las etéreas alturas del MU de Jōshū, descendemos ahora a la prosaica terrenalidad del MU de Hofstadter… Sé que el lector ya concentró toda su energía en este MU (cuando leyó el Capítulo I). Por eso, deseo contestar ahora la pregunta planteada allí:

¿El MU tiene naturaleza de teorema, o no?

La respuesta no es un evasivo MU; por el contrario, consiste en un rotundo NO. Para mostrar por qué, nos serviremos del dualista pensamiento lógico. Hicimos dos observaciones fundamentales en el Capítulo I:

1. El acertijo MU tiene profundidad, lo cual resulta sobre todo del hecho de que interrelaciona reglas de ampliación y de reducción;
2. Sin embargo, existe la esperanza de allanar el obstáculo mediante el empleo de un instrumental que, en cierto sentido, sea lo adecuadamente profundo como para entenderse con problemas de esa complejidad’: la teoría de los números.

Nuestro análisis del acertijo MU en el Capítulo I no atendió a las precisiones anteriores con puntillosidad, cosa que sí será hecha ahora. Y así veremos de qué manera la segunda observación (cuando es generalizada, más allá del no significativo sistema MIU) es una de las más provechosas adquisiciones de toda la matemática, y en qué medida modificó la perspectiva de los matemáticos coa respecto a su propia disciplina.

Para facilitar las referencias, incluyo a continuación un resumen del sistema MIU:

SÍMBOLOS: M, I, U

AXIOMA: MI

REGLAS:

Mumon nos indica cómo resolver el acertijo MU

De acuerdo con las observaciones de más arriba, entonces, el acertijo MU no es más que un acertijo, bajo disfraz tipográfico, referido a números naturales. Para estar en condiciones de resolverlo, bastaría con poder transferirlo al dominio de la teoría de los números. Consideremos las palabras de Mumon, “Quien mire bien, advertirá dónde está el error del maestro”. ¿Y por qué será importante mirar bien?

Si se cuenta el número de veces que I aparece en los distintos teoremas, pronto se advertirá que, por lo visto, ese número nunca es 0. En otras palabras, se diría que por más reducciones y ampliaciones que intervengan, no es posible proceder de forma tal que la I quede eliminada. Llamemos valor I al número de veces en que aparece I en cada cadena; así, el valor I del axioma MI es 1. Podemos hacer algo más que mostrar que el valor I no puede ser 0: podemos mostrar que el valor I no puede ser nunca un múltiplo de 3.

Para comenzar, tómese nota de que las reglas I y IV no afectan en absoluto al valor I. En consecuencia, sólo necesitamos pensar en las reglas II y III. En lo que se refiere a la regla III, ésta hace decrecer el valor I exactamente en 3. Luego de una utilización de esta regla, es concebible que el valor I del resultado, o salida, pueda ser un múltiplo de 3: pero únicamente en el caso de que también lo fuera el valor I de la entrada. En síntesis, la Regla III no puede crear un múltiplo de 3 desde la nada; puede hacerlo sólo si ha comenzado con un múltiplo de esa clase. Lo mismo vale para la regla II, la cual duplica el valor I. Ello es así porque si 3 divide a 2n, entonces —puesto que 3 no divide a 2— debe dividir a n (un hecho sencillo dentro de la teoría de los números). Ni la regla II ni la regla III pueden producir un múltiplo de 3 desde la nada.

¡Y ésta es la clave del acertijo MU! He aquí lo que sabemos:

1. El valor I comienza en 1 (no en un múltiplo de 3).
2. Dos de las reglas no afectan en absoluto al valor I.
3. Las dos reglas restantes, las cuales sí lo afectan, lo hacen fuera de toda posibilidad de producir un múltiplo de 3, salvo que otro múltiplo de esta clase haya sido previamente dado.

La conclusión —conclusión ajustada a antecedentes tradicionales, sin duda— es que el valor I jamás puede llegar a ser un múltiplo de 3. Específicamente, el valor I nunca puede ser 0. Luego, MU no es un teorema del sistema MIU.

