Los matemáticos recurren a menudo al aforismo de Gauss, «cuando un edificio está acabado nadie es capaz de ver ningún rastro de los andamios», como excusa para descuidar los móviles que se esconden tras su propio trabajo y tras la historia de su campo. Por suerte, el sentimiento contrario está ganando adeptos, y en numerosos apartados de este ensayo se puede ver de qué lado están mis simpatías. Sin embargo, me quedan algunas historias más largas con las que instruir y entretener al lector. Incluyen fragmentos reunidos en incursiones a bibliotecas inspiradas por mi actual pasión por Leibniz y Poincaré.

Hace tiempo que ya no son necesarias las referencias a Aristóteles y Leibniz en los libros serios. Pero este apartado no es una broma, por inesperado que pueda resultar, incluso para el propio autor. Varias ideas básicas sobre fractales pueden ser consideradas realizaciones matemáticas y científicas de conceptos potentes, aunque vagos, que se remontan a Aristóteles y Leibniz, las cuales impregnan nuestra cultura y afectan incluso a quienes piensan que no están sometidos a influencias filosóficas.

La primera indicación me llegó por una observación de Bourbaki (1960): la idea de la integro-diferenciación fraccionaria, descrita en el capítulo 27, se le ocurrió a Leibniz tan pronto hubo desarrollado su versión del cálculo e inventado las notaciones d^kF/dx^k y (d/dx)^kF. En traducción libre de una carta de Leibniz a L’Hôpital, de fecha 30 de septiembre de 1695 (Leibniz 1849-, II, XXIV, 197 sigs.): «Parece ser que Jean Bernouilli le ha contado que yo le había hablado de una maravillosa analogía que permite decir en cierto modo que las diferenciales sucesivas están en progresión geométrica. Uno podría preguntarse que sería una diferencial que tuviera una fracción por exponente. Ya ve que el resultado se puede expresar por medio de una serie infinita. Aunque todo ello parezca extraño a la Geometría, que todavía no sabe de tales exponentes fraccionarios, está claro que un día estas paradojas traerán consecuencias útiles, pues raramente hay una paradoja sin utilidad. Ideas que en sí son poco importantes pueden dar lugar a otras más bellas». Elaboraciones posteriores fueron comunicadas a Jean Bernouilli el 28 de diciembre de 1695 (Leibniz 1849-, III. 1, 226 sigs.).

Mientras Leibniz pensó mucho en esos temas, Newton nunca los tuvo en cuenta en sus ideas sobre el cálculo, y había buenas razones para un enfoque tan diferente. En efecto (véase The Great Chain of Being, Lovejoy, 1936), Leibniz estaba profundamente convencido de lo que llamaba «principio de continuidad» o de «plenitud». Aristóteles ya había creído que el vacío entre dos especies vivas cualesquiera se podía llenar continuamente con otras especies. Le fascinaban por ello los animales «intermedios», a los que designó con una voz especial (de la que tuve noticias por G. E. R. Lloyd), επαμϕοτειζειυ. Véase también el apartado de este capítulo que trata de «Natura non facit saltus».

Este principio de continuidad reflejaba (¿o acaso justificaba?) la creencia en «eslabones perdidos» de todas clases, incluidas las quimeras en el sentido del término en la mitología griega: bestias con cabeza de león y cuerpo de cabra —¡y también con cola de dragón y que escupían fuego por sus fauces! (¿Habría que hablar de las quimeras en este libro? Si llegara a leer que es una relación fractalmente escrita de ideas quiméricas, sabré a quién echarle la culpa).

Naturalmente, la búsqueda de los orígenes últimos por parte de la teoría atómica moderna se ha decantado por la tradición contraria de la filosofía griega, la de Demócrito. Y la tensión entre estas dos fuerzas opuestas sigue jugando un papel creativo central en nuestro pensamiento. Nótese que en cierto modo el polvo de Cantor le quita pólvora a una antigua paradoja: es divisible indefinidamente sin ser continuo. Por cierto, en la tradición cultural hebrea, las quimeras se rechazaban o se ignoraban, como se demuestra desde un ángulo sorprendente en Soler (1973).

Las quimeras biológicas acabaron desacreditadas, pero esto no importa. En la matemática, la idea de Aristóteles se aplica en la interpolación de la sucesión de números enteros por medio de cocientes de enteros, y luego por los límites de cocientes de enteros. En esa tradición, todo fenómeno descrito por una sucesión de enteros es susceptible de interpolación. Así pues, la prisa de Leibniz por hablar de diferenciales fraccionarias obedecía a una idea que estaba alojada en el mismo centro de su pensamiento (y que estaba en la base de su relleno del círculo, capítulo 18).

Ahora bien ¿qué hay de Cantor, Peano, Koch y Hausdorff? Al crear sus conjuntos monstruosos, ¿no estaban los tres primeros ocupados en convertir en realidad quimeras matemáticas? ¿Y no deberíamos de considerar la dimensión de Hausdorff como una escala con la que ordenar esas quimeras? Los matemáticos de hoy no leen a Leibniz ni a Kant, pero sí lo hacían los estudiantes de 1900. Así, después de leer la estrofa de Jonathan Swift en el apartado sobre RICHARDSON del capítulo anterior, podemos imaginar a Helge von Koch construyendo su curva copo de nieve con el siguiente talante. Define una «gran pulga» como el triángulo original de la lámina 70. Luego coloca una «pulga» triangular menor centrada en medio de cada lomo de la pulga grande; a continuación, pulgas triangulares menores allí donde sea posible en los lomos de las pulgas, ya sean nuevas o viejas. Y así sigue también indefinidamente. Aunque no tengo pruebas de que esto haya ocurrido así realmente, sirve para ilustrar lo que quiero decir. Koch no podía estar fuera de la influencia de las corrientes culturales derivadas del pensamiento de Leibniz. Y la parodia de Swift refleja algunas explicaciones divulgativas de su filosofía.

A continuación, dejaremos los matemáticos que se interesan en el arte por el arte (y convencidos, en palabras de Cantor, de que «la esencia de la matemática es la libertad») para centrarnos en hombres que celebran la naturaleza intentando imitarla.

No soñarían en quimeras, ¿o sí? En realidad muchos de ellos lo hacen. En el capítulo 10 nos hemos referido a los estudiosos prácticos de la turbulencia, fracasando en sus esfuerzos por decidir si el proceso que estudian se concentra en «guisantes, spaghetti o lechugas», irritándose porque parece como si planteando las preguntas de modos diferentes se obtengan respuestas distintas, y acabando con una demanda de figuras «a mitad de camino» entre las líneas y las superficies. En el capítulo 35 se habla de otra banda de buscadores del «a mitad de camino», entre quienes estudian el agrupamiento de las galaxias, que tienen que describir la textura de ciertas figuras que «parecen tener forma de río» aun cuando están formadas por puntos aislados. ¿Sería artificial revelar a estos juiciosos buscadores, inconscientes de estar interesándose en escritos antiguos y viejas pesadillas griegas, que están siguiendo el camino trillado que lleva a las quimeras?

