EL DIÁLOGO PRECEDENTE recuerda la Invención a dos voces, de Lewis Carroll. En ambos, la Tortuga se niega a usar las palabras normales y corrientes en la forma normal y corriente; al menos se niega a hacerlo cuando no le resulta conveniente. El capítulo anterior nos proporciona una perspectiva para analizar la paradoja de Carroll. En este capítulo vamos a representar, mediante símbolos, lo que Aquiles, mediante palabras, no podía hacerle aceptar a la Tortuga.

Es decir, vamos a elaborar un sistema formal, uno de cuyos símbolos cumplirá la función que Aquiles reclamaba para la palabra ‘y’ en su discusión con la Tortuga, y otros de cuyos símbolos se comportarán como deberían hacerlo las palabras ‘si… entonces…’. Sólo dos palabras más agregaremos a este ensayo: ‘o’ y ‘no’. El razonamiento que se hace depender exclusivamente del uso correcto de estos cuatro elementos es denominado razonamiento proposicional.

Alfabeto y primera regla del cálculo proposicional

Presentaremos otro sistema formal, llamado cálculo proposicional, un poco a la manera de un acertijo y sin desarrollarlo íntegramente de inmediato, sino permitiendo que el lector, en cierta medida, vaya descubriendo por sí mismo las distintas etapas. Comenzamos con la lista de símbolos:

REGLA DE AGRUPAMIENTO: Si x e y son teoremas del sistema, también lo es la cadena <x∧y>.

Esta regla hace que dos teoremas sean reunidos en uno, lo cual suena parecido a lo que sucedía en el Diálogo.

Cadenas bien formadas

Hay otras reglas de inferencia, que serán enunciadas poco más adelante, pero ahora es importante definir un subconjunto de todas las cadenas, a saber, las cadenas bien formadas. Las definiremos de una manera recursiva. Comenzamos con los

ATOMOS: P, Q y R son llamados átomos. Se forman nuevos átomos agregando apóstrofos a la derecha de los ya existentes; por ejemplo, R′, Q′′, P′′′, etc. Esto proporciona una provisión interminable de átomos, todos ellos bien formados.

REGLAS DE FORMACIÓN: Si x e y están bien formados, entonces las cuatro cadenas que siguen también lo estarán:

La última puede parecer espectacular, pero está construida a partir tan sólo de dos componentes: las dos expresiones que la preceden. Cada una de éstas, a su vez, está construida a partir de las expresiones anteriores, y así sucesivamente… De este modo, en toda cadena bien formada pueden rastrearse sus constituyentes elementales, es decir, los átomos. Basta con seguir hacia atrás las reglas de formación, hasta que no sea posible continuar. Es seguro que este proceso llega a un final, pues cada regla de formación (si se marcha hacia adelante) es una regla de ampliación, por lo que el marchar hada atrás conduce siempre hacia los átomos.

Este método de descomposición de cadena sirve así para verificar si cualquier cadena está bien formada. Se trata de un procedimiento de decisión descendente para la comprobación citada. Uno puede comprobar si entendió dicho procedimiento viendo si puede determinar cuáles de las cadenas siguientes están bien formadas:

(Respuesta: Las líneas a las que corresponden números de Fibonacci no están bien formadas. Las restantes sí).

Otras reglas de inferencia

Llegamos ahora a las reglas gracias a las cuales son construidos los teoremas de este sistema. En las pocas reglas de inferencia expuestas a continuación, los símbolos ‘x’ e ‘y’ deben entenderse siempre como indicativos únicamente de cadenas bien formadas.

REGLA DE DISOCIACIÓN: Si <x∧y> es un teorema, entonces tanto x como y son teoremas.

El lector ha de estar interrogándose acerca de cuál es el concepto representado por el símbolo ‘∧’. (Insinuación: es la palabra debatida en el Diálogo anterior). A partir de la siguiente regla, el lector estará en condiciones de advertir cuál es el concepto representado por la tilde (‘~’):

REGLA DE LA DOBLE TILDE: La cadena ‘~~’ puede ser suprimida en cualquier teorema. También puede ser incluida en cualquier teorema, siempre que la cadena resultante esté bien formada.

La regla fantasiosa

Un rasgo particular de este sistema es que carece de axiomas: sólo tiene reglas. Si pensamos en los sistemas ya vistos, las preguntas que surgen son, ¿cómo puede, entonces, haber teoremas?, ¿cómo es posible, así, cualquier clase de comienzo? Pero hay una regla que produce teoremas desde la nada: no requiere de un “teorema anterior” como alimentación. (El resto de las reglas sí lo requieren). Esta regla especial, cuya existencia responde a aquellas preguntas, se denomina regla fantasiosa. La razón para llamarla así es sumamente sencilla.

Para usar la regla fantasiosa, lo primero que se debe hacer es enunciar la cadena bien formada x que se desee, y luego entregarse a la “fantasía” de plantear: “¿Qué pasaría si esta cadena x fuese un axioma o un teorema?”. Luego, se deja que el sistema mismo proporcione una respuesta; es decir, se avanza efectuando una derivación que tenga a x como enunciado de apertura, y donde y sea la última línea derivada (por supuesto, la derivación debe ajustarse estrictamente a las reglas del sistema): todo el desarrollo, desde x hasta y, inclusive, constituye la fantasía; x es la premisa de la fantasía e y su resultado. El paso que sigue es brincar fuera de la fantasía, luego de aprender gracias a ella que:

Así y todo, aún podemos preguntarnos, ¿dónde está el teorema legítimo? El teorema legítimo es la cadena

Para señalar el ingreso y la salida de una fantasía se usan los corchetes o paréntesis cuadrados, ‘[’ y ‘]’ respectivamente. Por consiguiente, donde uno vea un corchete izquierdo, sabe que se está “metiendo” en una fantasía y que la línea siguiente enuncia la premisa de la misma. Cuando aparece un corchete derecho, uno sabe que se está “sacando” de vuelta para afuera, y que la línea anterior enuncia el resultado de la misma. Es útil, aunque no imprescindible, rodear con sangrías tipográficas las líneas que incluyan una derivación fantasiosa.

