La textura es un concepto escurridizo que tanto los matemáticos como los demás científicos tienden a evitar, pues no saben como dominarlo. Los ingenieros y los artistas, por contra, no pueden desentenderse de él, pero en general no consiguen manejarlo a su entera satisfacción. Hay muchos indicios, no obstante, de que varios aspectos concretos de la textura están cerca de una descripción cuantitativa.

De hecho, buena parte de la geometría fractal podría pasar por un estudio implícito de la textura. En este capítulo y el siguiente abordaremos explícitamente dos aspectos concretos, insistiendo sobre todo en los cúmulos de galaxias. Algunas discusiones sobre la textura se hubieran podido presentar de manera dispersa en capítulos anteriores, empezando por los capítulos 8 y 9, pero me pareció preferible (¡al precio de interrumpir la discusión sobre las tremas!) reunir todos mis comentarios sobre la textura en un solo lugar.

Como ya he dicho varias veces, mi búsqueda de modelos de cúmulos de galaxias procedió por aproximaciones sucesivas. Los primeros, descritos en los capítulos 32 y 33, concordaban con la D deseada a la vez que respetaban el principio cosmográfico condicional. Los que siguieron, descritos en el capítulo 35, también concuerdan con la textura.

Las secciones introductorias de este capítulo presentan las observaciones básicas relativas a las galaxias que me llevaron a distinguir dos aspectos de la textura, a los que llamo lagunaridad y subcolaridad. Lacuna (afín a lago) es el equivalente latino de hueco, por lo que diremos que un fractal es lagunar si sus huecos tienden a ser grandes, en el sentido de contener grandes intervalos (discos o bolas). Y un fractal subcolante es aquél que «casi» contiene los filamentos que habrían permitido la percolación; como en latín percolare significa «fluir a través de» (capítulo 13), subcolare parece el neolatinismo adecuado para «casi fluir a través de».

En el resto de este capítulo se introducen varias medidas de lagunaridad, pero las medidas de subcolaridad desbordan el tono elemental de una discusión como la que nos ocupa.

En el capítulo 35 se demuestra cómo se pueden controlar la lagunaridad y la subcolaridad por medio de tremas.

Hasta ahora se ha asignado un papel fundamental a las dimensiones fractal y topológica en la medición de los fractales. El capítulo 14 fue una excepción (incompleta), pues el orden de ramificación introduce distinciones más refinadas entre fractales con las mismas D_T y D. Nos hemos encontrado con muchas expresiones de la forma

pero hasta ahora sólo hemos considerado el exponente. El estudio de la textura nos obliga a prestar atención también al prefactor. Como no podíamos despreciarlo siempre, no puede sorprendernos que ni la naturaleza (la ciencia) ni el pensamiento humano (la matemática) sean simples.

En París, en 1974, después de mi primera conferencia sobre el modelo presentado en el capítulo 32, alguien me llamó la atención sobre un misterioso descubrimiento empírico. Mi única intención había sido conseguir el valor deseado de D para un fractal (de hecho, todavía no había inventado el término fractal). Pero, durante la discusión, un astrónomo que no se identificó señaló que se daba además otro elemento inesperado de verosimilitud: a menudo, los puntos de las muestras generadas por mi modelo parecen caer sobre líneas casi rectas, y en general parecen distribuidos sobre unos «cuasi-ríos» estrechos o «cuasi-filamentos». El astrónomo desconocido me dijo también que las galaxias presentaban esta propiedad de forma más manifiesta aún, y que un «cuasi-río» de galaxias visto más de cerca se descompone en «cuasi-ríos» más delgados. También recalcó que río es un término poco adecuado, pues las estructuras en cuestión son disconexas.

Para evitar que la terminología nos confundiera, recordé que los meteorólogos llaman cirros a las nubes lanudas y diáfanas, y archivé en mi mente la idea de que las galaxias tienen una estructura cirriforme, y de que convendría mejorar el modelo para que los cirros fueran aún más patentes.

