Significado y forma en matemática
LA INVENCIÓN A DOS VOCES INSPIRÓ mis dos personajes. Del mismo modo que Lewis Carroll se permitió libertades con la Tortuga y el Aquiles de Zenón, yo me las tomé con la Tortuga y el Aquiles de Lewis Carroll. En el diálogo de éste, los mismos acontecimientos se van sucediendo una y otra vez, sólo que en cada oportunidad se sitúan en un nivel más alto que el anterior; esto es de una asombrosa analogía con el Canon Eternamente Remontante de Bach. El diálogo carrolliano, pese a su agudeza, deja en pie un profundo problema filosófico: ¿Las palabras y los pensamientos están regidos, o no, por reglas formales? Tal es el problema que se plantea este libro.
En este capítulo, y en el siguiente, examinaremos algunos otros sistemas formales. Esto nos abrirá una perspectiva mucho más amplia a propósito del concepto de sistema formal, Al finalizar estos dos capítulos, el lector tendrá una noción muy completa de las posibilidades con que cuentan los sistemas formales, y por qué interesan a los matemáticos y a los lógicos.
El sistema formal de este capítulo es el que llamaremos sistema mg. No es de gran interés para los matemáticos o los lógicos, porque en realidad se trata simplemente de una invención mía. Su importancia reside, exclusivamente, en el hecho de que ilustra de manera muy satisfactoria muchas de las ideas básicas de este libro. El sistema mg cuenta con tres símbolos:
m g -
Es decir, las letras m y g, y el guión -.
El sistema mg tiene una cantidad infinita de axiomas. Como no podemos enunciarlos todos, nos hace falta contar con una descripción de los axiomas: necesitamos un medio que nos indique si determinada cadena es o no un axioma. Una simple descripción de los axiomas puede brindar una caracterización completa, pero al mismo tiempo endeble, de los mismos, tal como vimos que ocurría con el método de caracterización de teoremas en el sistema MIU. Queremos evitar la situación de estarse esforzando durante un lapso prolongado, quizá infinito, nada más que para descubrir si cierta cadena es un axioma o no. En consecuencia, vamos a definir los axiomas de manera tal que se disponga de un procedimiento de decisión evidente, capaz de determinar la axiomidad de las cadenas formadas por los símbolos m, g y guión.
DEFINICIÓN: xm-gx- es un axioma, siempre que x esté compuesto sólo por guiones.
Advierto que ‘x’ debe representar la misma cadena de guiones las dos oportunidades en que aparece. Por ejemplo, --m-g--- es un axioma. La expresión ‘xm-gx-’ no es un axioma, por supuesto (porque ‘x’ no pertenece al sistema mg), sino más bien una matriz que moldea todos los axiomas; se la llama esquema de axioma.
El sistema mg tiene solamente una regla de producción:
REGLA: Supongamos que x, y, y z representan cadenas específicas formadas exclusivamente por guiones. Y supongamos que se sabe que xmygz es un teorema. Luego, xmy-gz- es un teorema.
Por ejemplo: x vale ‘--’, y vale ‘---’, y z vale ‘-’. La regla nos indica que
Si --m---g- resulta ser un teorema, entonces --m----g-- también lo será.
Tal como es característico de las reglas de producción, el enunciado establece una vinculación entre la teoremidad de ambas cadenas, pero no afirma la teoremidad de ninguna de las dos por sí mismas.
Un ejercicio sumamente útil para el lector consistirá en tratar de descubrir un procedimiento de decisión para aplicar a los teoremas del sistema mg. No es tarea difícil, si se la intenta durante un rato.
Doy por sentado que el lector ya hizo el ensayo. En primer lugar, y aunque parezca demasiado obvio, quisiera puntualizar que todos los teoremas del sistema mg tienen tres grupos separados de guiones, y que los elementos de separación son únicamente una m, y una g, ubicadas en ese orden. (Esto se puede fundar en un razonamiento “heredado”: se trata del mismo medio utilizado para probar que todos los teoremas del sistema MIU tenían que empezar con M.) Lo anterior significa que, considerando solamente su forma, podemos excluir cadenas como la siguiente: --m--m--m--g--------.
Ahora bien, destacar la frase “considerando solamente su forma” puede parecer una simpleza, pues ¿qué otra cosa hay en una cadena además de su forma?, ¿qué otra cosa cuenta con una función para determinar sus propiedades? Ninguna, sin duda. Sin embargo, será necesario retener estas consideraciones cuando sigamos hablando de los sistemas formales, pues la noción de “forma” comenzará a hacerse más complicada y abstracta, y nos será preciso reflexionar con mayor detenimiento en el significado del término “forma”. Como quiera que sea, llamaremos cadena bien formada a toda cadena que empiece con un grupo de guiones, tenga luego una m, seguida por un segundo grupo de guiones, luego una g, y por último otro grupo de guiones.
