En este ensayo, objetos naturales muy diversos, muchos de los cuales nos son familiares, tales como la Tierra, el Cielo y el Océano, se estudian con la ayuda de una amplia familia de objetos geométricos que hasta ahora habían sido considerados esotéricos e inutilizables, pero que, espero poder demostrar, por el contrario, que, por la simplicidad, la diversidad y la extensión extraordinarias de sus nuevas aplicaciones, merecen ser integrados pronto en la geometría elemental. Si bien su estudio corresponde a diferentes ciencias, la geomorfología, la astronomía y la teoría de la turbulencia, entre otras, los objetos naturales en cuestión tienen en común el hecho de poseer una forma sumamente irregular o interrumpida; a fin de estudiarlos, he concebido, puesto a punto y utilizado extensamente una nueva geometría de la naturaleza. El concepto que hace el papel de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos sinónimos, «objeto fractal» y «fractal», términos que he inventado, para las necesidades de este libro, a partir del adjetivo latino fractus, que significa «interrumpido o irregular».
¿Hace falta definir de manera rigurosa lo que es una figura fractal para luego decir que un objeto real es fractal si lo es la figura que conforma su modelo? Pensando que tal formalismo sería prematuro, he adoptado un método muy distinto, basado en una caracterización abierta, intuitiva, y procediendo por toques sucesivos.
El subtítulo subraya que mi meta inicial es descubrir, desde fuera, la forma de diversos objetos. Sin embargo, una vez que se supera esta primera fase, la prioridad pasa inmediatamente de la descripción a la explicación: de la geometría a la dinámica, a la y aun más allá.
El subtítulo indica también que, para engendrar la irregularidad fractal, hago hincapié en construcciones dominadas por el azar.
Finalmente, el subtítulo anuncia que una de las características principales de cualquier objeto fractal es su dimensión fractal, que se denotará por D y mide su grado de irregularidad e interrupción. No obstante, al contrario de las dimensiones habituales, la dimensión fractal puede muy bien ser una fracción simple, como 1/2 ó 5/3, e incluso un número irracional, como log 4/log 3 ~ 1,2618… ó π. Así, resulta útil decir que para ciertas curvas planas muy irregulares la dimensión fractal está entre 1 y 2, o decir que para ciertas superficies muy hojaldradas y llenas de convoluciones la dimensión fractal es intermedia entre 2 y 3, y finalmente definir polvos sobre la recta cuya dimensión fractal está entre 0 y 1.
En algunas obras matemáticas que se refieren a ellas, se dice que ciertas figuras conocidas, que yo incorporo entre las fractales, tienen «dimensión fraccionaria». Este término, sin embargo, es confuso, pues no se suele calificar, por ejemplo, el número π de fracción. Más aún, hay entre las fractales no pocos objetos irregulares o interrumpidos que satisfacen D = 1 ó D = 2, y sin embargo no se parecen en nada ni a una recta, ni a un plano. Una de las finalidades del término «fractal» es eliminar las dificultades generalmente asociadas al término «fraccionario».
A fin de sugerir qué objetos han de ser considerados fractales, empecemos por recordar que, en su esfuerzo por descubrir el mundo, la ciencia procede por series de imágenes o modelos cada vez más «realistas». Los más simples son continuos perfectamente homogéneos, como un hilo o un cosmos de densidad uniforme, o un fluido de temperatura, densidad, presión y velocidad también uniformes. La física ha podido triunfar identificando numerosos dominios en los que tales imágenes son sumamente útiles, particularmente como bases a las que a continuación se añaden términos correctivos. Pero en otros dominios, la realidad se revela tan irregular, que el modelo continuo y perfectamente homogéneo fracasa y no puede servir ni tan sólo como primera aproximación. Se trata de los dominios en los que la física ha fracasado y de los que los físicos prefieren no hablar. (P.S. Esto era verdad en 1975, pero hoy lo es cada vez menos). Para presentar estos dominios y al mismo tiempo dar una primera indicación del método que he propuesto para abordarlos, voy a citar ahora algunos párrafos del poco conocido prólogo de una obra célebre, Les Atomes (Perrin 1913).