A continuación, ilustraremos la regla fantasiosa tomando la cadena P como premisa (aun cuando P no sea un teorema; esto no cuenta, pues lo que planteamos es, “¿qué pasaría si lo fuera?”). Tenemos así:

Si ahora “comprimimos” esta oración española (metalenguaje) en el interior de la notación formal (lenguaje objeto), tendremos: <P⊃~~P>. Éste, nuestro primer teorema del cálculo proposicional, revelará al lector la interpretación correspondiente al símbolo ‘⊃’.

Es importante darse cuenta de que únicamente la última línea presenta un teorema auténtico, en este desarrollo: todas las demás son fantasía.

Recursividad y regla fantasiosa

Tal como lo hace suponer la presencia de la terminología recursiva “meter” y “sacar”, la regla fantasiosa puede ser utilizada recursivamente; es decir, puede haber fantasías incluidas en fantasías, fantasías insertadas en otras, en tres instancias autoincluidas, y así sucesivamente. Esto significa que hay toda clase de “niveles de realidad”, exactamente como en los relatos o en las películas que anidan en su interior otros relatos y películas. Cuando uno emerge de un relato-contenido-en-otro-relato, y recupera el nivel narrativo inicial, se siente por un momento como si hubiese ingresado al mundo real, a pesar de que todavía permanece alejado del superior por un nivel.

Ahora bien, una indicación de “Prohibido fumar”, instalada en el interior de una sala cinematográfica, no está dirigida a los personajes de las películas: no hay traslados desde el mundo real al mundo de la fantasía en las películas. Pero en el cálculo proposicional hay esa clase de traslados, e inclusive los hay desde una fantasía a otras fantasías contenidas dentro de la primera. Ello es formalizado por la siguiente regla:

REGLA DE TRASLADO: Dada una fantasía, puede ser llevado a su interior cualquier teorema correspondiente a la “realidad” situada un nivel más arriba.

Es como si la señal “Prohibido fumar” se aplicara no sólo a los espectadores, sino también a los actores de la película y, por reiteración de la misma idea, a quienquiera que aparezca en las múltiples películas insertadas una dentro de otra que pueda haber. (Atención: no hay traslado en la dirección opuesta; los teoremas incluidos en las fantasías no pueden ser llevados al exterior de éstas. Si no fuera por ello, podríamos formular lo que se nos ocurra para ocupar la primera línea de una fantasía y luego mandarlo al mundo real para que actúe como teorema).

La derivación de más abajo muestra cómo opera el traslado y también cómo puede ser aplicada recursivamente la regla fantasiosa:

Adviértanse los distintos márgenes de sangrado con que enmarqué las fantasías exterior e interior, destinados a subrayar la naturaleza de estos “niveles de realidad” insertados unos en otros. Un modo de entender la regla fantasiosa es decir que una observación efectuada acerca del sistema pasa a ser incluida dentro del sistema. En otros términos, el teorema <x⊃y>, que hemos producido, puede ser concebido como representación, dentro del sistema, del enunciado referido al sistema: “Si x es un teorema, entonces y también lo es”. Más específicamente aún: la interpretación postulada para <P⊃Q> es, “si P, entonces Q” o, de manera equivalente, “P implica Q”.

El reverso de la regla fantasiosa

El Diálogo de Lewis Carroll trató excluyentemente de los enunciados “si… entonces…”. Aquiles, en particular, enfrentó un sinfín de dificultades para conseguir que la Tortuga aceptase la segunda cláusula —así como aceptaba la primera— de un enunciado “si… entonces…”, pese a que el enunciado “si… entonces…” mismo era aceptado. La regla que sigue permitirá al lector inferir la segunda cláusula de una cadena ‘⊃’ a condición de que la cadena ‘⊃’ misma sea un teorema y de que la primera “cláusula” también lo sea.

Dicho al pasar, esta regla es llamada frecuentemente “modus ponens”, y la regla fantasiosa, por su parte, “teorema de deducción”.

Interpretación de los símbolos

A esta altura, podemos dejarnos de secretos y revelar el “significado” de los restantes símbolos. Por si no se ha hecho evidente todavía, digamos que el símbolo ‘∧’ es isomorfo de la común y corriente partícula ‘y’. El símbolo ‘~’ representa el término ‘no’: es un tipo formal de negación. Los paréntesis angulados ‘<’ y ‘>’ son agrupadores; su función es similar a la de los paréntesis en álgebra convencional; la diferencia principal reside en que, en el álgebra, se cuenta con la libertad de intercalar o suprimir paréntesis, según lo que marquen las preferencias o el estilo personal, mientras que, en un sistema formal, esa discrecionalidad caótica no es tolerada. El símbolo ‘∨’ representa la palabra ‘o’ (‘o’ es ‘vel’, en latín); esta ‘o’ es la llamada inclusiva, lo cual significa que la interpretación de <x∨y> es ‘o x, o y o ambas’.