Volvamos al procedimiento de decisión. El criterio de teoremidad consistirá en que la suma de los dos primeros grupos de guiones deberá coincidir con la extensión del tercer grupo. Por ejemplo, --m--g---- es un teorema, porque 2 más 2 es igual a 4, en tanto que --m--g- no lo es, porque 2 más 2 no es igual a 1. Observando el esquema del axioma se percibe la razón por la cual éste es el criterio adecuado: es evidente que el esquema admite exclusivamente axiomas que satisfagan el criterio de adición. Asimismo, corresponde recordar la regla de producción: si la primera cadena satisface el criterio de adición, también lo hará la segunda e, inversamente, si la primera no satisface dicho criterio, tampoco lo hará la segunda. La regla convierte al criterio de adición en una propiedad hereditaria de los teoremas: todo teorema determina la presencia de la propiedad en sus descendientes. Esto muestra por qué es correcto el criterio de adición.
Por otra parte, existe una circunstancia que también nos permitiría decir con seguridad que el sistema mg cuenta con un procedimiento de decisión, aun sin haber descubierto todavía el criterio de adición. Se trata de que el sistema mg no sufre la complicación de reglas de ampliación y reducción creando tensiones opuestas: tiene nada más que reglas de ampliación. Un sistema formal que nos indique cómo elaborar teoremas más prolongados a partir de otros más breves, pero nunca lo inverso, es seguro que incluye un procedimiento de decisión aplicable a sus teoremas.
Supongamos que se nos pone delante una cadena cualquiera. Lo primero por hacer será verificar si es o no un axioma (estoy dando por supuesto que existe un procedimiento de decisión para la axiomidad, pues de otro modo no habría salida). Si es un axioma, es por definición un teorema, y no hace falta verificarlo. Pero supongamos que no es un axioma. Entonces, para ser un teorema, debe provenir de una cadena más breve, a través de la aplicación de alguna de las reglas. Repasando una a una las diversas reglas, es posible establecer con precisión no sólo las reglas que pueden haber producido la cadena, sino también, y en forma exacta, cuáles cadenas más breves están en condiciones de ser sus antecesoras dentro del “árbol genealógico”. De este modo, el problema se “reduce” a la determinación de si alguna de las nuevas cadenas más cortas es un teorema. Cada una de estas últimas puede, a su vez, ser sometida a la misma verificación. Lo peor que puede ocurrir es una proliferación de cadenas por verificar, cada vez en mayor número y más breves.
Si se continúa en este retorno milimétrico, se logrará llegar muy cerca de la fuente de todos los teoremas: el esquema de axioma. Se puede avanzar indefinidamente hacia cadenas más breves; en consecuencia, o se descubre por último que una de las cadenas cortas aparecidas es un axioma, o se llega a un atolladero, donde ninguna de esas cadenas es un axioma, y ninguna de ellas puede ser reducida una vez más en el marco de alguna de las reglas, o de algún otro expediente de retorno. Esto indica que, en realidad, los sistemas formales dotados exclusivamente de reglas de ampliación no despiertan un gran interés; es el juego recíproco de reglas de ampliación y de reducción lo que otorga un atractivo especial a tales sistemas.
El método anterior puede ser denominado un procedimiento de decisión arriba abajo, que contrasta con un procedimiento abajo arriba, del cual hablaré a continuación. Tiene cierto parecido con el método de generación de teoremas del sistema MIU seguido por el genio paciente, pero incluye un esquema de axioma que le agrega complejidad. Imaginemos un “saco”, al que iremos arrojando los teoremas a medida que los produzcamos. Procederemos así:
1a. Arrojaremos el axioma posible más simple (-m-g--) dentro del saco.
1b. Aplicaremos la regla de inferencia al elemento anterior, y colocaremos el resultado dentro del saco.
2a. Arrojamos dentro del saco el axioma ubicado en segundo orden de simplicidad.
2b. Aplicamos la regla a todos los elementos metidos en el saco, al que arrojamos también los resultados.
3a. Arrojamos dentro del saco el axioma ubicado en tercer orden de simplicidad.
3b. Aplicamos la regla a todos los elementos metidos en el saco, al que arrojamos también los resultados, etc., etc.
Un instante de reflexión nos permitirá percatarnos de que, de esta manera, no podremos menos que producir todos los teoremas del sistema mg. Por otra parte, andando el tiempo el saco se llenará con teoremas cada vez más extensos, lo cual es también una consecuencia de la falta de reglas de reducción. Si se tiene una cadena en particular, como --m---g-----, cuya teoremidad quiere verificarse, basta con proceder de acuerdo a los pasos enumerados, examinando atentamente todas las cadenas que aparezcan. Si surge la que nos interesa, ¡albricias!, es un teorema. Si en determinado momento, el elemento que debe ir al saco es más extenso que la cadena en cuestión, debemos desentendernos: no es un teorema.
Este procedimiento de decisión es señalado como de abajo arriba porque se mueve desde lo básico, es decir, los axiomas, mientras que el procedimiento anterior es de arriba abajo porque se desplaza en sentido inverso, hacia lo básico.
Nos dirigiremos ahora hacia el tema central de este capítulo, y por cierto del libro entero. Posiblemente ya se le haya ocurrido al lector que los teoremas mg son semejantes a sumas. La cadena --m---g----- es un teorema porque 2 más 3 es igual a 5. Se podría pensar inclusive que el teorema --m---g----- es un enunciado, escrito mediante una notación arbitraria, cuyo significado es que 2 más 3 son 5. ¿Es ésta una manera razonable de analizar las cosas? En realidad, debo decir que elegí deliberadamente ‘m’ para hacer presente ‘más’, ‘g’ para hacer presente ‘igual’… Entonces, ¿la cadena --m---g----- en verdad significa “2 más 3 igual a 5”?