Donde Jean Perrin evoca unos objetos familiares de forma irregular o interrumpida
«… más bien dirigidos al lector que acaba de terminar este libro que al que lo va a comenzar, quisiera hacer algunos comentarios cuyo interés puede ser el dar una justificación objetiva a ciertas exigencias lógicas de los matemáticos.
»Todos sabemos cómo, antes de dar una definición rigurosa, se hace observar a los principiantes que ellos mismos tienen ya la idea de la continuidad. Se traza ante ellos una curva bien clara, y se dice, aplicando una regla contra su contorno: “Veis como en cada punto hay una tangente”. O también, para sentar la noción más abstracta de la verdadera velocidad de un móvil en un punto de su trayectoria, se dirá: “Estáis de acuerdo, verdad, con que la velocidad media entre dos puntos próximos de esta trayectoria acaba por no variar apreciablemente cuando dichos puntos se acercan entre sí indefinidamente”. Y, en efecto, son muchos los que, recordando que para ciertos movimientos usuales parece que es así, no ven que esto entraña grandes dificultades.
»Los matemáticos, sin embargo, han comprendido muy bien la falta de rigor de estas consideraciones geométricas, y lo pueril de, por ejemplo, intentar demostrar, trazando una curva, que toda función continua admite una derivada. Si bien las funciones derivables son las más simples, las más fáciles de manejar, constituyen a su vez, la excepción; o bien, si se prefiere un lenguaje geométrico, las curvas que no admiten tangente son la regla, y las curvas regulares, tales como el círculo, son casos interesantísimos, pero particularísimos.
»A primera vista, esas restricciones no parecen sino un ejercicio intelectual, sin duda ingenioso, pero, en definitiva, artificial y estéril, de quien lleva hasta la manía el deseo de un rigor perfecto. Y como ocurre la mayoría de las veces, aquéllos a quienes se habla de curvas sin tangente o de funciones sin derivada empiezan pensando la naturaleza no presenta tales complicaciones y que, evidentemente, no nos sugiere esas ideas.
»Sin embargo, lo cierto es lo contrario, y la lógica de los matemáticos les ha mantenido más cerca de la realidad que las representaciones prácticas empleadas por los físicos. Esto puede ya comprenderse pensando, sin haber tomado previamente partido simplificador, en ciertos datos experimentales.
»Se presentan en abundancia tales datos al estudiar los coloides. Observamos, por ejemplo, uno de esos copos blancos que se obtienen al salar el agua jabonosa. De lejos, su contorno puede parecer claro, pero tan pronto como uno se acerca un poco, esa claridad desaparece. El ojo no consigue ya determinar la tangente en un punto cualquiera: una recta que lo pareciera a primera vista, parecerá también, con un poco más de atención, perpendicular u oblicua al contorno. Si uno toma una lupa, o un microscopio, la incertidumbre no se desvanece, pues cada vez que se incrementa el aumento, se ven aparecer nuevas anfractuosidades, sin que se llegue nunca a sentir la impresión tranquilizadora y clara que da, por ejemplo, una bola de acero pulido. De manera que, si dicha bola da una idea útil de la continuidad clásica, lógicamente también nuestro copo puede sugerir la noción más general de las funciones continuas sin derivada.
»Y lo que hay que tener muy en cuenta es que la incertidumbre en la posición del plano tangente en un punto del contorno no es de hecho del mismo orden que la incertidumbre que habría para determinar la tangente en un punto del litoral de Bretaña, según se utilizara para ello un mapa de tal o cual escala. Según la escala, la tangente cambiaría, pero cada vez habría una. El mapa es un dibujo convencional, en el que, por la propia construcción, cada línea tiene tangente. Por el contrario, la característica esencial de nuestro copo (igual que el resto del litoral, si en vez de estudiarlo con un mapa se lo mirara directamente de más o menos lejos) es que, a cualquier escala, se suponen, sin verlos del todo bien, detalles que impiden definitivamente determinar una tangente.