Y todavía encontramos, en el estudio de la agregación estelar y galáctica, un indicio más que señala los orígenes comunes de los cantorianos y los richardsonianos. He aquí un tema delicado para quienes investigan los orígenes de los conceptos, puesto que los astrónomos profesionales están poco dispuestos a reconocer cualquier influencia de la chusma de los astrónomos aficionados, «por atractivas que sus concepciones puedan ser en su grandiosidad» (citando a Simón Newcomb). Esta aversión podría explicar por qué el primer modelo jerárquico plenamente descrito se suele atribuir a Charlier, que fue astrónomo, y no a Fournier d’Albe (del que hablamos en el capítulo 40) o a Immanuel Kant.

Los comentarios de Kant acerca de la inhomogeneidad de la distribución de materia son elocuentes y claros. Sirvan como testimonio estas pinceladas (que deberían animar a uno a saborear Kant 1755-1969, o Munitz 1957):«Esa parte de mi teoría que le da su mayor encanto… consiste en las siguientes ideas… Es… natural… considerar que las estrellas [nebulosas] son… sistemas de muchas estrellas… No son más que universos y, por así decirlo, Vías Lácteas… Se podría conjeturar también que estos universos superiores no están desconectados entre sí, y que por esta relación mutua constituyen también urc sistema más inmenso aún., ¡que quizá a su vez, como el primero, no es más que un miembro de una nueva combinación de elementos! Nosotros vemos los primeros miembros de una progresión de mundos y sistemas; y la primera parte de esta progresión infinita nos permite ya reconocer qué es lo que hay que conjeturar para el todo. No hay final, sino un abismo… sin fondo».

Kant nos retrotrae a Aristóteles y Leibniz, y los relatos anteriores podrían explicar por qué tan a menudo Cantor y Richardson suenan parecidos, por lo menos a mí. Para realzar el drama, permítaseme parafrasear algunas de las últimas palabras de Azucena a Luna Egl’era tuo fratello, en la ópera de Verdi Il trovatore.

Estos líderes de las grandes tradiciones crecieron despreciándose y combatiéndose entre sí, pero en sus orígenes intelectuales eran hermanos.

La historia no puede explicar, por supuesto, la poco razonable efectividad de las matemáticas (capítulo 1). El misterio solamente sigue avanzando y cambia de naturaleza. ¿Cómo puede ser que la mezcla de información, observación y búsqueda de unas estructuras interiormente satisfactorias que caracterizan a nuestros autores antiguos hayan de llevarnos repetidamente a temas tan potentes que, mucho después de que se hayan encontrado muchos detalles en contradicción con la observación y de que los propios temas parezcan haberse desvanecido, sigan inspirando progresos útiles tanto en física como en matemáticas?

El movimiento browniano natural es «el principal de los fenómenos fundamentales con los que los biólogos han contribuido o ayudado a contribuir a la ciencia de la física» (Thompson 1917). Un biólogo descubrió este fenómeno (mucho antes de 1800), y en 1828 otro biólogo, Robert Brown, encontró que no es de naturaleza biológica sino física. Este segundo paso fue fundamental, y de ahí que el calificativo browniano no sea tan inmerecido como lo presentan algunos críticos.

Brown tuvo otros merecimientos para ser famoso, y en su biografía de la novena edición de la Encyclopaedia Britannica (1878) no se cita el movimiento browniano. En las ediciones entre la undécima y la decimotercera, entre 1910 y 1926, se le dedican unas pocas palabras de pasada. En las ediciones posteriores al premio Nobel de Perrin, en 1926, ya aparece, por supuesto, tratado a fondo. La lenta aceptación de la naturaleza física del movimiento browniano está relatada en Brush (1968) y Nye (1972). Se pueden encontrar algunas nociones generales en Britannicas recientes, en Perrin (1909 y 1913), Thompson (1917) y Nelson (1967).

Los progresos iniciados por Brown culminaron en 1905-1909 con teorías debidas sobre todo a Einstein, y experimentos obra en su mayoría de Perrin. Uno podría pensar que Einstein se propuso explicar las viejas observaciones del siglo diecinueve, pero en realidad no fue así.

El artículo de Einstein de 1905 (reimpreso en Einstein, 1926) empieza con las siguientes palabras: «En este artículo se demostrará que, de acuerdo con la teoría cinética molecular del calor, los cuerpos visibles al microscopio suspendidos en un líquido exhibirán movimientos de una magnitud tal que se puede observar fácilmente al microscopio, debido a los movimientos térmicos moleculares. Es posible que los movimientos que se discuten aquí sean idénticos al llamado “movimiento browniano molecular”; sin embargo, la información de que dispongo acerca de este último es tan imprecisa que no me permite emitir un juicio al respecto».

Luego leemos en Einstein (1906, reimpreso en Einstein, 1926):«Poco después de la publicación de [Einstein, 1905, fui] informado [de que] los físicos —en primer lugar Gouy (de Lyons)— se habían convencido por observación directa de que el llamado movimiento browniano es producido por el movimiento térmico irregular de las moléculas del líquido. Además de las propiedades cualitativas del movimiento browniano, también el orden de magnitud de los caminos descritos por las partículas se corresponde totalmente con los resultados de la teoría. ¡No intentaré aquí una comparación [con] el escaso material de que dispongo!».

Mucho después, en una carta a Michele Besso, fechada el 6 de enero de 1948, Einstein recuerda que había «deducido [el movimiento browniano] partiendo de la mecánica, sin saber que nadie hubiera ya observado nada de esa clase».

Un chiste decía que atribuir el movimiento browniano a Roger Brown violaba una ley fundamental de la eponimia, pues la fama es incompatible con un nombre tan llano como Brown. Ésta podría ser la razón por la cual he estado escribiendo sobre polvos de Cantor durante veinte años, antes de caer en la cuenta de que en realidad deberían ser atribuidos a un tal Henry Smith.

H. J. S. Smith (1826-1883) ostentó durante mucho tiempo la Cátedra Saviliana en Oxford, y sus Scientific Papers fueron publicados y reimpresos (Smith 1894). En un extraño episodio manejado por Hermite, brilló postumamente compartiendo un premio con Hermann Minkowski. Fue también uno de los primeros críticos de la teoría de la integración de Riemann. Un chiste (otro) señalaba que, así como las teorías de la integración de Arquímedes, Cauchy y Lebesgue son un regalo de Dios, la de Riemann es inequívocamente una horrible invención humana. En efecto, Smith (1875, capítulo XXV de Smith 1894) demostraba que deja de ser aplicable a funciones cuyas discontinuidades pertenezcan a ciertos conjuntos. ¿Qué contraejemplos presentó? Pues el polvo de Cantor que usamos en el capítulo 8 y el polvo de medida positiva que presentamos en el capítulo 15.

