La estructura de este grupo de capítulos es un tanto complicada. Los temas tremas aleatorias y textura no confluyen hasta el capítulo 35, donde se muestra cómo se puede controlar la textura. En el capítulo 34 se introduce la textura sin demasiada relación con las tremas, describiendo una serie de hechos que podrían haberse repartido entre capítulos anteriores, pero que es mejor presentar juntos para darles un tratamiento unificado.

Por lo que respecta a los capítulos 31 a 33, no tratan de la textura sino que, con el concepto de trema como base, se construyen fractales aleatorios, muchos de los cuales son nuevos. Y, al igual que los de capítulos (brownianos) anteriores, los nuevos fractales no están sujetos a ninguna trama espacial ni temporal.

En este capítulo se describen polvos aleatorios contenidos en la recta y se aplican al problema del ruido que comenzamos a tratar en el capítulo 8. En los capítulos 32 y 33, se los adereza para servir de base a dos generalizaciones: al plano y al espacio, respectivamente. El primer objetivo concreto de los capítulos 32, 33 y 35 es la preparación de un modelo de los cúmulos de galaxias, un reto que nos planteamos por primera vez en el capítulo 9.

En el capítulo 8 resultó interesante descubrir que un polvo de Cantor podía ser un modelo razonable de las principales características de ciertos ruidos excedentes. Pero ni siquiera intentamos ver hasta qué punto el modelo se ajustaba o no a los datos. La razón obvia es que esperábamos que el ajuste fuera terriblemente malo. Los polvos de Cantor son demasiado regulares para servir como modelos precisos de ningún fenómeno natural irregular que pueda venirme a la mente. En particular, sus razones de autosemejanza están limitadas a los valores r^K. Además, en el polvo de Cantor el origen tiene un papel privilegiado que no se puede justificar y que tiene unas consecuencias de lo más desafortunado: el conjunto no es superponible a sí mismo por traslación o, en un lenguaje más técnico, no es invariante por traslaciones.

Es fácil inyectarle la irregularidad, por medios estocásticos. En lo que respecta a la invariancia por traslación, el sustituto que buscamos para el polvo de Cantor sólo deberá coincidir con su imagen por traslación en sentido estadístico. En términos probabilísticos, esto significa que el conjunto debe ser estacionario, o por lo menos satisfacer una condición de estacionariedad convenientemente relajada.

En el capítulo 23 se propone un camino simple para conseguir parte de este objetivo, pero aquí se avanzan tres pasos en dicho camino.

El primer paso está relacionado con el primer modelo aleatorio realista de la intermitencia. Berger y Mandelbrot (1963) parten de una aproximación finita del polvo de Cantor, con escalas comprendidas entre ε > 0 y Ω < ∞, y baraja los huecos al azar haciéndolos estadísticamente independientes. Los intervalos de longitud ε comprendidos entre dos huecos sucesivos no se tocan. En el capítulo 8 se demuestra que en un polvo de Cantor el número relativo de huecos de longitud mayor que u viene dado por una función escalonada cuasihiperbólica. La aleatorización reinterpreta dicha función como una distribución de probabilidad Pr(U>u).

Esto nos da un polvo de Cantor aleatorizado con ε > 0. Por desgracia, la escalera de Pr(U>u) conserva aún la traza del valor original de N y de r. Éste es el motivo por el cual Berger y Mandelbrot (1963) alisan esta escalera: para los distintos huecos, medidos en unidades de ε, se toman valores enteros positivos estadísticamente independientes, con la distribución de longitudes

El modelo se ajusta sorprendentemente bien a los datos. Para los teléfonos de Alemania Federal se tiene D ∼ 0,3, y estudios posteriores de otros autores para distintas líneas encuentran valores de D que van desde 0,2 hasta casi 1.

En el modelo de Berger y Mandelbrot, las duraciones de los sucesivos huecos son independientes, y por tanto los errores constituyen lo que los probabilistas llaman un proceso «recurrente» (Feller, 1950). Cada error es un punto de recurrencia cuyos pasado y futuro son estadísticamente independientes y siguen las mismas reglas en lo que respecta a los errores.

