CAPÍTULO VIII

Teoría de los números tipográfica

El Canon Cangrejo y la autorreferencia indirecta

ENCONTRAMOS TRES EJEMPLOS de autorreferencia indirecta en el Canon Cangrejo. Tanto Aquiles como la Tortuga describen creaciones artísticas que conocen y, en forma enteramente casual, sucede que tales creaciones tienen la misma estructura que el diálogo mismo. (Imagine el lector mi sorpresa al advertirlo yo, el autor). Además, el Cangrejo describe una estructura biológica y ésta, a su vez, ostenta aquella misma propiedad. Por supuesto, uno puede leer el Diálogo, comprenderlo, y no darse cuenta de que éste tiene también la forma de un canon cangrejo. Ello significaría que lo ha comprendido en un nivel, pero no en otro. Para captar la autorreferencia tiene que analizarse la forma, además del contenido, del Diálogo.

La construcción de Gödel depende de la descripción de la forma, tanto como de la del contenido, de las cadenas del sistema formal que definiremos en este capítulo: la Teoría de los Números Tipográfica (TNT). El giro inesperado consiste en que, a causa de una sutil correspondencia descubierta por Gödel, la forma de las cadenas puede ser descrita dentro del sistema formal mismo. Ingresemos a este curioso sistema, disponiéndonos a que nos envuelva.

Qué queremos expresar mediante TNT

Comenzaremos por citar algunas expresiones propias de la teoría de los números; luego trataremos de encontrar un conjunto de nociones básicas en función de las cuales puedan ser reformuladas todas nuestras oraciones. Tales nociones, entonces, consistirán en determinados símbolos específicos. Debemos decir desde ahora que la denominación “teoría de los números” se ha de referir únicamente a las propiedades de los enteros positivos y del cero (y a los conjuntos formados por dichos enteros). Estos números son llamados números naturales. Los números negativos no llenan ninguna función en esta teoría. Así, cuando se utilice la palabra “número”, se referirá exclusivamente a un número natural. Y es importante —fundamental— que el lector distinga nítidamente entre el sistema formal (TNT), y la un tanto mal definida pero cómoda, y tradicional, rama de la matemática que es la teoría de los números misma. Llamaré a ésta “N”.

1. 5 es primo.
2. 2 no es un cuadrado.
3. 1729 es la suma de dos cubos.
4. Ninguna suma de dos cubos positivos es un cubo.
5. Hay infinitos números primos.
6. 6 es par.

Ahora bien, se puede pensar que hace falta un símbolo para cada noción tal como “primo”, “cubo”, o “positivo”; sin embargo, estas nociones no son primordiales, en realidad. La primidad, por ejemplo, está relacionada con los factores que tiene un número, los cuales, a su vez, están relacionados con la multiplicación. La cubicidad está también definida en términos de multiplicación. Vamos, pues, a reformular las expresiones anteriores, utilizando nociones que suenen más elementales.

Este análisis nos ha hecho recorrer un largo camino, hacia los elementos básicos del lenguaje de la teoría de los números. Está a la vista que algunas expresiones reaparecen una y otra vez:

• para todos los números b
• existe un número b, tal que…
• mayor que
• igual a
• veces
• más
• 0, 1, 2,…

La mayor parte de estas expresiones se constituirá en símbolos específicos. Una excepción está dada por “mayor que”, la cual puede ser, a su vez, reducida; la oración “a es mayor que b” pasa a ser:

existe un número c, no igual a 0, tal que a es igual a b más c.

Numerales

No contaremos con un símbolo diferente para cada número natural. En lugar de ello, aplicaremos un método simple y uniforme para elaborar símbolos compuestos que correspondan a cada uno de los números naturales: algo muy cercano a lo que hicimos en el sistema mg. He aquí nuestra notación para los números naturales:

El símbolo S tiene una interpretación: “el subsiguiente a”. Entonces, la interpretación literal de SSO es “el subsiguiente al subsiguiente a cero”. Las cadenas de esta forma son llamadas numerales.

Variables y términos

Naturalmente, necesitamos un modo de referirnos a los números no especificados, o variables. Usaremos para ello las letras a, b, c, d, e. Pero estos cinco elementos no serán suficientes; nos hace falta un surtido ilimitado, como el de los átomos en el cálculo proposicional. Usaremos un método similar al que adoptamos en este último para incrementar el número de variables: la anexión de la cantidad que se quiera de apóstrofos. (Advertencia: como el símbolo ‘′’ se lee “prima”, no se lo debe asociar para nada con los números primos). Por ejemplo:

son variables.

En cierto modo, es un derroche emplear cinco letras del alfabeto, cuando podríamos arreglarnos solamente con la a y el apóstrofo. Más adelante, por cierto, nos desharemos de b, c, d y e, de lo cual resultará una suerte de versión austera de TNT: austera, en el sentido de que se hace un poco más arduo, así, el desciframiento de fórmulas complejas. Por ahora, empero, seguiremos siendo dispendiosos.

¿Y qué ocurre con la suma y la multiplicación? Muy sencillo: usaremos los símbolos corrientes ‘+’ y ‘·’. Sin embargo, introduciremos también ciertos requisitos en cuanto a la utilización de paréntesis (lentamente, nos vamos deslizando dentro de las reglas que definen las cadenas bien formadas de TNT). Para enunciar “b más c” y “b veces c”, por ejemplo, empleamos las cadenas

Lo anterior no configura un exceso en materia de paréntesis; violar la convención al respecto produce fórmulas no bien formadas. (¿“Fórmula”? Usé este término en lugar de “cadena”, porque las convenciones establecidas indican que así se haga. Una fórmula no es ni más ni menos que una cadena de TNT).

Corresponde decir que la suma y la multiplicación han de ser siempre consideradas como operaciones binarias; es decir, que unen solamente dos números, nunca tres o más. Así, si se desea enunciar “1 más 2 más 3”, se debe elegir una de las dos expresiones siguientes

La siguiente noción que simbolizaremos es la de igual a. Es muy sencillo: emplearemos para ello ‘=’ o sea el mismo símbolo que se utiliza en N —teoría no formal de los números—, el cual adoptamos a causa de la ventaja que implica su fácil legibilidad. En cuanto a perjuicios, aquí son exactamente los mismos que los derivados de usar las palabras “punto” y “línea” cuando se aborda formalmente la geometría: salvo que uno sea muy consciente y escrupuloso, puede descuidar la distinción necesaria entre las significaciones corrientes y el comportamiento estrictamente gobernado por reglas de la simbolización formal. Al hablar de geometría, hicimos la diferencia entre las palabras cotidianas y el término formal, apelando al empleo de mayúsculas para escribir estos últimos: así, en geometría elíptica, un PUNTO era la unión de dos puntos comunes. Aquí no habrá tal diferenciación y, en consecuencia, se hará necesario un esfuerzo mental para no confundir un símbolo con todas las asociaciones que despierta. Tal como se dijo antes, con referencia al sistema mg: la cadena ‘---’ no es el número 3, sino que actúa isomórficamente con respecto a 3, por lo menos en el contexto de la suma. Idéntica observación cabe para la cadena SSSO.