Vito Volterra (1860-1940) reconstruyó el segundo contraejemplo de Smith en 1881.

Naturalmente, Smith y Volterra no hicieron gran cosa con sus ejemplos, ¡pero tampoco Cantor! Estando todo esto descrito en Hawkins (1970) ¿por qué nunca (que yo sepa) se ha mencionado a Smith como acreedor al honor de haber inventado los polvos «de Cantor»?

EUCLIDES (hacia 300 a. C.) La dimensión está en la base de las definiciones con que empieza el Libro Primero de Euclides sobre la geometría del plano:

El tema se desarrolla en las definiciones con que empieza el corto Libro Noveno sobre la geometría del espacio:

2. Un extremo de un sólido es una superficie. (Heath, 1908, discute este tema).

Los orígenes de estas ideas son verdaderamente turbios. Guthrie (1971-1) ve trazas del concepto de dimensión en Pitágoras (582-507 a. C.), pero van der Waerden piensa que hay que descartarlas. Por otra parte, Platón (427-347 a. C.) comenta a Sócrates, en el Libro VII de La República, que «después de las superficies planas… lo correcto, después de la segunda dimensión, es considerar la tercera…, la dimensión de los cubos y la de todo lo que tenga profundidad». Sería bueno saber más acerca de otros estudios de la dimensión anteriores a Euclides.

RIEMANN. La falta de cualquier estudio del concepto de dimensión fue señalada por Riemann en su tesis de 1854, «Sobre las hipótesis que forman los fundamentos de la geometría».

CHARLES HERMITE. La reputación de Hermite como matemático ultraconservador (como documentaba su carta a Stieltjes citada en el capítulo 6) es confirmada por sus cartas a Mittag-Leffler (Dugac, 1976c).

13 de abril de 1883: «Leer los escritos de Cantor parece una verdadera tortura… y a nadie de nosotros le seduce la idea de seguirlo… La aplicación de una línea sobre una superficie nos deja absolutamente indiferentes y pensamos que, en la medida en que uno no va a deducir nada de ella, esta observación resulta de consideraciones tan arbitrarias que el autor habría hecho mejor en esperar… [Pero puede que Cantor] encuentre lectores que le estudien con placer e interés, aunque no sea este nuestro caso».

5 de mayo de 1883: «La traducción [de un artículo de Cantor] fue editada con sumo cuidado por Poincaré… [Su] opinión es que casi todos los lectores franceses serán extraños a unas investigaciones que son al mismo tiempo filosóficas y matemáticas, y que contienen demasiada arbitrariedad, y yo pienso que esta opinión es acertada».

POINCARÉ. Poincaré presenta una elaboración muy elocuente y a la larga muy fructífera de las ideas de Euclides en sus artículos de 1903 (Poincaré 1905, capítulo III, sección 3) y 1912 (Poincaré, 1913, parte 9). He aquí unos fragmentos en traducción libre.

«Cuando decimos que el espacio tiene dimensión tres, ¿qué queremos decir? Si para dividir un continuo C nos basta con considerar como cortes un cierto número de elementos distinguibles, decimos que dicho continuo es de dimensión uno… Si, por el contrario,… para dividir un continuo basta con usar cortes que forman uno o varios continuos de dimensión uno, decimos que C es un continuo de dimensión dos. Si los cortes forman uno o varios continuos de dimensión dos como máximo, decimos que C es un continuo de dimensión tres; y así sucesivamente.

»Para justificar esta definición es necesario ver cómo los geómetras introducen el concepto de dimensión al principio de sus trabajos. Ahora bien, ¿qué es lo que vemos? Normalmente empiezan por definir las superficies como los límites de los sólidos o pedazos de espacio, las curvas como los límites de las superficies, los puntos como los límites de las curvas, y afirman que ya no se puede seguir más allá.

»Ésta es precisamente la idea apuntada más arriba: para dividir el espacio hacen falta unos cortes llamados superficies; para dividir las superficies hacen falta unos cortes llamados curvas; y un punto no se puede dividir, pues no es un continuo. Como las curvas se pueden dividir por cortes no continuos, son continuos de dimensión uno; como las superficies se pueden dividir por cortes continuos de dimensión uno, son continuos de dimensión dos; finalmente, el espacio se puede dividir por cortes continuos de dos dimensiones, con lo que es un continuo de dimensión tres».

▯ Las palabras anteriores no son aplicables a la dimensión fractal. Para los interiores de las diversas islas de este ensayo, D y D_T coinciden y son iguales a dos, pero sus costas son harina de otro costal: topológicamente tienen dimensión 1, pero su dimensión fractal es mayor que 1. ▮

«En 1913, basándose en la formulación intuitiva de Poincaré, Brouwer dio una definición de dimensión precisa y topológicamente invariante que, para una clase muy general de espacios, equivale a la que usamos hoy. El artículo de Brouwer pasó inadvertido durante muchos años. Y luego, en 1922 y por caminos independientes, Menger y Urysohn rein- ventaron la definición de Brouwer, con importantes mejoras.

»Antes los matemáticos usaban el término dimensión en un sentido vago. Se decía que una configuración era E-dimensional si el menor número de parámetros necesario para describir sus puntos, de un modo no especificado, era E. Los peligros e inconsistencias de este enfoque fueron puestos de manifiesto por dos célebres descubrimientos en la última parte del siglo XIX: la correspondencia biunívoca entre los puntos de una línea y los puntos del plano, descubierta por Cantor, y la aplicación continua de Peano de un intervalo sobre todo un cuadrado. El primero desmentía la intuición de que un plano es más rico en puntos que una línea, y demostraba que la dimensión puede cambiar con una transformación biunívoca. El segundo contradecía la creencia de que la dimensión se puede definir como el menor número de parámetros reales continuos necesarios para describir un espacio, y demostró que la dimensión puede aumentarse con una transformación continua univaluada.

»Quedaba abierta una cuestión sumamente importante: ¿es posible establecer una correspondencia entre espacios euclídeos de dimensiones E y E₀ combinando las características de ambas construcciones, la de Cantor y la de Peano, es decir, una correspondencia que sea a la vez biunivoca y continua? La pregunta es crucial, ya que la existencia de una transformación de la clase citada entre el espacio euclideo E-dimensional y el espacio euclideo E₀-dimensional significaría que la dimensión (en el sentido natural de que el espacio euclideo E-dimensional tiene dimensión E) no tendría ningún sentido topológico en absoluto. La clase de las transformaciones topológicas sería por tanto demasiado amplia para servir de algo en geometría.