Desafortunadamente, el conjunto obtenido barajando los huecos del polvo de Cantor truncado (y alisando su distribución) aún tiene unos cuantos defectos: (a) el ajuste de la fórmula a los datos sobre ruidos excedentes es aún imperfecto en ciertos detalles, (b) la restricción a ε > 0 puede ser aceptable para el físico pero, desde un punto de vista estético, es desagradable, (c) la construcción es incómoda y arbitraria, y (d) está muy lejos del espíritu de la construcción original de Cantor.

Mandelbrot (1965c) emplea un conjunto debido a Paul Lévy para construir un modelo más afinado en el que se evitan los defectos (a) y (b). Llamemos polvo de Lévy a este conjunto. Para una D dada, el polvo de Lévy es el único conjunto en el que se dan dos propiedades deseables. Como en el caso del polvo de Cantor truncado y aleatorizado, el pasado y el futuro de cualquier punto de dicho polvo son independientes. Como el polvo de Cantor, se trata de un fractal autosemejante. Y, mejor aún que el polvo de Cantor, este polvo de Lévy es estadísticamente idéntico a sí mismo contraído en un factor r arbitrario entre 0 y 1.

El conjunto de ceros de la función browniana (capítulo 25) resulta ser un polvo de Lévy con D = 1/2.

Desafortunadamente, el método seguido por Lévy para introducir este conjunto conserva los defectos (c) y (d) de la lista anterior. Técnicamente es una cuestión delicada: en vez de hacer que u se limite a valores enteros positivos, hay que dejar que tome cualquier valor real positivo, prolongando Pr(U>u) = u^−D para cualquier u > 0. Como 0^−D = ∞, la «probabilidad» total es infinita. El método seguido para eliminar esta secuela, aparentemente ridícula, es importante e interesante, pero carece de otras aplicaciones para los objetivos de esta obra.

Por suerte estas dificultades desaparecen si se adopta una construcción por «tremas», más natural, propuesta en Mandelbrot (1972z).

Como cuestión previa, es útil describir el polvo de Cantor original por medio de una combinación de tremas «activas» y tremas «virtuales». Como antes, se parte de [0,1] y se le quita el tercio central ]1/3, 2/3[. A partir de ahí la construcción es esencialmente la misma, aunque su descripción es formalmente distinta. En el segundo paso se quita el tercio central de cada tercio de [0,1]. Dado que quitar el tercio central del tercio central que ya hemos eliminado no tendrá ningún efecto visible, las tremas virtuales proporcionan también un método conveniente. Del mismo modo, el proceso continúa por eliminación del tercio central de cada noveno de [0,1], de cada veintisieteavo, etc. Nótese que ahora la distribución del número de tremas de longitud mayor que u viene dada por una función escalonada que globalmente se comporta como u⁻¹ en vez de u^−D. La misma dependencia en u vale para las distintas reglas de la coagulación, excepto que tanto las posiciones de los escalones como el factor de proporcionalidad dependen del método de construcción.

Después, Mandelbrot (1972z) aleatoriza la construcción de Cantor alisando los escalones de la distribución y eligiendo al azar las longitudes y posiciones de las tremas, de manera que éstas sean mutuamente independientes. Por fin, para implementar la proporcionalidad a u⁻¹, se supone que el número esperado de tremas centradas en un intervalo de longitud A t y con una longitud superior a u es igual a (1 − D_*) Δt/u y obedece a una distribución de Poisson. Dentro de poco se aclarará el porqué de la notación 1 − D_*.