Los únicos para los que no hemos proporcionado interpretación son los átomos. Un átomo carece de interpretación propia: puede ser interpretado como cualquier oración en español (debe seguir siendo interpretado del mismo modo si aparece varías veces dentro de una cadena o de una derivación). Así, por ejemplo, la cadena bien formada <P∧~P> puede ser interpretada como la oración compuesta

Examinemos ahora cada uno de los teoremas derivados hasta aquí y asignémosles una interpretación. El primero fue <P⊃~~P>. Si conservamos igual interpretación de P, tendremos:

Si esta mente es Buda,

entonces no es el caso que esta mente no es Buda.

Obsérvese cómo he traducido la doble negación. Repetir la negación, en cualquier lenguaje natural, es embarazoso, por lo que cabe efectuar un rodeo mediante la utilización de dos formas diferentes de expresión negativa. El segundo teorema que derivamos fue <<P∧Q>⊃<Q∧P>>.

Si interpretamos a Q como la oración “Esta sandía pesa tres kilos”, entonces nuestro teorema debe ser leído:

Si esta mente es Buda y esta sandía pesa tres kilos,

entonces esta sandía pesa tres kilos y esta mente es Buda.

El tercer teorema fue <P⊃<Q⊃<P∧Q>>> le corresponde la siguiente repetición autoincluida de la oración “si… entonces…”

Si esta mente es Buda,

entonces si esta sandía pesa tres kilos,

entonces esta mente es Buda y esta sandía pesa tres kilos.

Probablemente, el lector haya advertido que cada teorema, al ser interpretado, expresa algo banal y absolutamente evidente por sí mismo. (En ocasiones son tan evidentes por sí mismos que suenan vacuos y —paradójicamente, por cierto— confusos… e inclusive equívocos). Ello puede quitarles grandiosidad, pero convendría tener presente que podría haberse generado a través de ellos una multitud de falsedades, y sin embargo esto no ha ocurrido. Este sistema —el cálculo proposicional— avanza con nitidez de verdad en verdad, evitando cuidadosamente las falsedades, igual que alguien a quien le preocupe no mojarse cruzará un arroyo con gran precaución, pisando una piedra saliente y luego otra, siguiendo el trazado de éstas por más retorcido y complicado que se lo vea. La impresionante es que, en el cálculo proposicional, todo es dado en forma puramente tipográfica. No hay nadie ^uallí dentro” que esté pensando acerca de la significación de las cadenas. Todo es dado de modo mecánico, convencional, rígido y hasta tonto.

El repertorio completo de reglas

No hemos enunciado todavía todas las reglas del cálculo proposicional. A continuación presentamos la lista completa de las mismas, incluyendo tres que no habíamos mencionado hasta ahora.

REGLA DE LA DOBLE TILDE: La cadena ‘~~’ puede ser suprimida de cualquier teorema. También puede ser incorporada a cualquier teorema, a condición de que la cadena resultante esté bien formada.

REGLA FANTASIOSA: Si, cuando se supone de x que es un teorema, puede derivarse y, entonces <x⊃y> es un teorema.

REGLA DE TRASLADO: Cualquier teorema proveniente de la “realidad” ubicada un nivel más arriba, puede ser llevado y empleado dentro de una fantasía.

REGLA DE SEPARACIÓN: Si tanto x como <x⊃y> son teoremas, entonces y es un teorema.

(La Regla de Quitopongo surgió por obra de Q. q. Quitopongo, guardagujas albanés dedicado a la reflexión lógica entre maniobra y maniobra). En las reglas precedentes, se entiende por “intercambiable” lo siguiente: si una expresión de una forma aparece como teorema, o parte de un teorema, puede ser sustituida por la otra forma, y la cadena resultante también será un teorema. Debe recordarse que los símbolos ‘x’ e ‘y’ siempre representan cadenas bien formadas del sistema.

Fundamentos de las reglas

Antes de emplear las reglas para obtener derivaciones, examinaremos brevemente algunos hechos que les dan fundamento. Es posible que el lector encuentre mejores razones que las aportadas por mis ejemplos, ya que sólo daré un par de éstos.

La regla de contraposición brinda un modo de enunciar explícitamente formulaciones contrapuestas, que elaboramos inconscientemente, de oraciones —o sentencias— condicionales. Por ejemplo, la “Zentencia”

La regla de De Morgan puede ser ilustrada a través de la oración, familiar para nosotros, “La bandera no se está moviendo y el viento no se está moviendo». Si P simboliza “la bandera se está moviendo” y Q simboliza “el viento se está moviendo”, entonces la oración compuesta es simbolizada por <~P∧~Q> lo cual, de acuerdo a la ley de De Morgan, es intercambiable con ~<P∨Q>, cuya interpretación sería, “No es verdad que la bandera o el viento se estén moviendo”. Y nadie puede negar que se trata de una Zensata conclusión.

Respecto a la regla de Quitopongo, consideremos la oración “O una nube está suspendida sobre la montaña, o los rayos lunares están atravesando las olas del lago”, lo cual podría ser dicho, supongo, por un meditativo maestro zen, quien recuerda un lago que puede evocar, pero no visualizar. Ahora hay que agarrarse fuerte, porque la regla de Quitopongo nos dice que aquello es intercambiable con el siguiente pensamiento: “Si una nube no está suspendida sobre la montaña, entonces los rayos lunares están atravesando las olas del lago”. Esto no será muy luminoso, pero es lo mejor que el cálculo proposicional puede ofrecer.

