Desde el punto de vista fractal, la mayoría de problemas de la física no son específicamente distintos de los que se plantean en otros campos, y esta es la razón por la que diversos casos físicos se encuentran dispersos a lo largo de esta obra, mientras que sólo unos pocos se han reservado para ser discutidos en este capítulo.
Algunos lectores, sin embargo, quizá hayan empezado a leer por este capítulo, pues es el único cuyo título contiene la palabra física. Animo a estos lectores a que repasen el índice, pero primero llamaré su atención sobre los siguientes temas propiamente físicos que no aparecen explícitamente en los títulos de los capítulos.
Los capítulos 13 y 14 contienen un estudio de la percolación.
El «jabón» apoloniano del capítulo 18 es un cristal líquido esméctico.
La textura (capítulos 34 y 35) encontrará indudablemente muchas aplicaciones físicas en un futuro muy próximo.
Y, finalmente, unas pocas referencias que serán de interés. La expresión difractales fue acuñada en Berry (1979) para denotar las ondas reflejadas por una superficie fractal o las ondas refractadas por un bloque de materia] transparente con un índice de refracción fractalmente turbulento. Las difractales constituyen un nuevo régimen ondulatorio en el que se exploran niveles de estructura cada vez más finos y en los que la óptica geométrica nunca es aplicable. Berry calcula explícitamente algunas de sus propiedades.
Berry (1978) calcula también la distribución de modos en tambores fractales: resonadores de contorno fractal.
Dos tipos de convergencia
Pasemos ahora a los objetivos de este capítulo. Al dispersar los temas anteriores a lo largo de toda la obra, se dejaba de lado, o se ocultaba bajo la alfombra, un tema muy importante cada vez que éste se planteaba. En muchos campos de la física, uno de los elementos básicos en la construcción de fractales matemáticas es, por principio, imposible.
Como preludio, recordemos otra vez que el grueso de este ensayo está dedicado a fractales en las que interviene una interpolación recurrente, ya sea en su propia definición o, por lo menos, por efecto de una construcción explícita a posteriori. Cada paso de la construcción parte de una figura geométrica estándar, como por ejemplo un «terágono» poligonal, y la interpola un poco más. El fractal es el límite de tales terágonos, en el sentido de que la distancia entre el terágono y el límite (definida por una generalización conveniente del concepto usual de distancia entre puntos) tiende a cero. Los matemáticos denominan «fuerte» a este límite.
Por contra, otros límites que intervienen en el contexto estadístico se denominan «débiles». En la presentación habitual, la distinción entre los dos tipos de límite parece más todavía una sutileza sin importancia. Pero el tema de la convergencia débil penetra todos los casos, tanto nuevos como antiguos, en que intervienen fractales aleatorios en la «física de redes», que constituye la práctica habitual de la física estadística actual.
La discusión se basará en algunos ejemplos recientes de fractales aplicados a la física y en un problema importante de hidrología de redes que encaja en el mismo molde.
El límite fractal del paseo aleatorio
Como preludio, observemos el papel de la convergencia débil en el contexto del movimiento browniano. Como ya se apuntó en el capítulo 25, un paseo aleatorio sobre una cuadrícula (por ejemplo, por los puntos de coordenadas enteras) se puede «reducir de escala» hasta que los elementos de la cuadrícula se hacen invisibles, y sus efectos sobre los observables son despreciables.
