^[3] La física de los agujeros negros presenta también un buen número de paradojas. Jacob Bekenstein demostró que existía una cantidad finita de desorden (entropía) asociada a un agujero negro. Stephen Hawking y otros afirmaron que el agujero negro debería hallarse a una temperatura finita para que ello fuera consistente con las leyes de la termodinámica. Pero esto no tiene sentido, todo objeto que se halle a una temperatura finita emite radiación térmica, mientras que los agujeros negros no emiten radiación alguna; nada puede escapar de ellos. Se trataba de una paradoja auténtica. Hawking propuso entonces un efecto cuántico que haría que un agujero negro emitiese radiación. Esta se denomina radiación de Hawking y es el descubrimiento más importante de su autor. Así pues, allí donde las paradojas florezcan, existe la oportunidad de que broten grandes teorías físicas. <<

^[4] Además de Simon y sus colegas y de Stephen Hawking, tanto Set Rosenberg, de la Universidad de California en Santa Bárbara, como Arley Anderson, del Imperial College de Londres, han abordado el problema genérico de calcular las probabilidades cuánticas en presencia de máquinas del tiempo. Todos ellos emplean métodos diferentes y llegan a resultados distintos, por lo que el problema aún no puede considerarse resuelto. <<

^[5] Normalmente nos referiremos a la velocidad de la luz en el vacío y, por comodidad, redondearemos el valor a 300.000 kilómetros por segundo. En realidad, la magnitud exacta es de 299.792,458 kilómetros por segundo. <<

^[6] He aquí un ejemplo de observadores moviéndose a velocidad uniforme y de su experiencia de hallarse «en reposo». En un viaje en avión, ¿ha notado el lector que, una vez el aparato ha alcanzado la altitud de crucero y se encuentra volando suavemente y a velocidad constante (sin efectuar giros), parece como si nos encontrásemos en tierra? Podemos hacer que una moneda se sostenga de canto sobre la mesa o caminar a lo largo del pasillo como si el avión estuviera parado en la pista. De hecho, si todas las cortinillas de las ventanas estuvieran cerradas y no pudiésemos ver el exterior, tendríamos serias dificultades para establecer si estamos en tierra o volando a novecientos kilómetros por hora. Los únicos indicios serían acústicos (ruido del motor, silbido del viento), pero no notaríamos diferencia alguna entre permanecer en la pista y estar en el aire. <<

^[7] El astronauta y yo podernos verificar que nuestros relojes de luz tienen la misma distancia entre espejos por medio de una ingeniosa prueba, presentada de forma algo diferente por E. F. Taylor y John A. Wheeler en Spacetime Physics (W. H. Freeman, San Francisco, 1992). Coloquemos los relojes de cada uno perpendiculares a la dirección en la que el astronauta se mueve. Por ejemplo, si el astronauta pasa junto a mí de izquierda a derecha, colocaremos los relojes verticalmente, de forma que los haces de luz viajen arriba y abajo. Hagamos que el astronauta instale su reloj en el exterior de la nave y vuele tan cerca que, al pasar, arañe con los espejos la pared de mi laboratorio. Del mismo modo, los espejos de mi reloj, ubicados en la pared externa del laboratorio, rayarían la superficie de su nave.

Supongamos que observara que la distancia entre las marcas dejadas por la nave son menores de 0,9 metros y que se han plasmado al pasar entre los dos espejos de mi reloj vertical. En este caso, el astronauta debería ver que mis espejos han pasado por el exterior de los suyos, y que han dejado marcas más separadas. Ambos estaríamos de acuerdo en que mi espejo es más grande. Por mi parte, convencido de estar en reposo, pensaría que las varas de medir transportadas por un observador en movimiento rápido siempre se acortan en la dirección perpendicular a la trayectoria. Por el contrario, él podría pensar también que se halla en reposo y concluir que las varas de medir transportadas por un observador en movimiento rápido (yo, en este caso) siempre se alargan en la dirección perpendicular a la trayectoria. Pero esta teoría violaría el primer postulado, pues las leyes de la física del astronauta sedan distintas de las mías. Así pues, esto no es posible.

Surgiría el mismo problema si invirtiéramos los papeles, y las marcas dejadas por los espejos del astronauta estuvieran más separadas que mis espejos. La única manera de que ambos observemos los mismos efectos físicos sería que mí reloj dejara unas marcas en su nave que, según sus medidas, estuvieran separadas 0,9 metros, y que el suyo dejara otras en la pared de mi laboratorio cuya distancia, que yo mediría, fuera de 0,9 metros. Es decir, que nuestros espejos respectivos se arañaran mutuamente al pasar cerca unos de otros. De este modo, las observaciones de ambos serían las mismas, como requiere el primer postulado. Nuestros instrumentos de medida estarían, pues, midiendo la misma cosa. Einstein no daba nada por sentado. <<

^[8] [Nota del editor digital] Recordemos que la raíz cuadrada de un número es lo mismo que elevar ese número a la potencia 1/2, por tanto se tiene que √x = x^1/2. Así está expresado a lo largo de todo el texto. <<

