FIGURA 11. Un “árbol” sistemáticamente construido de todos los teoremas del sistema MIU. El nivel N contendrá aquellos teoremas cuya derivación contiene N pasos. Los números rodeados por círculos qué regla fue empleada. ¿Este árbol incluirá a MU?
El acertijo MU
UNA DE LAS NOCIONES CENTRALES de este libro es la de sistema formal. El tipo de sistema formal que utilizo fue creado por el lógico norteamericano Emil Post durante la década de los veinte, y es denominado a menudo “sistema de producción de Post”. Este capítulo expone un sistema formal; espero que, además, el lector sienta el deseo de ampliar aunque sea mínimamente esta noción: así, a fin de provocar su curiosidad, he planteado un modesto acertijo.
“¿Puede usted producir MU?”, es el desafío. Para comenzar, se deberá disponer de una cadena (se trata de una cadena de letras).*
Para interrumpir el suspenso, digamos que esa cadena será MI. Serán establecidas determinadas reglas, cuya aplicación permitirá transformar una cadena en otra distinta. Si alguna de tales reglas es utilizable en cierto momento, y se desea aplicarla, no hay inconveniente en hacerlo, pero no habrá nada que indique cuál regla es la adecuada en caso de que sean varias las utilizables. Es necesario optar, y en ello consiste la práctica del juego a través del cual todo sistema formal puede llegar a asemejarse a un arte. El requisito principal, obviamente, es que no se debe proceder al margen de las reglas. “Requisito de Formalidad”, podemos llamar a esta limitación, que probablemente no deba ser subrayada en el transcurso de este capítulo; sin embargo, y por extraño que parezca, predigo que cuando juegue con algunos sistemas formales de los capítulos siguientes, el lector descubrirá que está violando repetidas veces el Requisito de Formalidad, excepto si ha trabajado anteriormente con sistema formales.
Lo primero por decir a propósito de nuestro sistema formal —el sistema MIU— es que emplea sólo tres letras del alfabeto: M, I, U. Esto significa que las cadenas del sistema MIU estarían formadas exclusivamente por esas tres letras. Las que siguen son algunas de las cadenas del sistema:
Pese a que todas las precedentes son cadenas legítimas, aún no están “en poder” del jugador. En realidad, la única que éste posee hasta ahora es MI. Sólo mediante la aplicación de las reglas, que a continuación enuncio, podrá ampliar el lector su colección privada. He aquí la primera regla:
REGLA I: Si se tiene una cadena cuya última letra sea I, se le puede agregar una U al final.
Dicho sea de paso, por si no se lo ha advertido, al decir “cadena” se da por sentado que las letras están situadas en un orden establecido. Por ejemplo, MI e IM son dos cadenas diferentes. Una cadena de símbolos no es precisamente un “saco” de símbolos, donde el orden interno sería indiferente.
He aquí la segunda regla:
REGLA II: Supongamos que se tenga Mx. En tal caso, puede agregarse Mxx a la colección.
Unos pocos ejemplos ilustrarán esto.
En consecuencia, la letra ‘x’ simplemente representa cualquier cadena, pero una vez que se ha decidido cuál es la cadena representada, es preciso ajustarse a tal decisión (hasta que se vuelva a aplicar la regla: entonces será posible decidir otra cosa). Observemos el tercero de los ejemplos anteriores, que muestra cómo, una vez que se tiene MU, se puede incorporar otra cadena a la colección, ¡pero primero es necesario obtener MU! Quisiera hacer un último comentario acerca de la letra ‘x’: el modo en que ésta integra el sistema formal no es el mismo que caracteriza a ‘M’, ‘I’ y ‘U’. Nos resulta útil contar con alguna manera de referirnos en general, simbólicamente, a las cadenas del sistema, y ésa es la función de ‘x’: representar cadenas arbitrarias. Si alguien suma a su “colección” una cadena que contenga una ‘x’, está cometiendo un error, porque las cadenas del sistema MIU nunca pueden incluir ‘x’.