Conviene reparar en que, aun tomado como un acertijo centrado en el valor I, este problema seguía bajo el acoso del fuego cruzado de las reglas de ampliación y de reducción. El objetivo había pasado a ser el cero; el valor I podía aumentar (regla II), o decrecer (regla III). Hasta que no analizamos la situación, podríamos haber pensado que moviéndonos debidamente hacia atrás y hacia adelante, mediante la aplicación alternada de las reglas, terminaríamos por alcanzar el 0. Ahora, gracias a una sencilla argumentación aportada por la teoría de los números, sabemos que ello es imposible.

Numeración Gödel del sistema MIU

No todos los problemas del tipo simbolizado por el acertijo MU son tan fáciles de resolver como este último. Pero hemos visto que por lo menos uno de ellos puede ser incorporado a la teoría de los números y resuelto allí. Ahora, vamos a ver que existe un modo de incorporar a la teoría de los números todos los problemas vinculados a cualquier sistema formal. Ello es posible en virtud del hallazgo, debido a Gödel, de una clase especial de isomorfismo. Utilizaremos el sistema MIU para ilustrar esto.

Vamos a comenzar considerando la notación del sistema MIU. Haremos corresponder cada símbolo con un nuevo símbolo:

La relación es arbitraria; la única consonancia o motivación tenida en cuenta es la de que cada uno de los símbolos tiene cierto parecido con el que le ha sido asignado como correspondiente. Llamaremos a cada número el número Gödel de la letra respectiva.

Bien, estoy seguro de que el lector ya puede conjeturar cómo será el número Gödel de una cadena que incluya más de una letra:

Es fácil. Sin duda, esta correspondencia entre notaciones es una transformación que conserva la información; equivalente a ejecutar la misma melodía mediante dos instrumentos diferentes.

Observemos ahora una derivación común, dentro del sistema MIU, enunciadas simultáneamente en ambas notaciones:

1. MI ───── axioma ───── 31
2. MII ───── regla 2 ───── 311
3. MIIII ───── regla 2 ───── 31111
4. MUI ───── regla 3 ───── 301
5. MUIU ───── regla 1 ───── 3010
6. MUIUUIU ───── regla 2 ───── 3010010
7. MUIIU ───── regla 4 ───── 30110

La columna de la izquierda es obtenida mediante la aplicación de las cuatro reglas tipográficas que nos son familiares. Respecto a la columna de la derecha, también se podría pensar que ha sido producida por un conjunto similar de reglas tipográficas. Sin embargo, esta última columna tiene una naturaleza dual. Me explicaré acerca de cuál es el significado de esto.

Visión conjuntamente tipográfica y aritmética de las cosas

Podríamos decir que la quinta cadena (‘3010’) ha sido elaborada a partir de la cuarta, gracias al agregado de un ‘0’ a la derecha; por otro lado, sería igualmente válido atribuir la transición a una operación aritmética: una multiplicación por 10, para ser precisos. Cuando se enuncian números naturales en el sistema decimal, la multiplicación por 10 y la colocación de un ‘O’ a la derecha son operaciones que no se distinguen entre sí. Podemos servirnos de ello para formular una regla aritmética que se corresponda con la regla tipográfica I:

REGLA ARITMÉTICA Ia: Un número cuyo desarrollo decimal finalice, sobre la derecha, en ‘1’, puede ser multiplicado por 10.

Podemos suprimir la referencia a los símbolos del desarrollo decimal, por medio de la descripción aritmética del dígito ubicado en el extremo derecho:

REGLA ARITMÉTICA Ib: Un número cuyo resto, al ser dividido por 10 sea 1, puede ser multiplicado por 10.

Ahora bien, podríamos habernos limitado a contar con una regla exclusivamente tipográfica, como la siguiente:

REGLA TIPOGRÁFICA I: Dado cualquier teorema cuyo último símbolo del lado derecho sea ‘1’, puede elaborarse un nuevo teorema, agregando ‘0’ a la derecha de aquel símbolo.

