Ley de la gravitación de Newton

Partiendo de su mejor comprensión de la teoría del movimiento, Newton se dio cuenta de que el Sol podría ser la sede u organización de fuerzas que gobiernan el movimiento de los planetas. Newton se demostró para sí (y quizá seremos capaces de demostrarlo pronto) que el hecho mismo de que áreas iguales son barridas en tiempos iguales es un indicador preciso de la proposición según la cual todas las desviaciones son exactamente radiales: que la ley de las áreas es una consecuencia directa de la idea de que todas las fuerzas están dirigidas exactamente hacia el Sol.

Seguidamente, analizando la tercera ley de Kepler es posible demostrar que cuanto más lejos está el planeta, más débiles son las fuerzas. Si se comparan dos planetas a distancias diferentes del Sol, el análisis muestra que las fuerzas son inversamente proporcionales a los cuadrados de las distancias respectivas. Combinando ambas leyes, Newton concluyó que debe haber una fuerza, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, dirigida a lo largo de la línea que une los dos objetos.

Siendo un hombre con una gran preferencia por las generalizaciones, Newton supuso, por supuesto, que esta relación era válida para el caso más general y no sólo para el Sol que mantiene a los planetas. Era ya conocido, por ejemplo, que el planeta Júpiter tiene lunas que giran a su alrededor como la Luna de la Tierra gira alrededor de la Tierra, y Newton dio por cierto que cada planeta mantiene a sus lunas con una fuerza. El conocía ya la fuerza que nos mantiene sobre la Tierra, de modo que propuso que esta era una fuerza universal: que todas las cosas atraen a todas las demás.

El problema siguiente era si la atracción de la Tierra sobre sus habitantes era la «misma» que su atracción sobre la Luna, es decir, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si un objeto en la superficie de la Tierra cae 4,9 metros durante el primer segundo una vez que ha sido liberado partiendo del reposo, ¿cuánto caerá la Luna en el mismo tiempo? Podríamos decir que la Luna no cae en absoluto. Pero si no hubiera ninguna fuerza sobre la Luna, ella seguiría en línea recta, mientras que de hecho sigue en un círculo, de modo que realmente cae desde donde habría estado si no hubiera ninguna fuerza. A partir del radio de la órbita de la Luna (que es de aproximadamente 384.000 kilómetros) y el tiempo que necesita para dar una vuelta alrededor de la Tierra (aproximadamente 29 días) podemos calcular cuánto se mueve la Luna en su órbita en 1 segundo, y podemos calcular entonces cuánto cae en un segundo^[6]. Esta distancia resulta ser aproximadamente 4/3 mm por segundo. Esto encaja muy bien con la ley de la inversa del cuadrado, porque el radio de la Tierra es de unos 6.400 kilómetros, y si algo que está a 6.400 kilómetros del centro de la Tierra cae 4,9 metros en un segundo, algo que esté a 384.000 kilómetros, o 60 veces más, caería sólo 1/3.600 de 4,9 metros, que también es aproximadamente 4/3 de milímetro. Deseando poner a prueba esta teoría de la gravitación por cálculos similares, Newton hizo sus cálculos con mucho cuidado y encontró una discrepancia tan grande que consideró que la teoría era contradicha por los hechos, y no publicó sus resultados. Seis años más tarde, una nueva medida del tamaño de la Tierra demostró que los astrónomos habían estado utilizando una distancia incorrecta a la Luna. Cuando Newton oyó esto, hizo de nuevo el cálculo, con las cifras corregidas, y encajó a la perfección.

5.4 Aparato para demostrar la independencia de los movimientos vertical y horizontal.

Esta idea de que la Luna «cae» es algo confusa, porque, como ustedes ven, ella no se acerca. La idea es suficientemente interesante para merecer una explicación adicional: la Luna cae en el sentido de que se aparta de la línea recta que hubiera seguido de no haber fuerzas. Veamos un ejemplo en la superficie de la Tierra. Un objeto liberado cerca de la superficie de la Tierra caerá 4,9 metros en el primer segundo. Un objeto disparado horizontalmente también caerá 4,9 metros; incluso si se está moviendo horizontalmente, aún cae los mismos 4,9 metros en el mismo tiempo. La figura 5.4 muestra un aparato que lo pone de manifiesto. En el carril horizontal hay una bola que va a ser impulsada hacia adelante a una pequeña distancia. A la misma altura hay una bola que va a caer verticalmente, y hay un interruptor eléctrico dispuesto de modo que en el momento en que la primera bola deja el carril, se libera la segunda bola. El hecho de que han descendido la misma altura en el mismo tiempo queda de manifiesto porque colisionan en el aire. Un objeto como una bala, disparada horizontalmente, podría recorrer un largo camino en un segundo —quizá 700 metros—, pero seguiría cayendo 4,9 metros si está disparada horizontalmente. ¿Qué sucede si disparamos una bala con una velocidad cada vez mayor? No olvidemos que la superficie de la Tierra es curva. Si disparamos con velocidad suficiente, entonces después de haber caído 4,9 metros puede estar precisamente a la misma altura del suelo que estaba antes. ¿Cómo puede ser eso? Sigue cayendo, pero la Tierra se curva por debajo de ella, de modo que cae «alrededor» de la Tierra. La cuestión es: ¿cuánto tiene que recorrer en un segundo para que la Tierra esté a 4,9 metros bajo el horizonte?