Ahora, la tercera regla:
REGLA III: Si en una de las cadenas de la colección aparece la secuencia III puede elaborarse una nueva cadena sustituyendo III por U.
Ejemplos:
Bajo ninguna circunstancia ha de pensarse en emplear la regla en sentido inverso, como en el ejemplo siguiente:
Las reglas son unidireccionales.
He aquí la última:
REGLA IV: Si aparece UU en el interior de una de las cadenas, está permitida su eliminación.
Eso es todo; a continuación, hay que tratar de obtener MU. No hay que preocuparse si no se lo consigue: lo principal es hacer un pequeño intento, a fin de tomarle el gusto a este acertijo. Diviértase el lector.
La solución del acertijo MU aparece en otra parte de este libro. Lo importante ahora no es leer la solución, sino investigarla. Si el lector ya hizo algunos intentos para producir MU, tendrá elaborada su colección personal de cadenas. Éstas, generadas mediante el empleo de las reglas, se llaman teoremas. El sentido del término “teorema” es, aquí, por completo diferente al que es común en el ámbito de la matemática, que llama de ese modo a las afirmaciones formuladas en lenguaje corriente cuya veracidad ha sido probada por medio de una demostración rigurosa; por ejemplo, el Teorema de Zenón sobre la “ultrainexistencia” del movimiento, o el Teorema de Euclides acerca de la infinitud de los números primos. En los sistemas formales, en cambio, no hay necesidad de considerar los teoremas como afirmaciones: son, simplemente, cadenas de símbolos y, por otra parte, en lugar de ser demostrados, sólo son producidos, como si los elaborara una máquina con arreglo a determinadas reglas tipográficas. Con el objeto de subrayar esta importante distinción en los significados de la palabra “teorema”, adoptaré en más la siguiente convención: cuando “teorema” aparezca con mayúscula inicial, se tratará de la acepción ordinaria: un Teorema es una afirmación formulada en lenguaje corriente cuya veracidad alguien probó a través de cierto tipo de demostración lógica. Cuando aparezca en minúsculas, “teorema” estará empleado en su sentido técnico: una cadena producible dentro de algún sistema formal. Bajo estas condiciones, el acertijo MU plantea si MU es un teorema del sistema MIU.
Al empezar, proporcioné gratuitamente un teorema al lector, MI. Este teorema “gratuito” es un axioma; se repite ahora el caso de que el significado técnico difiere por completo del significado habitual. Un sistema formal puede tener cero, uno, varios o inclusive infinitos axiomas; en el curso de este libro aparecerán ejemplos de todas estas variantes.
Todo sistema formal cuenta con reglas de derivación de símbolos, tales como las cuatro reglas del sistema MIU. Estas reglas son denominadas reglas de producción, o bien reglas de inferencia; utilizaré en adelante ambas expresiones.
Por último, el concepto que quiero comentar en este desarrollo es el de derivación. Lo que sigue es una derivación del teorema MUIIU:
Una derivación de un teorema es una demostración, explícita y punto por punto, del modo en que es producido el mismo de acuerdo a las reglas del sistema formal. El concepto de derivación está acuñado siguiendo el modelo del de prueba, pero una derivación es pariente lejana de una prueba, en realidad. Si alguien dice que probó MUIIU, sonaría raro, pero no sonaría tan raro si se dice que se ha derivado MUIIU.
Muchas personas abordan el acertijo MU dedicándose a derivar, de una manera enteramente azarosa, gran cantidad de teoremas, sólo por ver qué sucede. Muy pronto, esas personas comienzan a advertir ciertas propiedades en los teoremas que han elaborado: es aquí donde la inteligencia humana introduce la descripción. Por ejemplo, probablemente no era obvio para el lector que todos los teoremas iban a comenzar con M hasta que no hizo unos pocos intentos. Y luego, ya descubierto el modelo, el lector habrá podido comprenderlo a través del análisis de las reglas, cuyo atributo es obligar a que cada nuevo teorema reciba su primera letra de un teorema precedente; en último caso, por consiguiente, todas las letras iniciales de los teoremas pueden ser obtenidas a partir de la primera letra del axioma MI: y esto constituye una demostración de que todos los teoremas del sistema MIU deben comenzar con M.
