Como ya avanzamos en el capítulo anterior, seguiremos profundizando en mi modelo browniano del relieve. Por lo que respecta a las áreas de las islas, las consecuencias resultan bastante aceptables, pero no lo son en lo que se refiere a lagos y hondonadas. Avanzaremos un modelo mejorado con objeto de corregir esta discrepancia.
Las áreas proyectivas de las islas
Como señalábamos en el capítulo 13, la variabilidad de las áreas proyectivas A de las islas oceánicas es una característica obvia de los mapas, que a menudo es más chocante que la forma de las costas. Allí explicábamos que Korčak (1938) propone una distribución hiperbólica: Pr(A>a) = Fa−B. (En el presente contexto reemplazaremos Nr por Pr). Finalmente demostrábamos que este resultado empírico vale siempre que la costa sea autosemejante. Ahora estamos en condiciones de añadir que basta con suponer que el relieve es autosemejante.
No cabe duda de que la relación 2B = D en las costas de Koch no aleatorias del capítulo 13 se puede generalizar a los conjuntos de ceros de las funciones brownianas fraccionarias. Pero los argumentos son, por ahora, parcialmente heurísticos. La distribución correspondiente al relieve browniano fraccionario con H = 0,800 se ajusta realmente bien a los datos empíricos referidos a toda la Tierra.
Áreas proyectivas de los lagos
Se afirma que las áreas de los lagos siguen también la distribución hiperbólica, lo que podría llevar a despacharlos sin más, como si no introdujeran ningún elemento nuevo. Sin embargo, si se piensa un poco más, uno se da cuenta que las definiciones de isla y lago no son ni mucho menos simétricas.
El análisis específico que se esboza en este capítulo aclara muchas cuestiones referentes a dos sustitutivos de los lagos: las «depresiones» y las «hondonadas». Y nos enfrenta al hecho de que, en la naturaleza, los árboles fluviales y las cuencas son asimétricos, pero no ocurre lo mismo con ninguno de mis modelos brownianos. Por tanto, este análisis sugiere la necesidad de mejorar estos últimos.
Pero la distribución de las áreas lacustres sigue siendo un misterio. Quizá el hecho de ser hiperbólica se deba simplemente a la «resistencia» de la distribución hiperbólica a diversas formas de tortura (Mandelbrot 1963e y capítulo 38). Así, por ejemplo, el producto de un multiplicando aleatorio hiperbólico por un multiplicador bastante arbitrario es, generalmente, hiperbólico. El multiplicando puede deberse a un estado primitivo en que el relieve y casi todo lo relativo al mismo es hiperbólico. Y el multiplicador puede deberse a mil factores geológicos y tectónicos que afectan a la forma de los lagos. Sin embargo, esta «explicación» es puramente especulativa.
El concepto de depresión
El concepto simétrico al de una isla marina es el de una región, rodeada por un continente, por debajo del nivel del mar. Tales regiones se denominan depresiones. Algunas de ellas contienen agua, normalmente sin alcanzar el nivel del mar, como, por ejemplo, los mares Muerto (con agua hasta −430 m), Caspio (−30 m) y Saltón (−80 m). Otras depresiones son secas, como el Valle de la Muerte (con un desnivel máximo de −90 m) o la depresión de Qattara (−145 m). Tenemos también el caso intermedio de los Países Bajos.
No dispongo de información acerca de las áreas proyectivas encerradas por las curvas de nivel cero de las depresiones, y tampoco sé cómo obtenerla. Pero echando una ojeada a los mapas se tiene la impresión de que las depresiones son menos numerosas que las islas. En el contexto del modelo de una Tierra plana con un relieve browniano de dos variables, esta asimetría es de esperar. El hecho de que las distribuciones de islas y depresiones tengan el mismo exponente significa que, ordenando las áreas de mayor a menor, el área de la décima isla y el área del décimo lago guardan aproximadamente la misma proporción que el área de la vigésima isla y el vigésimo lago. Pero en la ley de Korčak interviene también un factor F que fija el valor absoluto de las áreas de la décima isla y el décimo lago. Una inspección comparativa de las diversas láminas revela claramente que en el caso de un continente rodeado por el océano el factor F es mayor para las islas que para las depresiones (y viceversa). Y en el modelo browniano sobre la esfera, el área menor (Pangea) está más disgregada que la mayor (Pantalasia).
Pero el razonamiento anterior no nos aclara nada sobre los lagos; salvo raras excepciones carentes de interés (como las zonas de marisma), las depresiones y los lagos son cosas distintas. La altitud del lecho de un lago no tiene por qué ser z < 0, así como tampoco tiene por qué ser z = 0 el nivel de su superficie. Y aún hay más complicaciones: la mayoría de los lagos se llenan hasta el borde, que es un punto de silla, pero esta regla también admite excepciones (por ejemplo, el Gran Lago Salado y los lagos que suele haber en los fondos de las depresiones citadas al principio de esta sección).