Átomos y símbolos preposicionales

En TNT, utilizaremos todos los símbolos del cálculo proposicional, excepción hecha de las letras destinadas a representar átomos (P, Q, R); dichos símbolos retendrán sus interpretaciones. La función de los átomos será ahora llenada por cadenas que, al ser interpretadas, resultan proposiciones de igualdad, tales como SO=SSO o (SO·SO)=SO.

Ahora, ya estamos equipados para traducir una buena porción de oraciones simples a la notación de TNT:

La primera de estas cadenas es un átomo; el resto se trata de fórmulas compuestas. (Atención: el ‘y’ de la frase “1 y 1 hacen 2” es tan sólo otra palabra para designar ‘más’, y será representada por el signo ‘+’ (y los paréntesis que correspondan).)

Variables libres y cuantificadores

Todas las fórmulas bien formadas que aparecen más arriba tienen la propiedad de que sus interpretaciones son oraciones o verdaderas o falsas. Hay, sin embargo, fórmulas bien formadas que carecen de tal propiedad, tales como la siguiente:

(b+SO)=SSO

Su interpretación es “b más 1 es igual a 2”. Puesto que b es no especificado, no hay forma de asignar un valor de verdad a la proposición. Es semejante a una aseveración centrada en un pronombre, y hecha fuera de contexto, tal como “ella es aburrida”: no es ni verdadera ni falsa, está aguardando que se la sitúe dentro de un contexto. Ya que no es ni verdadera ni falsa, aquella fórmula es llamada abierta, y la variable b es llamada variable libre.

Un modo de transformar en fórmula cerrada, u oración una fórmula abierta, consiste en anteponerle un cuantificador: sea la expresión “existe un número b tal que…”, o la expresión “para todo número b”. En el primer caso, se obtiene la oración:

Existe un número b tal que b más 1 es igual a 2.

Está claro que es verdadera. En el segundo caso, se obtiene:

Para todo número b, b más 1 es igual a 2.

Está claro que es falsa. Ahora, introducimos símbolos para representar dichos cuantificadores. Traducimos las oraciones anteriores a notación TNT como sigue:

Es muy importante advertir que estas proposiciones ya no son números no especificados; la primera es una aseveración de existencia, y la segunda es una aseveración universal. Siguen significando lo mismo aun cuando remplacemos b por c:

Una variable colocada bajo el dominio de un cuantificador es llamada variable cuantificada. Las dos fórmulas que siguen ilustran la diferencia existente entre variables libres y variables cuantificadas:

La primera expresa una propiedad que puede ser adquirida por algunos números naturales. Ciertamente, ningún número natural está dotado de tal propiedad, y eso, precisamente, es lo expresado por la segunda. Es fundamental comprender la diferencia entre una cadena que incluye una variable libre, la cual expresa una propiedad, y una cadena donde la variable está cuantificada, que expresa una verdad o una falsedad. La traducción idiomática, española es este caso, de una fórmula que incluye por lo menos una variable libre —una fórmula abierta— es llamada predicado, el cual es una oración sin sujeto (o cuyo sujeto es un pronombre acontextual). Por ejemplo,

son predicados no aritméticos. Expresan propiedades que los entes específicos pueden poseer o no. También es posible establecer un “sujeto encubierto”, como “tal y cual”. Una cadena con variables libres es semejante a un predicado que tenga como sujeto a “tal y cual”. Por ejemplo,

(SO+SO)=b

es como decir “1 más 1 es igual a tanto”. Es un predicado en la variable b; expresa una propiedad que el número b puede tener. Si uno sustituyera b por diversos numerales, obtendría una sucesión de fórmulas, la mayoría de las cuales expresarían falsedades. Sigue otro ejemplo de la diferencia existente entre fórmulas abiertas y oraciones:

∀b:∀c:(b+c)=(c+b)

Esta fórmula es una oración que representa, por supuesto, la conmutatividad de la suma. Por otro lado,

∀c:(b+c)=(c+b)

es una fórmula abierta, puesto que b es libre; expresa una propiedad con la que el número no especificado b puede o no contar: la de ser conmutable con todos los números c.

Traducción de nuestras oraciones simples

¡Esto completa el vocabulario con el que formularemos todos los enunciados de teoría de los números! Hace falta una considerable práctica hasta adquirir la destreza necesaria para expresar proposiciones complicadas de N en esta notación y, en la otra dirección, para comprender el significado de las fórmulas bien formadas. Por ello, retomamos ahora las seis oraciones simples formuladas al comienzo, y nos ocuparemos de traducirlas a TNT. Cabe aclarar que no debe verse en nuestras traducciones las únicas posibles, ni mucho menos. Hay muchas maneras —infinitas— de vertir cada una de aquéllas.

Comencemos por la última: “6 es par”. Puede ser reformulada así, en función de nociones más elementales: “Existe un número e, tal que 2 veces e es igual a 6”. Esta enunciación es fácil:

∃e:(SSO·e)=SSSSSSO

Adviértase la necesidad del cuantificador; no se escribe simplemente

(SSO·e)=SSSSSSO

Esta interpretación de una cadena no es, por cierto, ni verdadera ni falsa; únicamente expresa una propiedad que el número e puede tener.

Es interesante señalar que, como sabemos que la multiplicación es conmutativa, podríamos sencillamente haber optado por enunciar

∃e:(e·SSO)=SSSSSSO

O, como sabemos que la igualdad es una relación simétrica, podríamos haber invertido el orden de la oración:

∃e:SSSSSSO=(SSO·e)

Ahora bien, estas tres traducciones de “6 es par” son cadenas completamente diferentes, y no es obvio, en absoluto, que la teoremidad de cada una de ellas esté ligada a la teoremidad de las restantes. (De modo similar, el hecho de que --m-g--- es un teorema tenía muy poco que ver con el hecho de que su cadena “equivalente”, -m--g---, es también un teorema. La equivalencia reside en nuestro entendimiento ya que, siendo seres humanos, pensamos casi automáticamente en interpretaciones, no en las propiedades estructurales de las fórmulas).

Podemos resolver casi de inmediato la oración 2: “2 no es un cuadrado”:

~∃b:(b·b)=SSO

Sin embargo, otra vez nos encontramos con una ambigüedad. ¿Qué hubiera ocurrido si hubiéramos elegido este otro enunciado?

∀b:~(b·b)=SSO

La primera forma dice, “No es el caso que exista un número b con la propiedad de que el cuadrado de b sea 2”, mientras que la segunda dice, “Para todo número b, no es el caso que el cuadrado de b sea 2”. Otra vez, para nosotros, ambas formas son conceptualmente equivalentes, pero para TNT se trata de dos cadenas distintas.

Abordamos la oración 3: “1729 es la suma de dos cubos”, la cual comprenderá dos cuantificadores existenciales, uno después del otro, como sigue:

∃b:∃c:SSSSSS.....SSSSSO=(((b·b)·b)+((c·c)·c))
(el subrayado indica 1729 eses)

Hay muchísimas alternativas aquí: invertir el orden de los cuantificadores; o el de los términos de la ecuación; sustituir las variables por d y e; invertir los términos de la suma; enunciar las multiplicaciones de manera diferente; etc., etc. No obstante, prefiero las dos traducciones que siguen:

∃b:∃c:(((SSSSSSSSSSO·SSSSSSSSSSO)·SSSSSSSSSSO)+
+((SSSSSSSSSO·SSSSSSSSSO)·SSSSSSSSSO))=
=(((b·b)·b)+((c·c)·c))

y

∃b:∃c:(((SSSSSSSSSSSSO·SSSSSSSSSSSSO)·SSSSSSSSSSSSO)+
+((SO·SO)·SO))=(((b·b)·b)+((c·c)·c))

¿Se advierte por qué?