^[9] La magnitud sobre la que los diversos observadores pueden ponerse de acuerdo es denominada ds². Escribimos ds² = −dt² + dx² + dy² + dz², donde dt representa la diferencia en el tiempo entre dos sucesos próximos, dx es la diferencia en sentido izquierda-derechas, dy representa la diferencia en sentido delante-atrás y dz, la diferencia en sentido arriba-abajo. Obsérvese el signo menos en el término relativo a la dimensión temporal que lo distingue de los asociados a las tres dimensiones espaciales. <<

^[10] Como nos referiremos a ella a menudo, he redondeado la distancia a Alfa Centauro al año luz más próximo (cuatro años luz). Lo que llamamos Alfa Centauro, la estrella más cercana al Sol, es en realidad un grupo de tres estrellas: Alfa Centauro A (una estrella de tipo solar), Alfa Centauro B (una estrella anaranjada de menor luminosidad) y Alfa Centauro C (una minúscula de un color rojo muy débil). A y B forman un sistema binario a unos 4,35 años luz de la Tierra. Alfa Centauro C (denominada a veces «próxima de Centauro») está un poco más cerca, 4,22 años luz. Cuando alguien habla de Alfa Centauro normalmente se refiere a la estrella A, la más parecida a nuestro Sol.

Como astrónomo aficionado, en mis años de instituto siempre suspiré por observar Alfa Centauro, pero al tratarse de una estrella circumpolar del hemisferio sur, desde mi casa de Kentucky siempre se hallaba por debajo del horizonte. Pasaron muchos años hasta que la vi por primera vez en Tahití durante un viaje alrededor del mundo. Cuando visité Tanzania, pude observar tanto Alfa Centauro A como Alfa Centauro B mediante un pequeño telescopio. Fue una experiencia emocionante. <<

^[11] En Planilandia escribiríamos ds² = −dt² + dx² + dy², ya que existen sólo dos dimensiones espaciales. <<

^[12] En Linealandia escribiríamos: ds² = −dt² + dx² <<

^[13] Si existieran dos dimensiones temporales (el tiempo ordinario y el tiempo del sueño), además de las tres espaciales, escribiríamos ds² = −dt² − dd² + dx² + dy² + dz², donde dd representa la diferencia en tiempo del sueño entre dos sucesos. Obsérvese el signo menos asociado a las dos dimensiones temporales. <<

^[14] He presentado este ejemplo en televisión e Igor Novikov lo utiliza también en su libro The River of Time (Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1998). <<

^[15] Los términos de la ecuación de Einstein tienen dos índices —representados por los subíndices— los cuales, en un espacio-tiempo tetradimensional, pueden adoptar cuatro valores: uno para la dimensión temporal y tres para las dimensiones espaciales. Por ello, esta única ecuación representa en realidad 4 × 4 = 16 ecuaciones. Esta es la razón por la que podemos escribirla sin necesidad de otras y seguir hablando con propiedad de las ecuaciones de Einstein. Afortunadamente, algunas de ellas son equivalentes entre sí, por lo que, a la hora de resolverlas, sólo nos enfrentamos a diez ecuaciones. <<

^[16] La frase procede de Gravitation (Freeman, San Francisco, 1973), de C. W. Misner, K. S. Thorne y JA. Wheeler, quienes citan a M. Klein como fuente. <<

^[17] Gödel ya era famoso por su teorema de la incompletitud, publicado en 1931. Antes de Gödel, los matemáticos confiaban en encontrar un sistema finito de axiomas que sirviera de base a las demostraciones de todos los teoremas verdaderos de su campo. Investigando en este sistema, Gödel propuso un teorema autorrecurrente, cuyo enunciado podría traducirse al lenguaje común así: ESTE TEOREMA ES INDEMOSTRABLE. Supongamos que es posible demostrarlo; en ese caso, el teorema sería falso y he ahí el problema: ningún conjunto de axiomas debería permitirnos demostrar un teorema que es falso. Imaginemos, en cambio, que no podemos demostrar tal teorema; éste sería cierto, pero no podemos demostrarlo a partir de nuestros axiomas. En ambos casos, los axiomas son incapaces de cumplir su propósito. La matemática es incompleta. El teorema de Gödel es tal vez el desarrollo individual más importante del siglo XX en el campo matemático. <<

^[18] Matemáticamente, la solución aproximada de Vilenkin para una cuerda cósmica es del tipo de: ds² = −dt² + dr² + (1 − 8μ)r²dΦ² + dz². Comparémosla ahora con la solución exacta que Hiscock y yo encontramos: ds² = −dt² + dr² + (1 − 4μ)²r² dΦ² + dz². ¡La diferencia es minúscula! ds² es la magnitud sobre la que los distintos observadores pueden ponerse de acuerdo; dt es la diferencia en tiempo entre dos sucesos próximos; dr, su diferencia en distancia radial, r, desde la cuerda; dΦ, su diferencia angular alrededor de la cuerda y dz, su diferencia en distancia vertical hacia arriba o hacia abajo respecto a la cuerda, Finalmente, μ es la masa por unidad de longitud de esta última, medida en masas de Planck (2 × 10⁻⁵ gramos) por longitudes de Planck (1,6 × 10⁻³³ centímetros) = 1,25 × 10²⁸ gramos por centímetro. Dado que el valor esperado de está en el entorno de 10⁻⁶, la solución aproximada está muy cerca de la solución exacta. <<