Ha ocurrido aquí algo muy significativo: lo anterior muestra una diferencia entre seres humanos y máquinas. Es perfectamente posible —y muy fácil, en realidad— programar una computadora para que genere teorema tras teorema del sistema MIU; y podríamos incluir en la programación la orden de que sólo se detenga al generar U. El lector ya sabe que una computadora así programada no se detendría nunca. Y ello no lo asombra, pero ¿qué ocurre si le pide a un amigo que trate de generar U? Le parecerá natural que, pasado un rato, el amigo se lamente de no poder evitar la inicial M, y de estar persiguiendo, en consecuencia, un objetivo imposible. Aún cuando se trate de una persona no muy aguda, no dejará de formular algunas observaciones a propósito de lo que está haciendo, y tales observaciones le permitirán comprender con claridad el problema: en el programa de computación que hemos descrito la comprensión estará ausente.
Seré muy explícito acerca de lo que quiero decir cuando señalo que lo anterior ilustra una diferencia entre seres humanos y máquinas. Quiero significar que es posible programar una máquina para que realice una tarea rutinaria, de un modo tal que la máquina jamás advierta ni siquiera los hechos más obvios vinculados con lo que está haciendo; en cambio, apercibirse de determinados hechos vinculados con lo que se está haciendo es algo inherente a la conciencia humana, Pero el lector ya sabía muy bien esto. Si alguien oprime el “1” de una máquina sumadora, y luego repite la operación, y la sigue repitiendo sin cesar durante horas y horas, la máquina no aprenderá jamás a anticiparse al operador sumando un nuevo “1” por sí misma, a pesar de que cualquier persona asimilaría muy rápidamente el comportamiento repetitivo. O bien, para agregar un ejemplo simple, un automóvil jamás captará la idea de que es necesario no chocar con otros automóviles o con obstáculos cuando circule; por mucho o muy bien que haya sido conducido, tampoco llegará a aprender ni siquiera los trayectos más habituales de su propietario.
La diferencia, entonces, reside en que a la máquina le es posible actuar sin advertirlo, cosa imposible para el ser humano. Hago notar que no estoy diciendo que todas las máquinas son necesariamente incapaces de efectuar observaciones refinadas: sólo algunas máquinas lo son. Tampoco estoy afirmando que toda persona, siempre, efectúa ese tipo de observaciones; en realidad, la gente actúa a menudo sin ejercitar la observación. Sin embargo, puede conseguirse que las máquinas sean absolutamente no observadoras, cosa que no es posible con los seres humanos. La mayoría de las máquinas construidas hasta ahora, por cierto, están bastante cerca de la inobservancia total. Es probable que ello motive la opinión generalizada de que la inobservancia es el rasgo característico de las máquinas. Por ejemplo, si alguien dice que cierta tarea es “mecánica” no quiere expresar que no puede ser realizada por una persona, sino que únicamente una máquina podría efectuarla una y otra vez sin quejarse, o sin aburrirse.
Uno de los atributos inherentes a la inteligencia es la capacidad de alejarse mediante un brinco de lo que está haciendo, con el objeto de examinarlo; en todos los casos esto es buscar, y a menudo con éxito, modelos. Ahora bien, dije que la inteligencia puede brincar fuera de su labor, pero eso no significa que ocurra así siempre; sin embargo, muchas veces basta una leve incitación para conseguirlo. Por ejemplo, una persona que está leyendo un libro puede quedarse dormida; en lugar de seguir la lectura hasta terminarla, actúa del mismo modo que cuando se deja el libro a un lado y se apaga la luz. Se ha desplazado “fuera del sistema”, y sin embargo ello nos parece lo más natural del mundo. O si no, supongamos que una persona A está viendo televisión cuando una persona B entra en la habitación y muestra evidente desagrado. La persona A puede creer que comprende el problema, e intentar solucionarlo mediante el abandono del sistema en curso (ese programa de televisión); en consecuencia, acciona el botón selector en busca de un programa mejor. Pero la persona B puede tener un concepto más radical acerca de qué es “abandonar el sistema”: es decir, ¡apagar la televisión! Hay casos, por cierto, donde únicamente contados individuos tienen la lucidez de percibir un sistema que está gobernando la existencia de muchas personas, un sistema que nunca antes había sido identificado como sistema; a partir de ese momento, esos individuos suelen dedicar su vida a la empresa de convencer al resto de que realmente el sistema está allí, ¡y, que es preciso abandonarlo!
¿Hasta qué punto las computadoras han sido enseñadas a brincar fuera del sistema? Citaré un ejemplo que sorprendió a algunos testigos. En un torneo de ajedrez por computadoras que tuvo lugar no hace mucho, en Canadá, un programa —el más endeble de todos los que competían — presentó la característica inusual de abandonar antes que el juego terminase. No practicaba un buen ajedrez, pero tuvo al menos la rescatable cualidad de advertir las situaciones sin salida, y retirarse de inmediato, sin aguardar que el programa rival desarrollase el aburrido ritual del jaque mate. A pesar de que perdió todas sus partidas, mostró un estilo; muchos de los expertos locales en ajedrez quedaron impresionados. En resumen, si se define “el sistema” como “efectuar movimientos en un juego de ajedrez”, resulta claro que este programa contó con una refinada y anteprogramada capacidad para abandonar el sistema. Por otra parte, si se entiende que “el sistema” es “todo lo que ha sido programado para que la computadora haga”, no hay duda de que la computadora no contó con aquella capacidad.
Cuando se estudian sistemas formales, es importante distinguir entre lo que se hace dentro del sistema, por un lado, y por otro las enunciaciones u observaciones que se formulan acerca del sistema. Supongo que el lector habrá abordado el acertijo MU, lo mismo que la mayoría de la gente, manteniéndose al principio en el interior del sistema, pero que luego, poco a poco, se ha ido impacientando cada vez más hasta el punto de salir del sistema, sin pensarlo mucho, tratando de evaluar los resultados obtenidos, y preguntándose por qué no había podido producir MU. Quizá descubrió una razón para explicar por qué no obtuvo MU: esto es pensar acerca del sistema. Quizá produjo MIU en algún punto del desarrollo que elaboró; esto es actuar dentro del sistema.
Ahora bien, mi interés no es presentar ambas modalidades como si fuesen absolutamente incompatibles; tengo la seguridad de que todo ser humano, en alguna medida, es capaz de actuar dentro de un sistema y, simultáneamente, de pensar acerca de lo que está haciendo. En la esfera de los asuntos humanos, por cierto, a menudo es casi imposible separar las cosas de forma que pertenezcan nítidamente al “interior del sistema” o al “exterior del sistema”; sería simplista pensar de tal manera, teniendo en cuenta que la vida está compuesta por demasiados engranajes, entrelazamientos y sistemas muchas veces incoherentes. Sin embargo, en ocasiones es útil formular muy claramente ideas simples, a fin de poder emplearlas como modelos en la comprensión de ideas más complejas. Por eso es que estoy hablando ahora de sistemas formales; pero ya es hora de volver a discutir el sistema MIU.