¿Qué nos podrá hacer percibir esto? Mi respuesta sería que hemos advertido un isomorfismo entre los teoremas mg y las sumas. En la Introducción, la palabra “isomorfismo” fue definida como una transformación destinada a conservar la información. Ahora podemos entrar algo más profundamente en este concepto, y examinarlo desde otra perspectiva. La palabra “isomorfismo” es utilizada cuando dos estructuras complejas pueden ser proyectadas una sobre otra, de tal modo que cada parte de una de ellas tiene su parte correspondiente en la otra: “correspondiente” significa que ambas partes cumplen papeles similares en sus respectivas estructuras. Este empleo proviene de una noción más precisa, perteneciente a la matemática.
Un matemático se regocija cuando logra descubrir un isomorfismo entre dos estructuras previamente conocidas. Se trata a menudo de una “iluminación”, y se convierte en fuente de asombro. La percepción de un isomorfismo entre dos estructuras ya conocidas es un avance significativo del conocimiento, y sostengo que tales percepciones son lo que genera significaciones en la mente humana. Una cosa más acerca de la percepción de isomorfismos: dado que estos últimos se presentan bajo muy diversas figuras y dimensiones, por decirlo así, no siempre es fácil estar seguro de haber descubierto un isomorfismo. En consecuencia, “isomorfismo” es una palabra caracterizada por toda la ambigüedad habitual de las palabras, lo cual es una carencia, pero también una ventaja.
En el presente caso, disponemos de un excelente prototipo del concepto de isomorfismo. Por una parte, hay un “nivel inferior” en nuestro isomorfismo, esto es, una proyección entre las partes de las dos estructuras:
Esta correspondencia entre palabra y símbolo tiene un nombre: interpretación.
Por otra parte, en un nivel más alto, se sitúa la correspondencia entre proposiciones verdaderas y teoremas. Pero debe tenerse muy en cuenta que esta correspondencia de nivel superior puede no ser advertida si no se establece previamente una interpretación de los símbolos. Sería más preciso, pues, hablar de correspondencia entre proposiciones verdaderas y teoremas interpretados. De todas maneras, hemos puesto de manifiesto una correspondencia entre dos órdenes, tal como es característico en todo isomorfismo.
Cuando uno se encuentra con un sistema formal del que no se conoce nada, con la esperanza de descubrir en él alguna significación recóndita, el problema es cómo asignar interpretaciones significativas a sus símbolos; en otros términos, cómo hacerlo de modo tal que surja una correspondencia de nivel superior entre proposiciones verdaderas y teoremas. Es posible que se lancen muchos palos de ciego antes de hallar un conjunto satisfactorio de palabras que se relacionen con los símbolos. Es algo muy similar a los intentos por abrir una brecha en un código, o descifrar inscripciones en un idioma desconocido, como en el caso del Lineal B de Creta: la única forma de proceder es por la vía del ensayo y el error, bajo la guía de conjeturas fundadas. Cuando se hace una elección adecuada —una elección “significativa”—, las cosas empiezan súbitamente a ordenarse, y la tarea avanza con gran rapidez; muy pronto, todo se ubica en su lugar. La excitación que acompaña a una experiencia de esta clase ha sido bien reflejada por John Chadwick en The Decipherment of Linear B.
Pero no es frecuente, ni mucho menos, encontrarse en situación de “decodificar” un sistema formal aparecido en las excavaciones de una antigua civilización. Los matemáticos (y, desde hace poco tiempo, los lingüistas, los filósofos y algunos otros especialistas) son los únicos que utilizan sistemas formales, e invariablemente se ajustan a una interpretación, asociada a los sistemas formales que emplean y difunden. Su propósito es establecer un sistema formal cuyos teoremas reflejen, isomórficamente, algún segmento de la realidad. La elección de los símbolos, por ende, reconoce una fuerte motivación en estos casos, como se lo ve en la adopción de reglas tipográficas de producción. Tal fue mi actitud cuando ideé el sistema mg. Está a la vista por qué elegí determinados símbolos: no es casual que los teoremas del sistema mg sean isomórficos con respecto a las sumas, puesto que opté deliberadamente por una forma que las reflejase tipográficamente.
El lector puede optar por interpretaciones distintas a la mía. No necesita conseguir que cada teorema resulte verdadero, pero no habría motivo para elaborar una interpretación donde, digamos, todos los teoremas resulten falsos; menor fundamento, aún, tendría una interpretación bajo la cual no haya correlación alguna, ni positiva ni negativa, entre teoremidad y veracidad. En consecuencia, cabe distinguir entre dos tipos diferentes de interpretación. En primer lugar, podemos encontramos con una interpretación no significativa, bajo la cual no se advierte la menor asociación isomórfica entre los teoremas del sistema y la realidad. Tales interpretaciones abundan: cualquier elección hecha enteramente al azar corresponderá a este tipo. Por ejemplo, tomemos la siguiente:
Tenemos así una nueva interpretación para -m-g--: “manzana caballo manzana feliz manzana manzana”; una expresión poética que quizá interese a los caballos, y que hasta podría inclinarlos en favor de este modo de interpretar las cadenas mg. Lamentablemente, esta interpretación tiene muy escasa “significación”; bajo la interpretación, los teoremas no dan la impresión de ser más verdaderos, o más aceptables, que los no teoremas. Un caballo puede gustar de “feliz feliz feliz manzana caballo” (correspondiente a ggg-m) casi tanto como de un teorema interpretado.