^[19] La velocidad requerida para producir un viaje en el tiempo depende de la masa por unidad de longitud de las cuerdas. Cuanto menos masivas sean, más pequeñas serán las porciones ausentes a las que dan lugar y más pequeños también los atajos, por lo que deberán moverse más deprisa para generar un viaje en el tiempo. En cualquier caso, dada una masa por unidad de longitud concreta, siempre podremos hallar la velocidad (inferior a la de la velocidad de la luz) a la que deben pasar las cuerdas una respecto a otra para permitir el viaje al pasado. <<

^[20] Las soluciones de cuerdas, como ya he mencionado, son soluciones de «masas en Planilandia», se limitan a eliminar una dimensión espacial. Los artículos de Carroll, Farhi y Guth, así como un resultado debido a Gerard’ t Hooft en Classical and Quantum Gravity (1992), vol. 9, pág. 1.335, mostraban que, en Planilandia y en condiciones iniciales estáticas o que impliquen masas en movimiento lento, no es posible construir una máquina del tiempo (suponiendo que sólo se permitan masas positivas).

Por supuesto, mi solución, con dos masas moviéndose casi a la velocidad de la luz, no responde a tales condiciones. Los citados artículos imponían, en definitiva, un conjunto de condiciones iniciales más bien restringido. Nuestro propio universo empezó con una rápida expansión —el big bang—, así que Matthew Headrick y yo rechazamos en un artículo de 1994 la adopción de restricciones de esa clase. Parte de nuestro argumento era que en Planilandia no es posible asociar momentos con rotaciones (e impulsos de velocidad), procedentes de la acción de rodear una masa, porque matemáticamente esas rotaciones no se suman como se supone que ocurre con los momentos, y porque esos espacio-tiempos a grandes distancias no son aproximadamente planos, con lo que no es posible definir para ellos un momento en ningún caso. Por otra parte, la analogía del momento no sería trasladable a espacio-tiempos tetradimensionales. <<

^[21] La radiación de Hawking, un proceso cuántico que hace que el agujero negro acabe evaporándose (un agujero negro de tres mil millones de masas solares desaparecería en 4 × 1.094 años por esta causa), añade ciertas complicaciones, alterando la geometría y limitando la entrada de los fotones muy retardados. <<

^[22] K. S. Thorne, Black Holes and Time Warps (Norton, Nueva York, 1994), pág. 479. <<

^[23] Mi solución con dos cuerdas cósmicas infinitas elude el teorema de Tipler, ya que su horizonte de Cauchy se extiende hasta el infinito y, por lo tanto, no hay singularidades en él. Curiosamente, la solución del agujero negro giratorio no perturbado también lo soslaya. Como en esta solución el agujero negro se mantiene indefinidamente, el horizonte de Cauchy sigue avanzando aunque esté confinado en una región finita, por lo que no presenta singularidades. Existe la singularidad del anillo, pero ocurre más tarde. El viajero del tiempo sólo la ve tras haber cruzado el horizonte de Cauchy. Una vez más, el viajero podría ser destruido por las partículas emitidas de forma impredecible por la singularidad en anillo pero, nuevamente —recordemos el big bang—, podría ser que no lo fuera. Ahora bien, si el agujero negro se evaporara debido a la radiación de Hawking —como prevemos—, no duraría indefinidamente y en su horizonte de Cauchy aparecería una singularidad. <<

^[24] La misión de cinco años de la nave Enterprise consistía en explorar un sistema estelar cada semana e informar al Cuartel General de la Flota. El Enterprise podría haber visitado un sistema estelar cada semana (medida según los relojes de a bordo) viajando simplemente al 99,999% de la velocidad de la luz y suponiendo que las estrellas están a una distancia de cuatro años luz. Los tripulantes envejecerían lentamente debido a la velocidad de la nave pero, una vez concluida la misión, cuando regresaran a la base, se encontrarían con que en ella han transcurrido mil años. Para poder informar al Cuartel General dentro de los cinco años de la misión tras haber visitado varios sistemas estelares, el Enterprise debería viajar a una velocidad mayor que la de la luz. <<

^[25] Kip Thorne ha usado la metáfora de la hormiga caminando sobre una lámina de goma para explicar los agujeros negros en Scientific American (1967), vol. 217, núm. 5, pág. 96 y en Black Holes and Time Warps, pág. 247. <<