Se hubiera obtenido el mismo resultado. Es por ello que la columna de la derecha tiene “naturaleza dual”: puede ser vista como una serie de operaciones tipográficas que transforman una configuración de símbolos en otra, o bien como una serie de operaciones aritméticas que transforman una magnitud en otra. Pero existen razones poderosas para tener mayor interés por la versión aritmética. Pasar de un sistema exclusivamente tipográfico a otro sistema tipográfico, isomórfico con respecto al anterior, no es una meta demasiado atrayente; pero dejar atrás el dominio tipográfico para ingresar en una región isomórfica de la teoría de los números ofrece el incentivo de encontrarse con ciertas potencialidades inexploradas. Es como si alguien hubiese estado en contacto toda su vida con partituras musicales, pero conociéndolas sólo visualmente, y de pronto, sin transición alguna, palpase la correspondencia existente entre sonidos y partituras. ¡Qué mundo nuevo y tan rico! Diríamos también: es como si alguien hubiese estado en contacto toda su vida con formas de cadenas, pero conociéndolas sólo como formas de cadenas, desprovistas de significación, y de pronto, sin transición alguna, palpase la correspondencia existente entre historias y cadenas. ¡Qué revelación!

El descubrimiento de la numeración Gödel ha sido comparado con el descubrimiento, por parte de Descartes, del isomorfismo existente entre curvas ubicadas en un plano y ecuaciones de dos variables: algo increíblemente simple —después que se lo ve— e inaugurador de un vasto mundo nuevo.

Antes de saltar a las conclusiones, quizá convenga ofrecer al lector muestras más completas de este nivel superior de isomorfismo. Será un excelente ejercicio. La idea consiste en formular reglas aritméticas cuyos efectos no se distingan de los producidos por cada una de las reglas tipográficas del sistema MIU.

Más abajo se ofrece una solución. En las reglas formuladas, m y k son números naturales cualesquiera, y n es cualquier número natural menor que 10^m.

REGLA 1: Si tenemos 10m + 1, podemos hacer 10 × (10m + 1).

Ejemplo: El paso de la línea 4 a la línea 5. Aquí, m = 30.

REGLA 2: Si tenemos 3 × 10^m + n, podemos hacer 10^m × (3 × 10^m + n) + n.

Ejemplo: El paso de la línea 1 a la línea 2, tanto m como n valen 1.

REGLA 3: Si tenemos k × 10^m+3 + 111 × 10^m + n, podemos hacer k × 10^m+1 + n.

Ejemplo: El paso de la línea 3 a la línea 4. Aquí, m y n valen 1, y k, 3.

REGLA 4: Si tenemos k × 10^m+2 + n, podemos hacer k × 10^m + n.

Ejemplo: El paso de la línea 6 a la línea 7. Aquí, m = 2, n = 10 y k = 301.

¡No olvidemos nuestro axioma! Sin él, no iremos a ninguna parte. En consecuencia, postulamos que:

Podemos obtener 31.

Ahora, la columna de la derecha puede ser considerada un proceso aritmético acabado, dentro de un nuevo sistema aritmético al cual podemos llamar sistema 310:

Adviértase una vez más que las reglas de ampliación y de reducción nos siguen acompañando; han sido trasladadas directamente al dominio de los números, y entonces los números Gödel se agrandan y se achican. Si se observa cuidadosamente todo eso, se descubrirá que las reglas están basadas sencillamente en la noción de que el desplazamiento de dígitos hacia la izquierda y hacia la derecha, en representaciones decimales de enteros, se relaciona con multiplicaciones y divisiones por potencias de 10. Esta simple observación es generalizada a través de la siguiente

Aquella simple observación está en el centro del método de Gödel, y su efecto será estremecedor. La misma nos señala que, contando con la numeración Gödel de cualquier sistema formal, podemos formular de inmediato un conjunto de reglas aritméticas, con lo cual queda completo el isomorfismo de Gödel. El resultado consiste en que podemos transferir el estudio de cualquier sistema formal —en realidad, el estudio de todos los sistemas formales— al campo de la teoría de los números.