Llamaremos significativa a la segunda clase de interpretación. Bajo ésta, los teoremas y las verdades se corresponden: es decir, existe isomorfismo entre los teoremas y determinada porción de la realidad. Es por ello que conviene distinguir entre interpretaciones y significados. Cualquier palabra podía haber sido adoptada como interpretación de ‘m’, pero adopté “más” porque es la única elección significativa en la que puedo pensar. En síntesis, el significado de ‘m’ parece ser ‘más’, pese a que sea posible un millón de interpretaciones diferentes.
Es probable que lo más importante de este capítulo, para quienes lo comprendan acabadamente, sea lo siguiente: el sistema mg parece obligarnos a reconocer que los símbolos de un sistema formal, aunque inicialmente carezcan de significado, no pueden evitar el asumir alguna clase de “significado”, en cuanto se descubre un isomorfismo. Ahora bien, hay una diferencia muy grande entre el significado relativo a un sistema formal, y el vinculado al lenguaje: cuando hemos aprendido el significado de una palabra dentro de un idioma dado, pasamos a elaborar nuevos enunciados basados en aquél. Hasta cierto punto, el significado se convierte en activo, ya que actúa como una nueva regla de creación de frases. Esto quiere decir que nuestro dominio del idioma no se asemeja a un producto terminado: las reglas de elaboración de frases se multiplican en la medida en que aprendemos nuevos significados. En un sistema formal, en cambio, los teoremas son definidos a priori por las reglas de producción. Podemos elegir “significados” que se funden en un isomorfismo (si nos es posible encontrarlo) entre teoremas y proposiciones verdaderas, pero ello no nos autoriza a extender el campo, agregando nuevos teoremas a los ya establecidos: el Requisito de Formalidad, en el Capítulo I, nos previene precisamente acerca de esto.
En el sistema MIU, por supuesto, no había motivo para sentir la tentación de ir más allá de las cuatro reglas, porque no se buscó ni se descubrió ninguna interpretación. Pero aquí, en nuestro nuevo sistema, los “significados” recién hallados para cada símbolo pueden llevarnos a pensar que la cadena
--m--m--m--g--------
es un teorema. Cuando menos, uno puede desear que esta cadena sea un teorema, pero eso no cambia el hecho de que no lo es. Y también constituiría un serio error pensar que “debe” ser un teorema, sólo porque 2 más 2 más 2 más 2 es igual a 8. Tampoco sería correcto atribuirle algún significado, puesto que no es una cadena bien formada, y nuestra interpretación significativa procede exclusivamente de la observación de cadenas bien formadas.
En un sistema formal, el significado debe permanecer pasivo; podemos leer cada cadena siguiendo los significados de los símbolos que la integran, pero no estamos facultados pará crear nuevos teoremas sobre la única base de los significados que hemos asignado a los símbolos. Los sistemas formales interpretados se ubican en la frontera que separa a los sistemas sin significado de los sistemas con significado: puede pensarse de sus cadenas que “expresan” cosas, pero es imprescindible tener en cuenta que ello ocurre exclusivamente como consecuencia de las propiedades formales del sistema.
Y ahora, quiero destruir cualquier ilusión que se haya forjado en el sentido de haber descubierto los significados de los símbolos del sistema mg. Consideremos la siguiente correlación:
Así, --m---g----- recibe una interpretación nueva: “2 igual a 3 restado de 5”. Se trata por supuesto de una proposición verdadera; todos los teoremas resultarán verdaderos bajo esta nueva interpretación, la cual, por otra parte, es casi tan significativa como la anterior. Pero, “¿cuál es el significado de la cadena?”. Una interpretación es significativa en la medida en que manifiesta con precisión determinado isomorfismo asociado al mundo real. Cuando aspectos diferentes del mundo real son isomórficos entre sí (en este caso, la suma y la resta), un solo sistema formal puede ser isomórfico con respecto a ambos aspectos mencionados, y asumir en consecuencia dos significados pasivos. Esta clase de doble valor en símbolos y cadenas constituye un fenómeno de la mayor importancia. En este momento parecerá trivial, caprichoso, inoportuno, pero cuando lo retomemos dentro de contextos más complejos aportará una gran riqueza de ideas.
Lo que sigue es un resumen de nuestras observaciones acerca del sistema mg. Bajo cualquiera de las dos interpretaciones significativas dadas, toda cadena bien formada tiene como contrapartida una afirmación gramatical; algunas cadenas son verdaderas, otras falsas. Una cadena bien formada, dentro de los sistemas formales, es aquella que, al ser interpretada símbolo por símbolo, produce oraciones gramaticales. (Se sobrentiende que esto último depende de la interpretación que se siga, pero por lo común se aplica un patrón determinado). Dentro de las cadenas bien formadas, aparecen los teoremas. Éstos son definidos por un esquema de axioma y una regla de producción. Mi propósito, cuando ideé el sistema mg, fue imitar la suma: cada teorema debía expresar una suma verdadera, sujeta a interpretación; inversamente, toda suma verdadera de dos enteros positivos debía poderse traducir, de manera precisa, en forma de cadena, la cual sería así un teorema. Tal propósito fue conseguido; tómese nota, por ende, de que toda suma falsa —como “2 más 3 igual a 6”— es traducible a cadenas que estarán bien formadas, pero que no son teoremas.