Tretas en el trato

Veamos ahora la oración 4: “Ninguna suma de dos cubos positivos es un cubo”. Supongamos que sólo queremos decir que 7 no es la suma de dos cubos positivos. Lo más fácil, para ello, es negar la fórmula que asevera que 7 es la suma de dos cubos positivos; será análoga a la oración anterior que involucraba a 1729, excepto que debemos agregar, a las condiciones, el requisito de que los cubos sean positivos. Podemos resolver esto mediante una treta: anteponer el símbolo S a las variables, así:

∃b:∃c:SSSSSSSO=(((Sb·Sb)·Sb)+((Sc·Sc)·Sc))

Como está a la vista, no elevamos al cubo b y c, sino sus subsiguientes, los cuales tienen que ser positivos pues el valor más pequeño que b o c pueden asumir es cero. Por consiguiente, la expresión ubicada a la derecha representa la suma de dos cubos positivos. Al margen, tómese nota de que la expresión “existen números b y c tales que…” no incluye, cuando es traducida, el símbolo ‘∧’ representativo de ‘y’. Este símbolo es usado para conectar cadenas bien formadas enteras, no para reunir dos cuantificadores.

Habiendo enunciado “7 es la suma de dos cubos positivos”, deseamos negarlo. Esto sólo requiere anteponer una única tilde a todo el grupo. (Nota: no negaremos cada uno de los cuantificadores, por más que la expresión buscada diga “No existen números b y c tales que…”). Tenemos así:

~∃b:∃c:SSSSSSSO=(((Sb·Sb)·Sb)+((Sc·Sc)·Sc))

Ahora bien, nuestro propósito inicial era aseverar esta propiedad, no con respecto al número 7, sino con respecto a todos los cubos. En consecuencia, reemplacemos el numeral SSSSSSSO por la cadena ((a·a)·a), la cual es traducción de “a al cubo”:

~∃b:∃c:((a·a)·a)=(((Sb·Sb)·Sb)+((Sc·Sc)·Sc))

Llegados aquí, nos encontramos en posesión de una fórmula abierta, puesto que a es aún libre. Esta fórmula expresa una propiedad que un número a puede o no tener, y nuestro propósito es aseverar que todos los números tienen tal propiedad. Esto es sencillo, basta anteponer a todo el grupo un cuantificador universal:

∀a:~∃b:∃c:((a·a)·a)=(((Sb·Sb)·Sb)+((Sc·Sc)·Sc))

Una versión igualmente adecuada sería:

~∃a:∃b:∃c:((a·a)·a)=(((Sb·Sb)·Sb)+((Sc·Sc)·Sc))

En TNT austero, emplearíamos a′ en lugar de b, y a″ en lugar de c; entonces, la fórmula sería:

~∃a:∃b:∃c:((a·a)·a)=(((Sa′·Sa′)·Sa′)+((Sa″·Sa″)·Sa″))

¿Qué diremos de la oración 1, “5 es primo”? A esta oración la hemos reformulado así: “No existen números a y b, ambos mayores que 1, tales que 5 sea igual a a veces b”. Ahora, la podemos modificar levemente, de este modo: “No existen números a y b, tales que 5 sea igual a a más 2 veces b más 2”. Aquí hay otra treta; puesto que a y b están restringidos a valores de números naturales, éste es un modo adecuado de decir la misma cosa. Por su parte, “b más 2” podría ser vertido como (b+SSO), pero hay un camino más corto, a saber, SSb. De la misma forma, “c más 2” puede ser enunciado SSc. Nuestra traducción será ahora extremadamente concisa:

~∃b:∃c:SSSSSO=(SSb·SSc)

Sin la tilde inicial, se trataría de la aseveración de que dos números naturales sí existen y que, aumentados en 2, su producto es igual a 5. Con el tilde delante, toda esta enunciación es negada, de lo cual resulta la aseveración de que 5 es primo.

Si deseáramos afirmar que d más e más 1, y no 5, es un valor primo, el modo más eficaz sería reemplazar el numeral correspondiente a 5 por la cadena (d+Se):

~∃b:∃c:(d+Se)=(SSb·SSc)

Otra vez tenemos una fórmula abierta, cuya interpretación no es una oración ni verdadera ni falsa, sino únicamente una aseveración sobre dos números no especificados, d y e. Obsérvese que el número representado por la cadena (d+Se) es necesariamente mayor que d, pues se le ha agregado una cantidad no especificada pero incuestionablemente positiva. Luego, si aplicamos una cuantificación existencial a la variable e, tendremos una fórmula que asevere:

Existe un número que es mayor que d, y es primo.

∃e:~∃b:∃c:(d+Se)=(SSb·SSc)

Bien, ahora sólo nos falta afirmar que esa propiedad es efectivamente alcanzable, sea d lo que fuere. La forma de hacerlo es cuantificar universalmente la variable d:

∀d:∃e:~∃b:∃c:(d+Se)=(SSb·SSc)

¡Ésta es la traducción de la oración 5!

Traducciones problemáticas a cargo del lector

Lo anterior completa el ejercicio de traducir las seis oraciones clásicas de teoría de los números. Pero ello no hace del lector, necesariamente, un experto en notación TNT. Quedan por dominar todavía algunos temas resbaladizos. Las siguientes seis fórmulas bien formadas servirán para que el lector verifique su grado de comprensión de la notación TNT. ¿Qué significan? ¿Cuáles son verdaderas (bajo interpretación, por supuesto), y cuáles falsas? (Insinuación: para resolver este ejercicio hay que moverse hacia la izquierda. Primero, traducir el átomo; luego, resolver si se agrega un cuantificador o un tilde; a continuación, avanzar hacia la izquierda, agregando otro cuantificador o tilde; después, volver a moverse hacia la izquierda, y repetir lo mismo).

(Segunda insinuación: O bien cuatro son verdaderas y dos falsas, o bien cuatro son falsas y dos verdaderas).

¿Cómo distinguir lo verdadero de lo falso?

En este punto, vale la pena detenerse a tomar aliento, y también a preguntarse qué sucedería si se contase con un sistema formal capaz de separar lo verdadero de lo falso. Tal sistema trataría a todas aquellas cadenas —que para nosotros son proposiciones— como diseños dotados de forma, no de contenido. Y funcionaría como un filtro, a través del cual pasara únicamente cierto estilo especial de diseño: el “estilo de la verdad”. Si se han examinado las seis fórmulas de más arriba, y se ha distinguido entre verdadero y falso mediante la consideración de la significación, se apreciará la sutileza que cualquier sistema debería poner en juego para obtener el mismo resultado… ¡pero tipográficamente! Los límites que separan el conjunto de las proposiciones verdaderas del conjunto de las proposiciones falsas (como se las enuncia en notación TNT) son todo lo que se quiera menos rectos; son límites llenos de curvas engañosas (recordemos la figura 18), de los cuales los matemáticos han delineado algunos trechos, aquí y allá, esforzándose durante cientos de años. ¡Sólo pensar qué golpe maestro sería hacerse de un método tipográfico que indicara con total certidumbre el lado de la frontera donde ubicar cualquier fórmula!