Todo el mundo sabe que este procedimiento genera el movimiento browniano, pero la expresión «genera» tiene aquí un significado nuevo. La secuencia de terágonos empleados en el capítulo 6 para generar una curva de Koch se comporta como una fotografía que va adquiriendo cada vez más detalles mediante un enfoque cada vez más preciso de la cámara. Por contra, una sucesión de paseos aleatorios a escalas reducidas primeramente parece estar a poca distancia de un cierto movimiento browniano, luego más cerca aún de otro movimiento browniano distinto, luego todavía más cerca de otro, etc., sin fijarse nunca en uno determinado. Los matemáticos tienen buenas razones para llamar débil a esta clase de convergencia. Y también hay buenas razones para considerar que un paseo aleatorio a escala reducida es una curva fractal con una cota inferior igual al lado de la cuadrícula. Pero se trata de una nueva clase de corte. En capítulos anteriores, la cota inferior se imponía a posteriori a una construcción geométrica definida que en teoría no contiene ningún corte, y que se puede interpolar hasta escalas infinitesimales, generando fractales. Por el contrario, un paseo aleatorio no se puede interpolar de ninguna manera.
Los fractales en la «física de redes»
El alcance del comentario anterior va mucho más allá del movimiento browniano. En efecto, la física estadística tiene razones poderosas para sustituir muchos de los problemas reales que aborda por otros análogos restringidos a una red. Se puede decir, por tanto, que el grueso de la física estadística forma parte de la «física de redes».
Como señalaban mis ensayos anteriores, y muchos otros autores han confirmado, la física de redes está llena de fractales y cuasifractales. Los primeros son figuras en un espacio de parámetros, tales como las «escaleras del diablo» comentadas en la leyenda de la lámina 121. Las segundas son figuras en el espacio real que no son fractales, pues no se las puede interpolar hasta lo infinitesimal, pero parecen fractales en la medida en que sus propiedades, a escalas grandes y medias, son las de los fractales. En los capítulos 13 y 14, al estudiar la percolación de Bernouilli, nos encontramos con un ejemplo paradigmático.
No hace falta decir que estoy plenamente convencido de que las réplicas a escalas cada vez más pequeñas de estas figuras convergen débilmente hacia límites fractales. Y los argumentos de los capítulos 13 y 14 se basan en esta convicción. Los físicos lo encuentran plenamente convincente, a pesar de que el único caso, que yo sepa, en el que se dispone de una demostración matemática completa es el movimiento browniano. Así pues, estas figuras no fractales con límites supuestamente fractales tiendo a considerarlas fractales en celosía. Más adelante, en este mismo capítulo, se discuten otros ejemplos importantes.
Otra conclusión relacionada con lo anterior es que los problemas reales, de los que la física de redes no es más que una simplificación manejable, implican las mismas fractales (o casi las mismas). En el caso de los polímeros (que enseguida estudiaremos), Stapleton, Alien, Flynn, Stinson y Kurtz (1980) respaldan esta conclusión.
Interacción local / orden global
Un descubrimiento fascinante de la física de redes, y que merece ser ampliamente divulgado, es que bajo ciertas condiciones el alcance de las interacciones puramente locales aumenta progresivamente hasta producir efectos globales. Por tomar un ejemplo fundamental, las interacciones entre espines elementales vecinos pueden dar lugar a imanes de tamaño mediano.
Creo que tengo derecho a soñar que llegará un día en que los fenómenos que he representado por fractales brownianos fraccionarios se podrán explicar de esta manera.
Un ejemplo ficticio
Describiré ahora un ejemplo que, aunque difiere en aspectos fundamentales del mecanismo físico de ordenación, tiene la virtud de ser simple y de recuperar un viejo conocido nuestro, el tamiz de Sierpinski (capítulo 14), como ejemplo de límite débil demostrable. Se colocan los espines en los puntos de coordenadas enteras, de modo que en los tiempos pares (resp., impares) están situados en puntos pares (resp., impares). La regla de cambio consiste en tomar el espín S(t, n), en el tiempo t y la posición n, igual a −1 si S(t−1, n−1) y S(t−1, n+1) son idénticos, y a +1 en caso contrario.