»Seguiremos aún en la realidad experimental si, mirando por el microscopio, observamos el movimiento browniano que agita cualquier pequeña partícula en suspensión en un fluido. Para fijar una tangente a su trayectoria, tendríamos que encontrar un límite, por lo menos aproximado, a la dirección de la recta que une las posiciones de dicha partícula en dos instantes sucesivos muy próximos. Ahora bien, hasta donde permite llegar la experiencia, esta dirección varía locamente cuando se disminuye el tiempo transcurrido entre ambos instantes. De modo que lo que este análisis sugiere al observador sin prejuicios es la función sin derivada y no, en absoluto, la curva con tangente».
P.S. Dos grados de orden en el caos: el orden euclídeo y el orden fractal
Dejemos la lectura de Perrin (que se puede continuar en Les Atomes, o en mi edición de 1975), para describir la importancia histórica de estas últimas observaciones. Hacia 1920, deberían transtornar al joven Norbert Wiener y lo estimularían en la construcción de su modelo probabilístico del movimiento browniano. Hablaremos mucho de ello en este ensayo. Y desde ahora tomaremos de Wiener un término al que tenía afición para denominar una forma extrema del desorden natural. La palabra es «caos», y nos permite apreciar que Perrin hizo dos observaciones distintas. Por una parte, que la geometría de la naturaleza es caótica y está mal representada por el orden perfecto de las formas usuales de Euclides o del cálculo diferencial. Por otra, que dicha geometría más bien evoca la complicación de las matemáticas creadas hacia 1900.
Desgraciadamente, la influencia de estas observaciones de Perrin parece haber terminado con su efecto sobre Wiener. Es la obra de Wiener la que ha sido mi principal fuente de inspiración, y la filosofía de Perrin no me ha llegado más que cuando este ensayo estaba siendo sometido a las últimas correcciones. Como ocurre a veces, el dominio fractal había emergido (sin nombre) cuando abordé ciertos fenómenos caóticos completamente modestos por medio de técnicas matemáticas reputadas de «avanzadas», con las que el azar me había familiarizado. Después surgió una nueva tarea fractal, lejos de la primera, y no fue hasta mucho más tarde que estas tareas —que se habían multiplicado— se fundieron en una nueva disciplina. La geometría fractal se caracteriza por dos elecciones: la elección de problemas en el seno del caos de la naturaleza, pues describir todo el caos sería una ambición sin esperanza ni interés, y la elección de herramientas en el seno de las matemáticas, pues buscar aplicaciones a las matemáticas por la única razón de su belleza, no ha producido otra cosa que sinsabores.
Con su maduración progresiva, esas dos elecciones han creado algo nuevo: entre el dominio del caos incontrolado y el orden excesivo de Euclides, hay a partir de ahora una nueva zona de orden fractal.
Conceptos propuestos como solución: dimensión efectiva, figura y dimensión fractales
La trayectoria del movimiento browniano es la más simple de entre las fractales, sin embargo el modelo propuesto por Wiener presenta ya la característica sorprendente de que se trata de una curva continua cuya dimensión fractal toma un valor enteramente anormal, a saber D = 2.
El concepto de dimensión fractal forma parte de una cierta matemática que fue creada entre 1875 y 1925. Más generalmente, una de las metas del presente ensayo consiste en mostrar cómo la colección de figuras geométricas creadas en aquella época, colección que Vilenkin 1965 califica de «Musée d’Art» matemático, y que otros califican de «Galerie des Monstres», puede visitarse también como «Palais de la Découverte». Esta colección ha sido incrementada en gran medida por mi maestro Paul Lévy (grande hasta en lo que tenía de anacrónico, como explico en el Capítulo 15), enfatizando el papel del azar.