El anterior es nuestro primer ejemplo de un caso donde un sistema formal se fundamenta en un segmento de la realidad, y parece reproducirla a la perfección, ya que sus teoremas son isomórficos respecto a las verdades concernientes a esa parte de la realidad. No obstante, la realidad y los sistemas formales son independientes entre sí. Nadie necesita tener presente que hay un isomorfismo entre ambos. Cada una de estas esferas se sostiene por sí misma: uno más uno es igual a dos, sepamos o no que -m-g-- es un teorema; y -m-g-- sigue siendo un teorema aunque no lo asociemos con la adición.
Es improbable que la aplicación de este sistema formal, o de cualquier otro, arroje nuevas luces sobre la veracidad, en el campo de su interpretación; por cierto, el hecho de producir teoremas mg no nos hace aprender sumas nuevas. Sin embargo, sí hemos aprendido algo acerca de la naturaleza de la adición, vista como un proceso, a saber: que se la puede figurar con facilidad mediante una regla tipográfica que rige símbolos sin significación. Esto no es muy sorprendente, tratándose de una operación tan simple como la suma; con frecuencia se dice que es factible aprehender la adición observando los mecanismos giratorios de una caja registradora.
De todos modos, queda claro que hemos rasguñado enérgicamente la superficie, en la medida en que los sistemas formales lo permiten; es natural preguntarse qué porción de la realidad puede ser imitada, en su comportamiento, por un conjunto de símbolos sin significación, gobernados por reglas formales. ¿Será posible transformar toda la realidad en sistema formal? Pareciera que, en un sentido muy amplio, puede responderse afirmativamente: es posible sugerir, por ejemplo, que la realidad no es, en sí misma, más que un sistema formal extremadamente complicado. Sus símbolos no se diseminan sobre un papel sino, todo lo contrario, dentro de un vacío tridimensional (espacio): son las partículas elementales que dan su composición a todas las cosas. (Suposición implícita: que hay una finalidad en la sucesión descendente de la materia, de modo que la expresión “partículas elementales” tiene sentido). Las “reglas tipográficas” son aquí las leyes de la física, las cuales nos dicen cómo proceder, dadas la posición y la velocidad de todas las partículas en un momento determinado, para modificar esos valores y dar lugar a un nuevo conjunto de posiciones y velocidades, propios del momento “siguiente”.
Luego, los teoremas de este gran sistema formal serían las configuraciones posibles que asumen las partículas en diferentes instantes de la historia del universo. El único axioma es (era, quizá) la configuración original de todas las partículas “en el principio de los tiempos”.
Sin embargo, esta concepción tiene dimensiones tan colosales que su interés es únicamente especulativo; además, la mecánica cuántica (y otros sectores de la física) plantean al respecto algunas dudas, que se extienden inclusive a las presuntas potencialidades teóricas de la idea. Básicamente, nos estamos preguntando si el universo actúa en forma determinista, lo cual sigue siendo un problema abierto.
En vez de abordar un campo tan gigantesco, limitaremos nuestro “mundo real” a la matemática. Lo primero que surge en este caso es un serio interrogante: luego de modelar un sistema formal relativo a cierta porción de la matemática, ¿cómo estar seguros de haber procedido correctamente, en especial si no estamos totalmente familiarizados con esa parte de la matemática? Supongamos que el objetivo del sistema formal es aportarnos nuevos conocimientos en esa disciplina, ¿cómo sabremos que la interpretación de cada teorema es verdadera, a menos que hayamos probado que el isomorfismo es perfecto?, ¿y cómo probaremos que el isomorfismo es perfecto, si no contamos desde el comienzo con un conocimiento total acerca de las verdades de la disciplina?
Supongamos que en una excavación, no importa en qué sitio, hemos descubierto un misterioso sistema formal. Intentaríamos diversas interpretaciones del mismo, y quizá tuviéramos la suerte de hallar una que, aparentemente, consiga que todo teorema resulte verdadero, y todo no teorema, falso. Pero esto es algo que sólo podríamos verificar directamente en un número finito de casos. Lo más probable es que la cantidad de teoremas sea infinita. Así, ¿cómo sabremos que todos los teoremas expresan verdades bajo esta interpretación, salvo que conozcamos todo lo que hay que conocer acerca del sistema formal, y también del ámbito de interpretación correspondiente?
En alguna medida, se plantea esta singular situación siempre que intentamos correlacionar la realidad de los números naturales (es decir, los enteros no negativos: 0, 1, 2,…) con los símbolos tipográficos de un sistema formal. Vamos a hacer ahora un esfuerzo para comprender qué relación existe entre lo que llamamos “verdad” en teoría de los números, y lo que nos es posible obtener a través de la manipulación de los símbolos.