^[26] Si pudiéramos crear un canal de distorsión que permitiera a una nave espacial alcanzar Alfa Centauro en pocos minutos, nuestro viaje conectaría dos sucesos separados por una mayor distancia en el espacio que en el tiempo. Por ello, y al igual que en el caso de la cuerda cósmica, un observador que se hallara en otra nave moviéndose a cierta velocidad contemplaría nuestra partida de la Tierra y nuestra llegada a Alfa Centauro como si fueran sucesos simultáneos. El espacio-tiempo exterior al estrecho camino utilizado por la nave (la hendidura) no resultaría perturbado. Si el observador de la otra nave nos viera dejando la Tierra a mediodía y llegando también a mediodía (del mismo día) a Alfa Centauro, podríamos crear un segundo canal de distorsión —una segunda hendidura— que fuera desde Alfa Centauro a la Tierra y volver a nuestro planeta a mediodía, según él. Regresaríamos así a tiempo de asistir a nuestra propia partida. <<

^[27] Puede que el lector haya oído hablar alguna vez en los medios de comunicación de que alguien ha rebasado la velocidad de la luz en el laboratorio. Tales experimentos tienen que ver, habitualmente, con el efecto túnel cuántico. Si nos sentamos a un lado de una pared, existe una probabilidad infinitesimal de que experimentemos dicho efecto y aparezcamos, de repente, al otro lado. Dado que en ese caso pasaríamos de un lado a otro más deprisa que la luz, adelantaríamos, en efecto, a un rayo de luz que viajara en un camino paralelo. Por ejemplo, Raymond Chiao, de la Universidad de California en Berkeley, llevó a cabo una carrera de laboratorio entre fotones que viajaban directamente hasta un detector y otros que sufrían el efecto túnel a través de una lámina de cristal opaco de algunas micras de espesor. Los fotones que atravesaron la lámina llegaron 1,5 × 10⁻¹⁵ segundos antes que los que viajaron sin obstáculos. <<

^[28] Esas ondas que acompañan a un taquión se denominan radiación gravitatoria de Cherenkov. <<

^[29] En 1973, durante una discusión sobre taquiones en Caltech, Richard Feynman me confesó que albergaba señas dudas sobre su existencia. <<

^[30] Durante una conversación relativa al corneta Halley y al hecho de que regresara cada tres cuartos de siglo. Mr. Nicholas, un miembro veterano de ochenta y siete años, comentó que él no sólo había contemplado el cometa en su anterior aparición en 1910, sino que, siendo estudiante, había conocido a un veterano que lo había visto la vez anterior, en 1835. Nicholas vivió aún para divertir a sus colegas con sus historias en su centésimo cumpleaños y aquel día también subió las escaleras para tomar su copa de oporto. <<

^[31] En un agujero de gusano de esta clase (dotado de placas de Casimir con carga eléctrica), un astronauta situado en el centro del túnel envejecería menos que otro ubicado en cualquiera de las bocas debido a que, como en el caso del viajero del tiempo doméstico, se hallaría en el fondo de un profundo pozo gravitatorio. Desde su perspectiva las dos bocas están quietas una respecto a otra y el pozo gravitatorio es igual de profundo por ambos lados, con lo cual observa que los dos relojes situados en las bocas avanzan al mismo ritmo; unos relojes que, según él, estarían sincronizados. Supongamos que una de las bocas se moviera en círculo cerca de la Tierra —con lo que los terrícolas verían el reloj ubicado en ella marchando más despacio—, mientras la otra permanece inmóvil junto a Alfa Centauro. Los relojes de ambas, que se hallan sincronizados para un observador situado dentro del túnel, conectarían distintos tiempos de la Tierra y Alfa Centauro en el espacio-tiempo exterior, tal como discutíamos en el capítulo 3, sólo que ahora el astronauta que se halla en medio del túnel es más joven de lo previsto gracias a los pozos gravitatorios. <<

^[32] Fuera de la cuerda cósmica hay vacío normal, pero atrapado en el interior de ella se encuentra un vacío de alta energía que podría provenir de la desintegración del estado de vacío inflacionario que originalmente habría impregnado todo el espacio. Las cuerdas serían así una especie de residuos fósiles del origen del universo, como esos muñecos de nieve que siguen en pie mucho después de que la nieve del suelo se haya derretido. <<

^[33] En su imaginativo relato Sueños de Einstein,* Alan Lightman considera un espacio-tiempo similar al de la marmota en el que todos los habitantes son jinn cuyas líneas de universo rodean una sola ocasión el espacio-tiempo. Esos jinn experimentan repetidamente los mismos acontecimientos, lo que implicaría una increíble sensación de déjà vu. Estrictamente hablando, la película Atrapado en el tiempo se refiere a un espacio-tiempo de la marmota en el marco de la teoría de los universos múltiples de la mecánica cuántica, ya que, cada vez que el personaje de Bill Murray vuelve al pasado, puede adoptar decisiones distintas sobre sus actos durante el Día de la marmota. <<

^[34] El cálculo de Hiscock y Konkowski relativo al vacío normal en el espacio de Misner me recordaba el caso del agujero negro en el que el vacío de Boulware (véase la definición en la siguiente nota) crecía exponencialmente al acercamos al horizonte de sucesos. El problema desaparecía al introducir la radiación de Hawking. Pensaba que una radiación similar podría resolver, tal vez, el crecimiento exponencial que se produce al aproximarse al horizonte de Cauchy en una máquina del tiempo. <<