»La primera demostración de que el espacio euclideo E-dimensional y el espacio euclideo E₀-dimensional no son homeomorfos a menos que E sea igual a E₀ se debe a Brouwer en 1911 [Brouwer, 1975- 2, págs. 430-434; el caso especial E ≤ 3 y E₀ ≥ E había sido resuelto previamente en 1906 por J. Luroth]. Sin embargo, esta demostración no revelaba explícitamente ninguna propiedad del espacio euclideo E-dimensional que lo distinguiera del espacio euclideo E₀-dimensional y fuera responsable de la no existencia de un homeomorfismo entre ambos. El procedimiento de Brouwer de 1913 fue, por tanto, más penetrante. Introdujo una función a valores enteros en un espacio que por su propia definición era topológicamente invariante. En el espacio euclideo, es precisamente E (y por tanto es digna de ese nombre).

»Mientras tanto Lebesgue había abordado de otro modo la demostración de la invariancia topológica de la dimensión de un espacio euclideo. Había observado en 1911 [Lebesgue 1972-, 4, 169-210] que un cuadrado se puede recubrir con “ladrillos” arbitrariamente pequeños, de tal manera que ningún punto del cuadrado esté contenido en más de tres de dichos ladrillos, pero que, si los ladrillos son lo suficientemente pequeños, por lo menos tres de ellos tienen un punto común. De modo análogo, un cubo en el espacio E-dimensional puede descomponerse en ladrillos arbitrariamente pequeños de modo que no se intersequen más de E+1 de tales ladrillos. Lebesgue conjeturó que este número E+1 no podía reducirse más; esto es, para cualquier descomposición en ladrillos suficientemente pequeños debe haber al menos un punto común a E+1 de los ladrillos. [La demostración la dio Brouwer en 1913.] El teorema de Lebesgue también muestra una propiedad topológica del espacio euclideo E-dimensional que lo distingue del espacio E₀-dimensional y por tanto implica también la invariancia topológica de la dimensión de los espacios euclídeos».

En relación a las contribuciones al tema de Poincaré, Brouwer, Lebesgue, Urysohn y Menger, véanse las notas de H. Freudenthal en Brouwer (1-975-, 2, capítulo 6) y una respuesta en Menger (1979, capítulo 21).

DIMENSIÓN FRACCIONARIA Y DELBOEUF. La historia de la dimensión fractal es mucho más simple: surge ya casi totalmente armada del trabajo de Hausdorff. Aunque en cierto modo queda aún un poco de misterio. En efecto, Russell (1897, pág. 162) ignora las violentas controversias levantadas por Cantor y Peano, pero incluye la siguiente nota de pie de página: «Delboeuf, ciertamente, habla de geometrías con m/n dimensiones, pero no da ninguna referencia (Rev. Phil. xxxxvi, pág. 450)». Resultará que Delboeuf es digno de atención (véase el apartado sobre «Cambios de escala en Leibniz y Laplace»); pero mi búsqueda (con la ayuda de F. Verbruggen) entre sus trabajos no descubrió ninguna otra pista acerca de la dimensión fraccionaria.

BOULIGAND. La definición de dimensión de Cantor-Minkowski-Bouligand (capítulos 5 y 39) es mucho menos satisfactoria que la de Hausdorff-Besicovitch, pero me gustaría incluir aquí alguna palabra de elogio para Georges Bouligand (1889-1979). Sus muchos libros no son muy leídos en la actualidad, ni siquiera en París, pero tenían un lugar destacado cuando yo estudiaba y pasaba sus exámenes. Hojeando sus trabajos, recuerdo cómo me inicié con ellos en la matemática «moderna». Me pregunto si otras presentaciones menos flexibles y humanas, aunque quizá más duraderas pedagógicamente, habrían proporcionado la misma comprensión intuitiva, susceptible de ser clasificada y guardada para cuando hiciera falta. Creo que no. Si Bouligand hubiera vivido para ver las conquistas actuales de su amada geometría, espero que las contemplaría con satisfacción personal.

Natura non facit saltus es el enunciado más conocido del «principio de continuidad», que se ha discutido en el primer apartado de este capítulo, y que era considerado por Leibniz como «uno de [sus] mejores y mejor verificados». Y es el tenue precursor distante de las figuras geométricas «intermedias»: los fractales. Sin embargo, Bartlett (1968) atribuye esta sentencia a Linneo. Sorprendido por un mérito que me parecía injustamente atribuido, investigué sobre ello y desenterré algunos hechos y una historia.

Ciertamente, el célebre botánico y taxónomo del siglo XVIII Linneo escribió esta frase, pero sólo de pasada, no como una declaración nueva e importante, sino como sabiduría convencional. Estaba traduciendo la frase La nature ne fait jamais des sauts, debida a Leibniz. Éste había escrito también un gran número de variantes, entre ellas: Nulla mutatio fíat per saltum, Nullam transitionem fieri per saltum, Tout va par degrés en la nature et rien par saut. Pero las palabras exactas de Linneo en latin puede que no se encuentren en Leibniz.

En segundo lugar, cosa divertida y curiosa, la frase latina exacta de Linneo había sido anticipada mucho antes de Leibniz, en 1613, con la frase, Natura in suis operationibus non facit saltum (El singular saltum es preferido al plural saltus por la malhumorada minoría para quienes cero es singular.) ¿Quién escribió esta frase? Stevenson (1956, pág. 1382, No. 18) la atribuye a Jacques Tissot. ¿Quién fue Tissot? El hecho de que nadie parezca saberlo me proporcionó una excusa para colarme en la Bibliothèque Nationale de París.

La frase se encuentra en un panfleto de quince páginas con un título muy largo que empieza así: La verdadera historia de la vida, muerte y huesos del gigante Theutobocus, rey… que fue derrotado en el 105 (a. de C.) por Mario, cónsul romano y enterrado… cerca de los romanos. En una mezcla de francés y latín, el relato es consecuencia del descubrimiento cerca de Grenoble de unos huesos gigantescos, y de las razones para atribuirlos a un ser humano, el llamado Rey Theotobocus.

Se puede encontrar una reimpresión de La verdadera historia en Varietés historiques et littéraires recueil de pièces volantes rares et curieuses, anotadas por M. Edouard Fournier, tomo IX, 1859, págs. 241-257. Mi curiosidad fue recompensada. En una nota sumamente larga, Fournier describe el siguiente fraude pertinaz. El 11 de enero de 1613, unos trabajadores que excavaban en la arena a una profundidad de 17 o 18 pies desenterraron varios huesos muy largos, a raíz de lo cual circularon rumores de que el hoyo era la tumba de un gigante y estaba marcado por una medalla de Mario y una piedra que llevaba el nombre de Theotobocus. Los huesos, tras ser «autentificados» por dos dignatarios locales y aparecer en los periódicos, fueron mostrados al rey Luis XIII. Se sigue una controversia acerca de su origen, que luego desaparece, y sólo se reanuda en una época en que otros huesos antiguos se estaban atribuyendo a especies desaparecidas. Los paleontólogos entran en la discusión e identifican al rey Theotobocus con un mastodonte.