Por ello, nos remitiremos someramente a los fundamentos para estar en condiciones de clasificar como verdaderos a algunos enunciados de teoría de los números, y a otros como falsos. ¿Cuánto es 12 veces 12? Cualquiera sabe que 144, pero, ¿cuántos, de entre quienes dan esa respuesta, han diseñado alguna vez en su vida un rectángulo de 12 por 12, y contado luego los cuadraditos interiores? La mayor parte, seguramente, considerará innecesaria semejante tarea, ofreciendo como prueba, en cambio, unos pocos trazos sobre un papel; los siguientes:
Y ésta sería la “demostración”. Prácticamente todo el mundo está convencido de que, si se cuentan los cuadraditos, habrá 144; son muy pocos los que experimentan dudas acerca de este resultado.
El conflicto entre ambos puntos de vista se hace más agudo si nos formulamos el problema de determinar el valor de 987654321 × 123456789. En primer lugar, es virtualmente imposible construir un rectángulo adecuado y, lo que es más grave, aun cuando se lo pudiera diseñar harían falta ejércitos de personas, trabajando durante siglos, para contar todos los cuadrados; pese a todo, solamente alguien muy crédulo aceptaría el resultado así obtenido. Muy probablemente, en alguna parte, de alguna manera, se haya hecho un pequeño intento de esta índole.
¿Es posible conocer la respuesta al presente problema? Si se tiene confianza en el proceso simbólico que se traduce en la manipulación de los dígitos con arreglo a ciertas reglas sencillas, la contestación a la pregunta anterior es afirmativa. Este proceso es presentado a los alumnos de las escuelas como un artificio que permite obtener resultados correctos; muchos de estos alumnos, absorbidos por las operaciones, no advierten la armonía, y tampoco la razón, de ese proceso. Las leyes de derivación de dígitos mediante la multiplicación se basan, principalmente, en unas pocas propiedades de la suma y de la multiplicación, de las cuales se da por supuesto que son aplicables a todos los números.
La clase de supuesto de que hablo es la ilustrada más abajo. Podemos figurarnos que diseminamos algunas barras:
/ // // // / /
Luego las contamos, y al mismo tiempo invitamos a otra persona a contarlas también, pero comenzando por el extremo opuesto. ¿Es seguro que se obtendrá el mismo resultado? La respuesta que surge de un proceso de cálculo es independiente del modo en que se lo realice. Esto constituye, en rigor, un supuesto relativo a dicho proceso, y tiene un carácter tan básico que carecería de sentido dedicarse a probarlo: se lo acepta o no, pero en este último caso una demostración no contribuiría en nada.
A partir de esta clase de supuesto se llega a la conmutatividad y a la asociatividad de la adición (es decir, respectivamente, que b + c = c + b, y que b + (c + d) = (b + c) + d, siempre, en ambos casos). El mismo supuesto puede conducirnos a la conmutatividad y a la asociatividad de la multiplicación; basta pensar en muchos cubos reunidos de manera de formar un gran cuerpo sólido rectangular. La conmutatividad y la asociatividad de la multiplicación consisten simplemente en el supuesto de que, si se hace girar en diferentes direcciones dicho cuerpo, la cantidad de cubos seguirá siendo la misma. Pero tal supuesto no es verificable en todos los casos, porque el número de éstos es infinito. Los damos por demostrados, con la convicción más profunda que se pueda concebir (en el caso de que alguna vez se nos ocurra pensar en ello). La suma de dinero que llevamos en el bolsillo no se modifica cuando caminamos por la calle, empujándonos con otra gente; el número de libros que poseemos no se modifica aunque los empaquemos en una caja, los subamos a un automóvil, los traslademos cien kilómetros más allá, descarguemos la caja, los desempaquemos, y los ubiquemos en nuevos anaqueles. Todo esto forma parte de lo que queremos significar cuando decimos número.
Hay cierto tipo de personas que, ni bien es formulado algún hecho innegable, halla divertido abocarse a mostrar por qué ese “hecho” es, después de todo, falso. Pertenezco a ese tipo, y tan pronto enuncié los ejemplos anteriores acerca de barras, dinero y libros, imaginé situaciones donde tales ejemplos se equivocan. Puede que el lector haya hecho otro tanto. De este modo, mostraremos que los números como abstracciones, en verdad, son por entero diferentes de los números que utilizamos en la vida cotidiana.
La gente gusta de inventar expresiones que violan las bases de la aritmética, pero que son capaces de ilustrar verdades “más profundas”, como se puede ver en “1 y 1 hacen 1” (referido a un par de enamorados), o en “1 más 1 más 1 es igual a 1” (la Trinidad). Es fácil advertir fallas en estas expresiones: por ejemplo, que la utilización del término “+” es inadecuada en ambos casos. Pero los casos semejantes abundan. Dos gotas de lluvia, sobre el cristal de una ventana, se unen; ¿es válido ahora decir que uno más uno es igual a uno? Y cuando una nube se separa en dos, ¿no evidencia lo mismo? No resulta fácil en absoluto distinguir con precisión entre aquellos casos donde lo que está sucediendo puede ser llamado “suma”, y aquellos otros donde se necesita otra palabra. Si uno reflexiona sobre este problema, es probable que se decida por algún criterio de diferenciación de los objetos en el espacio, apto para asegurar la separación de cada uno de ellos con respecto a todos los demás. Pero entonces, ¿cómo contar las ideas?, ¿o el número de gases que contiene la atmósfera? Si se las busca, no es arduo encontrar en distintas fuentes afirmaciones como: “En la India hay 17 idiomas y 462 dialectos”. Enunciaciones tan precisas encierran un toque de extrañeza, si se tiene en cuenta que no hay límites exactos entre “idioma” y “dialecto”.