^[35] Un astronauta que viajara en una nave espacial con una aceleración de 1 giga —la de la gravedad en la Tierra— observaría una radiación de Unruh (fotones) con una longitud de onda de alrededor de un año luz. Vería cómo, en la estela que deja la nave, el vacío de Rindler se hace cada vez más negativo, hasta finalmente estallar en un infinito negativo en tono a un año luz detrás de aquélla. Esto es correcto porque en el mismo punto el astronauta detectaría una cantidad infinita de radiación de Unruh con una densidad de energía positiva infinita. Ambos infinitos se cancelarían mutuamente, dando una densidad de energía total nula, la del vacío normal. Sería como disponer de una cuenta bancaria con un saldo infinito y de una deuda infinita también; en definitiva, no tendríamos ni un céntimo.

Si el observador acelerado no detectara radiación alguna, se hallaría en un mundo dotado de un vacío de Rindler puro y sin radiación térmica. Ese mundo tendría realmente una densidad de energía total negativa, la cual se haría infinitamente negativa a aproximadamente un año luz tras la nave. Según la relatividad general, una densidad de energía negativa hace que el espacio-tiempo se curve, y una densidad de energía negativa infinita crearía una singularidad en la curvatura. El vacío de Rindler se calcula asumiendo una geometría espaciotemporal plana; si un incremento exponencial altera esa geometría, el cálculo deja de ser autoconsistente. Por ello, un vacío de Rindler puro en un espacio-tiempo plano y en el que no exista radiación alguna no constituye un estado de vacío autoconsistente.

El estado de vacío normal también parte de una geometría espaciotemporal plana, pero tiene una densidad de energía total y una presión total nulas, lo que da lugar a una geometría plana del espacio-tiempo, siempre según las ecuaciones de Einstein para la relatividad general. Así pues, el vacío normal en un espacio-tiempo plano es autoconsistente. Este es el tipo de soluciones que buscamos. Dada una geometría de fondo, si podemos elegir entre varios estados cuánticos de vacío, deberemos escoger el que sea autoconsistente, el que dé lugar a la geometría en la que reside. <<

^[36] El vacío de Hiscock y Konkowski —un vacío arrollado normal— era inconsistente; no generaba la geometría de partida. El vacío de Rindler arrollado de Li-Xin Li era el adecuado para un espacio de Misner en el que las paredes se aproximaban al 99,9993% de la velocidad de la luz (del mismo modo que el vacío de Hartle-Hawking era el correcto para un agujero negro). <<

^[37] El artículo, titulado «Vacío autoconsistente para un espacio de Misner y la conjetura de la protección de la cronología», analizaba también algunas dificultades con las que tropezaría un viajero del tiempo: el peligro de chocar consigo mismo y las perturbaciones producidas por el hecho de que su campo gravitatorio estaría curvado también en el espacio-tiempo. Tales problemas podrían ser superados, no obstante, si el viajero navegara con cuidado y llevan consigo un poco de esa maravillosa sustancia de densidad de energía negativa, logrando que la masa total de su nave fuera nula. De este modo, no perturbaría la solución (de manera similar, para un viajero del tiempo que utilizara mis cuerdas cósmicas infinitas, pudimos deducir —mediante ciertos cálculos matemáticos de J. D. E. Grant— que el campo gravitatorio creado por una nave espacial de masa positiva podría llevar finalmente a la formación de un agujero negro al rodear dichas cuerdas; algo que, de hecho, ya sucede en el caso del bucle finito). <<

^[38] Las investigaciones continúan. Tras la publicación de nuestros artículos sobre el espacio de Misner y el viaje en el tiempo en el universo primitivo, Li-Xin Li descubrió un procedimiento de renormalización mejorado para el espacio de Misner. Siempre que se realizan cálculos cuánticos de esta clase, se obtienen resultados infinitos que hay que «renormalizar» para que concuerden con lo observado realmente, para lo cual se hace uso de un estado de vacío conocido que tenga densidad de energía y presión nulas. En las soluciones relativas a viajes en el tiempo se utilizan dos técnicas: el método de la sección euclídea, inventado por Hawking, y el método del espacio de cobertura. <<

^[39] La luz se mueve alrededor del espacio De Sitter a la velocidad de la luz, por supuesto; pero a medida que el propio espacio comienza a expandirse casi a la misma velocidad, esa luz avanza cada vez menos a lo largo de la circunferencia. <<

^[40] Según Lee Smolin, de la Universidad del estado de Pennsylvania, y el físico ruso Valen Frolov y sus colegas M. A. Markov y Viatcheslav Mukhanov, siempre que un colapso gravitatorio avanza hacia la formación de una singularidad tal como un agujero negro, en el último momento y a medida que crece la temperatura, se entraría en un estado de vacío inflacionario, el cual experimentaría un rebote De Sitter para crear un nuevo universo. De acuerdo con esta teoría, en nuestro propio universo se estarían produciendo brotes de nuevos universos inflacionarios como si fueran las ramas de un árbol. <<

^[41] Si pusiéramos un poco de vacío inflacionario en una caja y expandiéramos ésta hasta que alcanzan mi tamaño mayor, habría que consumir energía para mover las paredes hacia fuera, ya que la presión negativa —o succión— debida a dicho vacío tiraría de las paredes hacia dentro y necesitaríamos vencerla. Concluido el proceso, tendríamos una caja más grande llena de vacío inflacionario. Este tendría la misma densidad de energía que antes pero, como el volumen es mayor, su energía total habría crecido. El incremento debería igualar a la energía empleada en mover las paredes hacia fuera. En la relatividad general, la energía local se conserva en pequeñas regiones, según lo esperado. Pero en el conjunto de la solución y debido a que el espacio-tiempo se curva, la energía total del universo no se conserva, no existe un lugar plano en el que poder establecer un estándar de energía.