La nota dice también que en realidad ningún Jacques Tissot intervino en este episodio, siendo La verdadera historia obra de los dos personajes citados anteriormente, que la publicaron bajo seudónimo… como prospectos de una atracción circense.

Pero el Natura non… sigue siendo un misterio. Si hubieran sido pronunciadas por vez primera por unos charlatanes de pueblo haciendo como que citaban a Aristóteles sería decepcionante. Lo más probable es que no hicieran más que repetir una frase corriente en su época, y la cuestión de los orígenes todavía no está cerrada.

Contrariamente a los otros apartados de este capítulo, éste está dedicado a descubrimientos que, además de ser divertidos, tuvieron un efecto inmediato y duradero en mi trabajo. Ciertos textos de Henri Poincaré (1854-1912) atrajeron mi atención cuando se estaban corrigiendo las pruebas del Fractals de 1977. Estos textos dieron lugar a algunas líneas de investigación esbozadas en los capítulos 18 y 20, y prometí volver a presentarlos más a fondo en otro lugar. Permítaseme contestar algunas cuestiones ineludibles planteadas por estos trabajos de Poincaré y otros relacionados con ellos.

Si y No: Él fue sin duda el primero que estudió los atractores fractales («extraños»), Pero nada de lo que yo conozco de su trabajo le hace precursor, ni siquiera distante, de la geometría fractal de los aspectos visibles de la naturaleza.

Sí: Aunque el hecho había sido olvidado, poco menos de un año después de Cantor (1883), aparecieron en la matemática ortodoxa conjuntos próximos al polvo triádico y a la función de Weierstrass, mucho antes de la creación de las teorías revolucionarias de conjuntos y de funciones de una variable real.

No: Las aplicaciones de estos hallazgos no pasaron inadvertidas en su época. La primera fue en la teoría de las funciones automórficas (capítulo 18), que hizo famosos a Poincaré y a Félix Klein. Esas aplicaciones fueron continuadas por Paul Painlevé (1863-1933), un sabio influyente mucho más allá del dominio de la matemática pura. La ingeniería le fascinaba (fue el primer pasajero de Wilbur Wright después del accidente de Orville Wright) y acabó dedicándose a la política, llegando a primer ministro de Francia. Por cierto, dado que Perrin había sido amigo íntimo de Painlevé, el «ensueño» descrito en el capítulo 2 parece menos insólito.

Sí: Cantor y Poincaré acabaron en bandos opuestos de varias disputas intelectuales, con Cantor, al igual que Peano, como víctima del sarcasmo de Poincaré, como por ejemplo el famoso comentario de que: «El cantorismo [promete] el deleite de un doctor llamado a seguir un interesante caso patológico». Véase también el subapartado «Hermite». Es útil pues saber que, cuando hacía falta, Poincaré reconocía que los monstruos clásicos podían intervenir, no en descripciones de la naturaleza visible, sino en la física matemática abstracta. Traduzco libremente de Nuevos métodos en mecánica celeste (Poincaré 1892-III, págs. 389-390).

«Intentemos representarnos la figura formada por las dos curvas [C y C'] correspondientes a una solución doblemente asintótica [del problema de tres cuerpos]. Sus puntos de intersección forman una especie de malla… infinitamente densa. Cada curva nunca se corta a sí misma, pero se tiene que plegar sobre sí misma de modo tan complejo que interseca cada vértice de la malla con una frecuencia infinita.

»Uno debería sorprenderse por la complejidad de esta figura, que ni tan siquiera intento ilustrar. Nada puede darnos una idea mejor de la complicación del problema de tres cuerpos, y en general de todos los problemas de la dinámica que no tienen ninguna integral uniforme…

»Varias hipótesis nos vienen a la mente:

»1) [El conjunto S' (o S'') definido como C (o C'') más los puntos límite de esta curva] llena un semiplano. Si es así, el sistema solar es inestable.

»2) [S' o S''] tiene una área [positiva y] finita, y ocupa una región acotada del plano, con posibles “huecos”…

»3) Finalmente [S' o S''] tiene área nula. Es el análogo de un [polvo de Cantor]».

Para reforzar la impresión dejada por estos comentarios inmerecidamente olvidados, he aquí unas traducciones libres de extractos de Hadamard (1912), Painlevé (1895) y Denjoy (1964, 1975).

«Poincaré fue un precursor de la teoría de conjuntos, en el sentido de que la aplicó aun antes de que ésta naciera, en una de sus más sorprendentes y célebres investigaciones. En efecto, demostró que las singularidades de las funciones automórficas forman bien un círculo entero, bien un polvo de Cantor. Esta última categoría era de una especie que la imaginación de sus antecesores no podía concebir siquiera. El conjunto en cuestión es uno de los logros más importantes de la teoría de conjuntos, pero ni Bendixson ni el propio Cantor lo descubrieron hasta más tarde.

»Los ejemplos de curvas sin tangente son verdaderamente clásicos desde Riemann y Weierstrass. Cualquiera puede apreciar, no obstante, la diferencia profunda entre, de una parte, un hecho que se establece en unas circunstancias preparadas para disfrute de la mente, sin otro objetivo ni interés que demostrar su posibilidad, una exposición en una galería de monstruos, y de la otra el mismo hecho inmerso en una teoría que hunde sus raíces en los problemas más corrientes y esenciales del análisis».

«Tengo que insistir en las relaciones que existen entre la teoría de funciones y los polvos de Cantor. Este último tipo de investigación era tan nuevo en espíritu que una revista matemática tenía que ser osada para publicar sobre el tema. Muchos lectores lo consideraban más filosófico que científico. Sin embargo, el progreso de la matemática pronto invalidó esta opinión. En el año 1883 (que será doblemente memorable en la historia de la matemática de este siglo), Acta Mathematica alternaba entre los artículos de Poincaré sobre las funciones Fuchsianas y Kleinianas y los artículos de Cantor».

Los artículos de Cantor, que se encuentran en las págs. 305-414 del vol. 2 de las Acta (con el conjunto de Cantor en la pág. 407), eran traducciones al francés patrocinadas por Mittag-Leffler, editor de las Acta, para ayudar a Cantor en su lucha por ser reconocido. Algunos (véase el subapartado «Hermite» de la pág. 570) fueron editados por Poincaré. Sin embargo, los resultados de Poincaré habían sido esbozados ya en los Comptes Rendus antes de que el trabajo de Cantor apareciera en alemán. Poincaré adoptó una de las innovaciones de Cantor con tal prontitud que en su primer artículo de las Acta denotaba los conjuntos con la voz alemana mengen, sin perder tiempo en buscar un equivalente francés.