Números MIU producibles

Del mismo modo que un conjunto de reglas tipográficas genera un conjunto de teoremas, el conjunto correspondiente de números naturales será generado por la repetida aplicación de reglas aritméticas. Estos números producibles cumplen, dentro de la teoría de los números, la misma función que los teoremas en el interior de cualquier sistema formal. Por supuesto, serán producibles diferentes números, según las reglas que se adopten. Los “números producibles” son producibles únicamente con relación a un sistema de reglas aritméticas. Por ejemplo, números tales como 31, 3010010, 3111, etcétera, pueden ser llamados números MIU producibles: una denominación nada elegante, que puede ser abreviada como números MIU, y encargada de significar que estos números son los únicos que se producen cuando el sistema MIU es trasladado a la teoría de los números, con la mediación de la numeración Gödel. Si traspusiéramos a números Gödel el sistema mg, y luego “aritmetizáramos” sus reglas, llamaríamos “números mg” a los números producibles, y así por el estilo.

Hago notar que los números producibles (en cualquier sistema dado) son definidos merced a un método recursivo: conocidos los números de los cuales se sabe que son producibles, utilizamos reglas que establecen cómo obtener otros números producibles. Así, la clase de los números de los cuales se sabe que son producibles se autoamplía constantemente, de modo muy similar a como lo hace la lista de números de Fibonacci, o la de los números Q. El conjunto de los números producibles de cualquier sistema es un conjunto recursivamente enumerable. ¿Qué ocurrirá con su complemento: el conjunto de los números no producibles? ¿Este conjunto es siempre recursivamente enumerable? ¿Hay algún rasgo aritmético común en todos los números que no son producibles?

Este tipo de tema es el que surge cuando se lleva el estudio de los sistemas formales al reino de la teoría de los números. Se puede preguntar, con respecto a cada sistema aritmetizado, “¿Podemos caracterizar de una manera simple a los números producibles?”. “¿Podemos caracterizar de una manera recursivamente enumerable a los números no producibles?”. Las preguntas anteriores configuran problemas difíciles de teoría de los números. En el marco del sistema que haya sido aritmetizado, aquéllas pueden resultarnos muy arduas de responder. Si existe alguna posibilidad de resolver dichos problemas, deberá fincarse en el género de razonamiento paso a paso, usualmente aplicado a los números naturales. La forma depurada de esto fue presentada en el capítulo anterior: desde todo punto de vista, se diría que el TNT ha capturado, gracias a un sistema unitario y compacto, la gama completa de los procesos válidos de pensamiento matemático.

La respuesta a preguntas sobre números producibles, con la ayuda del TNT

¿Sería posible, en consecuencia, que los instrumentos adecuados para elaborar respuestas, frente a cualquier interrogante relativo al sistema formal que fuere, residan en el interior de un solo sistema formal: el TNT? Parece, razonablemente, que sí. Tomemos, por ejemplo, la siguiente pregunta:

¿MU es un teorema del sistema MIU?

Hallar la respuesta equivale a establecer si 30 es un número MIU o no. Como se trata de un enunciado correspondiente a la teoría de los números, deberíamos primero resolver —con algún esfuerzo— de qué manera traducimos la oración “30 es un número MIU” a notación TNT, siguiendo para ello, de alguna manera, el mismo procedimiento que cuando resolvimos cómo traducir otras oraciones de teoría de los números a notación TNT. Debo advertir ahora mismo al lector que tal traducción, si bien existe, es enormemente compleja. Le hago recordar mi observación, en el Capítulo VIII, de que un enunciado aritmético tan simple como “b es una potencia de 10” es muy complicado de codificar en notación TNT: ¡y el enunciado “b es un número MIU” lo es en grado mucho mayor! Con todo, es algo posible; y cada b puede ser remplazada por el numeral SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSO. Esto ha de generar una MONstruosa cadena de TNT, una cadena de TNT que se refiere al acertijo MU. Siendo así, llamaremos “MUMON” a esa cadena. A través de MUMON y de cadenas semejantes, el TNT está ahora en condiciones de hablar “en código” sobre el sistema MIU.

La naturaleza dual de MUMON

A fin de obtener algún provecho de esta singular transformación de la pregunta original, deberíamos buscar respuesta a esta otra pregunta:

¿MUMON es un teorema de TNT?