Encontré las referencias pertinentes mucho más tarde: Tombaugh había observado los «cirros» en 1937, en la «supergalaxia» Perseo, y de Vaucouleurs había confirmado su existencia en la década de los cincuenta, en las supergalaxias Local y del Sur. Nuevas confirmaciones se encuentran en Peterson, 1974 (relativas al catálogo de Zwicky), en Joé- veer, Einasto y Tago, 1978, y en Soneira y Peebles, 1978 (relativas al catálogo de Shane y Wirtanen, del Lick Observatory; véase Peebles 1980).

Está claro que en un polvo fractal aleatorio puede presentarse una estructura cirriforme, aunque no tiene por qué ser así. No se da en el modelo de Fournier del capítulo 9, que genera un conjunto de «grumos». Por el contrario, aparecen inmediatamente los cirros si se toma la alfombra de Sierpinski del capítulo 14 y se desconecta el generador sin brusquedad. Como la dimensión fractal resultante puede tomar cualquier valor, queda claro que el hecho de ser cirriforme no es una cuestión de dimensión. Sin embargo, los cirros no aleatorios construidos exprofeso son demasiado artificiales para que esté justificado prestarles mucha atención.

Por esta razón era digno de destacar que, en un modelo aleatorio con una D suficientemente próxima a 2, debiera presentarse una estructura cirriforme incuestionable, aunque no intencionada.

Ello me llevó a examinar cuidadosamente otras familias de fractales aleatorios. En las láminas del capítulo 28 y en la lámina C15 se encuentran configuraciones particularmente inmediatas e interesantes, donde los archipiélagos, en los que parecen reunirse muchas de las islas, tienen más a menudo forma de atolón que de macizo.

Las láminas 431 y 432 indican que los fractales construidos por el procedimiento indicado en el capítulo 33, extrayendo al azar tremas discoidales, presentan una estructura marcadamente cirriforme. Basta con que la dimensión sea próxima a la dimensión crítica de percolación, D_crit aunque ligeramente inferior. Las razones de la estructura cirriforme están claras en este caso. Hagamos disminuir D por debajo de D_crit, pasando por una sucesión de fractales, contenidas cada una en las anteriores. Ya sabemos que la dimensión topológica cambia discontinuamente de 1 a 0, pero esta discontinuidad es algo excepcional: la mayoría de las facetas de la forma varían continuamente. Así por ejemplo, la fotografía desenfocada que se obtiene sustituyendo cada punto por una bola de radio r₀ varía continuamente. Dicha fotografía desenfocada tiene forma de arroyo, no sólo cuando D > D_crit, sino también cuando D_crit − D es positivo pero pequeño.

Nótese que también se hubiera podido definir una D_crit para los fractales del capítulo 32, pero en tal caso su valor es degenerado, igual a su valor máximo D = 2.

Un segundo fantasma ronda por los armarios de la mayoría de modelos de la distribución de galaxias. Para evitar críticas odiosas de otros (aun cuando puedan estar justificadas), consideremos cualquiera de mis modelos primitivos, que he analizado en los capítulos 32 y 33. Si se ajusta la D a los datos experimentales (D ~ l,23), las regiones limitadas de espacio que muestran mis láminas parecen razonables a primera vista. Pero los mapas generales del cielo no concuerdan con lo observado. En sus huecos hay dominios inmensos (de una décima parte del cielo o más) totalmente vacíos de galaxias a cualquier distancia prescrita. Por contra, en los mapas reales (por ejemplo, el del observatorio Lick, Peebles 1980) parece bastante homogéneo e isótropo, excepto a escalas bastante finas. Usando mi terminología, el cielo tiene poca lagunaridad, mientras que los modelos tienen mucha.

UNA IMPLICCIÓN COSMOLÓGICA APARENTE. Esta última circunstancia me inclinó, hacia 1970, a atribuir erróneamente la apariencia del cielo a una D mucho mayor que el valor 1,2 sugerido por de Vaucouleurs (1970).Y por lo que respecta a los cosmólogos, ya sabemos que suspiran por un universo homogéneo, y esperan que a partir de cierto corte superior prevalezca la homogeneidad, con D = 3. No dudarían en interpretar la discrepancia anterior como un argumento más a favor de que los fractales con D ~ l,23 (y en general con D < 3) sólo sirven para describir una pequeña región del universo.