Se trata de una peculiar e importante propiedad de la relatividad general. Imaginemos el universo en proceso de inflación dividido en muchos compartimientos pequeños. En cada uno de ellos, un observador constataría que la energía total de su compartimiento se incrementa al expandirse éste. Él lo atribuiría al hecho de que hubiera alguien tirando hacia fuera de las paredes. Pero, en realidad, lo que tira de esas paredes son los compartimentos adyacentes, los cuales, a su vez, también se expanden. Así pues, en este caso, la energía total del universo en su conjunto aumenta con el tiempo a medida que el volumen del universo se incrementa. <<

^[42] ¿Por qué una superficie hiperbólica tiene curvatura negativa? El brillante matemático alemán Johann Friedrich Gauss observó que una esfera —el conjunto de todos los puntos equidistantes de un punto central en el espacio— tiene curvatura positiva. El grado de curvatura depende de su tamaño. Una esfera pequeña como un grano de mostaza está fuertemente curvada; una esfera más grande, como una pelota de playa, tiene una curvatura más suave, y una esfera gigantesca como la Tierr a tiene una curvatura tan leve que nos parece casi plana. Gauss halló que el valor de la curvatura es inversamente proporcional al cuadrado del radio. Ese radio es la distancia en el espacio entre cualquier punto de la superficie de la esfera y su centro. En cambio, la superficie hiperbólica de nuestro ejemplo tiene una curvatura negativa porque representa el conjunto de sucesos equidistantes en el tiempo —medido por los relojes de a bordo— de un suceso concreto. Como veíamos con anterioridad, en la relatividad especial los observadores están de acuerdo en el cuadrado de la distancia en el espacio menos el cuadrado de la distancia en el tiempo. Ese signo menos asociado a la distancia temporal es el que proporciona a la superficie hiperbólica su curvatura negativa. <<

^[43] Para que mi modelo funcione, el estado de vacío de alta densidad debe permanecer dentro de la burbuja durante un breve periodo tras la formación de ésta, antes de transformarse en radiación térmica. Esto haría que el universo se inflase hasta alcanzar un tamaño lo suficientemente grande como para estar de acuerdo con las observaciones. Es preciso que la inflación continúe dentro de la burbuja (hasta que los relojes marquen la una en punto en la figura 22) durante un lapso al menos cien veces superior al que tardó el espacio De Sitter circundante en doblar su tamaño, según los observadores de allí. El proceso daría lugar a un universo con una curvatura sensiblemente negativa. Si la inflación en el seno de la burbuja durara más —por ejemplo, diez veces más—, el universo seguiría teniendo curvatura negativa, pero se habría inflado tanto que actualmente no podríamos distinguirlo de un universo plano. <<

^[44] En la región negra del efecto túnel nos hallamos «dentro» del túnel y, por lo tanto, «bajo tierra» en nuestra analogía del paisaje. El encontrarse «bajo tierra» hace que el signo negativo asociado a la dimensión tiempo se convierta en positivo (escribiríamos ds² = +dt² + dx² + dy² + dz²). La dimensión temporal se transforma en una dimensión espacial más, dando lugar a las cuatro dimensiones espaciales de la región negra. <<

^[45] Para entender el mecanismo de la inflación caótica de Linde, recordemos nuestra metáfora de la bola de billar rodando a través de un variado paisaje. Una mayor elevación corresponde a una densidad de energía del vacío más alta y a una inflación más rápida. Comencemos con la bola situada en la playa. Existe una pequeña probabilidad de que efectúe un salto cuántico y aterrice en lo alto de las montañas. Una vez allí, tendrá lugar una rápida inflación y la región se expandirá hasta alcanzar un enorme tamaño y engendrar un nuevo universo inflacionario. Conforme el recién nacido universo se infla, pequeñas zonas de esa región perderán contacto entre ellas y empezarán a comportarse de manera independiente, como si fueran muchas bolas de billar. La mayoría rodará ladera abajo pero, ocasionalmente, una de las zonas (bolas de billar) experimentará un salto cuántico e irá a caer aún más arriba, donde se expandirá más deprisa que las demás. El hecho dará lugar a un universo-hijo en segunda generación cuyo volumen pronto será mayor que el de todos los demás juntos debido a que su inflación es más rápida. El proceso es iterativo.