Una línea totalmente ocupada por espines −1 es invariante según esta transformación. Veamos ahora qué efectos tiene introducir una «impureza»+1 en n = 0 y t = 0. Los spines S(1, n) son todos −1 excepto para n = −1 y n = +1. Las configuraciones para tiempos posteriores son las siguientes:
Muchos lectores reconocerán aquí un triángulo de Pascal, en el que los coeficientes binomiales impares se han sustituido por +1. La t-ésima línea del triángulo de Pascal completo está formada por los coeficientes de la potencia del binomio (a + b)'.
Cualquiera que haya leído el capítulo 14 verá que, si unimos los signos + contiguos, obtenemos una figura claramente emparentada con el tamiz de Sierpinski (Rose, 1981). De hecho, reduciendo la escala de esta figura se la puede hacer converger al tamiz de Sierpinski.
Paseo aleatorio autoevitante y geometría de los polímeros lineales
Volvamos ahora a un problema concreto importante. El paseo aleatorio autoevitante (PAAE) avanza con independencia de las posiciones anteriores, excepto porque tiene prohibido pasar más de una vez por el mismo punto o entrar en un dominio del que no pueda luego salir. Todas las direcciones permitidas son equiprobables.
Sobre la recta, ese movimiento no plantea ningún problema: sigue inevitablemente uno de los dos sentidos sin volver nunca atrás.
En el plano y en el espacio, por el contrario, el problema es interesante y muy difícil. Tanto que hasta la fecha ningún estudio analítico ha conseguido resultados. Sin embargo, su importancia práctica en el estudio de las macromoléculas (polímeros) es tan grande que se ha convertido en objeto de una heurística esmerada y de detalladas simulaciones por ordenador. El resultado que más nos interesa, debido a C. Domb y descrito en Barker y Ninham (1970), es el siguiente:
Después de n > 1 pasos, el desplazamiento cuadrático medio Rn es del orden de magnitud de n elevado a una potencia que denotaremos por 1/D.
Este resultado sugiere intensamente que el número de vértices contenidos en un círculo o una esfera de radio R trazado alrededor de uno dado es aproximadamente RD. Ésta es una buena razón para comprobar si D es una dimensión fractal.
Su valor sobre una recta es (trivialmente) D = 1. Un razonamiento teórico debido a Flory, junto con simulaciones por ordenador para E = 2 y E = 3, coinciden en que D = (E + 2)/3 (de Gennes 1979, sección 1.3, cuyo 1/v es nuestra D, es una buena fuente). La dimensión fractal DB = 2 del movimiento browniano supera este valor para E = 2 y E = 3, pero coincide con él para E = 4.
Un argumento límite debido a Kesten establece que, cuando E → ∞, D → 2. Sin embargo, argumentos físicos sutiles sugieren el valor D = 2 para E > 4. El sencillo razonamiento fractal que sigue sugiere también dicho valor. Para E ≥ 4, la codimensión del movimiento browniano es ≥2 y, por tanto, la dimensión de sus puntos dobles es 0, lo que indica que el movimiento browniano no tiene puntos dobles. Lo que quiere decir que es autoevitante sin más.
Los valores de D resultan ser sensibles a los detalles de las hipótesis subyacentes. Si un polímero en el espacio tridimensional está formado por dos clases de átomos (de modo que el paseo no está confinado a una cuadrícula), Winwer encuentra que D = 2/1,29, que según él está muy por debajo del valor de Domb D = 1,67 ∼ 2/1,2. En un polímero disuelto en un disolvente reactivo, el espacio continente es aún menos inerte, y en particular D empieza a depender de la interacción. El punto 0 se define como aquél en que D toma el valor browniano DB = 2. En los buenos disolventes D < 2, y decrece con la calidad del disolvente; en particular, un disolvente perfecto da D = 2/1,57 si E = 2 y D = 2/1,37 si E = 3. En el espacio bidimensional, ni el peor disolvente puede ir más allá de D = 2, pero en el espacio tridimensional un mal disolvente da D > 2. Intervienen la coagulación y la separación de fases, y una cadena sin ramificaciones deja de ser un modelo satisfactorio.
Los párrafos anteriores no son más que una transcripción en terminología fractal de resultados ya conocidos, pero tengo la impresión de que esa transcripción sirve para clarificar el significado de los mismos. No obstante, hay que volver a plantear el hecho de que, al llamar dimensión a esta D, estamos suponiendo que las sucesivas réplicas reducidas del PAAE convergen débilmente hacia una cierta familia de fractales cuya dimensión es esta D observada empíricamente. Al físico no le cabe la menor duda de ello, pero un matemático exigente insiste en que, por ahora, esta afirmación no es más que una simple conjetura. En la sección siguiente esbozamos la dirección que podría tomar la demostración.
Nótese que no es de esperar que, al reducir el tamaño, el límite fractal sea autoevitante, pues los puntos en los que el PAAE «rebota» en su pasado lejano se convierten en puntos dobles. Su dimensión es, en efecto, (4 − E)/3 > 0. Sin embargo, no es de esperar que haya puntos triples, y su dimensión es, en efecto, max(0, 2 − E) = 0.
Las sucesiones que convergen fuertemente a un límite fractal son incomparablemente más fáciles de estudiar que las réplicas reducidas de los PAAE, tanto analíticamente como por ordenador. Por tanto, es útil —por así decirlo— «sombrear» el PAAE con una sucesión adornada por aproximaciones convergentes en sentido fuerte. Esto se consigue con mis «garabatos» del capítulo 25. Un resultado sorprendente es que los garabatos menos artificiales y más isótropos tienen una dimensión extraordinariamente próxima al valor D = 4/3, característico del PAAE plano. Otra «sombra» es el movimiento browniano autoevitante, definido en la lámina 343 como el contorno del casco de una trayectoria browniana acotada. Recordemos que también da D = 4/3. Esta acumulación de valores difícilmente puede ser una coincidencia, y debe indicar algo profundo relativo a la estructura del plano.
Es interesante desviarse aquí para examinar si un paseo aleatorio autoevitante satisface el principio cosmológico (capítulo 22). Los pasos iniciales no lo satisfacen, pero parece ser que prevalece un régimen estacionario condicionalmente cosmográfico (aunque no sé de ninguna demostración de este resultado).
Argumentos de renormalización
El estudio analítico de los cambios de escala en los sistemas de la física de redes (dentro de una tradición distinta de la mía) se basa en buena parte en el potente instrumento conocido (impropiamente) como «técnica del grupo de renormalización» (GR). Wilson (1979) es una referencia fácilmente asequible escrita por su inventor. Cuando una primera versión de esta obra y un artículo antiguo sobre el GR circulaban aún en forma de manuscrito, H. G. Callen me llamó la atención sobre el parentesco conceptual existente entre ambos.
Para investigar este parentesco, meditemos acerca de las siguientes citas de Wilson (1975, pág. 774): (a) «El rasgo crucial del límite al continuo estadístico es la ausencia de longitudes, energías o escalas de tiempo características». (b) «[El GR] es el instrumento que se emplea para estudiar el límite al continuo estadístico del mismo modo que la derivada es el instrumento fundamental para estudiar el límite al continuo ordinario… [La universalidad, una hipótesis adicional] tiene un análogo en el caso de la derivada ordinaria. Normalmente hay muchas aproximaciones distintas por diferencias finitas a una única derivada», (c) «Se está todavía muy lejos de la naturaleza sencilla, y sin embargo explícita, de la derivada».
«Una integral divergente es un síntoma típico de un problema que carece de escalas características», (e) «Una teoría de la renormalización [anterior]… elimina las divergencias de la electrodinámica cuántica… [Su] peor característica… es que no es más que una técnica matemática para sustraer las partes divergentes de las integrales». (f) «La idea física fundamental subyacente al método del GR es… que hay un efecto de cascada… [La primera] característica importante de la cascada es la invariancia por cambio de escala», (g) «[La segunda característica importante] es la amplificación o la reducción».