LA LAGUNARIDAD ES UN PARÁMETRO DISTINTO DE D. De hecho, demostraré enseguida que a menudo se puede mantener la D de un fractal modificando su lagunaridad. La idea principal se ilustra en la lámina 444, mediante dos alfombras de Sierpinski de la misma D que tienen un aspecto muy distinto. La de la izquierda tiene huecos más grandes y es más lagunar, tanto intuitivamente como de acuerdo con las medidas que propondré.

IMPLICACIÓN COSMOLÓGICA. La inferencia usual de que la baja lagunaridad que se percibe implica una cota superior Ω «pequeña» puede ser muy precipitada. El abogado del diablo podría argumentar inmediatamente que las evidencias en favor de D ~ 1,23 a pequeña escala y una casi isotropía a gran escala no son incompatibles con un modelo fractal con Ω = ∞ convenientemente diseñado. Y vencer en esta discusión no significa refutar que Ω < ∞, sino solamente demostrar que la determinación de Ω precisa de más datos y de mayor cuidado.

La cuestión de si la cota superior n es pequeña o grande también es aplicable al estudio de la turbulencia. Como ya se dijo en el capítulo 10, Richardson (1926) proclama que, en la atmósfera, Ω es sumamente grande, mientras que muchos meteorólogos creen que es pequeña. Así pues, la mayoría de comentarios de la sección anterior tienen su homólogo turbulento.

Como quedan pocos defensores vivos de que Ω = ∞, la discusión es menos intensa en el caso de la turbulencia que en el de las galaxias, y es mejor plantearla en este último contexto.

El concepto de lagunaridad (contrariamente a lo que sucede con el de subcolaridad) tiene sentido ya en la recta, por lo que las afirmaciones de las secciones anteriores se justifican más fácilmente para los polvos lineales. Recordemos (capítulo 8) que un polvo de Cantor C en [0,1] puede tener cualquier D comprendida entre 0 y 1 (exceptuando los límites) de muchas maneras distintas, y que los resultados no tienen por qué parecerse.

Y esto ocurre aun en el caso de que C se descomponga en un número prescrito N de partes iguales. En efecto, D y N determinan la longitud de dichas partes, r = N^−1/D, pero no sus posiciones en [0,1]. En consecuencia, los mismos valores de D y N (y por tanto de r) son compatibles con distribuciones marcadamente diferentes de las partes.

En un caso extremo, se pueden distribuir las partes en dos grupos en las proximidades de 0 y 1. Ello deja un gran hueco en el centro, cuya longitud relativa 1 − Nr = 1 − N^1−1/D es muy próxima a 1. Tenemos un ejemplo en la sección horizontal media de la alfombra de Sierpinski de la lámina 444, izquierda. El mismo efecto se consigue colocando un único grupo grande en cualquier lugar entre 0 y 1.

En el otro extremo, se pueden separar las N partes mediante N − 1 huecos de la misma longitud (1 − Nr)/(N − 1). Tenemos un ejemplo en la sección horizontal inedia de la alfombra de Sierpinski de la lámina 318, derecha. Cuando la coagulación es aleatoria, como en el capítulo 23, los huecos tienen aproximadamente la misma longitud.

Cuando N > 1, el resultado de la construcción en el primer caso extremo tiene el aspecto de un conjunto de puntos dispersos, «imitando» así la dimensión D = 0, mientras que en el segundo caso extremo el resultado de la construcción parece un intervalo «entero», con lo que «imita» la dimensión D = 1. Y naturalmente se puede imitar cualquier D entre 0 y 1 escogiendo adecuadamente los lugares ocupados por los N − 1 huecos, cuyas longitudes relativas suman 1 − Nr.

El contraste entre ambos casos extremos aumenta con N, 1/r y b. Resulta difícil adivinar la dimensión fractal a partir de la apariencia de un fractal de lagunaridad escasa con N grande. Sin embargo, para N pequeño está clara. Por tanto, el juego de adivinar D con sólo mirar un fractal tiene sus limitaciones. No es ninguna tontería (y estábamos haciendo lo correcto al entregarnos a él en capítulos anteriores), pero en el caso de las galaxias es engañoso.