El acertijo MU fue enunciado de modo tal que alentase un cierto grado de búsqueda dentro del sistema MIU, a través de la derivación de teoremas. Pero no se afirmó que necesariamente había que mantenerse dentro del sistema para obtener resultados. En consecuencia, se alentó también cierta oscilación entre las dos modalidades de trabajo. Una forma de diferenciar estas últimas sería contar con dos hojas de papel: una, reflejaría lo que hacemos en ejercicio de “nuestra habilidad mecánica”, por lo que sólo escribiríamos en ella letras M, I, y U; la otra reflejaría “nuestra capacidad de pensar”, y volcaríamos en ella todo lo que nuestra inteligencia sugiera: formulación de reflexiones, esbozo de ideas, utilización de abreviaturas taquigráficas (como la letra ‘x’), sintetización de varios pasos en uno solo, modificación de las reglas del sistema para ver qué surge, y todo lo que se nos pueda ocurrir al respecto. Es posible percatarse de que los números 3 y 2 juegan un papel importante, ya que la acumulación triple de Ies, y la doble de Ues, se elimina, y que la regla II permite duplicar la extensión (fuera de la M). Por lo tanto, la segunda hoja podrá contener alguna conjetura a propósito de ello. Más adelante haremos alguna referencia a aquellas dos modalidades de abordamiento de los sistemas formales, a las que denominaremos Vía mecánica (vía M) y Vía inteligente (vía I). Para completar nuestras vías de modo que tengamos una por cada letra del sistema MIU, incluiremos una tercera: la Ultravía (vía U), que consiste en la vía Zen de aproximación a las cosas. Volveremos sobre esto algunos capítulos más adelante.
Se puede observar que este acertijo comprende reglas caracterizadas por dos tendencias opuestas: reglas ampliadoras y reglas reductoras. Hay dos reglas (I y II) que permiten aumentar la extensión de las cadenas (aunque sólo mediante fórmulas muy rígidas y precisas, por supuesto); y hay otras dos que permiten reducirlas un tanto (también a través de requisitos rígidos). Parece haber una variedad inacabable de instancias en las cuales pueden ser aplicados estos diferentes géneros de reglas, y como consecuencia se puede esperar que, de una manera u otra, se termine produciendo MU. Ello puede traducirse en una ampliación gigantesca de la cadena, para luego extraerle elemento tras elemento hasta que no queden sino dos símbolos; o bien, menos satisfactoriamente, puede implicar sucesivos estadios de ampliación y reducción alternados, seguidos por otros similares, y así en adelante. Pero no existe garantía alguna acerca de lo que puede ocurrir. Ciertamente, ya hemos observado que U no puede ser producida de ninguna forma, y no podrá ser de otro modo, aunque el lector se dedique a ampliar y a reducir hasta el día del juicio final.
No obstante, el caso de U y el caso de MU parecen ser enteramente distintos. Un rasgo muy obvio de U es lo que obliga a reconocer la imposibilidad de producirla: no la precede una M (teniendo en cuenta que todos los teoremas deben comenzar con M). Es de gran utilidad apelar a este método tan simple para detectar no teoremas. Ahora bien, ¿quién dice que esta verificación permitirá detectar todos los no teoremas? Hay incontables cadenas que comienzan con M, pero no son producibles; quizá MU sea una de ellas. Esto significaría que la “prueba de la primera letra” es de utilidad limitada: sirve únicamente para descubrir un cierto número de no teoremas, pero otros se le escapan. Queda la posibilidad, sin embargo, de que una verificación algo más elaborada distinga perfectamente las cadenas que pueden ser producidas por aplicación de las reglas, de las que no llenan esta condición. Tenemos que enfrentar aquí el siguiente interrogante: “¿Qué entendemos por verificación?”. A lo mejor no se percibe cuál es el fundamento de tal pregunta, o su importancia, en el presente contexto. Para aclarar esto, daré el ejemplo de una “verificación” que, de alguna manera, viola el espíritu de esa palabra.
Imaginemos un genio que tiene todo el tiempo del mundo, y disfruta dedicándolo a producir teoremas del sistema MIU, de un modo más bien metódico. La que sigue, por ejemplo, es una de las direcciones que posiblemente elegiría el genio:
Paso 1: Emplear todas las reglas aplicables al axioma MI. Esto produciría dos nuevos teoremas: MIU, MII.
Paso 2: Emplear todas las reglas aplicables a los teoremas obtenidos en el paso 1. Esto produciría tres nuevos teoremas: MIIU, MIUIU, MIIII.
Paso 3: Emplear todas las reglas aplicables a los teoremas obtenidos en el paso 2. Esto produciría cinco nuevos teoremas: MIIIIU, MIIUIIU, MIUIUIUIU, MIIIIIIII, MUI.