Todo lo que hemos hecho es sustituir una cadena relativamente corta (MU), por otra (la monstruosa MUMON); y un sistema formal simple (el sistema MIU), por un sistema complicado (el TNT). No es probable que la respuesta sobrevenga pronto, aun cuando la pregunta haya sido reformulada. TNT, en verdad, tiene un repertorio completo de reglas de ampliación y de reducción, y así, la relación de las preguntas quizá haga a éstas mucho más dificultosas que en su versión original. Se podría decir, inclusive, que analizar MU a través de MUMON, es una forma deliberadamente galimática de plantear las cosas. Sin embargo, MUMON presenta más de un nivel de consideración.

La que sigue es, realmente, una cuestión intrigante: MUMON tiene dos significados pasivos diferentes. En primer lugar, el que ya ha sido expuesto:

30 es un número MIU.

Pero, por otro lado, sabemos que este enunciado se vincula (por vía isomórfica) con otro enunciado:

MU es un teorema del sistema MIU.

De modo que podemos sostener, legítimamente, que este último es el segundo significado pasivo de MUMON. Lo cual parecerá muy curioso ya que, al fin y al cabo, MUMON no contiene sino signos más, paréntesis y demás símbolos de TNT. ¿Cómo es posible que pueda expresar enunciado alguno con un contenido distinto al aritmético?

El hecho es que sí puede. Así como una misma línea musical puede estar integrando tanto la melodía como la armonía de una composición; así como “BACH” puede ser interpretado como un nombre y también como una melodía; así como una misma oración puede ser una precisa descripción estructural de una pintura de Escher, de una sección de ADN, de una obra de Bach, y del propio diálogo dentro del cual aparece esta oración, así, del mismo modo, MUMON puede ser tomado de (por lo menos) dos maneras diferentes. Este estado de cosas se produce a causa de dos circunstancias:

Se puede decir que MUMON, en función de la Circunstancia 1, es un mensaje codificado, donde los símbolos del código son, en función de la Circunstancia 2, símbolos de TNT.

Códigos y significación implícita

Podría objetarse ahora que un mensaje codificado, a diferencia de un mensaje no codificado, no expresa nada sobre sí mismo: requiere el conocimiento del código. Ahora bien, en rigor, los mensajes no codificados no existen. Únicamente hay mensajes formulados en códigos más familiares, y mensajes formulados en códigos menos familiares. Para revelar la significación de un mensaje, es necesario extraerla del código mediante alguna clase de mecanismo, o de isomorfismo. Descubrir el método adecuado para la decodificación puede resultar difícil, pero una vez conseguido ello, el mensaje se convierte en algo tan transparente como el agua. Cuando un código es muy familiar, deja de ser visto como un código; uno olvida que existe un mecanismo decodificador. El mensaje pasa a ser identificado con su significación.

Nos estamos enfrentando con un caso donde la identificación del mensaje con la significación es tan profunda, que nos cuesta mucho concebir la existencia de una significación alternativa, contenida por los mismos símbolos. A saber, estamos tan inducidos por los símbolos de TNT a ver significaciones pertenecientes a la teoría de los números (y únicamente significaciones pertenecientes a la teoría de los números) en las cadenas de TNT, que nos resulta sumamente dificultoso concebir ciertas cadenas de TNT como enunciados referidos al sistema MIU. No obstante, el isomorfismo de Gödel nos fuerza a reconocer este segundo nivel de significación en determinadas cadenas de TNT.

Si lo decodificamos según el modo más familiar, vemos que MUMON contiene el mensaje:

30 es un número MIU.

Se trata de un enunciado de teoría de los números, obtenido mediante la interpretación de cada signo según el modo convencional.

Con la aparición de la numeración Gödel, y del isomorfismo total fundado en ésta, tenemos descifrado, hasta cierto punto, un código en el cual los mensajes referidos al sistema MIU son formulados en cadenas de TNT. El isomorfismo de Gödel es un nuevo revelador de información, exactamente como los desciframientos de antiguas inscripciones fueron reveladores de información. Si lo decodificamos según este nuevo y menos familiar mecanismo, vemos que MUMON contiene el mensaje:

MU es un teorema del sistema MIU.

Este cuento tiene una moraleja que ya escuchamos: la significación es un subproducto espontáneo generado por nuestro reconocimiento de cualquier isomorfismo; en consecuencia, hay, por lo menos, dos significados pasivos en MUMON…, ¡y es posible que haya más!

