Capítulo 5
Los cráteres de la Luna

La lógica del desarrollo del modelo de los mordiscos —con el que ha terminado el capítulo anterior— nos lleva ahora a los mordiscos del plano en forma de disco. Aunque su interés sea incomparablemente más general, vamos a introducir el tema mediante un comentario rápido, y un tanto seco, acerca del relieve lunar. Así, la Luna nos servirá como etapa en nuestro camino hacia los objetos celestes, que serán estudiados en el capítulo siguiente.

La palabra «cráter» implica un origen volcánico, pero nos será más fácil razonar adoptando los términos de otra teoría, que los atribuye al impacto de meteoritos. Cuanto mayor sea un meteorito, más grande y profundo será el agujero que produzca, pero un impacto grande puede borrar el rastro de otros menores anteriores, y un meteorito pequeño puede «descantillar» el reborde de un cráter grande más antiguo. Se dan, además, otras fuerzas que contribuyen a modificar la superficie de la Luna. A fin de cuentas, por lo que respecta a los orígenes y las áreas de los cráteres, hay que distinguir dos distribuciones distintas: la observada y la subyacente. Admitimos (¡y es una simplificación draconiana!) que los rebordes de los cráteres se borran súbitamente al cabo de un tiempo fijo, sin ninguna relación con su tamaño. Por lo que se refiere a las áreas de los cráteres, Marcus 1964 y Arthur 1954 demuestran que siguen una distribución hiperbólica de exponente γ próximo a 1. Admitimos que ésta es precisamente la distribución subyacente. Finalmente, razonamos en términos del plano, y no de la superficie de la esfera. Esto nos lleva a generalizar a dos dimensiones la construcción de los mordiscos aleatorios, con la que hemos terminado el Capítulo 4. Substituyendo los intervalos por discos, nos las arreglaremos para que todo sea isótropo (invariante por rotaciones del marco de referencia).

Un primer problema consiste en determinar si existen partes de la Luna que nunca sean recubiertas por un cráter. Si la respuesta es afirmativa, habrá que caracterizar la estructura geométrica del conjunto no recubierto. Hemos de señalar que ta hipótesis del desgaste brutal de los bordes significa que doblar la «duración» V de los cráteres antes de desgastarse equivale a doblar el número de cráteres en un área determinada

He aquí las respuestas a las preguntas anteriores. Para empezar, hay dos casos de poco interés matemático y que resultan no ser aplicables a la realidad, ¡lo cual no era evidente a priori! Cuando el exponente y de la ley de las áreas de los cráteres es menor que 1, entonces —sea cual sea la duración de un cráter— es casi seguro que el resultado del bombardeo meteorítico será que cualquier punto de la superficie de la Luna queda recubierto por lo menos por un cráter. Cuando γ > 1, cualquier cuadrado de superficie lunar tiene una probabilidad no nula de quedar fuera de la superficie recubierta por los cráteres. Dicha superficie tiene pues la apariencia de una loncha de queso Emmenthal: la canción que se enseña a los niños ingleses según la cual la Luna está hecha de queso verde, no se equivocaría de material, aunque sí de color y de origen. Cuanto mayor sea el valor de γ, menos numerosos serán los agujeritos, y más macizo será nuestro queso.

Vayamos ahora al caso interesante. Si γ = 1, y la duración V de los cráteres supera un cierto umbral V₀, también es casi seguro que no quedará ningún punto fuera de los cráteres. Si V > V₀ podemos decir simplemente que dicho conjunto no contiene cuadrado alguno —por pequeño que éste sea— y además, su área (definida como medida de Lebesgue), es igual a cero; finalmente, su dimensión tiende a 0 al aumentar V.

Cuando V es más pequeño que V₀, el conjunto de puntos no cubierto es fractal. Si V es muy pequeño, esta fractal es de dimensión próxima a 2 y tiene la forma de filamentos infinitamente bifurcados, que separan los agujeros, los cuales son pequeños y no se solapan demasiado. Acaso el aficionado reconozca conmigo una extrapolación ética de la estructura del queso suizo de Appenzell. Cuando V aumenta y D disminuye, se pasa progresivamente a un Emmenthal, evanescente también, pero esta vez por causa de grandes agujeros que, a menudo, tienen partes comunes. Este caso incluye, entre otros, muchos pedazos sueltos, rodeados de coronas vacías muy irregulares. Después, para un cierto D «crítico», la situación cambia cualitativamente: nuestros «filamentos» de queso se descomponen, y el conjunto no cubierto por ningún cráter se convierte en un polvo.

Estos últimos resultados están ilustrados en las Figuras 78 a 81. Superan con mucho en importancia el problema referente a los cráteres de la Luna.

LÁMINAS 78 y 79. Lonchas de «queso de appenzell fractal», con agujeros redondos aleatorios

FIGURA 78

Se quitan del plano una serie de mordiscos circulares, marcados en blanco, con los centros distribuidos al azar (distribución de Poisson) y los radios elegidos de manera que se asegure la homotecia interna estadística. Estos radios habrían tenido que ser aleatorios, pero en la práctica han sido elegidos con la forma Q/√ρ, siendo ρ el rango de un mordisco en la clasificación según radios decrecientes. Está permitido que un mordisco pequeño interese que seccione a otro mayor. No es sorprendente enterarse de que, si se sigue indefinidamente con el proceso descrito ahí arriba, lo que quede tendrá área nula, pero nuestra intuición no nos dice si realmente va a quedar alguna cosa y, en caso de que así sea, si el resto estará formado por filamentos conexos o por un polvo de puntos.

La respuesta a las preguntas que nos acabamos de plantear depende de Q; en particular, la dimensión D resulta ser igual a 2 − 2πQ².

Cuando Q es muy pequeño tenemos, por una parte, que los mordiscos sólo recubren el plano muy lentamente, y por otra, que el resto conserva una interconexión muy fuerte, como se ve en la figura 78, al que le encuentro un parecido con el queso suizo de Appenzell. Esta figura tiene una dimensión fractal de 1,99. En la figura 79, la dimensión fractal es ya D = 1,9, sin que hayamos cambiado la semilla del generador pseudoaleatorio; se han multiplicado las áreas de los mordiscos precedentes por una constante mayor que 1. El efecto es muy manifiesto: la interconexión del resto ha disminuido de un modo muy notable.

FIGURA 79

LÁMINAS 80 y 81. Lonchas de «queso de emmenthal fractal» con agujeros redondos aleatorios

Volvamos al procedimiento de la figura anterior, y sigamos disminuyendo D, sin cambiar de semilla y coloreando en negro los mordiscos. Con D = 1,75, el resultado es el ilustrado por la figura 80 (un Emmenthal un tanto vacío). Igualmente, el caso D = 1,5, ilustrado por la figura 81, es casi evanescente. Mientras sea D > 0 el «resto» tendrá medida nula pero no será vacío; sin embargo llegará a ser vacío si Q aumenta más allá de 1/√π, caso en el que el D formal definido por 2 − 2πQ² se hace negativo y deja de ser una dimensión.

FIGURA 80

FIGURA 81