A estas figuras geométricas nunca se les ha dado una oportunidad en la enseñanza: todo lo más, han dejado de ser un espantajo «moderno» para llegar a ser un ejemplo demasiado especial para merecer que uno se detenga a considerarlo en detalle. En este ensayo quiero darlas a conocer a través de las utilizaciones que les he encontrado. Muestre cómo el caparazón formalista que las ha aislado ha impedido que se revelara su verdadero sentido, cómo estas figuras tienen algo de extraordinariamente simple, concreto e intuitivo. No sólo pruebo que son realmente útiles, sino que pueden utilizarse prontamente, con un aparato muy ligero, sin necesidad de que uno tenga que meterse en casi ninguno de sus preliminares formales, de los que la experiencia demuestra a menudo que los que no lo ven como un desierto infranqueable acaban pronto considerándolos como un edén que no abandonarían jamás.
Estoy profundamente convencido de que la abstracción forzada, la importancia dada a la formalización, y la proliferación de los conceptos y términos, hacen a menudo más mal que bien. No soy el último que lamenta que las ciencias menos exactas, aquéllas cuyos mismos principios son los menos seguros, sean axiomatizadas, rigorizadas y generalizadas con suma pulcritud. Estoy encantado, por lo tanto, de poder discutir muchos ejemplos nuevos, para los que las relaciones entre forma y contenido se presentan de una manera clásicamente íntima.
Antes de pasar a las dimensiones que pueden ser fraccionarias, hemos de comprender mejor la noción de dimensión, desde el punto de vista de su papel en la física.
Para empezar, la geometría elemental nos enseña que un punto aislado, o un número finito de puntos, constituyen una figura de dimensión 0; que una recta, así como cualquier otra curva standard —este epíteto significa que se trata de la geometría euclídea usual— constituyen figuras de dimensión 1; que un plano, y cualquier otra superficie ordinaria, son figuras de dimensión 2; que un cubo tiene dimensión 3. A todo esto, los matemáticos, desde Hausdorff 1919, han añadido que para ciertas figuras ideales se puede decir que su dimensión no es un entero sino una fracción, como por ejemplo 1/2, 3/2, 5/2, ó, más a menudo, un número irracional tal como log 4/log 3 ~ 1,2618, o incluso la solución de una ecuación complicada.
Para caracterizar tales figuras, puede decirse de entrada, hablando toscamente, que una figura cuya dimensión esté entre 1 y 2 ha de ser más «deshilada» que una superficie ordinaria, pero más «maciza» que una línea ordinaria. En particular, si se trata de una curva, ¿no debería tener una superficie nula pero una longitud infinita? O bien, si su dimensión está entre 2 y 3, ¿no debería tener un volumen nulo? Este ensayo empieza pues por mostrar ejemplos de curvas que no tienden al infinito, pero cuya longitud entre dos puntos cualesquiera es infinita.
El formalismo esencial, por lo que a la dimensión fractal se refiere, está publicado desde hace mucho tiempo, pero sigue siendo asunto de un grupo limitado de expertos, incluso entre los matemáticos puros. Se solía leer por ahí la opinión de que tal o cual figura, a la que llamo fractal, es tan bonita que, seguramente, tendrá que servir para algo; pero esas opiniones no expresaban más que una vaga esperanza, mientras que los capítulos que vienen a continuación proponen realizaciones efectivas, que desembocan en teorías que están en pleno desarrollo. Cada capítulo trata de una clase de objetos concretos, de los que se puede decir, al igual que para las figuras ideales a las que acabamos de aludir, que su dimensión física efectiva tiene un valor anormal.
Pero ¿qué es exactamente una dimensión física efectiva? Hay ahí una noción intuitiva que se remonta a un estudio arcaico de la geometría griega, pero que merece ser reconsiderada, elaborada y vuelta a poner en un lugar de honor. Se refiere a las relaciones entre las figuras y los objetos, refiriéndose la primera palabra a las idealizaciones matemáticas, y la segunda a los datos de la realidad. En esta perspectiva, objetos tales como una bolita, un velo o un hilo —por finos que sean— habrían de representarse por figuras tridimensionales, con el mismo derecho que una bola grande.
Sin embargo, cualquier físico sabe que, de hecho, hay que proceder de un modo distinto, y que es mucho más útil considerar que las dimensiones de un velo, un hilo o una bola, en el supuesto de que sean suficientemente finos, se acercan más a 2, 1 y O, respectivamente.