Los números son reacios a comportarse satisfactoriamente como realidades. Sin embargo, existe la vieja e innata creencia, en el común de la gente, de que no están obligados a hacerlo. Hay algo nítido y puro en la noción abstracta de número, al alejarla de sumas, gotas, nubes o dialectos. Tiene que haber un modo de hablar de los números evitando el recurso rudimentario de apelar a la intromisión de la realidad.
Las muy precisas reglas que rigen los números “ideales” constituyen la aritmética, y sus extensiones más avanzadas han dado lugar a la teoría de los números. No hay más que una sola pregunta pertinente acerca del tránsito desde los números como cosas prácticas, hacia los números como cosas formales: una vez que hemos resuelto tratar de encapsular la teoría de los números íntegra en un sistema ideal, ¿nos será realmente posible cumplir por completo la tarea?, ¿los números son tan puros, cristalinos y armoniosos que su naturaleza puede ser enteramente encuadrada por las reglas de un sistema formal? Liberación (figura 13), una de las más bellas obras de Escher, presenta un prodigioso contraste entre lo formal y lo informal, vinculados por una fascinante zona de transición. ¿Los números son tan libres como los pájaros?, ¿sufren igual que ellos al ser sometidos a un sistema de reglas imperativas?, ¿existe una zona de transición mágica entre los números de la realidad y los números trazados sobre papel?
Cuando hablo de las propiedades de los números naturales, no me estoy refiriendo a propiedades tales como la suma de dos enteros determinados. Esta puede ser establecida mediante el cálculo, y nadie que pertenezca a este siglo pone en duda la posibilidad de mecanizar procesos como contar, sumar, multiplicar, etc. A lo que aludo es a la clase de propiedades que los matemáticos se interesan por investigar, buscando respuestas que el proceso de cálculo —ni siquiera en el plano teórico— puede proveer. Veamos un ejemplo clásico de estas propiedades de los números naturales, analizando la afirmación “hay una cantidad infinita de números primos”: en primer lugar, no existe proceso de cálculo alguno capaz de confirmar o refutar tal afirmación: todo lo que podemos hacer es dedicar un tiempo a contar los números primos, para luego conceder que hay “un montón” de ellos. Ningún esfuerzo de cálculo resolverá la cuestión de si la cantidad de primos es finita o infinita; la cuenta nunca estaría completa.
La proposición conocida como “Teorema de Euclides” (obsérvese la mayúscula “T”) no tiene nada de obvio, en absoluto. Puede parecer razonable, o interesante, pero no obvia. Aun así, los matemáticos posteriores a Euclides siempre la han reputado verdadera, ¿por qué motivo?
FIGURA 13. Liberación, de M. C. Escher (litografía, 1955).
El motivo es que el razonamiento se lo dice. Razonaremos, pues, siguiendo una variante de la demostración de Euclides. Esta muestra que si se elige un número, cualquiera sea, habrá un primo que es mayor. Elijamos un número: N; multipliquemos después todos los enteros positivos entre sí, empezando por la unidad y terminando en N. En otras palabras, formamos el factorial de N, cuya simbolización es “N!”. El producto obtenido es divisible por todos los números incluidos en la serie. Si a N! se le suma 1, el resultado
Dicho de otro modo, N! + 1 únicamente es divisible por números mayores que N, en caso que sea divisible por números distintos a la unidad y a sí mismo. De modo que, o N! + 1 es primo, o sus divisores primos son mayores que él. Y, en cualquiera de ambos casos, hemos mostrado que tiene que existir un primo por encima de N. El proceso sigue siendo el mismo sea cual fuere el valor de N: siempre habrá un primo de valor mayor. Y así acaba la demostración de la infinitud de los primos.
Señalemos, por otra parte, que el último paso es llamado generalización; lo volveremos a encontrar más adelante, dentro de un contexto más formalizado. Consiste en desarrollar una demostración, tomando como base un número determinado (N), y luego establecer que N carece de especificidad, por lo que la demostración se generaliza.
La prueba de Euclides es característica de lo que constituye la “matemática real”. Es, además, simple, precisa y bella. Enseña que, cuando se parte de un punto en particular, es posible recorrer un largo camino a través de etapas relativamente cortas. En nuestro casó, los puntos de partida están dados por ciertas nociones básicas relativas a la multiplicación, la división, etc. Las breves etapas son los pasos que sigue el razonamiento. Y, a pesar de que cada uno de estos pasos parece obvio, el resultado final no lo es. Nos es imposible verificar de modo directo la veracidad de la proposición; no obstante, le damos fe, porque confiamos en el razonamiento seguido. Si aceptamos razonar, parecería que no nos queda alternativa; si hemos estado de acuerdo con cada paso dado por Euclides, tendremos que estar de acuerdo con la conclusión que formula, Y éste es un hecho muy feliz, porque significa que los matemáticos siempre coincidirán en reputar “verdaderas” a ciertas proposiciones, y “falsas” a ciertas otras.