Ejercitaciones del sistema

Aplicaremos ahora estas reglas a un teorema anterior, y veremos qué se obtiene. Por ejemplo, tomemos el teorema <P⊃~~P>:

Una vez más, a pesar de no recaer por poco en la vacilación, el teorema interpretado es, al menos, verdadero.

Seminterpretaciones

Es usual, cuando se descifran teoremas del cálculo proposicional en voz alta, que se interprete todo menos los átomos. Llamo a esto seminterpretar. Por ejemplo, la seminterpretación de <P∨~P> sería

Pese al hecho de que P no es una oración, la semioración formulada suena verdadera, porque uno se imagina muy fácilmente la asignación de cualquier oración a P; además, la forma del teorema seminterpretado nos asegura que, cualquiera que sea la significación asignada, la oración resultante sería verdadera. Y ésta es la idea básica del cálculo proposicional: producir teoremas que, al ser seminterpretados, sean vistos como “semioraciones universalmente verdaderas”, lo cual significa que, cualquiera que sea el modo en que se complete la interpretación, el resultado final será una proposición verdadera.

El hacha de Gantō

Haremos ahora un ejercicio más avanzado, basado en un kōan zen llamado “El hacha de Gantō”. Dice su parte inicial:

Un día, Tokusan dijo a su discípulo Gantō, “hay dos monjes aquí que llevan muchos años conmigo. Ve y examínalos”. Gantō tomó un hacha y fue a la choza donde los dos monjes estaban meditando. Levantó sobre ellos el hacha, diciendo, “si dicen ustedes una palabra, les cortaré la cabeza; y si no dicen una palabra, también les cortaré la cabeza”.^[1]

Si dicen ustedes una palabra, cortaré este kōan, y si no dicen una palabra, también lo cortaré… porque necesito traducir parte del mismo a nuestra notación. Simbolizaremos “dicen ustedes una palabra” mediante P, y “les cortaré la cabeza” mediante Q. Por lo tanto, la amenaza del hacha de Gantō es simbolizada por la cadena <<P⊃Q>∧<~P⊃Q>>. ¿Qué ocurriría si tal amenaza fuera un axioma? La fantasía que sigue responde a esta pregunta.

Este ejemplo manifiesta el poder del cálculo preposicional. ¡Sólo mediante dos docenas de pasos hemos deducido Q: que las cabezas serán cortadas! (Ominosamente, la última regla aplicada es la de “separación”…). Parecería superfluo completar la lectura del kōan, pues sabemos cómo tiene que seguir… No obstante, retiraré mi resolución de cortar el kōan; es un auténtico kōan zen, después de todo. La parte que falta dice así:

Ambos monjes continuaron su meditación como si no hubiesen escuchado nada. Gantō bajó el hacha y dijo, “ustedes son auténticos discípulos zen”. Regresó y relató lo ocurrido a Tokusan. “Capto perfectamente tu punto de vista”, dijo Tokusan, “pero dime, ¿cuál es su punto de vista?”. “Tōzan puede aceptarlos”, contestó Gantō, “pero no deben ser aceptados por Tokusan”.^[2]

¿Hay un procedimiento de decisión para aplicar a los teoremas?

El cálculo proposicional nos aporta un conjunto de reglas para producir proposiciones que serían verdaderas en todos los mundos concebibles. Es por ello que todos sus teoremas dan la impresión de ser tan simples, al punto que parecen carecer por completo de contenido… Mirado en esta forma, el cálculo proposicional puede ser considerado un desperdicio de tiempo, puesto que nos dice cosas absolutamente triviales. Pero, por otro lado, lo hace mediante la especificación de la forma de las proposiciones que son universalmente verdaderas, y esto arroja una nueva clase de luz sobre las verdades centrales del universo: éstas no son sólo fundamentales sino también permanentes; es decir que pueden ser producidas por un conjunto de reglas tipográficas. En otras palabras, todas ellas están “cortadas de la misma tela”. Pensemos si puede decirse lo mismo acerca de los kōan zen: ¿podrían ser todos producidos por un conjunto de reglas tipográficas?

Es del todo pertinente, aquí, plantear el problema del procedimiento de decisión. O sea, ¿existe algún método mecánico que diferencie entre no teoremas y teoremas? Si es así, nos indicaría que el conjunto de teoremas del cálculo preposicional es no solamente r. e., sino también recursivo. Resulta que sí existe un interesante procedimiento de decisión, el método de las tablas de verdad. Presentarlo ahora nos desviaría un poco de nuestro tema, y además se lo encuentra prácticamente en cualquier libro corriente sobre lógica. ¿Y qué ocurre con los kōan zen? ¿Podría concebirse un procedimiento mecánico de decisión que distinguiera los kōan zen auténticos de las cosas que no lo son?

¿Sabemos si el sistema es coherente?

Hasta ahora, únicamente hemos presumido que todos los teoremas, cuando son interpretados del modo indicado, son proposiciones verdaderas. Pero, ¿sabemos que es así como debe ser? ¿Podemos demostrarlo? Se trata tan sólo de otra forma de preguntamos si las interpretaciones postuladas (‘y’ para ‘∧’, etc.) merecen ser llamadas “significaciones pasivas” de los símbolos. Este tema puede ser analizado desde dos diferentes perspectivas, a las que puede identificarse como la perspectiva “prudente” y la perspectiva “imprudente”. Las presentaré según las veo, personificando a sus sostenedores como “Prudencia” e “Imprudencia”.