El búmerang: la numeración Gödel de TNT

Por cierto que las cosas no acaban aquí. Tan sólo hemos comenzado a comprender el potencial del isomorfismo de Gödel. Lo natural sería urdir la estratagema de volver sobre sí misma la capacidad de TNT de reflejar otros sistemas formales, del mismo modo en que la Tortuga volvió los fonógrafos del Cangrejo contra sí mismos, y en que su Grial G se volvió contra sí mismo, autodestruyéndose. Para conseguirlo, tendremos que asignar numeración Gödel al propio TNT, tal como lo hicimos con el sistema MIU, y luego “aritmetizar” sus reglas de inferencia. La numeración Gödel es fácil de aplicar. Podríamos establecer, por ejemplo, la siguiente correspondencia:

Cada uno de los símbolos de TNT ha sido vinculado con un triplete compuesto por los dígitos 1, 2, 3 y 6, ordenados con arreglo a motivaciones mnemotécnicas. Llamaré codón Gödel, o simplemente codón, a cada uno de tales tripletes. Adviértase que no he asignado codones a b, c, d, o e: estamos empleando el TNT austero. Hay razones profundas para ello, las cuales serán expuestas en el Capítulo XVI. En cuanto al último elemento del repertorio de equivalencias, la “puntuación”, lo fundamentaré en el Capítulo XIV.

Podemos ahora reformular cualquier cadena o regla de TNT, utilizando el nuevo ropaje. A continuación, por ejemplo, tenemos el Axioma 1, enunciado en las dos notaciones; primero, la nueva, y debajo la anterior:

La convención habitual de poner puntuación cada tres dígitos viene a coincidir, muy oportunamente, con los límites de nuestros codones, otorgándoles así una “fácil” legibilidad.

Veamos ahora la Regla de Separación en la nueva notación:

REGLA: Si x y 212x633y213 son teoremas, entonces y es un teorema.

Por último, presentamos toda una derivación, tomada del capítulo anterior, formulada dentro del TNT austero, y vertida, también, en la nueva notación:

Aclaro que he cambiado el nombre de la regla “adición de S” por el de “Inserción de ‘123’”; ya que es ésta la operación tipográfica convalidada ahora por la regla.

Esta nueva notación tiene que provocar una reacción de intensa extrañeza, pues hace que se pierda toda idea de significación; pero si uno se familiariza con ella, puede leer las nuevas cadenas tan fácilmente como leía las formuladas en notación TNT. Se estará así en condiciones de distinguir, de un vistazo, las fórmulas bien formadas de las que no lo están. Naturalmente, el hecho de que tenga esa característica tan visual, nos llevaría a pensar que se trata de una operación tipográfica; al mismo tiempo, sin embargo, señalar fórmulas bien formadas en esta notación es señalar una clase especial de enteros, los cuales cuentan, además, con una definición aritmética.

Ahora bien, ¿qué diremos respecto a la “aritmetización” de todas las reglas de inferencia? No cabe duda de que siguen siendo reglas tipográficas. ¡Pero un momento, por favor! Según la Proposición Básica, una regla tipográfica es perfectamente equivalente a una regla aritmética. La inserción y el desplazamiento de dígitos, en un número representado en forma decimal, es una operación aritmética, la cual puede ser efectuada tipográficamente. Así como agregar un ‘0’ al final es exactamente lo mismo que multiplicar por 10, cada regla es una manera sintética de describir una engorrosa operación aritmética. En cierta forma, en consecuencia, ni siquiera nos hace falta buscar reglas aritméticas equivalentes, porque todas las reglas son, ya, aritméticas…