Las reglas para formar bien

Es útil contar con una tabla de Reglas de Formación, relativa a las fórmulas bien formadas. Más adelante se las detalla; antes, correspondería transitar algunos pasos preliminares, destinados a definir numerales, variables y términos. Estas tres clases de cadenas son ingredientes de fórmulas bien formadas, pero no están, por sí mismas, bien formadas. Las fórmulas bien formadas más pequeñas son los átomos, y luego vienen las normas para combinar átomos. Muchas de éstas son reglas recursivas de ampliación, en el sentido de que toman como entrada, o alimentación, un ítem de una clase determinada, y producen un ítem más extenso de la misma clase. En la tabla, usaré ‘x’ e ‘y’ para representar fórmulas bien formadas, y ‘s’ ‘t’ y ‘u’ para representar otros tipos de cadenas TNT. No hace falta aclarar que ninguno de estos cinco símbolos es por sí mismo un símbolo de TNT.

NUMERALES

VARIABLES

TÉRMINOS

Estas reglas nos indican cómo elaborar partes de fórmulas bien formadas; las reglas que siguen nos indican cómo elaborar fórmulas bien formadas completas.

ÁTOMOS

NEGACIONES

COMBINACIONES

CUANTIFICACIONES

FÓRMULAS ABIERTAS

FÓRMULAS CERRADAS (ORACIONES)

Esto completa la tabla de las Reglas de Formación que rigen las fórmulas bien formadas de TNT.

Unos pocos ejercicios más de traducción

Y ahora, unos pocos ejercicios de práctica para el lector, a fin de que verifique su grado de comprensión de la notación TNT. Consisten en la traducción, a notación TNT, de las primeras cuatro oraciones N siguientes; la última debe ser vertida como fórmula abierta bien formada.

Quizá el lector encuentre que la última es un poquito tramposa. Pero eso no es nada, en comparación con la siguiente:

b es una potencia de 10.

Extrañamente, se requiere un gran talento para trasladar esta oración a nuestra notación. Advierto al lector que lo intente sólo si está dispuesto a dedicarle muchas horas a la tarea, y si sabe bastante de teoría de los números…

Un sistema no tipográfico

Con esto terminamos de exponer la notación de TNT; no obstante, aún tenemos por delante la tarea de hacer, de TNT, el ambicioso sistema que nos propusimos. Si lo conseguimos, habremos justificado las interpretaciones que otorgamos a los diversos símbolos. Entre tanto, lamentablemente, dichas interpretaciones no están más justificadas que las del tipo “caballo-manzana-feliz”, correspondientes a los símbolos del sistema mg.

A alguien se le podría ocurrir la siguiente forma de construir TNT: (1) Prescindir de reglas de inferencia, ya que son innecesarias, pues, (2) tomamos como axiomas todas las proposiciones verdaderas de teoría de los números (enunciadas en notación TNT). ¡Qué sencilla receta! Pero carece de contenido, tal como nos lo dice nuestra primera reacción. La parte (2) no consiste, por cierto, es una descripción tipográfica de cadenas. El objetivo fundamental de TNT es resolver si, y cómo, es posible caracterizar tipográficamente las cadenas verdaderas.

Los cinco axiomas y las primeras reglas de TNT

Seguiremos entonces una ruta más ardua que la sugerida arriba: tendremos axiomas y reglas de inferencia. En primer lugar, acorde con lo anunciado, todas las reglas del cálculo proposicional son incorporadas al seno de TNT. En consecuencia, el siguiente será un teorema de TNT:

<SO=O∨~SO=O>

Puede ser derivado en la misma forma en que se deriva <P∨~P>.

Antes de presentar otras reglas, vamos a enunciar los cinco axiomas de TNT:

(En las versiones austeras, se usa a′ en lugar de b). Todos son muy fáciles de comprender. El Axioma 1 manifiesta una circunstancia especial acerca del número 0; los Axiomas 2 y 3 se relacionan con la naturaleza de la suma; los Axiomas 4 y 5, con la naturaleza de la multiplicación, y en particular con los vínculos existentes entre ésta y la suma.

Los cinco postulados de Peano

Dicho al pasar, la interpretación del Axioma 1 —“El cero no es subsiguiente a ningún número natural”— es una de las cinco célebres propiedades de los números naturales, explícitamente reconocidas por vez primera, en 1889, por el matemático y lógico Giuseppe Peano. Sus postulados siguen la línea trazada por Euclides en cuanto a lo siguiente: no pretendió formalizar los principios del razonamiento, sino que optó por elaborar un pequeño conjunto de propiedades de los números naturales, a partir de los cuales pudiera derivarse cualquier otra cosa mediante el razonamiento. El ensayo de Peano podría ser considerado, así, “semiformal”. Su aporte tuvo gran influencia, por lo que sería muy adecuado mostrar sus cinco postulados. Puesto que la noción de “número natural” fue la única cuya definición abordó Peano, no utilizaremos la expresión habitual “número natural”, sobrecargada de connotaciones. La sustituiremos por el término indefinido ğinn, una palabra que llega fresca, y libre de connotaciones, a nuestro entendimiento. Los cinco postulados de Peano establecen cinco restricciones a los ğinn. Hay otros dos términos indefinidos: Genio y meta. Dejaré que el lector resuelva por sí mismo qué concepto conocido se supone que representa cada uno de estos términos. Los cinco postulados de Peano:

1. El Genio es un ğinn.
2. Todo ğinn tiene un meta (que también es un ğinn).
3. El Genio no es el meta de ningún ğinn.
4. Diferentes ğinn tienen diferentes meta.
5. Si el Genio tiene X, y cada ğinn desplaza X a su meta, entonces todo ğinn tiene X.

A la luz de las lámparas del Pequeño Laberinto Armónico, denominaremos al conjunto de todos los ğinn, “DIOS”. Esto nos remite a la famosa frase del matemático y lógico alemán Leopold Kronecker, enemigo jurado de Georg Cantor: “Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre”.

Podemos reconocer en el quinto postulado de Peano el principio de la inducción matemática: otro término incluido en argumentos heredados. Peano esperaba que estas cinco restricciones a los conceptos de “Genio”, “ğinn” y “meta” fueran tan poderosas que, si dos personas distintas formaban imágenes de dichos conceptos en su pensamiento, ambas imágenes tuviesen estructuras enteramente isomórficas. Por ejemplo, la imagen de cada una de las personas incluiría una cantidad infinita de diferentes ğinn. Y, presumiblemente, las dos personas estarían de acuerdo en que ningún ğinn coincide con su propio meta, o con el meta de su meta, etc.