«Algunos científicos consideran que ciertas verdades son de buen gusto, bien educadas y criadas correctamente, mientras que para otras habría que mantener cerrada para siempre la puerta de los caballeros. Me parece que, en general, la teoría de conjuntos es todo un nuevo universo, incomparablemente más vasto y menos artificial, más simple y más lógico, más apto para modelizar el universo físico, en una palabra, más verdadero, que el antiguo universo. El polvo de Cantor comparte muchas propiedades de la materia continua, y parece corresponder a una realidad muy profunda».

En Denjoy (1975, pág. 23) leemos lo siguiente: «Me parece obvio que los modelos discontinuos expliquen una multitud de fenómenos naturales de un modo mucho más satisfactorio y con más éxito que los actuales. Por tanto, como las leyes de lo discontinuo están mucho menos dilucidadas que las de lo continuo, deberían ser investigadas extensamente y a fondo. Asegurando que los niveles de conocimiento de ambos órdenes sean comparables, se permitirá al físico usar uno u otro según sus necesidades».

Desafortunadamente, Denjoy no pudo reforzar su «ensueño» con otros avances concretos aparte de las indicaciones generales de Poincaré y Painlevé. Una excepción es el artículo de Denjoy (1932) sobre ecuaciones diferenciales en el toro. En respuesta a una pregunta planteada por Poincaré, demuestra que la intersección entre una solución y un meridiano puede ser todo el meridiano o cualquier polvo de Cantor prescrito de antemano. El primer comportamiento, pero no el segundo, concuerda con la idea de comportamiento ergódico que tienen los físicos. Antes Bohl (1916) había dado un ejemplo análogo.

Jacques Hadamard (1865-1963) fue un matemático y físico matemático famoso, y Arnaud Denjoy (1884-1974) un prominente matemático muy puro, al que a ningún físico se le ocurriría escuchar. De todos modos, sus observaciones no tuvieron eco en su época. Ambos elogian a Poincaré y Painlevé, y reviven ideas cuyos inventores nunca habían renovado por repetición.

La presente reposición de Poincaré puede servir de excusa para referirnos aquí a una golosina técnica que no tiene ninguna relación con el resto de este ensayo.

Se refiere a lo que los físicos conocen como distribución canónica de Gibbs y los estadísticos llaman distribución exponencial. Poincaré (1890) busca las distribuciones de probabilidad tales que la estimación de probabilidad máxima de un parámetro p, basada en una muestra de M valores x₁, …, x_m, …, X_M, es de la forma G[∑^M_m=1F(x_m)/M]. En otras palabras, son tales que se pueden cambiar las escalas de x y p por las funciones F(x) y G⁻¹(p), de modo que la estimación de p de máxima verosimilitud es la media muestral de x. Esto ocurre por supuesto si p es el valor esperado de una variable gaussiana, pero Poincaré da una solución más general, que ahora se conoce como distribución de Gibbs.

Este hecho fue redescubierto independientemente por Szilard en 1925. Luego, hacia 1935, Koopman, Pitman y Darmois plantearon la misma pregunta referida al procedimiento de estimación más general, sin restringirse a la máxima verosimilitud. Esta propiedad de la distribución de Gibbs, que los estadísticos llaman suficiencia, tiene un papel central en la presentación axiomática de la termodinámica estadística de Szilard-Mandelbrot (Mandelbrot 1962t, 1964t). En este enfoque, la arbitrariedad intrínseca de la inferencia estadística está presente en la definición de la temperatura de un sistema cerrado, pero está ausente de la deducción de la distribución canónica. (En otra presentación axiomática posterior basada en el «precepto de máxima información», la propia distribución canónica se fundamenta en la inferencia estadística, cosa que en mi opinión tergiversa su importancia.)

INVARIANCIA POR CAMBIO DE ESCALA EN LOS HILOS DE SEDA ELÁSTICOS. La observación empírica más temprana que ahora puede reinterpretarse como una prueba de la invariancia por cambio de escala en un sistema físico ocurrió, cosa bastante extraordinaria, hace ciento cincuenta años. Incitado por Carl Friedrich Gauss, Wilhelm Weber empezó investigando la torsión de los hilos de seda usados para suspender bobinas móviles en los instrumentos eléctricos y magnéticos. Descubrió que si se aplica una carga longitudinal se produce una extensión inmediata, seguida de un alargamiento posterior con el paso del tiempo. Al quitar la carga tiene lugar una contracción inmediata igual a la extensión inmediata inicial. Esta contracción va seguida a su vez de un nuevo acortamiento gradual hasta que se recupera la longitud original. Las consecuencias de una perturbación siguen una ley de la forma t^−γ: decaen hiperbólicamente en el tiempo, y no exponencialmente como cualquiera esperaba por entonces, y espera hasta el día de hoy.

El siguiente trabajo sobre el tema corresponde a Kolrausch (1847), y la torsión elástica de fibras de vidrio es estudiada también por William Thompson, posteriormente lord Kelvin, en 1865, por James Clerk Maxwell en 1867, y por Ludwig Boltzmann, en un artículo de 1874 que Maxwell consideraba lo bastante importante como para ser discutido en la novena (1878) edición de la Encyclopaedia Britannica.

Habría que reflexionar cuidadosamente sobre estos nombres y fechas. Demuestran que, para que un problema llegue a ser digno de ser estudiado, no basta con que despierte interés en sabios de la talla de Gauss, Kelvin, Boltzmann y Maxwell. Un problema que les fascine pero al final les derrote podría caer en la mayor de las oscuridades.

INVARIANCIA POR CAMBIO DE ESCALA EN LAS BOTELLAS ELECTROSTÁTICAS DE LEYDEN. Los antecedentes son, en palabras de E. T. Whittaker, los siguientes: «En 1745 Pieter van Musschenbrok (1692-1761), profesor de Leyden, intentó encontrar un método para conservar cargas eléctricas evitando la pérdida de carga que se observaba cuando los cuerpos cargados estaban rodeados de aire. A este fin probó el efecto de rodear una masa de agua cargada con un envoltorio no conductor, vidrio, por ejemplo. En uno de sus experimentos, se suspendía una redoma de agua de un cañón de escopeta por medio de un alambre que se sumergía unas pulgadas en el agua a través del corcho; y el cañón, suspendido de cuerdas de seda, se aplicaba tan cerca de un globo de vidrio excitado que algunas escobillas metálicas incrustadas en el cañón tocaban el globo en movimiento. En estas circunstancias, un amigo, de nombre Cunaeus, que casualmente tocó la redoma con una mano y el cilindro con la otra, recibió una violenta descarga; con lo que resultó evidente que se había descubierto la manera de acumular o de intensificar la fuerza eléctrica. Nollet dio el nombre de redoma de Leyden a este descubrimiento».