Números TNT: un conjunto recursivamente enumerable de números

Observada de tal modo, la derivación precedente del teorema “362.123.666.112.123.666.323.111.123.123.666” es una secuencia de transformaciones teórico-numéricas entrelazadas en alto grado, cada una de las cuales actúa sobre uno, o más, de los números de entrada, y produce un número de salida al que llamamos, como antes, número producible, o más específicamente, número TNT. Algunas de las reglas aritméticas toman un número TNT anterior, y lo acrecientan de un modo particular, a fin de producir un nuevo número TNT; otras reglas toman un número TNT anterior y lo hacen decrecer; y también hay ciertas reglas que toman dos números TNT, operan sobre cada uno de ellos mediante determinadas y singulares formas, y luego reúnen los resultados en una combinación que da lugar a un nuevo número TNT… y así sucesivamente. Además, en lugar de comenzar sólo con un número TNT conocido, lo hacemos con cinco de ellos: naturalmente, uno por cada axioma (austero). El TNT aritmetizado es por cierto muy similar al sistema MIU aritmetizado, salvo que tiene más reglas y axiomas, y que entonces la formulación explícita de los equivalentes aritméticos sería mucho más molesta… y para nada esclarecedora, dicho sea de paso. Si el lector tiene presente el modo en que se procedió con el sistema MIU, comprobará que el modo seguido en este caso es enteramente análogo.

Hay un nuevo enunciado teórico-numérico, creado por esta “gödelización” de TNT; el siguiente:

a es un número TNT.

Por ejemplo, sabemos, a partir de la derivación efectuada más arriba, que 362.123.666.112.123.666.323.111.123.123.666 es un número TNT, en tanto que, por otro lado, 123.666.111.666 presumiblemente no es un número TNT.

Se nos ocurre ahora que este nuevo enunciado teórico-numérico es expresable mediante determinada cadena de TNT, con una variante libre, digamos a. Podríamos colocarle un tilde delante, y esa cadena expresaría la noción complementaría:

a no es un número TNT.

Ahora bien, si reemplazamos todas las apariciones de a, en esta segunda cadena, por el numeral TNT correspondiente a 123.666.111.666 —un numeral que contendrá exactamente 123.666.111.666 veces a S: demasiado extenso para enunciarlo—, contaríamos con una cadena TNT que, tal cual como MUMON, tendría la facultad de poder ser interpretada en dos niveles. En primer lugar, la cadena diría

123.666.111.666 no es un número TNT.

Pero a causa del isomorfismo que vincula los números TNT con los teoremas de TNT, habría un segundo nivel de significación en esta cadena, el siguiente:

SO=O no es un teorema de TNT.

TNT trata de autodevorarse

Esta “double entendre” inesperada demuestra que TNT contiene cadenas que hablan de otras cadenas de TNT. En otras palabras, el metalenguaje que nosotros utilizamos, desde fuera, para hablar de TNT, aparece reproducido, cuando menos parcialmente, dentro mismo de TNT. Y ello no configura un rasgo casual; por el contrario, se explica porque la arquitectura de cualquier sistema formal puede ser reflejada en el interior de N (teoría de los números). Se trata entonces de un rasgo tan inevitable de TNT como lo son las vibraciones generadas en un fonógrafo cuando ejecuta un disco. Aparentemente, las vibraciones podrían provenir del mundo exterior: causadas, por ejemplo, por niños que estén brincando o haciendo rebotar balones; pero resulta que un efecto colateral de la producción de sonidos —un efecto ineludible, además— consiste en que alcanzan y conmueven al propio mecanismo que los produce. No es algo accidental: es un efecto colateral del que no se puede escapar. Está en la naturaleza de los fonógrafos. Y está es la naturaleza de toda formalización de teoría de los números que su metalenguaje esté incorporado dentro suyo.

Podemos prestigiar esta observación llamándola el Dogma Central de la Lógica Matemática, y representándola mediante un diagrama en dos pasos:

TNT ⇒ N ⇒ meta-TNT

Dicho con palabras: una cadena de TNT cuenta con una interpretación en N; y un enunciado de N puede tener una segunda significación como enunciado referido a TNT.

G: una cadena que habla de sí misma en código

Todo esto tan atractivo corresponde solamente a la mitad del centro. La mitad restante implica una intensificación de la autorreferencia. Nos encontramos en el mismo estadio de la Tortuga cuando ésta se percató de que era posible construir un disco tal que, al pincharlo, rompería el fonógrafo; pero ahora la pregunta es: “Dado un fonógrafo, ¿cómo resolver con precisión qué disco poner?”. Es un asunto problemático.

Necesitamos encontrar una cadena de TNT —a la cual llamaremos ‘G’— que se refiera a sí misma, en el sentido de que uno de sus significados pasivos sea una oración que hable de G. El significado pasivo, específicamente, ha de ser:

“G no es un teorema de TNT”.