Al ser independientes, las tremas pueden intersecarse, y lo hacen con entusiasmo: la probabilidad de que una trema dada no tenga intersección con ninguna otra es nula. Dicho de otro modo, los conceptos de trema y hueco dejan de coincidir; el término hueco se reservará para los intervalos producidos por la superposición de tremas solapantes. Inmediatamente se plantea la pregunta de si todas las tremas acaban por reunirse en un enorme hueco o si, por el contrario, dejan algunos puntos por cubrir. Enseguida daremos la respuesta, que justificaremos en la sección siguiente mediante un razonamiento intuitivo sobre el proceso de nacimiento, y demostraremos que los puntos no recubiertos forman racimos espontáneamente.

Consideremos un intervalo que no esté completamente recubierto por tremas de longitud mayor que ε₀, e introduzcamos luego tremas más pequeñas por encima de un umbral ε variable que disminuye de ε₀ hasta 0. Si D_* ≤ 0 y ε → 0, es casi seguro (la probabilidad tiende a 1) que no queda ningún punto por cubrir. Si 0 < D_* < 1, puede darse también el mismo resultado, pero deja de ser seguro. Hay una probabilidad no nula de que quede por cubrir un «fractal por tremas», incluso en el límite. Mandelbrot (1972z) demuestra que se trata de un polvo de Lévy de dimensión D = D_*.

Según la construcción del capítulo 8, los errores cantorianos se producen en una jerarquía de ráfagas o «agregados». La intensidad de la agregación se mide por el exponente D. Esta propiedad sigue siendo válida si los huecos se barajan al azar, pero la demostración no es ni brillante ni aclaratoria.

Por el contrario, la demostración del mismo resultado mediante el polvo de tremas aleatorias es simple e interesante por sí misma.

De nuevo la clave está en empezar con tremas de longitud mayor que un cierto umbral e, y luego ir multiplicando e por una r < 1, pongamos r = 1/3, haciendo que su valor tienda a 0. Empezamos con un intervalo sin tremas comprendido entre dos ε-huecos. La adición de tremas con longitudes comprendidas entre ε/3 y ε tiene a veces el efecto devastador de eliminarlo todo. Pero hay una probabilidad bastante grande de obtener un efecto más suave: (a) los ε-huecos limítrofes se amplían para dar (ε/3)-huecos más largos, y (b) dentro del intervalo aparecen nuevos (ε/3)-huecos más pequeños. Los nuevos intervalos entre huecos se perciben inevitablemente arracimados. De modo análogo se generan subagregados sustituyendo ε/3 por ε/9,… 3^−H ε,…

La evolución de estos agregados cuando n → ∞ se rige por un nuevo proceso de nacimiento y muerte. Como en la teoría clásica empleada en el capítulo 23, los agregados mueren o se multiplican con independencia de otros agregados del mismo n y de sus historias familiares. Un intervalo largo tiene menor probabilidad de ser eliminado que uno corto y, en promedio, acaba generando más hijos. Cuando 1 − D_* aumenta, los intervalos entre ε-huecos se acortan. Además, algunos intervalos entre (ε/3)-huecos desaparecen por completo. Hay pues dos razones que hacen disminuir el número esperado de hijos. El valor D_* = 0 es crítico, por cuanto para D_* < 0 la línea familiar casi seguramente acaba por desaparecer, mientras que para D_* > 0 hay una probabilidad positiva de que el linaje se mantenga por siempre jamás.

▯ El propósito de esta digresión técnica es demostrar que los principales resultados relativos al número de errores en el modelo del polvo de Cantor siguen siendo válidos después de la aleatorización. De hecho, los argumentos y las conclusiones son considerablemente simples, en particular cuando Ω = ∞. Nos servirá también como ejemplo del uso de la esperanza condicionada en los procesos autosemejantes.