Prudencia: Sólo SABREMOS que todos los teoremas resultan verdaderos bajo la interpretación postulada si nos las ingeniamos para DEMOSTRARLO. Éste es el modo, cauto y precavido, de proceder.

Imprudencia: Todo lo contrario. Es OBVIO que todos los teoremas han de resultar verdaderos. Si no me cree, examine nuevamente las reglas del sistema; descubrirá que éstas hacen que los símbolos funcionen exactamente como las palabras representadas deben, por su parte, funcionar. Por ejemplo, la regla de agolpamiento hace que el símbolo ‘∧’ actúe como debe actuar ‘y’; la regla de separación hace que ‘⊃’ actúe como debe hacerlo, cuando representa a ‘implica’, o a ‘si… entonces…’, etc. A menos que se comporte usted como la Tortuga, reconocerá en cada regla la codificación de un modelo que usted misma utiliza en su propio pensamiento. De modo que si confía en los modelos de su propio pensamiento, entonces DEBE confiar en que todos los teoremas resulten verdaderos… Así es como yo lo veo. No necesito ninguna demostración adicional. Si usted cree que algunos teoremas resultan falsos, debe presumir entonces que algunas reglas no son correctas. Muéstreme cuáles.

Prudencia: No estoy segura de que haya alguna regla errónea, de modo que no puedo hacer lo que me pide. Pero sí puedo imaginarme esta situación: usted, siguiendo las reglas, obtiene el teorema, digamos, x. Yo, entretanto, siguiendo también las reglas, obtengo otro teorema que resulta ser ~x. ¿Puede usted hacer el esfuerzo de concebir esto?

Imprudencia: De acuerdo. Supongamos que sí ocurre; ¿por qué le preocupa eso?, pero permítame plantearlo de otro modo. Imagínese que nos ponemos ambas a trabajar en el sistema MIU y yo obtengo el teorema x, mientras que usted obtiene el teorema xU. ¿Puede usted hacer el esfuerzo de concebir esto?

Prudencia: Claro que no. Su ejemplo es risible, porque MI y MIU son no CONTRADICTORIOS, en tanto las cadenas x y ~x, en el cálculo preposicional, sí lo SON.

Imprudencia: Bien, sí… siempre que usted interprete ‘~’ como ‘no’. ¿Pero qué la lleva a pensar que ‘~’ debe ser interpretado como ‘no’?

Prudencia: Las reglas mismas. Cuando uno las analiza, comprende que la única interpretación concebible para ‘~’ es ‘no’, del mismo modo que la única interpretación concebible para ‘∧’ es ‘y’, etc.

Imprudencia: En otras palabras, ¿usted está convencida de que las reglas capturan los significados de esas palabras?

Imprudencia: ¿Y a pesar de eso, sigue dispuesta a sostener que tanto x como ~x pueden ser teoremas? ¿Por qué no sostiene también que los puercoespines son ranas, o que 1 es igual a 2, o que la luna está hecha de queso verde? Por mi parte, todavía no estoy dispuesta a considerar si tales ingredientes básicos de mi pensamiento son erróneos, pues de ser así, debería, entonces, considerar si mis modos de analizar todo el problema no son también erróneos, y me vería arrastrada a un enredo tremendo.

Prudencia: Sus argumentos son imperativos… De todos modos, aún quiero ver una DEMOSTRACIÓN de que todos los teoremas resultan verdaderos, o de que x y ~x no pueden ser ambos, a la vez, teoremas.

Imprudencia: Usted desea una demostración. Eso significa, sospecho, que usted desea estar más persuadida de que el cálculo preposicional es coherente, que de su propia cordura. Cualquier demostración en la que piense involucraría operaciones mentales de complejidad mayor que todas las exigidas por el cálculo preposicional mismo. Y entonces, ¿qué demostraría? Su reclamo de que se demuestre la coherencia del cálculo preposicional me hace pensar en alguien que está aprendiendo español e insiste en que se le proporcione un diccionario que defina todas las palabras simples en función de las palabras complicadas…

Otra vez el diálogo de Carroll

Esta breve discusión muestra Tas dificultades que presenta la utilización de la lógica y del razonamiento para argumentar en favor de ellos mismos. Llegados a este punto, tocamos fondo, y no hay más defensa que exclamar a voz en cuello, “¡Yo sé que estoy en lo cierto!”. Una vez más, nos enfrentamos al tema tan agudamente planteado por Lewis Carroll en todo su Diálogo: no se puede estar defendiendo permanentemente los modelos propios de razonamiento. Llega un momento en que la fe ocupa el escenario.

Un sistema de razonamiento puede ser comparado con un huevo. Este cuenta con una cáscara que protege el contenido. Si se desea enviar un huevo a alguna parte, sin embargo, no se puede confiar sólo en la cáscara: se lo empaca de alguna manera, elegida con arreglo a las dificultades y características del viaje. Se puede ser especialmente cuidadoso, y ubicar el huevo en el interior de varías cajas, contenidas unas en otras. Con todo, por más niveles de cajas que estén rodeando al huevo, es posible imaginar un cataclismo que consiga romperlo. Pero esto no significa que uno desista, por tal causa, de intentar el transporte. De modo similar, uno no puede aportar una demostración absoluta y definitiva de que otra demostración, correspondiente a determinado sistema, es legítima. Por supuesto, es posible aportar una demostración de una demostración, o una demostración de una demostración de una demostración… pero la validez del sistema ubicado en la base seguirá siendo siempre una suposición indemostrada, admitida como artículo de fe. Uno puede imaginar, en todo momento, que alguna sutileza insospechada ha de invalidar los fundamentos de todos los niveles particulares de demostración, y que, por ende, lo “demostrado” resultará carente de validez, al final. Ello no quiere decir, empero, que los matemáticos y los lógicos sufran la preocupación constante de que el edificio entero de la matemática puede estar basado en el error. Por otra parte, cuando se proponen demostraciones poco ortodoxas, o sumamente extensas, o surgidas de computadoras, es cuando la gente se detiene a pensar un poco en el significado que realmente le otorga a la casi sagrada palabra “demostración”.

Un ejercicio excelente para ser practicado, en este momento, por el lector, sería retornar al Diálogo de Carroll y codificar los diversos estadios del debate mediante nuestra notación, comenzando con el tema inicial de disputa:

Aquiles: Si usted tiene <<A∧B>⊃Z>, y tiene también <A∧B>, entonces seguramente tiene usted Z.

Tortuga: ¡Oh! Usted quiere decir <<<<A∧B>⊃Z>∧<A∧B>>⊃Z>, ¿no es así?

(Insinuación: Todo lo que Aquiles considera una regla de inferencia la Tortuga lo aplana reduciéndolo a una mera cadena del sistema. Si uno utiliza únicamente las letras A, B y Z, obtendrá un modelo recursivo de cadenas cada vez más extensas).

Atajos y reglas derivadas

Cuando uno está efectuando derivaciones, en cálculo preposicional, rápidamente inventa diversos tipos de atajos, los cuales no son, estrictamente, parte del sistema. Por ejemplo, si se necesita la cadena <Q∨~Q> en un punto determinado, y ya ha sido derivada <P∨~P>, hay quienes procederían como si <Q∨~Q>, pues saben que su derivación guarda un paralelo exacto con la de <P∨~P>. El teorema derivado es tratado como un “esquema de teorema”: un molde para otros teoremas. Esto resulta ser un procedimiento perfectamente válido, en la medida en que conduce siempre a nuevos teoremas, pero no es una regla del cálculo preposicional semejante a las que presentamos. Antes bien, es una regla derivada. Es parte de nuestro conocimiento acerca del sistema. Que esta regla nos retenga siempre dentro del espacio de los teoremas es algo que necesita demostrarse, por cierto, pero tal demostración no es análoga a una derivación en el interior del sistema: es una demostración en el sentido corriente e intuitivo del concepto, o sea una serie de razonamientos encuadrados por la vía I. La teoría acerca del cálculo preposicional es una “metateoría”, y sus resultados pueden ser llamados “metateoremas”: Teoremas acerca de teoremas. (Obsérvese la peculiar utilización de la mayúscula en la expresión “Teoremas acerca de teoremas”. Es consecuencia de la convención a la que nos ajustamos: los metateoremas son Teoremas (demostrados) relativos a teoremas (cadenas derivables).)

En el cálculo preposicional, uno puede descubrir muchos otros metateoremas, o reglas derivadas de inferencia. Por ejemplo, hay una segunda regla de De Morgan:

Si ésta fuera una regla del sistema, podrían acelerar considerablemente muchas derivaciones. Ahora bien, si demostramos que es correcta, ¿no basta con ello?, ¿no podemos emplearla exactamente igual que a una regla de inferencia, a partir de entonces?

No hay motivo para poner en duda la validez de la regla derivada, pero si comenzamos a admitir reglas derivadas como parte de nuestro procedimiento en el cálculo preposicional, habremos deshecho la formalidad del sistema, puesto que las reglas derivadas son derivadas informalmente: fuera del sistema. Y los sistemas formales han sido postulados como un medio para exhibir explícitamente cada uno de los pasos de una demostración, dentro de una estructura unitaria y rígida, de modo que cualquier matemático pueda verificar mecánicamente el trabajo de cualquier otro. Luego, para quien decida mantenerse en el exterior de esa estructura, lo mismo da que ésta no hubiese sido creada. En consecuencia, hay alguna desventaja en la utilización de atajos.

Formalización de niveles más altos

Pero hay una alternativa. ¿Por qué no formalizar también la metateoría? Siguiendo tal alternativa, las reglas derivadas (metateoremas) deberían ser teoremas de un sistema formal más amplio, y sería legítimo buscar atajos y derivarlos como teoremas, es decir, teoremas de la metateoría formalizada, los cuales podrían entonces utilizarse para agilizar la derivación de los teoremas del cálculo proposicional. Se trata de una idea interesante, pero tan pronto es sugerida uno se precipita a pensar en metametateorías, y así sucesivamente. Queda claro que, por más niveles que se formalicen, finalmente alguien pretenderá establecer atajos en el nivel superior.

Es posible proponer, inclusive, que una teoría del razonamiento llegue a ser idéntica a su propia metateoría, si se lo intenta adecuadamente. Se diría entonces que todos los niveles confluirían en uno solo y que pensar acerca del sistema sería ni más ni menos que actuar dentro del sistema. Pero no es tan sencillo. Aun cuando un sistema pueda “pensar en sí mismo”, ello no lo ubica todavía fuera de sí mismo. Quien está fuera del sistema lo percibe de modo diferente de como se percibe el sistema a sí mismo. Así y todo, hay una metateoría —una perspectiva desde el exterior— inclusive en las teorías que pueden “pensar en sí mismas” en el interior de sí mismas. Descubriremos que existen teorías que pueden “pensar en sí mismas”; en realidad, un poco más adelante analizaremos un sistema en el cual esto ocurre de manera enteramente accidental, ¡sin que nos lo propongamos! Y veremos qué tipo de efectos surge de ello. Pero en nuestro examen del cálculo proposicional, nos adherimos a las nociones más elementales: no entremezclar niveles.

Si no se distingue cuidadosamente entre operar en el interior del sistema (la vía M) y pensar acerca del sistema (la vía I), pueden producirse falacias. Por ejemplo, parecería perfectamente razonable suponer que, como<P∨~P> (cuya seminterpretación es “o P o no P”) es un teorema, entonces “o P o ~P” debe ser un teorema. Pero es una suposición absolutamente errónea: ninguna de las dos últimas expresiones es un teorema. En general, es una práctica arriesgada la de suponer que los símbolos pueden ser deslizados de uno a otro nivel; en este caso, desde el del lenguaje del sistema formal, al de su metalenguaje (el idioma español).

Reflexiones sobre la fortaleza y las debilidades del sistema

Hemos visto una muestra de sistema dotado de un propósito: representar parte de la arquitectura del pensamiento lógico. Los conceptos manejados por el sistema son numéricamente escasos y de carácter simple y preciso. Pero la simplicidad y precisión del cálculo proposicional son exactamente los aspectos que lo hacen atractivo a los ojos de los matemáticos. Hay dos razones para ello: 1) Puede ser estudiado en sus atributos propios, lo mismo que la geometría estudia formas simples y rígidas. Se le pueden introducir variantes, empleando diferentes símbolos, reglas de inferencia, axiomas o esquemas de axiomas, etc. (Dicho al margen, la versión del cálculo proposicional presentada aquí se relaciona con la creada por G. Gentzen, a comienzos de los años treinta. Hay otras versiones en las que se emplea sólo una regla de inferencia —la separación, generalmente— y varios axiomas, o esquemas de axioma). El estudio de las maneras de ejercitar un razonamiento proposicional, a través de sistemas formales armoniosos, es una fascinante rama de la matemática pura. 2) El cálculo preposicional puede ser extendido sin dificultad, hasta abarcar otras facetas fundamentales del razonamiento. Algo de esto será mostrado en el capítulo siguiente, donde el cálculo preposicional será metido hasta las orejas dentro de un sistema mucho más amplio y profundo, dentro del cual pueda tener lugar el refinado razonamiento propio de la teoría de los números.

Demostraciones vs. derivaciones

El cálculo preposicional se asemeja mucho al razonamiento, en algunos aspectos, pero no debemos identificar sus reglas con las del pensamiento humano. Una demostración es una cosa informal o, en otras palabras, un producto del pensamiento normal, formulado en lenguaje humano y destinado al consumo humano. Todas las complejidades del pensamiento humano pueden ser aplicadas a la demostración y, aunque se “sienta” la certeza de que son legítimas, sería para sorprenderse que puedan ser defendidas de modo lógico. Éste es, en cambio, el cometido de la formalización. Una derivación es el equivalente mecánico de la demostración; su propósito es alcanzar el mismo objetivo, pero a través de una estructura lógica cuyos métodos no sólo son totalmente explícitos, sino también sumamente simples.

Si —tal como es el caso, por lo común— una derivación formal resulta mucho más extensa que la demostración “natural” correspondiente, no hay que disgustarse; es el precio pagado para hacer de cada paso algo tan simple. A menudo ocurre que una derivación y una demostración son “simples” en sentidos complementarios de la palabra; la demostración es simple, desde el punto de vista de que cada paso “impresiona como legítimo”, aun cuando no se sepa por qué; la derivación es simple, desde el punto de vista de que sus miríadas de pasos son tan triviales que escapan a toda refutación, y como la derivación íntegra consiste únicamente en esos pasos triviales, se la supone exenta de error. Una y otra forma de simplicidad, sin embargo, conllevan un tipo específico de complejidad. En cuanto a la demostración, se trata de la complejidad del sistema que le subyace, cuyo fundamento, a su vez, es el lenguaje humano; en cuanto a la derivación, se trata de su dimensión astronómica, lo cual la hace casi imposible de aprehenderla en un solo acto.

Así, el cálculo preposicional debería ser considerado parte de un método general de sintetización de las estructuras mecánicas que se asemejan a la demostración. Sin embargo, carece mayormente de flexibilidad o generalidad; se lo ha postulado únicamente para su uso en vinculación con conceptos matemáticos, los cuales son enteramente rígidos.

Como ejemplo interesante de lo anterior, hagamos una derivación donde una cadena muy peculiar es la premisa de una fantasía: <P∧~P>. Por lo menos su seminterpretación es peculiar. El cálculo preposicional, no obstante, no toma en cuenta seminterpretaciones: sólo manipula cadenas por medio de procedimientos tipográficos; y, desde el punto de vista tipográfico, la cadena citada carece en realidad de toda peculiaridad. A continuación, una fantasía donde esta cadena actúa como premisa:

Puesto que Q es interpretable como un enunciado cualquiera, podemos leer libremente lo anterior del siguiente modo: “Dada una contradicción, se sigue cualquier cosa”. Por ende, los sistemas basados en el cálculo proposicional no pueden dar cabida a la contradicción; ésta infecta todo el sistema, como si se tratase de un súbito cáncer global.