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Tarde o temprano, este método produce todos los teoremas, porque las reglas son empleadas en todos los órdenes concebibles (véase la figura 11). Todas las alternancias ampliación-reducción que mencionamos antes van a surgir aquí, sin ninguna duda. Empero, no está claro cuánto habrá que esperar para que aparezca una cadena determinada, ya que el orden de los teoremas responde a la brevedad de su derivación. No se trata de un orden muy conveniente, si se está interesado en una cadena en particular (MU, por ejemplo), de la que ni siquiera se sabe si cuenta con alguna derivación, y mucho menos entonces qué extensión puede tener ésta.
FIGURA 11. Un “árbol” sistemáticamente construido de todos los teoremas del sistema MIU. El nivel N contendrá aquellos teoremas cuya derivación contiene N pasos. Los números rodeados por círculos qué regla fue empleada. ¿Este árbol incluirá a MU?
Ahora, formularemos la “verificación de teoremidad” propuesta:
Es necesario esperar hasta que la cadena en cuestión se produzca; si así ocurre, se sabe que es un teorema. Y si así no ocurre nunca, se sabrá que no es un teorema.
Esto suena ridículo, porque presupone que no tenemos inconveniente en esperar pacientemente la respuesta durante un lapso infinito, lo cual nos conduce al punto de partida: qué es una “verificación”. Es de importancia primordial contar con la garantía de que obtendremos nuestra respuesta dentro de un lapso finito. Si existe una prueba de la teoremidad, una verificación que se complete dentro de un lapso finito, su nombre es procedimiento de decisión, correspondiente al sistema formal de que se trate.
Cuando se cuenta con un procedimiento de decisión, se tiene con él una caracterización muy concreta de la naturaleza de todos los teoremas del sistema. A primera vista, puede parecer que las reglas y axiomas del sistema formal proveen una caracterización de los teoremas del sistema, que no es menos completa que la aportada por el procedimiento de decisión. La palabra engañosa aquí es “caracterización”. Sin duda, las reglas de inferencia y los axiomas del sistema MIU caracterizan, tácitamente, a las cadenas que son teoremas. Más tácitamente aún, caracterizan a las cadenas que no son teoremas. Pero una caracterización tácita no basta para satisfacer todas las finalidades, ni mucho menos. Si alguien sostiene que dispone de una caracterización de todos los teoremas, pero que necesita un plazo infinitamente largo para deducir si una cadena en particular es un teorema, nos inclinaríamos a decir, probablemente, que algo falta en esa caracterización: no es lo bastante concreta todavía. El descubrimiento de que existe un procedimiento de decisión, entonces, constituye un avance de gran importancia. El significado de este descubrimiento consiste en la posibilidad de realizar una prueba que verifique la teoremidad de una cadena; aun en el caso de que la prueba sea complicada, tiene la garantía de finalizar. Como principio, la verificación es simple, mecánica, finita y plena de certidumbre, pues reside en la sola comprobación de que la primera letra de una cadena sea M. ¡Un procedimiento de decisión es la “prueba del papel tornasol” de la teoremidad!
Además, los sistemas formales requieren que el conjunto de axiomas esté caracterizado por un procedimiento de decisión, que actúe como prueba del papel tornasol de la axiomidad. Así se asegura que, al menos al comienzo, se puede ingresar sin problemas en el campo de trabajo. Ésta es la diferencia que separa al conjunto de los axiomas del conjunto de los teoremas: el primero siempre está dotado de un procedimiento de decisión, que en el segundo puede faltar.
Estoy seguro de que el lector, cuando afrontó por vez primera el sistema MIU, se encontró precisamente con estos problemas. El único axioma era conocido, y las reglas de inferencia eran simples, de modo que los teoremas quedaban tácitamente caracterizados; empero, no estaba claro qué consecuencias surgían de tal caracterización. Específicamente, no estaba claro en absoluto si MU es un teorema o no lo es.
FIGURA 12. Castillo celestial, de M. C. Escher (xilografía, 1928).