Peano confiaba en haber acotado la esencia de los números naturales a través de sus cinco postulados. Los matemáticos, por regla general, conceden que lo consiguió, pero que ello no ha disminuido la importancia de la pregunta, “¿Cómo se distingue un enunciado verdadero acerca de números naturales, de un enunciado falso?”. Y para responder a la pregunta, los matemáticos se inclinaron hacia los sistemas totalmente formales, tales como TNT. Aun así, podrá observarse la influencia de Peano en TNT, ya que todos sus postulados, de una forma u otra, son incorporados a éste.

Nuevas reglas de TNT: Especificación y Generalización

Arribamos ahora a nuevas reglas de TNT. Muchas de ellas nos permitirán penetrar en la estructura interna de los átomos de TNT, y modificarla. En este sentido, manipulan propiedades más “microscópicas”, correspondientes a las cadenas, que las reglas del cálculo preposicional, que tratan a los átomos como unidades indivisibles. Por ejemplo, sería magnífico extraer la cadena S0=0 del primer axioma. Para lograrlo, habría necesidad de una regla que nos permitiera suprimir un cuantificador universal, y al mismo tiempo modificar la estructura interna de la cadena remanente, si así se lo desea. La que sigue es una regla semejante:

REGLA DE ESPECIFICACIÓN: Supongamos que u es una variable que aparece en el interior de la cadena x. Si la cadena ∀u:x es un teorema, entonces también lo es x, y también lo es cualquier cadena construida a partir de x mediante el remplazo de u, dondequiera que aparezca, por uno y el mismo término.

(Restricción: El término que reemplace a u no debe contener ninguna variable que esté cuantificada en x).

La regla de especificación permite extraer del Axioma 1 la cadena deseada. Basta una derivación de un solo paso:

Adviértase que la regla de especificación permitirá que algunas fórmulas que contienen variables libres (es decir, fórmulas abiertas) lleguen a ser teoremas. Por ejemplo, las siguientes cadenas también podrían ser derivadas del Axioma 1, por especificación:

Hay otra regla, la regla de generalización, que nos permite reponer el cuantificador universal en los teoremas que contienen variables, y pasaren a ser libres como resultado del empleo de la especificación. Si opera sobre la última cadena enunciada, por ejemplo, la generalización daría:

∀c:~S(c+SSO)=O

La generalización anula la acción de la especificación, y viceversa. Por lo común, la generalización es aplicada luego que diversos pasos intermedios han transformado, de distintas maneras, la fórmula abierta. Sigue el enunciado preciso de la regla:

REGLA DE GENERALIZACIÓN: Supongamos que x es un teorema donde u, una variable, aparece como libre. Luego, ∀u:x es un teorema.

(Restricción: No se permite ninguna generalización, en una fantasía, sobre cualquier variable que aparezca como libre en la premisa de la fantasía).

La necesidad de establecer restricciones en estas dos reglas será demostrada explícitamente, poco más adelante. Digamos al pasar, que esta generalización es la misma generalización que fue mencionada en el Capítulo II, cuando se hablaba de la demostración de Euclides acerca de la infinitud de los primos. Estamos ya en condiciones de ver cómo las reglas de manipulación simbólica comienzan a aproximarse al tipo de razonamiento que utilizan los matemáticos.

El cuantificador existencial

Las dos reglas anteriores nos indican cómo suprimir cuantificadores universales y cómo reponerlos; las dos reglas siguientes nos marcan cómo manejar cuantificadores existenciales.

REGLA DE INTERCAMBIO: Supongamos que u es una variable. Entonces, las cadenas ∀u:~ y ~∃u: son intercambiables en cualquier lugar y dentro de cualquier teorema.

Por ejemplo, apliquemos esta regla al Axioma 1:

Observemos que estas dos cadenas son traducciones perfectamente normales, en TNT, de la oración, “El cero no es subsiguiente a ningún número natural”. En consecuencia, es adecuado el que puedan convertirse una en otra con toda simplicidad.

La regla que sigue es, si cabe, aún más intuitiva. Corresponde a la muy simple clase de inferencia que hacemos cuando nos dirigimos desde “2 es primo” a “Existe un primo”. El nombre de esta regla es autoexplicativo:

REGLA DE EXISTENCIA: Supongamos un término (que puede contener variables, siempre que sean libres) que aparece una vez, o muchas, en un teorema. Entonces, cualquiera (o varias, o todas) de las ocurrencias del término puede ser sustituidas por una variable que de otro modo no aparecería en el teorema, y el correspondiente cuantificador existencial deberá ser situado adelante.

Apliquemos la regla —como es usual— al Axioma 1:

Ahora podemos tratar de derivar símbolos, con arreglo a las reglas presentadas hasta aquí, a fin de producir el teorema ~∀b:∃a:Sa=b.

Reglas de Igualdad y de Subsecuencia

Hemos enunciado reglas para la manipulación de cuantificadores, pero ninguna hasta ahora para los símbolos ‘=’ y ‘S’ Rectificaremos tal situación de inmediato. En lo que sigue, r, s y t representan términos arbitrarios.

REGLAS DE IGUALDAD:

REGLAS DE SUBSECUENCIA:

Ya estamos equipados con reglas que nos pueden brindar una fantástica variedad de teoremas. Por ejemplo, las derivaciones siguientes producen teoremas que son muy fundamentales:

* * * * *

Atajos ilegítimos

Ahora bien, aquí aparece una pregunta interesante: “¿Cómo derivar la cadena O=O?”. Pareciera que el camino obvio por seguir sería, primero, derivar la cadena ∀a:a=a, y luego emplear la especificación. Entonces, ¿qué ocurre con la siguiente “derivación” de ∀a:a=a…?, ¿cuál es el error?, ¿cómo resolverlo?

He dado este miniejercicio para puntualizar un hecho simple: que uno no debe precipitarse a manipular símbolos conocidos (como ‘=’). Se deben seguir las reglas, y no el conocimiento de los significados pasivos de los símbolos. Por supuesto, este último tipo de conocimiento es inestimable para orientar el recorrido de una derivación.

Por qué son restringidas la Especificación y la Generalización

Veremos ahora por qué se han establecido restricciones necesarias en la especificación y en la generalización. Siguen dos derivaciones. En cada una de ellas, una de las restricciones ha sido infringida. Obsérvese el desastroso resultado que ello provoca:

Éste es el primer desastre. El otro se produce por vía de especificación incorrecta.

De modo que ahora podemos ver por qué son necesarias aquellas restricciones.

Lo que sigue es un problema sencillo, para que el lector lo resuelva (en caso de que todavía no lo haya hecho): traducir a notación TNT el cuarto postulado de Peano, y luego derivar esa cadena como un teorema.

Algo nos queda fuera

Si el lector dedica un rato a experimentar con las reglas y axiomas de TNT presentados hasta el momento, descubrirá que puede producir la familia piramidal de teoremas que se incluye a continuación (un conjunto de cadenas, todas estampadas por el mismo molde, con la única diferencia entre sí de que los numerales O, SO, SSO, y siguientes, se han ido ampliando):

En realidad, cada uno de los teoremas de esta familia puede ser derivado del inmediatamente anterior, en tan sólo un par de líneas. Tenemos así una especie de “cascada” de teoremas, donde cada uno dispara al siguiente. (Estos teoremas recuerdan mucho los teoremas mg, en los cuales los grupos del centro y del lado derecho crecían simultáneamente).