Debo agregar de inmediato que G tiene también un significado pasivo consistente en un enunciado de teoría de los números; igual que MUMON, es susceptible de ser construido mediante (por lo menos) dos diferentes formas. Lo importante es que cada uno de los significados pasivos es válido y útil por separado, y no arroja incertidumbres de ninguna índole sobre el otro significado. (El hecho de que un fonógrafo que pincha un disco produzca vibraciones en sí mismo y en el disco ¡no crea incertidumbres de ninguna índole acerca del hecho de que esas vibraciones son sonidos musicales!).

La existencia de G es lo que causa la incompletitud de TNT

El ingenioso método previsto para crear G, y ciertos conceptos importantes relativos a TNT, serán desarrollados en los Capítulos XIII y XIV; por ahora nos limitamos a echar una mirada, más bien superficial, sobre las consecuencias que pueden desprenderse del hallazgo de un componente autorreferencial en TNT. Quien sabe, ¡hasta podría explotar! En cierto modo, eso es lo que ocurre. Nos centramos en la pregunta obvia:

¿G es un teorema de TNT, o no?

Asegurémonos de formar una opinión propia a propósito de esta cuestión, en lugar de admitir la opinión de G acerca de sí misma. Después de todo, G no puede comprenderse a sí misma mucho más de lo que un maestro zen se comprende a sí mismo. Como MU, G puede ser un no teorema. No tenemos por qué confiar en toda cadena posible de TNT: sólo en sus teoremas. Utilizaremos ahora nuestra capacidad de razonamiento a fin de esclarecer el presente problema, en este punto, lo mejor que nos sea posible.

Haremos nuestra suposición habitual: que TNT emplea métodos válidos de razonamiento y, en consecuencia, jamás aparecen falsedades en él, ocupando el lugar de los teoremas. En otras palabras, todo aquello que sea un teorema de TNT expresa una verdad. De modo que si G fuera un teorema, expresaría una verdad, la siguiente: “G no es un teorema”. Nos topamos así con el peso íntegro de su autorreferencialidad. Siendo un teorema, tendría que ser entonces una falsedad. Luego, si nos apoyamos en nuestra suposición de que una falsedad nunca ocupa el lugar de un teorema en TNT, estaríamos obligados a concluir que G no es un teorema. Todo esto está muy bien, pero nos queda pendiente un pequeño problema: aun sabiendo que G no es un teorema, debemos reconocer que expresa una verdad. Tenemos aquí una situación donde TNT contradice nuestras expectativas: hemos hallado una cadena que expresa una afirmación verdadera, pero tal cadena no es un teorema. Pese a nuestro desconcierto, no debemos perder de vista el hecho de que G tiene una interpretación aritmética, asimismo, la cual nos permite resumir nuestros descubrimientos de la siguiente manera:

Ha sido encontrada una cadena de TNT; la misma expresa, sin la menor ambigüedad, una afirmación relativa a ciertas propiedades aritméticas de los números naturales; además, podemos determinar, razonando desde fuera del sistema, no sólo que la afirmación es verdadera sino también que la cadena no es apta para ser un teorema de TNT. Y entonces, si preguntamos a TNT si la enunciación es verdadera, TNT no responde ni sí ni no.

¿La cadena de la Tortuga, en la Ofrenda MU, es análoga a G? No del todo. Lo análogo a la cadena de la Tortuga es ~G. ¿Por qué? Bueno, pensamos por un momento en qué dice ~G. Debe decir lo contrarío de lo dicho por G. Dice G, “G no es un teorema de TNT”, luego, ~G debe decir, “G es un teorema”. Podemos reformular ambas, G y ~G, de esta forma:

Lo que es paralelo a la cadena de la Tortuga es ~G, pues la cadena de la Tortuga no se refería a sí misma, sino a la primera cadena entregada por la Tortuga a Aquiles: la que tenía un nódulo adicional (o uno de menos, como se prefiera).

Mumon tiene la última palabra

En su breve poema sobre el MU de Jōshū, Mumon penetró más profundamente que nadie en el Misterio de lo Ultraindecidible: