Este capítulo culmina con una explicación de las láminas 25 y 26. El texto se dedica en primer lugar a las funciones brownianas fraccionarias de 3 variables, con un exponente antipersistente H < 1/2. El caso H = 1/3 recibe especial atención, mientras que H = 1/2 sirve como otras veces de punto de partida.
Isosuperficies de un escalar en un fluido turbulento
En un fluido turbulento, la superficie isoterma en la que la temperatura vale exactamente 7°C es, topológicamente hablando, una colección de esferas. Sin embargo, resulta obvio que esta superficie es, con mucho, más irregular que una esfera o que el contorno de cualquier sólido descrito por la geometría euclídea.
Nos recuerda la cita de Perrin del capítulo 2, donde se describe la forma de un copo coloidal obtenido echando sal en una solución jabonosa. El parecido puede ir más allá de la simple analogía geométrica. Podría ser que cada copo llenara la zona donde la concentración de jabón superara determinado umbral, y que además esta concentración hiciera las veces de marcador inerte de una turbulencia muy madura.
Sea como fuere, la analogía con los copos coloidales nos sugiere que las superficies isotermas son fractales aproximadas. Queremos saber si esto es efectivamente así y, en tal caso, evaluar su dimensión fractal. Para ello tenemos que conocer la distribución de cambios de temperatura en un fluido. Corrsin (1959d), entre otros, reduce la cuestión a un problema clásico, que fue tratado por Kolmogorov y otros en los años cuarenta. En parte, estos autores pioneros llegaron extraordinariamente lejos, y en parte fracasaron. En atención a los no especialistas en el tema, introducimos aquí una visión general de estos resultados clásicos.
La delta variancia de Burgers
La delta variancia de X se ha definido en el capítulo 21 como variancia de un incremento de X. J. M. Burgers supuso que la delta variancia de la velocidad entre dos puntos dados P y P0 = P + ΔP es proporcional a |ΔP|. Este postulado, tosco pero simple, define la turbulencia de Burgers.
Un modelo matemático preciso de función de Burgers es la función de Poisson resultante de una colección infinita de pasos con direcciones, posiciones e intensidades dadas por tres sucesiones infinitas de variables aleatorias mutuamente independientes. Esta descripción debería sonarnos a algo. Aparte de la adición de la variable z a las x e y, y la sustitución de la altura (unidimensional) por la velocidad (tridimensional), ya he empleado una función de Burgers gaussiana en mi modelo browniano de superficie terrestre del capítulo 28.
La delta variancia de Kolmogorov
Como modelo de turbulencia, la delta variancia de Burgers presenta defectos mortales. El peor de ellos es que es incorrecta desde el punto de vista del análisis dimensional. Un argumento dimensional correcto, adelantado por Kolmogorov y desarrollado simultáneamente por Oboukhov, Onsager y von Weizsacker, prueba que sólo hay dos posibilidades para la delta variancia. O bien es universal, esto es, la misma con independencia de las condiciones experimentales, o es un lío tremendo. En el primer caso, la delta variancia debe ser proporcional a |ΔP|2/3. Hay deducciones de este resultado en muchos libros, y su naturaleza geométrica se pone especialmente de manifiesto en Birkhoff (1960).
Después de algunos titubeos, quedó claro que la delta variancia de Kolmogorov describe sorprendentemente bien la turbulencia del mar, la atmósfera y de cualquier recipiente grande (véase Grant, Stewart y Moillet, 1959). Esta constatación representa un triunfo sorprendente del pensamiento abstracto a priori sobre la confusión de los datos experimentales. Y, a pesar de sus muchas restricciones (a las que el capítulo 10 añade otras nuevas), merece ser conocida fuera del círculo de los especialistas.
La función gaussiana con la delta variancia de Kolmogorov también nos suena a algo. En el contexto que nos ocupa, relacionado con una temperatura escalar (unidimensional), esta función gaussiana es una función browniana fraccionaria real de tres variables con H = 1/3. Así pues, el campo de Kolmogorov presenta antipersistencia, mientras que el relieve terrestre tiene persistencia. Otra diferencia más fundamental es que, mientras la H necesaria para representar los datos del relieve es puramente fenomenológica, el valor H = 1/3 de Kolmogorov tiene su origen en la geometría del espacio.
Las isosuperficies de la turbulencia homogénea son fractales (Mandelbrot, 1975f)
A pesar de su éxito en la predicción de H = 1/3, el método de Kolmogorov tiene un defecto importante: no dice nada de la distribución de velocidades o temperaturas en un fluido, aparte de que no puede ser gaussiana.
Un resultado negativo como este es lamentable, pero rara vez es razón suficiente para abandonar una hipótesis que por lo demás es buena. Como mucho, los que estudian la turbulencia tienen que tomar algunas precauciones al investigar un modelo gaussiano. Si el resultado de un cálculo es lógicamente imposible hay que abandonar dicho modelo; si no, se puede seguir adelante.
En particular —y volviendo a la temperatura— Mandelbrot (1975f) combina la hipótesis gaussiana con las delta varianzas de Burgers y de Kolmogorov. Se puede suponer que las conclusiones seguirán siendo válidas sin la hipótesis gaussiana, pues para obtenerlas se ha supuesto poco más que la continuidad y la autosemejanza.
En el espacio cuadridimensional de coordenadas x, y, z, T, la temperatura T define una función T(x, y, z). El grafo de una función browniana fraccionaria es un fractal de dimensión 4 − H, y muchas de sus secciones fractales ya las conocemos bien.
SECCIONES LINEALES. La isoterma correspondiente a T0, con y0 y Z0 fijas, está formada por los puntos de un eje espacial en los que se observa un determinado valor de T. Forman un conjunto de ceros de una función browniana fraccionaria de dimensión 1 − H.
SECCIONES PLANAS. Con x0 y z0 fijas, la curva que representa la variación de temperatura a lo largo del eje x es una función browniana fraccionaria real de una variable, y su dimensión es 2 − H. Con z0 y T0 fijas, la ecuación implícita T(x, y, z0) = T0 define una isoterma en un plano. Su dimensión es 2 − H y, aparte del valor de D, son idénticas a las costas que estudiábamos en el capítulo 28.
SECCIONES ESPACIALES. Con z0 fija, la sección es el grafo de T(x, y, z0), un fractal de dimensión 3 − H. Para H = 1/2 su definición es idéntica a la del relieve browniano de las láminas del capítulo 28. Para H = 1/3 es un relieve browniano fraccionario como los que aparecen en esas mismas láminas.
Explicación de las láminas 25-26
Para T0 fijo, la isosuperficie definida por la ecuación implícita T(x, y, z) = T0 es una generalización tridimensional de las costas, e introduce un nuevo tipo de fractal de dimensión D = 3 − H. Por tanto, en la turbulencia gaussiana no persistente de Burgers tenemos D = 3 − 1/2, y en la turbulencia gaussiana antipersistente de Kolmogorov, D = 3 − 1/3.
En la lámina 26 se ilustran estas superficies, cuyo origen hemos podido explicar al fin. Para poder compararlas, en la lámina 25 presentamos la isosuperficie de una función T(x, y, z) persistente, con H = 0,75. Debido a la enorme dificultad de este cálculo, ha sido necesario alisar en exceso las superficies. El hecho de que las diferencias debidas a D afecten la forma global menos drásticamente de lo esperado se explica en la página 376.