En el capítulo 3 di una demostración de una versión del teorema de Gödel en apoyo de mi afirmación de que la comprensión humana debe implicar ingredientes que no pueden ser simulados mediante procedimientos computacionales. Pero la gente suele encontrar dificultad para apreciar la relevancia del teorema de Gödel para nuestra forma de pensar, incluso en el caso del pensamiento matemático. Una razón para esto es que, de acuerdo con la forma en que el teorema se presenta normalmente, el enunciado indemostrable real que genera el procedimiento de Gödel parece no tener relevancia para ningún resultado matemático de interés.
Lo que el teorema de Gödel nos dice es que para cualquier procedimiento de demostración computacional P (suficientemente extenso), que estamos dispuestos a considerar como incuestionablemente válido, es posible construir una proposición aritmética precisa G(P) cuya verdad también debemos aceptar como incuestionablemente establecida pero que es inaccesible mediante el procedimiento de demostración original P. La dificultad abordada aquí es que el enunciado matemático real G(P) que nos proporciona la aplicación directa de las prescripciones de Gödel sería enormemente difícil de aprehender y no tendría ningún interés matemático intrínseco obvio, aparte del hecho de que sabemos que es verdadero pero no derivable utilizando P. En consecuencia, incluso los matemáticos se sienten con frecuencia felices de pasar por alto enunciados matemáticos como G(P).
Pese a todo, existen ejemplos de enunciados de Gödel que son fácilmente accesibles, incluso para aquellos que no tienen una familiaridad particular con la terminología o la notación matemática más allá de la utilizada en la aritmética ordinaria. Un ejemplo particularmente sorprendente llamó mi atención en 1996, durante una conferencia de Dan Isaacson. Se trata del resultado conocido como Teorema de Goodstein.[A1.1] Creo que es instructivo exponer aquí explícitamente el teorema de Goodstein para que el lector pueda tener alguna experiencia directa de un teorema de tipo Gödel.[A1.2]
Para apreciar lo que afirma el teorema de Goodstein, consideremos cualquier número entero positivo, por ejemplo, 581. En primer lugar, expresamos este número como una suma de distintas potencias de 2:
581 = 512 + 64 + 4 + 1 = 29 + 26 + 22 + 20
(Esto es lo que habría que hacer para construir la representación binaria del número 581, a saber, 1001000101, donde los unos representan las potencias de 2 que están presentes en el desarrollo y los ceros, aquellas que están ausentes). Se advertirá que los exponentes en esta expresión (los números 9, 6 y 2) podrían representarse también de este modo: 9 = 23 + 20, 6 = 22 + 21, 2 = 21; y obtenemos (incorporando 20 = 1 y 21 = 2):
581 = 223 + 1 + 222 + 2 + 22 + 1.
Hay todavía un exponente en el orden siguiente, el 3, para el que esta representación puede ser adoptada una vez más (3 = 21 + 20), y podemos escribir:
581 = 222 + 1 + 1 + 222 + 2 + 22 + 1.[A1.3]
Para números más grandes, quizá tengamos que llegar al tercer orden o a órdenes mayores de exponentes.
Apliquemos ahora a esta expresión una sucesión de operaciones simples, consistente en alternar sucesivamente las dos siguientes: (a) aumentar la base en 1 y (b) restar 1.
La base mencionada en (a) es simplemente el número 2 en las expresiones precedentes, pero podemos encontrar representaciones similares para bases mayores: 3, 4, 5, 6, y así sucesivamente. Veamos qué sucede cuando aplicamos (a) a la última expresión dada más arriba para 581, de modo que todos los doses se convierten en treses. Obtenemos:
333 + 1 + 1 + 333 + 3 + 33 + 1
(que es, de hecho, un número de 40 dígitos, cuando se escribe en la forma normal, que empieza por 133027946…). A continuación, apliquemos (b), para obtener:
333 + 1 + 1 + 333 + 3 + 33
(que, por supuesto, sigue siendo un número de 40 dígitos, que empieza por 133027946…).
Apliquemos ahora (a) una vez más, para obtener:
444 + 1 + 1 + 444 + 4 + 44
(que es ahora un número de 618 dígitos, que empieza por 12926802…). La operación (b) de restar 1 proporciona ahora:
444 + 1 + 1 + 444 + 4 + 3 × 43 + 3 × 42 + 3 × 4 + 3
(donde los treses surgen de forma análoga a los nueves que aparecen en la notación ordinaria de base 10 cuando restamos 1 de 10.000 para obtener 9.999).