Ahora bien, existe una cadena que podemos enunciar con facilidad, y que sintetiza los significados pasivos de todas ellas, tomados en conjunto. Esta cadena sintetizadora, universalmente cuantificada, es la siguiente:

∀a:(O+a)=a

Sin embargo, a la luz de las reglas que conocemos hasta aquí, esta cadena se resiste a ser producida. Si el lector no me cree, haga la prueba por sí mismo.

Uno puede pensar que la situación tiene solución inmediata, gracias a la siguiente

REGLA (PROPUESTA) DE TOTALIDAD: Si todas las cadenas de una familia piramidal son teoremas, entonces también lo es la cadena universalmente cuantificada que sintetiza a aquéllas.

El problema que presenta esta regla es que no puede ser empleada dentro de la vía M. Únicamente quienes piensan en el sistema pueden saber alguna vez que todas las cadenas de un conjunto infinito son teoremas. Luego, no es una regla que podamos incluir en el interior de ningún sistema formal.

Sistemas ω-incompletos y cadenas irresolubles

De modo que nos encontramos en una curiosa situación, donde podemos producir tipográficamente teoremas acerca de la suma de números específicos cualesquiera, pero donde una cadena tan sencilla como la de más arriba, que expresa una propiedad de la suma en general, no es un teorema. Se podría decir que, con todo, no es algo tan extraño puesto que es la misma situación observada en el sistema mg. Pero el sistema mg no tenía pretensiones acerca de sus posibilidades; su simbolismo, en realidad, sólo permite verificar proposiciones generales acerca de la suma, de ningún modo expresarlas. No hay allí el equipamiento necesario como para ello, sencillamente, y no se nos ocurre pensar que el sistema sea defectuoso. En este otro caso, en cambio, las posibilidades expresivas son mucho más amplias, y por ende depositamos expectativas más profundas en el TNT que en el sistema mg. Si la cadena mencionada no es un teorema, entonces contaremos con una excelente razón para considerar que TNT es defectuoso. En verdad, hay una denominación para los sistemas que adolecen de esta clase de falla: se los llama ω-incompletos (el prefijo ‘ω’ —‘omega’— proviene del hecho de que, en ocasiones, la totalidad de los números naturales es denotada mediante esa letra griega). Ésta es la definición exacta:

Un sistema es ω-incompleto si todas las cadenas de una familia piramidal son teoremas, pero la cadena sintetizadora universalmente cuantificada no es un teorema.

Cabe señalar que la negación de dicha cadena sintetizadora,

~∀a:(O+a)=a

es también un no teorema de TNT. Esto significa que la cadena original es indecidible dentro del sistema. Si una u otra fueran teoremas, diríamos lo contrario. Pese a que pueda sonar como una palabra mística, no hay nada de místico en la indecibilidad referida al interior de un sistema dado. Se trata únicamente de un signo de que el sistema puede ser ampliado. Por ejemplo, el quinto postulado de Euclides era indecidible en el interior de la geometría absoluta; se lo debió agregar como postulado adicional de la geometría, lo cual dio lugar a la geometría euclidiana o, inversamente, el agregado de su negación dio lugar a la geometría no euclidiana. Ya que nos estamos remitiendo a la geometría, recordemos por qué se producían estas curiosas situaciones. La causa residía en que los cuatro postulados de la geometría absoluta, lisa y llanamente, no conseguían delimitar la significación de los términos “punto” y “línea”, y se abría un margen para la existencia de extensiones diferentes de tales nociones. Los puntos y las líneas de la geometría euclidiana presentan una clase de extensión de las nociones de “punto” y “línea”; los PUNTOS y las LINEAS de la geometría no euclidiana, otra. Pero el empleo de las presabidas palabras “punto” y “línea” tendió, durante dos milenios, a inducir la creencia de que estas palabras eran necesariamente monovalentes, dotadas de un solo significado.

TNT no euclidiano

Nos encontramos en este instante en una situación análoga con respecto a TNT. Hemos adoptado una notación que, en ciertos aspectos, nos perjudica. Por ejemplo, el empleo del símbolo ‘+’ tiende a hacernos pensar que cada teorema con un signo más debe decir algo conocido y familiar y “sensato”, acerca de la conocida y familiar operación a la que llamamos “suma”. En consecuencia, sería moverse a contrapelo proponer la incorporación del siguiente “sexto axioma”:

~∀a:(O+a)=a

Su contenido no coincide con nuestras convicciones acerca de la suma; pero es una posible extensión de TNT, en cuanto a los límites de éste formulados hasta aquí. El sistema que incorpore dicho sexto axioma es un sistema coherente, en el sentido de que no contiene dos teoremas de las formas x y ~x. Sin embargo, si yuxtaponemos este sexto axioma a la familia piramidal de teoremas mostrada más arriba probablemente nos sintamos incomodados por una impresión de incoherencia entre la familia y el nuevo axioma. Pero esta clase de incoherencia no es tan peligrosa como la otra (la que existe allí donde x y son teoremas al mismo tiempo). En rigor, no se trata de una verdadera incoherencia, porque hay un modo de interpretar los símbolos de forma que todo resulte correcto.

ω-incoherencia no es lo mismo que incoherencia

Esta clase de incoherencia, creada por la oposición entre, 1) una familia piramidal de teoremas que afirman conjuntamente que todos los números naturales cuentan con cierta propiedad, y 2) un único teorema que parece afirmar que no todos los números naturales llenan esa condición, recibe el nombre de ω-incoherencia. Un sistema ω-incoherente se parece mucho a la desagradable-al-principio-pero-aceptable-al-final geometría no euclidiana. A fin de dar forma a un modelo mental adecuado para lo que viene, sería conveniente imaginar que existe un tipo “extraordinario”, insospechado, de números, a los que no llamaremos números “naturales”, sino sobrenaturales, los cuales carecen de numerales. Así, los hechos que se les relacionan no pueden ser representados en la familia piramidal. (Es algo un poco semejante a la concepción de Aquiles acerca de DIOS, a quien consideraba como una suerte de “superğinn”, un ser superior al de cualquiera de los ğinn. Pese a que el Genio rechazó por completo esta concepción, se trata de una imagen razonable para ayudarnos a concebir los número sobrenaturales).

Esto nos indica que los axiomas y las reglas de TNT, presentados hasta aquí, no delimitan perfectamente la interpretación de sus propios símbolos. Sigue abriéndose margen para las variantes en el modelo mental que uno se forma acerca de las nociones que aquéllos representan. Cada una de las diversas extensiones posibles podría aportar nuevas delimitaciones a algunas de las nociones, pero a través de formas diferentes. ¿Cuáles símbolos comenzarían a adquirir “desagradables” significados pasivos, si agregamos el “sexto postulado” formulado más arriba? ¿Se distorsionarían todos los símbolos, o algunos seguirían significando lo que queremos que signifiquen? Dejo al lector pensando en esto. Encontraremos preguntas similares en el Capítulo XIV, y allí trataremos el problema. De todos modos, no continuaremos ahora con el tema, sino que nos dedicaremos a tratar de remediar la ω-incompletitud de TNT.

La última regla

El problema que planteaba la “Regla de Totalidad” consistía en que requiere el conocimiento de que todas las líneas de una familia piramidal infinita son teoremas: algo excesivo para un ser finito. Supongamos, empero, que cada línea de la pirámide puede ser derivada de la anterior en una forma modelada. Habría entonces una razón finita que explicase el hecho de que todas las cadenas de la pirámide son teoremas. Así, pues, la salida está en encontrar el modelo que genera la cascada, y en mostrar que dicho modelo es también un teorema. Es algo análogo a probar que cada ğinn transmite un mensaje a su meta, como en el juego infantil del “teléfono”. La cosa que queda por mostrar es que el Genio da impulso al mensaje desencadenante: es decir, establecer que la primera línea de la pirámide es un teorema. ¡Como consecuencia, sabremos que DIOS recibirá el mensaje!

En la pirámide que estamos examinando en particular hay un modelo, el cual es capturado por las líneas 4-9 de la siguiente derivación.

La premisa es (O+b)=b; el resultado es (O+Sb)=Sb.

La primera línea de la pirámide es también un teorema, lo cual se desprende directamente del Axioma 2. Todo lo que necesitamos ahora es una regla que nos permita deducir que la cadena sintetizadora de la pirámide completa es asimismo un teorema. Tal regla será una enunciación formalizada del quinto postulado de Peano.

Necesitamos para ello una breve notación. Abreviaremos una fórmula bien formada, donde la variable a es libre, mediante la siguiente notación:

X{a}

(Puede haber otras variantes libres, pero eso no es pertinente). Entonces, la notación X{Sa/a} representará esa cadena, pero sustituyendo cada aparición de a por Sa. Del mismo modo, X{Sa/a} representaría la cadena (O+Sa)=Sa, y X{O/a} representaría a (O+O)=O. (Atención: esta notación no forma parte de TNT; responde a nuestras conveniencias para hablar acerca de TNT).

Con esta nueva notación, podemos formular la última regla de TNT en forma totalmente precisa:

REGLA DE INDUCCIÓN: Supongamos que u es una variable, y que X{u} es una fórmula bien formada donde u aparece como libre. Si ∀u:<X{u}⊃X{Su/u}> y X{O/u} son teoremas, entonces ∀u:X{u} es también un teorema.

Ésta es la forma más fiel en que nos fue posible incorporar el quinto postulado de Peano a TNT. La emplearemos ahora para mostrar que ∀a:(O+a)=a es, ciertamente, un teorema de TNT. Al salir de la fantasía de nuestra derivación anterior, podemos aplicar la regla fantasiosa, que nos da:

Éste es el primero de los dos teoremas de entrada que requiere la regla de inducción. El otro requerimiento es la primera línea de la pirámide, con la cual contamos. En consecuencia, podemos aplicar la regla de inducción, a fin de deducir lo que necesitamos:

∀b:(O+b)=b

La especificación y la generalización nos permitirán transformar la variable b en a; así, ∀a:(O+a)=a ya no es una cadena indecidible de TNT.

Una larga derivación

Ahora, deseo presentar una derivación más extensa, en TNT, de modo que el lector pueda analizar sus sugerencias, y también porque demuestra un hecho simple, pero importante, relativo a la teoría de los números.

* * * * *

* * * * *

[S puede desplazarse hacia atrás y hacia adelante en una suma.]

[En consecuencia, todos los d conmutan con todos los c.]

Tensión y resolución en TNT

El TNT ha demostrado la conmutatividad de la suma. Aun si no se sigue esta derivación en detalle, es importante advertir en ella que, como una composición musical, tiene su propio “ritmo”. No es precisamente un recorrido caprichoso el que nos lleva a la deseada línea final. He incluido “momentos de respiro” para mostrar en parte la “articulación” de esta derivación. La línea 28, en particular, es un punto decisivo en la derivación, algo así como el punto medio en un tipo AABB de pieza musical, donde el oyente arriba a una resolución momentánea, aun cuando no lo haga en la nota tónica. Estos importantes estadios intermedios son llamados frecuentemente “lemas”.

Es fácil imaginar un lector que comienza en la línea 1 de esta derivación, ignorando dónde terminará ésta, y adquiriendo una idea cada vez más completa acerca del sentido de la marcha con cada nueva línea que lee. Esto genera una tensión interior, muy análoga a la tensión que, oyendo música, causan las progresiones armónicas que nos permiten saber cuál es la tonalidad, sin resolverla. El arribo a la línea 28 confirmará la intuición del lector y le brindará un sentimiento transitorio de satisfacción, al mismo tiempo que lo alentará a continuar su avance hacia lo que él supone es el verdadero objetivo.

Ahora bien, la línea 49 tiene un efecto incrementador de la tensión, de importancia especial a causa de la sensación de “casi llegamos” que produce. Pero sería muy insatisfactorio abandonar allí la tarea. A partir de ese punto, no es costoso predecir cómo se desarrollarán las cosas. Nadie desea que se interrumpa la música en el momento preciso en que se hace evidente el modo de resolución. Uno no quiere imaginar el final, sino escucharlo. De la misma manera, también aquí es preciso seguir. La línea 55 es inevitable, y concentra el conjunto final de tensiones, resueltas por la línea 56.

Lo anterior es propio no sólo de la estructura de las derivaciones formales, sino también de las demostraciones no formales. El sentido matemático de la tensión está íntimamente relacionado con su sentido de la belleza, y es lo que hace de la matemática algo tan valioso. Adviértase, sin embargo, que el propio TNT no parece reflejar esas tensiones. En otras palabras, el TNT no formaliza las nociones de tensión y resolución, de objetivo parcial y final, de “simplicidad” e “inevitabilidad”: más que una obra musical, es un libro sobre armonía y ritmo. ¿Se podrá idear un sistema tipográfico mucho más imaginativo, que sea consciente de las tensiones y objetivos que contienen las derivaciones?

Razonamiento formal vs. razonamiento no formal

Yo habría preferido mostrar cómo derivar el Teorema de Euclides (acerca de la infinitud de los primos) en los marcos de TNT, pero ello hubiese duplicado, probablemente, la longitud del libro. Ahora bien, luego de este teorema, la dirección que naturalmente corresponde seguir es abordar la demostración de la asociatividad de la suma, la conmutatividad y la asociatividad de la multiplicación, y la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma. Esto proporcionaría una poderosa base de acción, más tarde.