5.5 Aceleración hacia el centro de una trayectoria circular. De la geometría plana, x/s = (2R − S)/x = 2R/x, donde R es el radio de la Tierra, 6.400 kilómetros; x es la distancia «recorrida horizontalmente» en un segundo; y S es la distancia «caída» en un segundo (4,9 metros).

En la figura 5.5 vemos la Tierra con su radio de 6.400 kilómetros, y la trayectoria tangencial en línea recta que hubiera seguido la bala si no hubiera ninguna fuerza. Ahora bien, si utilizamos uno de esos maravillosos teoremas de la geometría, que dice que nuestra tangente es la media proporcional entre las dos partes en que una cuerda igual divide al diámetro, vemos que la distancia horizontal recorrida es la media proporcional entre los 4,9 metros (0,0049 kilómetros) caídos y los 12.800 kilómetros de diámetro de la Tierra. La raíz cuadrada de 0,0049 × 12.800 está muy cercana a 8 kilómetros. Entonces vemos que si la bala se mueve a 8 kilómetros por segundo, continuará cayendo hacia la Tierra a la misma velocidad de 4,9 metros cada segundo, pero nunca estará más cerca de la Tierra porque la Tierra sigue curvándose por debajo de ella. Así es como Gagarin se mantuvo en el espacio mientras viajó 40.000 kilómetros alrededor de la Tierra a aproximadamente 8 kilómetros por segundo. (Él necesitó un tiempo un poco mayor porque estaba un poco más alto).

Cualquier gran descubrimiento de una nueva ley es útil sólo si podemos sacar más de lo que hemos introducido. Ahora bien, Newton utilizó la segunda y la tercera de las leyes de Kepler para deducir su ley de la gravitación. ¿Qué es lo que él predijo? En primer lugar, su análisis del movimiento de la Luna era una predicción porque relacionaba la caída de objetos en la superficie de la Tierra y la de la Luna. En segundo lugar, la pregunta es: ¿es la órbita una elipse? Veremos en un capítulo posterior cómo es posible calcular exactamente el movimiento, y de hecho podemos probar que debería ser una elipse, de modo que ningún hecho extra se necesita para explicar la primera ley de Kepler. Así es como Newton hizo su primera predicción poderosa.

La ley de la gravitación explica muchos fenómenos que no se entendían antes. Por ejemplo, la atracción de la Luna sobre la Tierra provoca las mareas, hasta entonces misteriosas. La Luna atrae el agua que hay debajo de ella y causa las mareas (había gente que había pensado antes en eso, pero no eran tan inteligentes como Newton y por ello pensaban que debería haber sólo una marea cada día). El argumento era que la Luna atrae el agua que está debajo de ella, dando lugar a una marea alta y una marea baja; y puesto que la Tierra está girando alrededor de su eje bajo la Luna, esto hace que la marea en un lugar suba y baje cada 24 horas. En realidad, la marea sube y baja cada 12 horas. Otra escuela de pensamiento afirmaba que la marea alta debería producirse en el lado opuesto de la Tierra porque, razonaban ellos, ¡la Luna atrae a la Tierra apartándola del agua! Ambas teorías son erróneas. Realmente funciona así: la atracción de la Luna hacia la Tierra y hacia el agua está «equilibrada» en el centro. Pero el agua que está más próxima a la Luna está más atraída que la media y el agua que está más alejada de la Luna es atraída menos que la media. Además, el agua puede fluir mientras que la Tierra es más rígida y no puede hacerlo. La imagen correcta es una combinación de estas dos cosas.

5.6 El sistema Tierra-Luna, con mareas.

¿Qué entendemos por «equilibrada»? ¿Qué es lo que equilibra? Si la Luna atrae a toda la Tierra hacia ella, ¿por qué la Tierra no «sube» directamente hacia la Luna? Porque la Tierra hace el mismo truco que la Luna, da vueltas en un círculo alrededor de un punto imaginario que está en el interior de la Tierra pero no en su centro. La Luna tampoco da vueltas exactamente alrededor de la Tierra, sino que la Tierra y la Luna giran alrededor de un punto central, cayendo cada una de ellas hacia este punto común, como se muestra en la figura 5.6. Este movimiento alrededor del centro común es el que equilibra la caída de cada una de ellas. Así pues, la Tierra tampoco sigue una línea recta; viaja en un círculo. El agua en el lado lejano está «desequilibrada» porque la atracción de la Luna allí es más débil que en el centro de la Tierra, donde justamente equilibra a la «fuerza centrífuga». El resultado de este desequilibrio es que el agua se eleva, alejándose del centro de la Tierra. En el lado próximo a la Luna, la atracción de ésta es más fuerte, y el desequilibrio está dirigido en dirección opuesta en el espacio, pero de nuevo alejándose del centro de la Tierra. El resultado neto es que tenemos dos abultamientos de marea.