Esta demostración es ejemplo de un proceso sistemáticamente ordenado: cada aserción se relaciona de manera inevitable con las anteriores. Por eso es calificada como “prueba”, y no como “evidencia suficiente”. En matemática, el propósito perseguido es siempre aportar una prueba rigurosa en sustento de las proposiciones que no son obvias. La circunstancia misma de que los pasos estén articulados por medio de una sucesión rigurosa parece sugerir la existencia de una estructura modelada para eslabonar entre sí las distintas aserciones. Esta estructura puede ser expuesta más adecuadamente a través de un vocabulario específico —un vocabulario convencional, consistente en símbolos—, apto solamente para expresar afirmaciones relativas a números. De tal forma, podremos examinar la prueba en su versión traducida. Se tratará de un conjunto de enunciados cuya correspondencia, establecida línea por línea, estará formulada de modo aprehensible. Pero los enunciados, puesto que serán representados por un conjunto pequeño convencional de símbolos, asumirán la apariencia de modelos. En otros términos: aun cuando al ser leídos en voz alta impresionen como aserciones acerca de números y las propiedades de éstos, al ser analizados sobre una hoja de papel tendrán forma de modelos abstractos, y la estructura sistemática de la prueba puede comenzar a asemejarse a una lenta transformación de modelos, regida por la aplicación de unas pocas reglas tipográficas.
Aunque la prueba de Euclides demuestra que todos los números están dotados de cierta propiedad, rehúye tratar separadamente cada uno de los infinitos casos cubiertos por la demostración. Alude a ellos utilizando frases como “cualquiera sea N”, o bien “sea cual fuere el valor de N”. Podríamos desarrollar de nuevo la prueba empleando la expresión “todo N”. Si se conoce el contexto pertinente, y la manera correcta de usar las expresiones anteriores, no será necesario abordar una cantidad infinita de casos, sino solamente dos o tres conceptos, entre ellos el de “todo”. Éste, en sí mismo finito, abarca sin embargo una infinitud; mediante su empleo, dejamos a un lado la circunstancia evidente de que hay un número infinito de hechos que necesitaríamos probar.
Aplicamos la palabra “todo” a través de unas pocas formas, las cuales son definidas por el proceso de razonamiento establecido; es decir, hay reglas que gobiernan tal aplicación. Puede que no seamos conscientes de ello, y que creamos operar sobre la base del significado de dicha palabra; sostener esto último, empero, no es sino un rodeo para manifestar que somos guiados por reglas que en ningún momento explicitamos. Durante toda nuestra existencia, hemos empleado palabras reguladas por determinados modelos, pero en lugar de llamar “reglas” a los modelos, atribuimos el curso de nuestros procesos de pensamiento al “significado” de las palabras. Reconocer esto ha implicado un descubrimiento primordial en el largo camino hacia la formalización de la teoría de los números.
Si analizáramos más profundamente la demostración de Euclides, veríamos que está compuesta por muchos y muy pequeños pasos: casi infinitesimales. Si los formuláramos todos, línea por línea, la demostración se convertiría en algo enormemente complicado. Hay mayor claridad para nuestro entendimiento cuando diversos pasos son reunidos en uno, dando lugar a un solo enunciado. Asimismo, al emprender el examen detenido de la prueba, comenzamos a distinguir estructuras individuales en su interior. Dicho de otra forma, la disección puede avanzar hasta allí, y permitirnos así captar la naturaleza “atómica” del proceso de razonamiento. Una demostración puede ser fragmentada en una serie de saltos minúsculos pero discontinuos, que parecen discurrir con fluidez cuando son observados desde una posición ventajosa. En el Capítulo VIII, mostraremos un modo de descomponer la demostración en unidades atómicas, y veremos qué extraordinaria cantidad de pasos son englobados. Pero quizá esto no sea sorprendente. Cuando Euclides ideó su prueba, las operaciones producidas en su cerebro seguramente movilizaron millones de neuronas (células nerviosas), muchas de las cuales habrán entrado en actividad centenares de veces en sólo un segundo. La simple formulación de una frase activa centenares de miles de neuronas. Como los pensamientos de Euclides fueron altamente complejos, se justifica que su demostración contenga una cantidad colosal de pasos. (Puede que sea escasa la vinculación directa entre la actividad neuronal del cerebro de Euclides, y una prueba en nuestro sistema formal, pero las complejidades de ambos son comparables. Es como si la naturaleza exigiera no olvidar la complejidad de la prueba relativa a la infinitud de los primos, a pesar de que los sistemas respectivos sean muy diferentes entre sí).
En los Capítulos siguientes, expondremos un sistema formal que: 1) incorpora un vocabulario convencional que permite formular todos los enunciados relativos a los números naturales, y 2) cuenta con reglas que corresponden a todos los tipos de razonamiento que se consideren necesarios. Un interrogante de la mayor importancia será el de si las reglas que estableceremos para guiar la manipulación simbólica tienen en realidad las mismas potencialidades (dentro del marco de la teoría de los números) que nuestras facultades habituales de razonamiento, o bien si, de manera más genérica, es teóricamente posible igualar el nivel de nuestras capacidades mentales, a través del empleo de un sistema formal.