▯ Es clarificador para esta discusión un tema que la necesidad ha «exilado» al capítulo 39. El examen ocular de un fractal no lagunar revela su dimensión de semejanza, que como veremos es 1, y no su dimensión de Hausdorff. En este caso ambas dimensiones son distintas, y la segunda es la expresión más apropiada de la dimensión fractal. ▮

Cuando N ≫ 1 y D > 1, una elección adecuada del generador puede dar cualquiera de las cuatro combinaciones siguientes: lagunaridad alta o baja, y cirros arbitrariamente próximos a la percolación o ausencia de cirros. Así pues, nuestros dos aspectos de la textura pueden variar, en principio, de forma independiente.

En el corto espacio de tiempo transcurrido desde que empecé a investigar la lagunaridad, varios enfoques distintos han demostrado ser dignos de estudio. Desgraciadamente, no se debe esperar que las medidas alternativas resultantes estén relacionadas por funciones monótonas. Son números reales escogidos para cuantificar la forma de una curva, y participan por tanto de los conceptos de «individuo medio» y de «valor típico de una variable aleatoria». Y aunque sea triste, no se puede alterar la realidad de que los valores típicos son, por su propia naturaleza, indeterminados (a pesar de la determinación de muchos estadísticos a apostarlo todo en defensa de su medida favorita).

Uno se siente tentado a medir el grado de lagunaridad de un polvo de Cantor por la longitud relativa del mayor hueco. Por otra parte, en figuras planas como las de la lámina 444, la lagunaridad tiende a variar de modo inversamente proporcional a la razón entre el periodo de la trema y la raíz cuadrada de su área. Aunque se obtiene una medida más prometedora a partir de la distribución de tamaños de los huecos.

Veíamos en el capítulo 8 que las longitudes de los huecos de un polvo de Cantor satisfacían la ley Nr(U>u) ∝ Fu^−D en el sentido de que log Nr(U>u), representado en función de log u, tiene una gráfica en forma de escalera regular. La discusión que nos ocupa ahora no cambia nada del resultado anterior, pero el prefactor F, que hasta ahora no tenía ninguna importancia, pasa al primer plano.

Debemos enfrentarnos al hecho de que la definición de F es un tanto arbitraria. Por ejemplo, F puede tomarse con respecto a la línea que une los extremos izquierdos de los escalones, los extremos derechos o los puntos medios. Por suerte, esos detalles carecen de importancia. Se observa que, a medida que aumenta la lagunaridad, cualquier prefactor definido con un poco de sentido común disminuye. Y lo mismo ocurre con los factores de escala del volumen o el área relativos a las esponjas fractales o a las alfombras de Sierpinski. En todos los casos el aumento de lagunaridad es debido a la fusión de varios huecos en uno mayor. Esto hace que la gráfica de la escalera se deslice hacia las 4:30, una dirección más abrupta que la propia pendiente global, −D/E, de la escalera, lo que causa la disminución de F anticipada.

Vemos, pues, que en la familia de fractales, especial pero bastante amplia, que contiene los polvos de Cantor y las alfombras de Sierpinski la lagunaridad se puede medir, y por tanto definir, por medio de F.

Sin embargo, la validez de esta definición es limitada. Deja ya de ser útil cuando el centro del gran medallón central de la alfombra es ocupado por otra alfombra menor. Necesitamos definiciones alternativas, y la mejor es sustituir F por el prefactor de la relación M(R) ∝ R^D, cuya validez es más general.

Cuando un fractal no se ha construido iterativamente (como cuando es aleatorio, por ejemplo) hacen falta sustitutos de la lagunaridad. Los descritos en esta sección y las siguientes son promedios estadísticos, incluso en el caso no aleatorio del polvo de Cantor.

Consideremos en primer lugar los polvos de Cantor obtenidos como secciones horizontales medias de las dos figuras de la lámina 444. Tomemos la masa total de cada polvo igual a 1 y consideremos la masa contenida en distintos subintervalos de longitud 2R = 2/7. En el ejemplo más lagunar de la izquierda, dicha masa toma valores muy dispersos entre 0 y 1/2, mientras que en el ejemplo menos lagunar de la derecha la dispersión en torno al valor medio es muy pequeña. Desgraciadamente, la distribución de masa correspondiente al polvo de Cantor es complicada, y más vale pasar directamente al caso más simple de un polvo de Cantor totalmente aleatorio, P.

Supondremos que P interseca [0,1], y denotaremos por (W) la masa esperada contenida en dicho intervalo (las razones de esta notación se aclararán enseguida). Si tomamos un pequeño intervalo [t, t + 2R] contenido en [0,1], la masa esperada contenida en él es 2R(W), como era de prever. Pero si se descartan los casos sin interés en que la masa contenida es nula, la masa esperada aumenta a (2R)^D〈W〉. Su valor depende de D, y de nada más. (Ello demuestra que la probabilidad de que nuestro polvo interseque el intervalo [0,1] es (2R)^1−D). Dicho de otro modo, la misma masa resulta ser W(2R)^D, donde W es una variable aleatoria: unas veces grande y otras pequeña, pero en promedio igual a 〈W〉, con independencia de la lagunaridad.

Profundicemos un poco más y busquemos cuánto se apartan de 0 los valores efectivos de W/〈W〉 − 1. La medida convencional de esta discrepancia es el valor esperado de la expresión de segundo orden (W/〈W〉 − 1)², que se denota por 〈(W/〈W〉 − 1)²〉. Esta lagunaridad de segundo orden es pequeña cuando la lagunaridad intuitiva es baja, y es grande cuando también lo es ésta última. Por tanto, 〈(W/〈W〉 − 1)²〉 es un candidato a definición de lagunaridad. Otras definiciones alternativas, como 〈|W/〈W〉 − 1|〉, son tentadoras, pero son más difíciles de evaluar que la media cuadrática.

Resumiendo, hemos ido más allá de la relación «masa ∝ R^D» para prestar mayor atención al prefactor de proporcionalidad entre la masa y R^D. Nótese que el concepto de lagunaridad no tiene nada que ver con la topología y se refiere a comparaciones entre figuras con una D dada; su posible aplicación a comparaciones entre distintos valores de D está aún por estudiar.

Un enfoque alternativo de la lagunaridad se basa en la distribución de masa en el intervalo [t, t+2R], condicionada a que el punto medio t + R pertenezca a P. Esta condición implica que [t, t+2R] interseca P, aunque la inversa no tenga por qué ser cierta: si [t, t+2R] corta a P, el punto medio t + R no tiene por qué estar necesariamente en P. La condición más restrictiva que imponemos ahora sobre [t, t+2R] tiene una mayor tendencia a eliminar los casos en los que la masa está muy por debajo de la media, lo que conduce a una masa esperada mayor. En otras palabras, W es sustituida por W* y se cumple que 〈W*〉 > 〈W〉. Además, el cociente 〈W*〉/〈W〉 es grande si P es muy lagunar y pequeño si lo es poco. Tenemos, pues, otro candidato para definir una medida de la lagunaridad:〈W*〉/〈W〉.

Los enfoques de la lagunaridad discutidos hasta aquí son intrínsecos, es decir, no implican ninguna comparación con nada externo. No obstante, ya sabemos que muchos sistemas físicos comportan una cota superior finita Ω. Dichos sistemas permiten abordar la definición de lagunaridad desde un nuevo punto de vista, un poco menos general que los dos anteriores pero muchísimo más útil.