Y ahora unos cuantos comentarios. La cita (a) afirma que el GR y los fractales se aplican al mismo tipo de problemas concretos, y la cita (d) que se encuentran en primera instancia con la misma dificultad. La cita (b) resulta mucho más aplicable a la teoría de fractales. En el contexto fractal, la queja formulada en la cita (c) no está justificada: existe ya un sustituto simple y explícito de la derivada, cuyo primer elemento es la dimensión fractal. La cita (d) rememora ideas ya familiares para el lector de este ensayo: empezamos en el capítulo 5 comentando que la integral que debería dar la longitud de una costa es divergente y más adelante nos las arreglamos para convivir con varianzas infinitas, valores esperados infinitos o probabilidades infinitas (como cuando tratábamos con la distribución Pr(U>u) = u−D para 0 < u < ∞, a pesar de que 0−D = ∞). La cita (e) nos produce una sensación agradable: siempre conseguimos evitar las divergencias sin recurrir a técnicas puramente matemáticas. La cita (f) nos resulta también totalmente familiar.
En suma, no cabe la menor duda de que el GR y los fractales están inspirados en la misma idea, son la cara analítica y la cara geométrica de la misma moneda. Pero no hay un homólogo fractal de (g), por lo que el paralelismo no es completo.
▯ Uno de los resultados del GR es un hamiltoniano de punto fijo H0. Ser físico significa creer que el hamiltoniano H de un sistema físico contiene en principio toda la información relativa a la estructura del mismo. En tal caso, se debería poder emplear también los hamiltonianos para obtener las distribuciones de probabilidad conjunta de las distintas figuras aleatorias. La H finitamente renormalizada debería dar la distribución de las figuras a tamaño reducido, y el punto fijo H0 la distribución de los límites (y, en particular, debería dar su D). El programa de investigación esbozado aquí quizá sea difícil de llevar a cabo, pero estoy plenamente convencido de que dará resultado. ▮
Polígonos autoevitantes
Supongamos que se elige un polígono al azar entre todos los polígonos autoevitantes de n lados, los cuales son enlaces de una red cuadrada plana (E = 2). A veces tendrá forma cuadrada, con un área de aproximadamente (n/4)2. Otras, ahusada y delgada, con un área aproximada de n/2. Si se toma la media, asignando el mismo peso a cada polígono, las simulaciones numéricas señalan que el área media es aproximadamente n2/D con D ~ 4/3 (Hitey y Sykes, 1961). Por lo que, desde el punto de vista fractal, un polígono se comporta como un paseo aleatorio autoevitante que se muerde la cola.
Volviendo a los modelos de costas
El hecho de que su dimensión sea D ∼ 4/3 parece indicar que los polígonos autoevitantes son modelos de costas de una irregularidad superior a la media. Podemos alegrarnos por este descubrimiento, pero no por ello queda saldada la cuestión planteada en el capítulo 5, relativa a la forma de las costas.
En primer lugar, está el problema de las islas. El concepto de dimensión debería dar cuenta a la vez de la irregularidad de las costas, de su fragmentación y de la relación entre irregularidad y fragmentación. Pero los polígonos autoevitantes no tienen islas.
En segundo lugar, creo que un único valor de D no bastaría para todas las costas de la Tierra.
Finalmente, aunque no por ello menos importante, cuando un gran paseo aleatorio o un polígono autoevitantes se reducen de tamaño, de modo que el lado de la red pase de 1 a un pequeño valor η, dos puntos que distaban 1 convergen hacia el mismo punto límite. El paseo, o polígono, límite de las reducciones de tamaño no es, pues, autoevitante: no se corta a sí mismo, pero presenta autocontactos. No desearía encontrar tales puntos en un modelo de costa. Implican, por ejemplo, la existencia de una interpretación estricta de la etimología de las penínsulas (cuasiislas que tocan al continente en un solo punto) y la existencia de cuasilagos.