Tal como está formado en este momento, el TNT ha llegado a su estado de “masa crítica” (quizá una extraña metáfora para aplicarla a algo denominado “TNT”). Cuenta con las mismas facultades que el sistema de los Principia Mathematica; ahora, podemos demostrar en TNT cualquier teorema que aparezca en un tratado corriente sobre teoría de los números. Por cierto, nadie postularía que la derivación de teoremas en TNT es el mejor procedimiento para trabajar en teoría de los números. Si alguien piensa eso es porque pertenece a la clase de personas para quienes la mejor forma de saber cuánto es 1000x1000 consiste en dibujar un reticulado donde se crucen 1000 líneas verticales con otras 1000 horizontales, y luego contar los cuadraditos resultantes… No; después de la formalización total, el único camino por seguir es hacia una forma de relajamiento del sistema formal. De otro modo, es tan enormemente improductivo que carece por completo de toda utilidad práctica. Luego, es necesario incorporar a TNT dentro de un contexto más amplio, un contexto que permita la derivación de nuevas reglas de inferencia, aptas para agilizar las derivaciones. Esto requeriría la formalización del lenguaje utilizado para expresar las reglas de inferencia: esto es, el metalenguaje. Y se podría llegar mucho más allá. Pero ninguno de estos recursos de agilización haría más poderoso a TNT; sencillamente, lo haría más utilizable. Todo lo que hemos hecho ha sido expresar en TNT cada uno de los modos de pensamiento en que confían los teóricos de los números. Incorporarlo a contextos permanentemente más amplios no ampliará el campo de los teoremas; sólo conseguirá que —con cada “versión nueva y mejorada”— el TNT actúe en forma más semejante a la teoría convencional de los números.

Los teóricos de los números abandonan el campo de juego

Supongamos que el lector no adquirió conciencia de que TNT resultará ser incompleto, sino que, por el contrario, sigue confiando en que es completo: es decir, que toda proposición verdadera expresable en notación TNT es un teorema. En ese caso, el lector puede elaborar un procedimiento de decisión para toda la teoría de los números. El método sería fácil: si se quiere saber si un enunciado N, al que llamaremos X, es verdadero o falso, lo vertimos como oración TNT, a la que llamaremos x. Ahora bien, si X es verdadero, la completitud nos dice que x es un teorema; e inversamente, si X no es verdadero, la completitud nos dice que es un teorema, puesto que, o bien X o bien no X es verdadero. Y ahora habría que ponerse a enumerar sistemáticamente todos los teoremas de TNT, en la misma forma en que lo hicimos con el sistema MIU y con el sistema mg. Pasado cierto lapso, se llegará a x o ~x; y a cualquiera con que se tropiece, que diga si X o no X es verdadero. (¿Sigue el lector la argumentación? Todo depende de que se puedan mantener separados, en el pensamiento, el sistema formal TNT y su equivalente no formal N. Se debe estar seguro de tener bien asimilado esto). En principio, entonces, si TNT fuera completo, los teóricos de los números quedarían fuera de juego: cualquier problema correspondiente a su esfera podría ser resuelto, mediante la inversión de tiempo necesaria, gracias a métodos puramente mecánicos. Es evidente que tal cosa es imposible, lo cual, según el punto de vista, será causa de regocijo o de aflicción.

El programa de Hilbert

La última pregunta que plantearemos en este capítulo será la de si debemos tener tanta fe en la coherencia de TNT como la que depositamos en la coherencia del cálculo preposicional; y, en caso de no ser así, si es posible aumentar nuestra fe en TNT mediante la demostración de su coherencia. Uno podría hacer el mismo enunciado de apertura acerca de la “obviedad” de la coherencia de TNT, que el presentado por Imprudencia a propósito del cálculo preposicional, a saber: que cada regla incorpora un principio del razonamiento en el cual creemos por entero; luego, cuestionar la coherencia de TNT equivale a cuestionar nuestra propia cordura. En alguna medida, este argumento aún conserva peso, pero no tanto como antes. Hay demasiadas reglas de inferencia, y puede que algunas de ellas estén un poco “de más”. Además, ¿cómo sabemos que nuestro modelo mental de determinadas entidades abstractas llamadas “números naturales” es verdaderamente una construcción coherente? Quizá nuestros propios procesos mentales, esos procesos informales que hemos intentado capturar en las reglas formales del sistema, sean incoherentes… No es, por cierto, lo que uno espera que ocurra, pero sí es perfectamente concebible que, en la medida en que un tema se va haciendo cada vez más complejo, nuestro pensamiento se confunda más y más: y el de los números naturales no es en absoluto un tema banal. De manera que el reclamo de Prudencia, en el sentido de que se aportase una demostración de coherencia, debe ser tomado con mayor seriedad en este caso. No es que creamos firmemente que TNT puede ser incoherente, pero hay en nuestro interior una pequeña duda; un centelleo, una partícula de duda, que una demostración contribuiría a disipar.

Pero, ¿qué medios de prueba queremos que se utilicen? Una vez más, nos enfrentamos con la recurrente cuestión de la circularidad. Si aplicamos a una demostración acerca de nuestro sistema el mismo instrumenta] que hemos utilizado dentro del sistema, ¿qué habremos logrado? Si, para convencernos de la coherencia de TNT, apelamos a un sistema de razonamiento menos poderoso que el de TNT, ¡se nos podrá acusar de incurrir en circularidad! Pensemos en la forma que se utiliza para tender una cuerda pesada entre dos barcos (al menos, según lo que leí siendo niño): primero se arroja una saeta liviana, a la que va atada una cuerda delgada, a través de la distancia que separa a las naves. Estas quedan, así, conectadas, y entonces es posible hacer pasar la cuerda más robusta. Si pudiéramos utilizar un sistema “liviano” para mostrar que un sistema “pesado” es coherente, sí habríamos logrado, verdaderamente, algo.

A primera vista, uno puede pensar que existe una cuerda delgada. Nuestro objetivo es demostrar que TNT cuenta con determinada propiedad tipográfica (coherencia): que en ningún caso parecen simultáneamente teoremas de la forma x y ~x. Esto es similar a intentar la demostración de que MU no es un teorema del sistema MIU. Ambos son enunciados acerca de las propiedades tipográficas de los sistemas de manipulación simbólica. La persuasión de que existe una cuerda delgada se basa en la presunción de que los hechos relativos a la teoría de los números no serán necesarios para demostrar que aquella propiedad tipográfica se mantiene vigente. En otras palabras, si no son utilizadas las propiedades de los enteros —salvo algunas, sumamente simples—, entonces, podremos lograr el objetivo de demostrar la coherencia de TNT, a través del empleo de medios menos poderosos que los modos internos de razonamiento de aquél.

En esto consistió la esperanza sustentada por una importante escuela de matemáticos y lógicos, dirigida por David Hilbert, durante los primeros años de este siglo. Su objetivo fue demostrar la coherencia de formalizaciones de la teoría de los números, análogas a TNT, mediante la aplicación de un conjunto muy restringido de principios de razonamiento, llamados métodos “finitísticos” de razonamiento. Ésta sería la cuerda delgada. Incluyeron entre los métodos finitísticos todos los pertenecientes al razonamiento proposicional, tal como los emplea el cálculo proposicional, y también incorporaron determinados tipos de razonamiento numérico. Pero la obra de Gödel mostró que cualquier intento de tender la cuerda pesada de la coherencia de TNT, mediante la utilización de la cuerda delgada de los métodos finitísticos, está condenado a fracasar. Gödel mostró que no se puede usar una cuerda más liviana para tender la cuerda pesada a través de la brecha: no hay ninguna que sea lo suficientemente resistente. Podemos decir, menos metafóricamente: Cualquier sistema que sea lo suficientemente vigoroso como para demostrar la coherencia de TNT es, por lo menos, tan vigoroso como el TNT mismo. Y, así, la circularidad es inevitable.