El manejo de las contradicciones

Esto no se parece mucho al pensamiento humano. Si uno descubre una contradicción dentro de los propios razonamientos, es muy improbable que la estructura mental personal sufra una desarticulación completa. En lugar de ello, lo más fácil es que uno comience a revisar las convicciones o los modos de razonar a los cuales atribuye la falla. Dicho de otra manera, uno abandona, en la medida posible, los sistemas interiores a los cuales responsabiliza de la contradicción, e intenta recomponerlos. No es ni remotamente probable que uno baje los brazos y exclame, “Bueno, sospecho que esto muestra que ahora creo cualquier cosa”. Puede que algo así se diga en son de broma, pero nunca seriamente.

La contradicción, por cierto, es una de las fuentes principales de clarificación y de progreso en todos los dominios de la vida… y la matemática no es una excepción al respecto. En tiempos pasados, cuando surgía una contradicción dentro de la matemática, los matemáticos trataban inmediatamente de determinar qué sistema era responsable para apartarse de él, examinarlo y enmendarlo. Lejos de debilitar la disciplina, el descubrimiento y rectificación de una contradicción la fortalecen. Ello puede insumir tiempo y una buena cantidad de comienzos equivocados, pero en definitiva produce sus frutos. En la Edad Media, por ejemplo, el valor de la serie infinita

era algo muy acaloradamente debatido. Estaba “demostrado” que era igual a 0, y también a 1, o a ½, y quizá inclusive a otros valores más. Estos descubrimientos contradictorios dieron lugar a una teoría más completa y profunda acerca de las series infinitas.

Un ejemplo más directo lo da la abierta contradicción que estamos confrontando en este momento, es decir, la discrepancia existente entre la forma en que realmente pensamos y la forma en que el cálculo proposicional nos imita. Esto ha sido una fuente de incomodidad para muchos lógicos, y así es como se han emprendido importantes esfuerzos creativos destinados a reordenar el cálculo preposicional, de modo que deje de funcionar con tanta simpleza y tanta inflexibilidad. Un intento, presentado en el libro Entailment, de A. R. Anderson y N. Belnap,^[3] habla de la “implicación pertinente”, la cual trata de conseguir que el símbolo correspondiente a “si… entonces…” refleje causalidades legítimas o, en último caso, conexión entre significaciones. Consideremos los siguientes teoremas del cálculo preposicional:

<P⊃<Q⊃P>>

<P⊃<Q∨~P>>

<<P∧~P>⊃Q>

<<P⊃Q>∨<Q⊃P>>

Éstos y muchos otros del mismo tipo muestran sin excepción que entre la primera y la segunda cláusulas de una preposición “si… entonces…” no se necesita que exista la menor relación, como requisito para ser demostrables dentro del cálculo preposicional. Frente a esto, la protesta de la “implicación pertinente” consiste en establecer ciertas restricciones en los contextos dentro de los cuales vayan a ser aplicadas las reglas de inferencia. Intuitivamente, dice que “una cosa puede ser derivada de alguna otra sólo si ambas están vinculadas entre sí”. Por ejemplo, la línea 10 de la derivación de más arriba no sería posible en este nuevo sistema, e impediría la derivación de la cadena <<P∧~P>⊃Q>.

Hay ensayos más radicales, que desisten por completo de preocuparse por la completitud o la coherencia y tratan de reproducir el razonamiento humano, con todas sus incoherencias. Estas búsquedas ya no tienen por meta aportar un sólido apuntalamiento a la matemática, sino exclusivamente estudiar los procesos del pensamiento humano.

A pesar de sus recodos, el cálculo preposicional está dotado de rasgos que lo hacen recomendable. Si se lo incorpora a un sistema más amplio (tal como haremos en el siguiente capítulo), y si se tiene la seguridad de que tal sistema no contiene contradicciones (contaremos con esa seguridad), el cálculo preposicional llena las expectativas que se le han depositado: provee inferencias preposicionales válidas… todas las que puedan formularse. Entonces, suponiendo que se deslice una incompletitud o una incoherencia, se puede tener la certeza de que el error está en el sistema más amplio, y no en el subsistema, el cual, en este caso, es el cálculo preposicional.

1)	[	meter
2)	<<P⊃Q>∧<~P⊃Q>>	axioma de Gantō
3)	<P⊃Q>	disociación
4)	<~Q⊃~P>	contraposición
5)	<~P⊃Q>	disociación
6)	<~Q⊃~~P>	contraposición
7)	[	meter nuevamente
8)	~Q	premisa
9)	<~Q⊃~P>	traslado de la línea 4
10)	~P	separación
11)	<~Q⊃~~P>	traslado de la línea 6
12)	~~P	separación (líneas 8 y 11)
13)	<~P∧~~P>	agrupamiento
14)	~<P∨~P>	De Morgan
15)	]	sacar una vez
16)	<~Q⊃<P∨~P>>	regla fantasiosa
17)	<<P∨~P>⊃Q>	contraposición
18)	[	meter
19)	~P	premisa (¡también resultado!)
20)	]	sacar
21)	<~P⊃~P>	regla fantasiosa
22)	<P∨~P>	quitopongo
23)	Q	separación (líneas 22 y 17)
24)	]	sacar

1)	[	meter
2)	<P∧~P>	premisa
3)	P	disociación
4)	~P	disociación
5)	[	meter
6)	~Q	premisa
7)	P	traslado de la línea 3
8)	~~P	doble tilde
9)	]	sacar
10)	<~Q⊃~~P>	fantasía
11)	<~P⊃Q>	contraposición
12)	Q	separación (líneas 4, 11)
13)	]	sacar
14)	<<P∧~P>⊃Q>	fantasía

CAPÍTULO VII

Palabras y símbolos