En breve, la mayor parte del volumen del universo estará repartido en zonas que se hallan cada vez más altas en el paisaje, con la inflación desarrollándose mayoritariamente a la densidad de Planck (5 × 10⁹³ gramos por centímetro cúbico). Esas zonas engendran continuamente nuevos universos, salpicando las montañas con un número cada vez mayor de bolas, las cuales ruedan continuamente por las laderas; de vez en cuando, alguna efectúa un salto cuántico y termina produciendo aún más bolas de billar, Al rodar ladera abajo, una bola puede ir a parar a un valle entre montañas y quedar atrapada allí. Eventualmente, esa bola puede experimentar el efecto túnel y aparecer al otro lado de la montaña, cayendo por su ladera exterior y engendrando un universo burbuja abierto como en la figura 22. Por el contrario, la bola puede no tropezar con valle alguno y limitarse a rodar montaña abajo, contribuyendo a que la región, originalmente muy irregular, se transforme en un gigantesco (y, por lo tanto, en apariencia plano) universo de Friedmann. <<

^[46] Si el vacío normal es estable frente a la formación espontánea de cuerdas cósmicas (si no lo fuera, se formarían cuerdas cósmicas hasta en la sopa), nuestra solución basada en un estado de vacío cuántico autoconsistente también debería serlo, según se deduce de un argumento formulado por Michael J. Cassidy, uno de los alumnos de Hawking. <<

^[47] En 1986, Barrow escribió: «Pueden ser necesarias ciertas condiciones límite cosmológicas, bien en una singularidad inicial, bien en una infinitud pasada; la alternativa —el que todas las geodésicas tipo tiempo o nulas (tipo luz) sean cerradas, tal vez con periodos muy superiores a 10¹⁰ años— no resulta atractiva». Tal como Thorne describe en Black Holes and Time Warps, Robert Geroch demostró un teorema en 1967, según el cual sería posible construir un agujero de gusano mediante una torsión del espacio-tiempo uniforme y libre de singularidades, pero sólo si se creara una máquina del tiempo. Thorne escribe: «La reacción general frente al teorema de Geroch, en 1967, fue “Seguramente, las leyes físicas prohíben las máquinas del tiempo y, por lo tanto, siempre impedirán construir un agujero de gusano de forma clásica, es decir, sin perforar agujeros en el espacio”». Tras los trabajos de Thorne en 1988, la gente empezó a mostrarse más dispuesta a considerar soluciones que involucraran viajes en el tiempo. <<

^[48] El hecho es conocido como invarianza CPT (carga-paridad-tiempo). <<

^[49] Si le diéramos la vuelta a la figura 27, obteniendo una serie de bocinas que colapsan en un bucle temporal situado al final del Universo, una solución autoconsistente requeriría que existieran ondas avanzadas exclusivamente. Los observadores que se hallaran en ese Universo verían un bucle temporal en el futuro y todas las ondas electromagnéticas viajando hacia el pasado. Contemplarían, pues, cómo los efectos preceden a las causas. Con el bucle temporal de baja entropía ubicado al final, la flecha del tiempo en la entropía apuntaría también en sentido contrario. Obviamente, la gente llamaría «pasado» al futuro y «futuro» al pasado y estaría convencida de vivir «después» del bucle, igual que nosotros. De hecho, la dirección «hacia el futuro» significa simplemente «alejándose del bucle temporal». Las causas siempre están más cerca del bucle que los efectos. En caso contrario, el modelo no sería autoconsistente, tal como debe ser toda solución que se precie. <<

^[50] Estos límites más bien amplios están diseñados para abarcar el 95% de los casos. La fórmula produce una predicción correcta siempre que la longevidad futura caiga en algún punto comprendido entre dichos límites. A menudo se hallará en un margen más pequeño situado dentro de ese intervalo. Recordemos que en el 50% de los casos —como en el del Muro de Berlín—, la longevidad futura estará comprendida entre un tercio y tres veces la longevidad pasada. Por ello, en la mayoría de las ocasiones, el final llega mucho antes de alcanzar el límite superior marcado por el 95% de confianza. <<

^[51] R. L. Cann, M. Stoneking y A. C. Wilson estimaron en 1987 que la longevidad de nuestra especie, el Homo sapiens (remontada hasta la Eva mitocondrial), era de unos doscientos mil años, basándose en estudios de ADN. Es ésta la edad que he adoptado en mis cálculos y concuerda aproximadamente con otras estimaciones: inferior a doscientos cincuenta mil años (Gould [19891, pág. 45n), superior a cien mil años (R. Caroll, Vertebrate Paleontology and Evolution, Freeman. Nueva York, 1988, págs. 475 y 476) y mayor de ciento cincuenta mil años (C. B. Stringer, Scientific American [1990], vol. 263, pág. 98). <<

^[52] La longevidad de las diversas especies de mamíferos presenta una distribución exponencial en tomo a una media de dos millones de años (véase SM. Stanley, Proceedings of the National Academy of Sciences [1975], vol. 72, pág. 646). A partir de este dato podemos establecer límites con el 95% de confianza para la longevidad futura de una especie de mamífero elegida al azar de entre las hoy existentes: más de 50.000, pero menos de 7,4 millones de años. Estos limites son notablemente parecidos a los correspondientes a la longevidad futura para la especie humana con el mismo nivel de confianza —más de 5.100, pero menos de 7,8 millones de años—, los cuales se basan solamente en nuestra longevidad pasada como especie inteligente. <<