▯ Supongamos que en el intervalo [0,R] hay al menos un error, siendo R tal que R ≫ η y R ≪ Ω. Esta condición se expresa como M(R) > 0. La razón por la que el modelo de Berger y Mandelbrot se denomina condicionalmente estacionario es la siguiente: si [t, t+d] está totalmente contenido en [0, R], el número condicionado de errores, que expresaremos como {M(t+d) − M(t) | M(R) > 0), tiene una distribución independiente de t. Basta pues estudiarla para t = 0. Además, como los valores esperados son aditivos, la estacionariedad condicional implica que

donde D* es una constante que dependerá del proceso considerado. Para demostrarlo basta con introducir un d' intermedio tal que d < d' < R y descomponer nuestra Pr condicional como

Por tanto, basta con combinar la estacionariedad condicional y la autosemejanza para demostrar que

El modelo concreto considerado determina el exponente D* = D. Además, la autosemejanza sola implica que las razones

▯ Contrariamente a lo que ocurre con las probabilidades condicionales, la probabilidad absoluta del suceso condicionante M(R) > 0 depende fuertemente de n. Sin embargo, si el truncamiento para Ω < ∞ se hace de forma conveniente, se encuentra que

Como esta última expresión se puede deducir de una expresión del párrafo anterior sustituyendo R por L y d por R, el suceso «M(R) > 0 sabiendo que L < ∞» se puede tratar como el suceso «M(R) > 0 sabiendo que M(L) > 0». En el límite Ω → ∞ la probabilidad de que [0, R] esté totalmente contenido en un hueco muy grande tiende a 1, con lo que la probabilidad de observar un error se hace infinitamente pequeña. Pero la probabilidad condicional del número de errores obtenida anteriormente no resulta afectada.

▯ El razonamiento anterior se suma a la discusión del principio cosmográfico condicional del capítulo 22. ▮

LÁMINA 404. Entramado de calles aleatorio.

FIGURA 404

Como ya hemos comentado en el capítulo 8, es una pena que el polvo de Cantor sea tan difícil de representar directamente. Sin embargo, se puede representar indirectamente como la intersección de la curva triádica de Koch con su base. De modo parecido, el polvo de Lévy puede imaginarse indirectamente. En esta lámina, las bandas negras en forma de calles se han dispuesto al azar y, en particular, sus direcciones son isótropas. Las anchuras siguen una distribución hiperbólica, y enseguida se hacen tan delgadas que no pueden dibujarse. Asintóticamente, el conjunto blanco restante (las «manzanas de casas») tiene área nula y una dimensión D menor que 2.

Mientras las manzanas resultantes tengan una dimensión D > 1, su intersección con una línea arbitraria es un polvo de Lévy de dimensión D − 1. Por otra parte, si D < 1, la intersección es, casi con seguridad, vacía. Sin embargo, este resultado no es del todo claro aquí, por cuanto la construcción no se ha llevado tan lejos como sería necesario.

En el capítulo 33 se presenta una ilustración mejor. Cuando las tremas extraídas del plano son discos aleatorios, como en las láminas 429 a 430, las intersecciones de los fractales por tremas con líneas rectas dan polvos de Lévy.

LÁMINAS 405 y 406. Escaleras diabólicas de Paul Lévy (dimensión 1; las abscisas de los peldaños tienen dimensiones D = 9/10, D = 3/10, y D = 0,6309, respectivamente).

FIGURA 405

Estas gráficas son parientes aleatorizados de la función de Cantor, o escalera del diablo, de la lámina 121. La mayor de estas escaleras de Lévy tiene la misma D que la original de Cantor y, de las dos pequeñas, una tiene una D mucho mayor y la otra mucho menor.

Para dibujar una escalera de Lévy, se evalúa la abscisa en función de la ordenada. En una primera etapa, siempre que la ordenada aumenta en Δy (en estos ejemplos, Δy = 0,002), la abscisa experimenta un aumento aleatorio con una distribución Pr(Δx > u) = u^−D. En una segunda etapa, se cambia de escala la abscisa para que la escalera acabe en el punto de coordenadas (1,1). La escalera pequeña correspondiente a D = 0,3 parece reducirse a un pequeño número de escalones debido al intensísimo agrupamiento de las abscisas de los peldaños.

FIGURA 406

31 Tremas en un intervalo; polvos de Lévy lineales

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Tremas en un intervalo; polvos de Lévy lineales