Kolrausch (1854) descubrió el mismo resultado para la velocidad de descarga de la botella de Leyden que para su trabajo con hilos de seda: la carga decae hiperbólicamente con el tiempo. Otros dieléctricos distintos del vidrio son estudiados en detalle en la tesis doctoral de Jacques Curie (hermano y primer colaborador de Pierre Curie), quien encuentra que en algunos dieléctricos la pérdida de carga es exponencial, pero en otros es hiperbólica, con distintos valores del exponente γ.

Dispersas por todo un siglo de publicaciones de las revistas más dispares, se encuentran innumerables explicaciones de los decaimientos o de los ruidos escalantes. Da pena leerlas. Su falta de éxito es constante y monótona, pues los callejones sin salida reconocidos en el siglo XIX se exploran una y otra vez, en diferentes contextos y con palabras distintas.

PANACEA DE LA MEZCLA DE HOPKINSON. Frente a la pérdida hiperbólica de carga de una botella de Leyden, Hopkinson (alumno de Maxwell) propone en 1878 la «explicación aproximativa [de que] el vidrio se podría considerar como una mezcla de una variedad de silicatos distintos que tienen comportamientos diferentes». Se tendría entonces que la función de descarga parecida a una hipérbola es en realidad una mezcla de dos o más exponenciales distintas de la forma exp(−s/τ_m), caracterizadas cada una de ellas por un tiempo de relajación τ_m distinto. Sin embargo, incluso los datos más primitivos fueron suficientes para demostrar que no bastaba con dos ni con cuatro exponenciales, con lo que el argumento se abandonó. Aunque sigue reapareciendo cada vez que los datos no son suficientemente abundantes para refutarlo.

LA PANACEA DE LOS TIEMPOS DE RELAJACIÓN DISTRIBUIDOS. Cuando los datos abarcan varias décadas y no se pueden ajustar a menos que la mezcla consista en un número ridículamente grande de exponenciales, pongamos 17 o 23, uno se siente tentado de recurrir a una mezcla consistente en un número infinito de exponenciales. La definición de la función gamma de Euler da

Esta identidad demuestra que, si el tiempo de relajación exponencial τ tiene una «intensidad» τ^−(γ+1), la mezcla es hiperbólica. Sin embargo, este argumento es un círculo vicioso. Se supone que el resultado de una explicación científica debe ser menos obvio a priori que los datos de partida, pero resulta que t^−γ y τ^−(γ+1) son funcionalmente idénticos.

PANACEA DEL COMPORTAMIENTO TRANSITORIO. Al saber de los diversos síntomas de invariancia por cambio de escala enumerados en los apartados anteriores, una segunda reacción cuasi universal es esta: seguramente esas funciones hiperbólicas sólo son complicaciones transitorias, recuperándose la exponencial cuando los decaimientos se observen durante un tiempo suficientemente largo. La primera búsqueda sistemática de esta cota está en von Schweidler (1907), quien midió la pérdida de carga de una botella de Leyden, primero a intervalos de 100 segundos y luego con una frecuencia menor, durante un tiempo total de 16 millones de segundos (¡200 días, en verano e invierno!). Y el decaimiento hiperbólico se mantiene puntualmente. Experimentos más recientes acerca de ruidos eléctricos en 1/f habían empezado con unas pocas horas de duración, después una noche, luego un fin de semana, más tarde unas cortas vacaciones. Y en un número sorprendentemente grande de casos el comportamiento 1/f se mantiene puntualmente.

En capítulos anteriores, por ejemplo en el estudio de los cúmulos de galaxias del capítulo 9, se señala que los científicos pueden quedarse tan absortos en la búsqueda de una cota que se olvidan de la necesidad de describir y explicar los fenómenos característicos del dominio escalante. Extrañamente, la preocupación excesiva por la cota puede ser incluso más fuerte entre los ingenieros. Por poner un ejemplo comentado en el capítulo 27, muchos hidrólogos vacilan en usar mi modelo porque implica un corte infinito a la invariancia por cambio de escala. En un proyecto de ingeniería, la finitud del corte no tiene la menor importancia, y no obstante las mentalidades prácticas desean fervientemente un corte finito.

Hacer un muestreo de los trabajos científicos de Leibniz es una experiencia que hace reflexionar. Al lado del cálculo, y otras ideas que se han realizado plenamente, la cantidad y variedad de avances premonitorios que uno encuentra es abrumadora. Tenemos ejemplos de ello en el «relleno» del capítulo 17 y en el primer apartado de este capítulo. Además, Leibniz puso en marcha la lógica formal y fue el primero que sugirió (en una carta a Huygens fechada en 1679) que la geometría debería contener la rama que acabó llamándose topología. (A un nivel menos exaltado, introdujo las letras hebreas en la notación matemática… ¡además de los símbolos del Zodiaco!).

Mi «Leibnizmanía» se ve reforzada cuando descubro que, por un momento, el protagonista dio una cierta importancia a la invariancia geométrica por cambio de escala. En «Euclidis πρωτα» (Leibniz 1849-11.1, págs. 183-211), que es un intento de afinar los axiomas de Euclides, afirma (pág. 185): «IV(2): Tengo varias definiciones de recta. La línea recta es una curva tal que cada una de sus partes es semejante al todo, y es la única con esta propiedad, no sólo entre las curvas sino entre los conjuntos». Este enunciado puede demostrarse en la actualidad. Después Leibniz describe las propiedades de la autosemejanza más restringida del plano.

La misma idea se le ocurrió, independientemente, a Joseph Delboeuf (1831-1896), escritor belga cuyas ideas critica benignamente Russell (1897). Fue una personalidad científica poco corriente, que en su entusiasmo inexperto pasó de los clásicos a la filosofía de la geometría. Sin embargo, su «principio de semejanza» añade muy poco a la cita anterior de Leibniz (que él no conocía al realizar su trabajo, y al que hace referencia —y me guio a mí— con una agradable mezcla de generosidad y orgullo). Delboeuf también es la estrella (aunque de poco brillo) en la pág. 573.

Se puede encontrar una referencia de otro tipo a la invariancia por cambio de escala (si uno está dispuesto a ser generoso con los muy ricos) en las máximas 64 y 69 de la Menadología de Leibniz, donde se afirma que las porciones pequeñas del mundo son precisamente tan complejas y organizadas como las porciones grandes.