Precisemos más la segunda afirmación que acabamos de hacer: expresa que, para describir un hilo, no se pueden utilizar directamente ni las teorías que se refieren a la bola_, ni las que se refieren a la línea ideal. En ambos casos hay que traducir «términos correctivos» y lo que sí es cierto es que se preferirá el modelo geométrico para el que las correcciones sean menores; con suerte, tales correcciones son tan pequeñas que, aun suprimiéndolas, el modelo sigue dando una buena idea de lo que se está estudiando. En otras palabras, la dimensión física tiene inevitablemente una base pragmática, y por tanto subjetiva; depende del grado de resolución.
A modo de confirmación, demostremos cómo un ovillo de 10 cm de diámetro, hecho con hilo de 1 mm de sección, tiene, de una manera por así decirlo latente, varias dimensiones efectivas distintas. Para un grado de resolución de 10 metros es un punto, y por lo tanto una figura de dimensión cero; para el grado de resolución de 10 cm es una bola tridimensional; para el grado de resolución de 10 mm es un conjunto de hilos, y tiene por consiguiente dimensión 1; para el grado de resolución de 0,1 mm cada hilo se convierte en una especie de columna, y el conjunto vuelve a ser tridimensional; para el grado de resolución de 0,01 mm cada columna se resuelve en fibras filiformes y el conjunto vuelve a ser unidimensional; a un nivel más fino de este análisis, el ovillo se representa por un número finito de átomos puntuales, y el conjunto tiene de nuevo dimensión cero. Y así sucesivamente: ¡el valor de la dimensión no para de dar saltos!
El hecho de que un resultado numérico dependa así de la relación entre objeto y observador no es algo extraño a la física de este siglo. Este hecho es incluso una ilustración particularmente ejemplar de la misma. Por ejemplo, allí donde un observador ve una zona bien separada de sus vecinas, con su D característica, un segundo observador no verá más que una zona de transición gradual, que quizá no merezca un estudio separado.
Los objetos de los que trata este ensayo tienen, también, toda una serie de dimensiones distintas: la novedad consistirá en que allí donde —hasta ahora— uno no encontraba sino zonas de transición, sin una estructura claramente determinada, las identifico con las zonas fractales, cuya dimensión es, bien una fracción, bien un entero «anormal», que indica también un estado irregular o interrumpido. Acepto de buena gana que la realidad de una zona no está plenamente establecida hasta que no ha sido asociada a una verdadera teoría deductiva. Reconozco también que, exactamente igual que las entidades de Guillermo de Occam, las dimensiones no deben multiplicarse más allá de lo necesario, y que ciertas zonas fractales, en particular, pueden ser demasiado estrechas para ser dignas de distinción. Lo mejor será dejar el examen de estas dudas hasta el momento en que hayamos descrito bien su objeto.
Ya es hora de que precise de qué dominios de la física tomo mis ejemplos. Es bien sabido que uno de los primeros problemas formales que el hombre se ha planteado es la descripción de la Tierra. En manos de los griegos, la «geo-metría» dio paso a la geometría matemática. Sin embargo —¡como suele ocurrir en el desarrollo de las ciencias!— la geometría matemática olvidó muy pronto sus orígenes, sin apenas haber escarbado la superficie del problema inicial. Pero por otra parte ——cosa asombrosa, aunque uno se haya acostumbrado a ello— se reveló, «en las ciencias, de una eficacia increíble», según la bella expresión de Wigner 1960, «un regalo maravilloso, que no comprendemos ni merecemos, por el que debemos estar agradecidos, y del que debemos esperar que… continuará aplicándose, para bien o para mal, para nuestro gusto y quizá también para nuestro asombro, a grandes ramas del conocimiento». Por ejemplo, la geometría, exactamente tal como salió de los griegos, ha conseguido explicar triunfalmente el movimiento de los planetas, aunque siga teniendo dificultades con la distribución de las estrellas. De] mismo modo, sirvió para explicar el movimiento de las mareas y las olas, pero no la turbulencia atmosférica ni la oceánica.