De nuevo repetimos la operación (a) sobre este último número, lo que da lugar entonces a:
555 + 1 + 1 + 555 + 5 + 3 × 53 + 3 × 52 + 3 × 5 + 3
(que tiene 10.923 dígitos y empieza por 1274…). Nótese que todos los coeficientes 3 que aparecen aquí son necesariamente menores que la base (ahora 5) y no son afectados por el incremento en la base. Aplicando (b) una vez más, obtenemos:
555 + 1 + 1 + 555 + 5 + 3 × 53 + 3 × 52 + 3 × 5 + 2
y continuamos esta alternancia (a), (b), (a), (b), (a), (b) hasta donde podamos. Los números parecen ser siempre crecientes, y sería natural suponer que esto continúa indefinidamente. Sin embargo, no es así; pues el notable teorema de Goodstein nos dice que, independientemente del número entero positivo del que partamos (aquí 581), ¡siempre terminaremos en cero!
Esto parece extraordinario. Pero, de hecho, es cierto y para hacerse a la idea, yo recomiendo que el lector lo ensaye partiendo primero de 3 (donde 3 = 21 + 1, de modo que nuestra secuencia es 3, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 0); pero luego, y más importante, partiendo de 4 (en cuyo caso tenemos 4 = 22, de modo que obtenemos una secuencia que empieza de forma aparentemente obediente con 4, 27, 26, 42, 41, 61, 60, 84, … pero que, después de alcanzar un número con 121.210.695 dígitos, decrece finalmente hasta cero).
Lo que es bastante más extraordinario es que el teorema de Goodstein es realmente un teorema de Gödel para el procedimiento que aprendemos en la escuela denominado inducción matemática.[A1.4] Recordemos que la inducción matemática proporciona una manera de demostrar que ciertos enunciados matemáticos S(n) son válidos para cualquier n = 1, 2, 3, 4, 5, … El procedimiento consiste en demostrar, primero, que el enunciado es válido para n = 1 y demostrar luego que si es válido para n, entonces debe ser también válido para n + 1. Un ejemplo familiar es el enunciado:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n = (1/2) n (n + 1).
Para demostrar esto por inducción matemática, establecemos primero que es cierto para n = 1 (obvio) y confirmamos luego que si la fórmula funciona para n, entonces también funciona para n + 1, lo que es ciertamente verdadero porque tenemos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n + (n + 1) = ((1/2) n (n + 1)) + (n + 1) = (1/2) (n + 1) ((n + 1) + 1).
Lo que Kirby y Paris demostraron, de hecho, era que si P representa el procedimiento de inducción matemática (junto con las operaciones aritméticas y lógicas ordinarias), entonces podemos volver a expresar G(P) en la forma del teorema de Goodstein. Este nos dice que si creemos que el procedimiento de inducción matemática es digno de confianza (lo que difícilmente es una hipótesis dudosa), entonces debemos creer también en la verdad del teorema de Goodstein, ¡pese al hecho de que no es demostrable por la sola inducción matemática!
La indemostrabilidad, en este sentido, del teorema de Goodstein no nos impide ciertamente ver que es, de hecho, verdadero. Nuestra intuición nos capacita para trascender los procedimientos limitados de demostración que anteriormente nos habíamos permitido. De hecho, la forma en que el propio Goodstein demostró su teorema consistía en utilizar un ejemplo de lo que se denomina inducción transfinita. En el contexto presente, esto proporciona un modo de dar forma a una intuición que puede ser obtenida directamente si uno mismo se familiariza con la razón por la que el teorema de Goodstein es, de hecho, verdadero. Esta intuición puede obtenerse en general examinando algunos casos individuales del teorema de Goodstein. Lo que sucede es que la modesta operación (b) roe sin descanso hasta que las torres de exponentes finalmente se vienen abajo, una a una, hasta que no queda ninguna, incluso si esto necesita un número de pasos increíblemente grande.
Lo que todo esto demuestra es que la cualidad de comprensión es algo que nunca podrá ser recogido en un conjunto específico de reglas. Además, la comprensión es una cualidad que depende de nuestra consciencia, de modo que, cualquier cosa que sea la responsable del conocimiento consciente, parece estar interviniendo esencialmente cuando la comprensión está presente. Así pues, nuestra consciencia parece ser algo que implica elementos que no pueden ser recogidos en reglas computacionales de ningún tipo; hay, de hecho, razones muy fuertes para creer que nuestras acciones conscientes son esencialmente procesos no computacionales.
Ciertamente, hay posibles vías de escape a esta conclusión, y los defensores del punto de vista filosófico computacional con respecto a la mentalidad consciente tendrían que recurrir a una o más de estas. Básicamente, estas vías de escape son que nuestra capacidad para la comprensión (matemática) podría ser el resultado de algún procedimiento de cálculo que es incognoscible debido a su complicación, o quizá cognoscible en principio pero no cognosciblemente correcto, o podría ser inexacto y sólo aproximadamente correcto. En Las sombras de la mente, capítulos 2 y 3, abordo todas estas posibles vías de escape con considerable detalle, y recomendaría esta discusión a cualquier lector interesado en seguir estas cuestiones con más atención. Algunos lectores podrían encontrar útil, primero, examinar mi informe en Psyche, beyond the doubting of a shadow.[A1.5]