Una idea relacionada con la invariancia por cambio de escala se le ocurrió también a Laplace. En el capítulo V del Libro V de la quinta edición de su Sistema del mundo, publicada en 1842 y traducida al inglés (pero no en la cuarta edición de 1813), uno encuentra la siguiente observación (Laplace 1879, Vol. VI): «Una de [las] propiedades notables [de la atracción neutoniana] es que si las dimensiones de todos los cuerpos del universo, sus distancias mutuas y sus velocidades aumentaran o disminuyeran proporcionalmente, describirían unas curvas completamente semejantes a las que describen actualmente; por lo tanto, el universo reducido al menor espacio imaginable tendría siempre el mismo aspecto para un observador. Las leyes de la naturaleza sólo nos permiten observar tamaños relativos… [El texto sigue en una nota a pie de página] Hasta ahora, los intentos de los geómetras de demostrar el axioma de Euclides de las líneas paralelas han fracasado… El concepto de… círculo no implica nada que dependa de su tamaño absoluto. Pero si disminuimos su radio, nos vemos obligados a disminuir también en la misma proporción su circunferencia y los lados de todas las figuras inscritas. Esta proporcionalidad parece un axioma mucho más natural que el de Euclides. Y es curioso encontrar esta propiedad en los resultados de la gravitación universal».

Las funciones continuas y no diferenciables de Weierstrass tuvieron tal impacto en el desarrollo de la matemática que uno siente curiosidad por saber si su historia siguió el mismo patrón que Farkas Bolyai describió a su hijo, János: «Hay algo de verdad en esto, que muchas cosas tienen su época, en la que son descubiertas en varios lugares a la vez, exactamente igual que en primavera las violetas salen por todas partes». Uno espera también ver la prisa por publicar de los coinventores.

Pero en el caso que nos ocupa las cosas se desarrollaron de un modo muy distinto. La casi increíble verdad es que Weierstrass nunca publicó su descubrimiento, aunque si lo leyó en la Academia de Berlín el 18 de julio de 1872. El manuscrito de la charla salió en sus Obras completas. (Weierstrass 1895), pero el resultado fue hecho público, reclamando la paternidad de Weierstrass, por Dubois Reymond (1875). Así pues, 1875 no es más que una fecha simbólica para el principio de la gran crisis de la matemática.

Dubois Regmond escribió que «la metafísica de estas funciones parece esconder muchos acertijos, por lo que a mí respecta, y no puedo librarme de la idea de que nos llevarán al límite de nuestro intelecto». Sin embargo, uno se queda con la impresión de que nadie tenía prisa por explorar esos límites. Algunos contemporáneos que por un momento se interesaron por este trabajo (como Gaston Darboux, por ejemplo) inmediatamente se pasaron al conservadurismo radical, y los demás apenas fueron más audaces. El episodio recuerda a la fuerza otro más famoso, el de Gauss escondiendo su descubrimiento de la geometría no euclídea, como él mismo escribió a Bessel el 27 de enero de 1829, «por temor al escándalo de los boeotians». (Pero más tarde se lo reveló a János Bolyai —con desastrosas consecuencias para su mente— después de que éste, hijo de un amigo, hubiera publicado su descubrimiento independientemente). Finalmente, uno piensa en el consejo que Mittag-Leffler daría después a Cantor: que no debía pelearse con los editores, sino retener sus descubrimientos más atrevidos hasta que el mundo estuviera preparado para ellos. Rara vez las vanguardias han estado tan poco dispuestas como en los casos citados.

Además de Weierstrass, hay que citar aquí tres nombres. Se ha rumoreado durante mucho tiempo —y Neuenschwander (1978) lo documenta— que, hacia 1861, Riemann contó a sus estudiantes que R(t) = ∑n⁻²cos(n²t) es una función continua y no diferenciable. Pero no se conocen enunciados precisos del resultado, ni tampoco demostraciones. En realidad, si «no diferenciable» significa «no diferenciable en ningún punto», cualquier pretendida demostración tiene que contener errores, pues Gerver (1970) y Smith (1972) demuestran que R(t) tiene derivada positiva y finita en determinados puntos. Kronecker se interesó también por la función de Riemann, y este interés subraya la importancia que se dio a la cuestión en aquella época. (Manheim 1969, T. Haukins 1970 y Dugac 1973, 1976 añaden más datos a estos antecedentes).

Bolzano, cuyo nombre va unido al de Weierstrass en un contexto distinto y más conocido, interviene también en esta historia. Bernhard Bolzano (1781-1848) fue uno de los pocos héroes secretos de la matemática, y la mayor parte de su trabajo permaneció en estado latente hasta los años veinte. En 1834 descubrió una función muy parecida a la de Weierstrass, pero no supo darse cuenta de la propiedad que la hace interesante para nosotros (Singh 1935, pág. 8).

El tercer hombre, desconocido en su época y también en la nuestra, tiene más que ver que cualquier otro en esta historia aparte de Weierstrass. Charles Cellérier (1818-1890) había sido profesor en Ginebra y no había publicado gran cosa digna de ser mencionada, pero sus archivos, abiertos después de muerto, contenían una «revelación». Una carpeta sin fecha, con la anotación «Muy importante y creo que nuevo. Correcto. Publicable tal como está» contenía un texto de su puño y letra describiendo el caso límite D = 1 de la función de Weierstrass y la usaba con los fines corrientes. Las páginas amarillentas fueron mostradas a un académico de nombre Cailler, que añadió una nota (de la que hemos extraído los comentarios anteriores) y publicó inmediatamente el artículo como Cellérier (1890). A continuación hubo una cierta muestra de interés, especialmente de parte de Grace C. Young. Raoul Pictet recordó en 1916 que Cellérier había mencionado su trabajo en clase, cuando Pictet era alumno suyo, hacia 1860. Pero no aparecieron pruebas escritas. Y al final la afirmación de Callérier resultó ser defectuosa.

Así pues Weierstrass se queda como el único e indiscutible autor de la afirmación atribuida a su nombre, pero nos hemos quedado con algunos hechos verdaderamente raros sobre los que reflexionar. Bolzano publicó una cierta expresión que él mismo consideró inocua, pero los otros dos investigadores que captaron mejor sus implicaciones, tanto el provinciano modesto sin una reputación que empañar como el gran maestro que podría haberse sentido intachable, escogieron sentarse, esperar y ver. La máxima «publicar o perecer» no podría haber estado más lejos de su pensamiento.

Como la función de Weierstrass se usa a menudo como argumento en favor del divorcio por mutuo acuerdo entre la física y las matemáticas, podría ser interesante hablar de la actitud de su descubridor hacia la relación entre ambas empresas. Su nombre se hizo un lugar en la óptica geométrica (con los puntos de Young-Weierstrass de una lente esférica). Además, en su lección inaugural de 1857 (citada en Hilbert, 1932, 3, págs. 337-338), Weierstrass insiste en que el físico no debería ver la matemática sólo como una disciplina auxiliar, ni el matemático considerar las preguntas del físico como una simple colección de ejemplos para sus métodos. «A la pregunta de si es realmente posible sacar algún provecho de las teorías abstractas que la matemática moderna [=1857] parece apoyar, uno debería contestar que fue basándose únicamente en la especulación pura como los matemáticos griegos dedujeron las propiedades de las secciones cónicas, mucho antes de que nadie pudiera imaginarse que representan las órbitas de los planetas». AMEN.

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