En suma, nos ocupamos en primer lugar de objetos muy familiares pero demasiado irregulares para caer en el dominio de esta geometría clásica: la Tierra, la Luna, el Cielo, la Atmósfera y el Océano.
En segundo lugar, consideramos brevemente diversos objetos que, sin sernos familiares, echan luz acerca de la estructura de los que nos lo son. Por ejemplo, la distribución de los errores en ciertas líneas telefónicas resulta ser una excelente herramienta de transición. Otro ejemplo: la articulación de moléculas orgánicas en los jabones (sólidos, sin estar desechos en burbujas). Los físicos han establecido que dicha articulación está regida por un exponente de semejanza, y resulta que este exponente es una dimensión fractal. Si hubiera que generalizar este último ejemplo, el dominio de aplicación de las fractales entraría en contacto con la teoría de los fenómenos críticos, un dominio particularmente activo en la actualidad.
(P.S. Esta predicción se ha cumplido).
Todos los objetos naturales citados son «sistemas», en el sentido de que están formados por muchas partes distintas, articuladas entre ellas, y la dimensión fractal describe un aspecto de esta regla de articulación. Pero la misma definición es igualmente aplicable a los «artefactos». Una diferencia entre los sistemas naturales y los artificiales es que, para conocer los primeros hay que utilizar la observación o la experiencia, en tanto que, para los segundos, se puede interrogar al artífice. Sin embargo, hay artefactos muy complejos, en los que han concurrido tantas intenciones, y de un modo tan incontrolable, que el resultado acaba siendo, por lo menos en parte, un «objeto de observación». En el Capítulo 11 veremos un ejemplo de ello, en el que la dimensión fractal juega un cierto papel, a saber, un aspecto de la organización de ciertos componentes de ordenador.
Examinamos finalmente el papel de la dimensión fractal en ciertos árboles de clasificación, que intervienen en la explicación de la ley de frecuencias de las palabras en el habla, así como en ciertos árboles jerárquicos que se utilizan para explicar la distribución de una de las formas de renta personal.
Este ensayo mezcla deliberadamente la divulgación y el trabajo de investigación
Una vez esbozado el objeto de este ensayo, nos queda ahora por examinar el estilo.
Se ha hecho un esfuerzo constante para subrayar tanto la diversidad de los temas tocados, como la unidad aportada por las fractales. Se ha hecho también un esfuerzo para desarrollar todos los problemas desde el principio, a fin de que el texto sea accesible a un público no especializado. Finalmente, para no asustar inútilmente a aquellos que no estén interesados en la precisión matemática, las definiciones se han remitido al Capítulo 14. De acuerdo con esto, se trata de una obra de divulgación.
Además, este ensayo tiene alguna apariencia de trabajo de erudición, debido al gran número de pistas históricas que he procurado seguir. Esto no suele darse en ciencia, y más si se tiene en cuenta que me he percatado de la mayoría de estas pistas demasiado tarde para que hayan influido en lo más mínimo en el desarrollo de mis trabajos. Pero la historia de las ideas me apasiona. Además, la novedad de mis principales tesis ha sido confirmada demasiado a menudo por la incredulidad malévola que han encontrado de entrada; de ahí la necesidad de buscarles un arraigo. Sin embargo —¿hay que insistir en ello?— la búsqueda de los orígenes está sujeta a controversia. Por cada autor antiguo en el que encuentro una buena idea bien expresada, corro el riesgo de encontrar un contemporáneo —a veces la misma persona en un contexto distinto— desarrollando la idea contraria. ¿Se puede alabar a Poincaré por haber concebido a los 30 años ideas que él mismo iba a condenar a los 55, sin acordarse, al parecer, de sus pecados de juventud? ¿Y qué hacer si los argumentos a favor hubieran sido tan débiles como los contrarios, y si nuestros autores se hubieran contentado con apuntar unas ideas sin tomarse la molestia de defenderlas y hacerlas aceptar? Si nuestros autores hubieran sido descuidados, ¿hay que apresurarse a relegarlos a ambos al olvido? ¿O bien hay que atribuir un poquito de gloria póstuma a aquél que se aprueba, incluso (¿sobretodo?) aunque hubiera sido un incomprendido? ¿Hay que resucitar, además, personajes cuyo rastro había desaparecido porque, de la misma forma que sólo se presta a los ricos, a menudo la obra de uno no es aceptada más que gracias a la autoridad superior de otro, que la adopta y la hace sobrevivir bajo su nombre? Stent 1972 nos incita a concluir que el ser un avanzado a la propia época no merece sino la compasión del olvido. Por mi parte, sin intención de resolver los problemas del papel de los precursores, he procurado conservar los lazos con el pasado, y subrayo algunos de ellos en los bosquejos biográficos del Capítulo 15.