Sustituyamos nuestro conjunto fractal P, con Ω = ∞, por otro conjunto fractal P_Ω que «se parezca a P» a escalas inferiores a Ω y sea casi homogéneo a escalas superiores. Un ejemplo de Ω lo tenemos en el radio de transición en el que la distribución de galaxias pasa de D < E = 3 a D = 3. Esta transición, que hasta ahora podíamos mantener un tanto borrosa, hay que precisarla más. La idea es que un observador situado en un punto de P contempla Q como el tamaño del menor pedazo que debe investigar para hacerse una idea bastante aproximada del todo. Para este observador, el mundo menos lagunar parecería convertirse muy rápidamente en homogéneo, mientras que el mundo más lagunar parecería hacerlo muy lentamente.

y razonar que la transición se produce cuando αR^D = βR^E, esto es, Ω^E−D = α/β. Por tanto

Una variante menor escoge el punto en que las dos fórmulas tienen la misma derivada, con lo que Ω*^E−D = Dα/Eβ. Cuando aumenta la lagunaridad (es decir, α) pero β y D permanecen fijas, tanto Ω como Ω* aumentan. Ambas son buenos candidatos para definir y medir la lagunaridad.

El hecho de que una recta pueda deslizarse sobre sí misma se expresa diciendo que es invariante por traslación. Por contra, en el capítulo 22 se subrayaba que los polvos de Cantor tienen la propiedad no deseable de no ser invariantes por traslación. El polvo triádico original, C, y el que resulta de efectuar una traslación de 1/3, por ejemplo, ni tan siquiera se intersecan. Por contra, C y el que resulta de trasladarlo 2/3 tienen en común la mitad de C.

En el caso de un polvo de Cantor de lagunaridad máxima y N > 1, las únicas traslaciones admisibles que dan una intersección significativa son las próximas a 1 o las próximas a 0. En el caso de lagunaridad mínima, la longitud de traslación admisible puede ser (aproximadamente) cualquier múltiplo de 1/N.

En otras palabras, si se quiere aplicar la condición de invariancia por traslación a los polvos de Cantor, entonces hay que rebajar dicha condición, pero menos cuanto menor es la lagunaridad.

En el capítulo 22 llegábamos a la conclusión de que la condición de invariancia por traslación y el principio cosmológico se podían generalizar a los fractales si éstos eran aleatorios y se reformulaban las invariancias en forma «condicional». Esta reformulación nos proporciona una de las principales razones para introducir los fractales aleatorios.

El proceso empleado en este capítulo para variar la subcolaridad de una alfombra de Sierpinski y la lagunaridad de un polvo de Cantor o una alfombra de Sierpinski implica una vuelta a los estratos característicos de los fractales no aleatorios y de los fractales aleatorios primitivos. El método, aunque potente, es artificial. En particular, la restricción a cambios de escala con razones del tipo r^k crea lagunaridad a costa de reducir el alcance de la autosemejanza. Para un valor grande de N (por ejemplo, N = 10²², véase la leyenda de la lámina 167), y una r correspondientemente baja, la estratificación es pronunciada y visible.

Este modo de controlar la lagunaridad y la subcolaridad es obviamente indeseable. Por eso es una suerte que yo mismo descubriera que uno se las puede arreglar mucho mejor con una generalización del método de tremas, sustituyendo los segmentos, discos y bolas por las formas más generales que se presentan en el capítulo siguiente.

Un fractal puede tener lagunaridad nula, como se demuestra en una entrada del capítulo 39.

LÁMINA 444. La lagunaridad de la alfombra.

FIGURA 444

Considérense las alfombras de Sierpinski obtenidas a partir de los generadores

Para ambos generadores se tiene que b = 1; r = 1/7 y N = 40, por tanto D ~ 1,8957. El hecho de que N = 40 quizá no sea evidente, pero salta a la vista en los estadios siguientes, que se muestran arriba ampliados en un factor 7.

Está claro que el hecho de que ambas tengan la misma D no resulta obvio. A lo que se suma el hecho de que la alfombra de la izquierda da la impresión de tener unos agujeros claramente mayores, es decir, de ser mucho más lagunar (lacuna = agujero, hueco). El capítulo 34 presenta varios métodos alternativos para concretar esta impresión.

La dimensión D ~ 1,8957 es notablemente próxima a la de la percolación de Bernouilli (final del capítulo 13), pero el parecido es engañoso, pues en ambos casos las topologías son muy distintas.

34 Textura: huecos y lagunaridad, cirros y subcolaridad

34
Textura: huecos y lagunaridad, cirros y subcolaridad