La incapacidad de los ríos para fluir en línea recta
En el capítulo 12 se menciona el resultado empírico de Hack, según el cual la longitud de un río varía normalmente como la potencia D/2 de su área de drenaje. Si los ríos fluyeran en línea recta a través de áreas de drenaje redondas, la longitud de un río sería proporcional a la raíz cuadrada del área de drenaje, con lo que D = 1. De hecho, D está comprendido entre 1,2 y 1,3. En respuesta a ello, el capítulo 12 describe un modelo basado en una red fluvial que recubre el plano, en la que los ríos son curvas fractales.
En un intento estocástico de explicar el efecto Hack por métodos muy distintos, Leopold y Langbein (1962) presentan simulaciones por ordenador del desarrollo de patrones de drenaje en regiones con una fitología uniforme. El modelo se basa en una forma original de paseo aleatorio bidimensional en una cuadrícula cuadrada, que debería interesar a los físicos. Se supone que tanto la situación de las fuentes como las direcciones de propagación se escogen al azar. El nacimiento del primer río es un cuadrado tomado al azar, y el cauce se genera por medio de un PAAE entre cuadrados adyacentes, hasta que sale del contorno. A continuación se escoge al azar otro nacimiento y el segundo río, generado como antes, acaba saliendo del contorno o confluyendo con el primer río. A menudo el segundo río, el «Missouri», es más largo que la parte del Mississippi anterior a la confluencia. O podría ser que la confluencia ocurriera en el nacimiento del primer río. Se continúa igual hasta que se han llenado todos los cuadrados. Aparte de estas reglas generales, otras decisiones un tanto arbitrarias sirven para evitar la formación de lazos, nudos y otras inconsistencias.
La simulación por ordenador indica que, en este modelo de paseo aleatorio, la longitud del río aumenta según la potencia 0,64 del área de drenaje. Por tanto, D ~ 1,28. La discrepancia entre este valor y el D ~ 4/3 de Domb podría ser una variación estadística debida a que las simulaciones no son lo bastante detalladas. Aunque yo me inclino a pensar que se trata de una discrepancia auténtica: la interferencia acumulada con otros ríos parece mucho más acentuada que la interferencia con las posiciones ocupadas en el pasado por un PAAE, y por tanto habría que esperar una D menor para el modelo de Leopold y Langbein.
En comparación con los mapas reales, los ríos del modelo de Leopold y Langbein son demasiado erráticos. Para evitar este defecto se han propuesto numerosas alternativas. El modelo de Howard (1971) postula un crecimiento hacia adelante, según varios esquemas perfectamente artificiales, a partir de desembocaduras situadas en el contorno de un cuadrado, dirigido hacia nacimientos localizados en su interior. Este procedimiento da lugar a unos ríos claramente más rectos que los del esquema de Leopold y Langbein, por lo que presumiblemente implican una D menor.
Por el momento, el estudio de redes aleatorias como las de Leopold y Langbein y las de Howard se limita a unas cuantas simulaciones por ordenador. Los matemáticos deberían avergonzarse, y quiero llamar su atención acerca de este interesantísimo problema. El hecho de que el PAAE se haya mostrado sumamente resistente al análisis debería servir para alejar a quienes buscan problemas fáciles que dan enseguida una gran cantidad de resultados, pero la variante de Leopold y Langbein podría ser más fácil.
Repito: las dificultades matemáticas con que topa el estudio del PAAE se deben a que los cambios locales pueden tener efectos globales. Análogamente, un cambio local en una red de Leopold y Langbein puede causar la irrupción de un río grande en la cuenca vecina. Uno se contentaría con poder medir macroscópicamente la intensidad de la interacción de largo alcance. Yo espero, naturalmente, que este parámetro sea una dimensión fractal.