^[53] En España, el apellido estaría comprendido alfabéticamente entre Allende y Vera. (N. del T.) <<

^[54] La regla del 39 nos habría mantenido también a salvo del Britannic, buque hermano del Titanic que naufragó en su sexto viaje tras chocar con una mina alemana, pero nos habría permitido viajar muchas veces en el Olympic, el otro hermano del Titanic que llegó a atravesar quinientas catorce veces el Atlántico antes de ser desguazado. <<

^[55] ¿Cabe evitar la conclusión de que no nos hallamos en el primer 2,5% ni en el último 2,5% de la lista cronológica de seres humanos argumentando que ocupamos una posición especial en la lista en virtud de haber nacido en una época en la que el nivel de sofisticación es lo suficientemente grande como para conocer la fórmula copernicana? Si tenemos más de doce años de edad, ya han nacido después de nosotros mil ochocientos millones de personas, lo que nos deja fuera del 2,5% final de la lista. Si somos optimistas y pensamos que la civilización siempre irá a mejor desde el momento actual, todos los seres humanos futuros vivirán en épocas lo suficientemente avanzadas como para conocer o deducir la fórmula. En este caso, como pertenecientes a una época lo bastante sofisticada como para conocerla, la probabilidad de que estemos en el primer 2,5% de todos los seres humanos es inferior al 2,5% (dado que tales observadores ocuparán la totalidad de la lista cronológica, excepto un pequeño segmento inicial).

Para que usted, lector, esté informado de mi fórmula, sólo es necesario que viva en una época en la que sea conocida. Al fin y al cabo, nos ha tocado vivir en un periodo en el que conocemos la obra de Copérnico sin necesidad de ser contemporáneos suyos; lo mismo podría darse con mi fórmula. Si desapareciera la civilización y la humanidad regresara a las sociedades cazadoras-recolectoras, insuficientemente avanzadas como para conocer la fórmula, es probable que la población fuese pequeña (en el margen de un millón de individuos), y nuestra longevidad futura seda probablemente similar a la de otros homínidos (en torno a dos millones de años o menos), haciendo que el número probable de individuos futuros se hallara en el margen de los cien mil millones, una cifra de nuevo inferior a los 2,7 billones. Para pertenecer al 2.5% inicial de la lista habría que estar en la franja del 2,5% en todos esos escenarios. <<

^[56] Si dispusiéramos realmente de datos actuariales previos sobre la población total a través del tiempo de diversas especies inteligentes extraterrestres, podríamos ponderar tales datos por población (la probabilidad de ser miembro de una especie concreta es proporcional a la población de ésta) para generar una distribución probable del número total de miembros de nuestra especie, el Homo Sapiens. Esa distribución ponderada podría presentar una escala característica, ya fueran cien mil millones o cien billones. Pero como no tenemos dato alguno en este sentido, no podemos hacemos idea de cuál seda esa escala. Así pues, y según la filosofía de Jeffreys, deberíamos considerar igualmente válida cualquier estimación a priori para el orden de magnitud del número total de seres humanos. Dicho de otra manera, el número total de individuos a lo largo del tiempo podría hallarse en cualquiera de los intervalos siguientes: 100.000 millones a 1 billón, 1 billón a 10 billones, 10 billones a 100 billones, etcétera. Estas estimaciones deben ser revisadas, según el teorema de Bayes, una vez constatado que han nacido aproximadamente setenta mil millones de individuos hasta la fecha. Como ya he indicado, el método conduce a los mismos resultados que la fórmula copernicana, es decir, a que existe una probabilidad del 95% de que el número de seres humanos que nazcan en el futuro se halle comprendido entre 1.800 millones y 2,7 billones. Una buena estimación imprecisa, como la de Jeffreys, debería ser válida para cualquier observador inteligente. Si todos la usaran, podríamos hacer un sondeo y comprobar hasta qué punto ha sido correcta; el resultado debería estar de acuerdo con la respuesta copernicana, ya que el 95% de esos observadores inteligentes deberían pertenecer al 95% central de la lista cronológica de todos los miembros de su especie. <<

^[57] Por el mismo razonamiento, es probable que nuestra especie posea una longevidad mayor que la media de las especies inteligentes, ya que la mayor parte de los observadores tenderá a pertenecer a una de esas especies de longevidad más alta. Y es probable que nosotros estemos en ese grupo. Así pues, nuestra especie probablemente esté por encima de la media de las especies inteligentes, tanto en longevidad como en población… Si tenemos en cuenta que existe un 95% de probabilidades de que nos hallemos en el 95% central de la historia humana —lo que daría una longevidad total de entre doscientos cinco mil y ocho millones de años—, esto significaría que la longevidad media de las especies inteligentes es incluso inferior a la de la nuestra. <<

Notas