Sin embargo, la meta esencial de este Ensayo es fundar una nueva disciplina científica. De entrada, el tema general, el de la importancia concreta de las figuras de dimensión fraccionaria, es completamente nuevo. Más concretamente, casi todos los resultados que se van a comentar se deben en gran parte, o en su totalidad, al autor de este Ensayo. Algunos son inéditos. Se trata pues, por todo ello, de una presentación de trabajos de investigación.
¿Era necesario reunirlos así? ¿Había que intentar divulgar unas teorías apenas acabadas de nacer? Mi esperanza es que el lector juzgue por sí mismo.
Antes de animar al lector a conocer nuevos útiles del pensamiento, creo necesario y justo caracterizar cuál va a ser, en mi opinión, la contribución de los mismos. El progreso de los formalismos matemáticos nunca ha sido mi objetivo fundamental y, de todos modos, lo que yo haya podido contribuir en este sentido no tiene cabida en este Ensayo.
Algunas aplicaciones menores simplemente han formalizado y dado nombre a conceptos ya conocidos. Si (frustrando mis esperanzas) este primer paso no va seguido de otros, no tendrá sino un interés estético o cosmético. Al ser las matemáticas un lenguaje, no sólo pueden servir para informar, sino también para seducir, y hay que guardarse de los conceptos que Henri Lebesgue ha calificado tan acertadamente de «ciertamente nuevos, pero que no sirven para otra cosa que para ser definidos».
Afortunadamente, mi empresa ha salvado este riesgo. En efecto, en la mayoría de casos los conceptos de objeto fractal y dimensión fractal son enteramente positivos, y contribuyen a despejar algo fundamental. Parafraseando a H. Poincaré, no atacan cuestiones que uno se plantea sino cuestiones que se plantean por sí solas con insistencia. A fin de subrayarlo, me esfuerzo en la medida de lo posible en partir de lo que pudiera llamarse una paradoja concreta. Preparo la escena mostrando cómo datos experimentales obtenidos por caminos distintos parecen estar en contradicción; si resulta que cada uno de ellos es incontestable, ahogo por hacer aceptar que el marco conceptual inconsciente, en cuyo seno son interpretados, es radicalmente inadecuado. Termino resolviendo cada una de estas paradojas mediante la introducción de una fractal y una dimensión fractal —traídos sin dolor y casi sin darse cuenta.
El orden de presentación está regido simplemente por la comodidad de la exposición. Por ejemplo, esta obra comienza con problemas acerca de los que probablemente el lector no habrá reflexionado. Esto le habrá preservado de tener prejuicios al respecto. Además, el final de la discusión entablada en los Capítulos 2 y 3 tiene lugar en el Capítulo 7, en un momento en que el lector ya estará habituado al modo de pensar fractal.
La exposición es facilitada por multitud de ejemplos. En efecto, tenemos un buen número de temas distintos a explorar y resulta que cada teoría fractal los aborda en un orden diferente. Por consiguiente, todos esos temas van a encontrarse sin dificultad, aunque no me propongo desarrollar más que las partes de cada que no presenten grandes dificultades técnicas.
Hago notar que algunos pasos, más complicados que la media de la exposición, pueden saltarse sin perder el hilo del argumento. Las figuras se reunido al final de cada capítulo. Los pies de figura incluyen numerosos complementos al texto, y forman por tanto parte integrante del conjunto, mientras que varios complementos de carácter matemático se han remitido al Capítulo 14.