El concepto de hondonada
Pasemos ahora a estudiar un segundo sustitutivo de los lagos, que designaremos con el término geométrico neutro de hondonada.
Para definir este concepto, pensemos en un paisaje impermeable en el que todos los hoyos estén llenos exactamente hasta el borde. Para salir de un hoyo, una gota de agua tiene que subir primero y luego bajar. Pero si añadimos una gota de agua a este paisaje, se escapará siguiendo un camino nunca ascendente, sino descendente u horizontal. Cada hoyo tiene un área no nula, por tanto el número de hoyos es finito o infinito numerable. Se puede suponer sin pérdida de generalidad que los distintos desagües tienen altitudes distintas. La línea de nivel correspondiente a la altitud de un cierto desagüe estará formada por un cierto número de bucles que no se tocan, más otro bucle con un punto de autocontacto. A una altitud ligeramente inferior dicho bucle se divide en dos, con el menor encajado en el mayor.
Cuando los hoyos de la construcción anterior están llenos los llamaremos hondonadas.
Las terrazas del diablo
Supongamos ahora que estamos considerando un relieve browniano con 0 < H < 1. Debido a la autosemejanza, las áreas de las hondonadas siguen sin duda una distribución hiperbólica. Si D no es demasiado mayor que 2, el exponente de la distribución de las áreas es próximo a 1.
Concretando más, mi conjetura es que una gota de agua que caiga al azar es casi seguro que caerá en una hondonada. Si esta conjetura es correcta, las superficies de las hondonadas constituyen una extrapolación agreste de las terrazas de los campos del sudeste asiático. Las llamaré terrazas del diablo. Los puntos que no caen dentro de las hondonadas forman líneas de costa acumulada y en conjunto constituyen una red ramificada, una variante aleatoria del tamiz de Sierpinski. Si me equivoco, y el área total de la costa es positiva en vez de nula (capítulo 15), mi conjetura alternativa es que hay una hondonada arbitrariamente cerca de cualquier punto que no pertenezca a ninguna hondonada.
Modelo browniano erosionado: mezcla de cerros y llanuras planas
No puedo resistirme ahora a modificar mis modelos brownianos imaginando que todas las hondonadas de un terreno browniano BH se llenan de barro y se convierten en llanuras planas. No hace falta que ilustremos gráficamente la función B*H resultante, pues en los casos interesantes, en que D no es demasiado mayor que 2, el relleno de las pequeñas hondonadas no produce demasiados cambios visibles. Para conseguir barro con el que llenar las hondonadas, la erosión tiene que desgastar los cerros; aunque, como veremos, (si D no es mucho mayor que 2) no hace falta una cantidad muy grande de barro, y por tanto se puede suponer que la forma de los cerros cambiará poco. El hecho de que la erosión desgaste los puntos de silla por los que desaguan las hondonadas no es tratable en este contexto.
Desde el punto de vista de esta obra, una de las principales virtudes de la modificación que proponemos es que, si se escoge convenientemente el nivel del mar, el relieve browniano erosionado sobre una Tierra plana sigue siendo escalante. Pero ¿qué efecto tiene esa erosión sobre la dimensión? Hay evidencias de que la dimensión de B*H se sitúa entre 2 y la dimensión 3 − H de BH.
Razonemos ahora por qué la cantidad relativa de material necesaria para llenar todas las hondonadas no es grande en el caso D = 2 + ε. El volumen del terreno tiene un orden de magnitud de (longitud típica de la proyección de la tierra firme)2 + H ∝ (tierra firme)1 + H/2. Como el área relativa sigue una distribución hiperbólica de exponente próximo a 1 y ∑(área relativa) = 1, se deduce que ∑(área relativa)1 + H/2 es bastante pequeña. Las excepciones corresponden a casos en los que la hondonada mayor es sumamente grande; y no hace falta llenar tales hondonadas, como en el caso del Gran Lago Salado.
Ríos y cuencas fluviales
En una primera aproximación, que tuvo un papel central en el capítulo 7, he sugerido que los ríos y las cuencas fluviales forman árboles conjugados que llenan el plano. De hecho, esta caracterización sólo es aplicable a los mapas; si se tiene en cuenta la altitud, esa bella simetría entre los árboles fluviales y las cuencas queda automáticamente destruida. En efecto, si no tenemos en cuenta los lagos, los puntos de una cuenca son siempre o bien máximos locales (colinas) o bien puntos de silla (pasos), mientras que los puntos de un árbol fluvial nunca son mínimos locales ni puntos de silla. El hecho de que los modelos browniano y browniano fraccionario sí tengan mínimos locales implica que no tienen árboles fluviales. Éste es un buen golpe contra mis modelos brownianos.
Una vez se han llenado las hondonadas, no hay ríos propiamente dichos, sólo cadenas ramificadas de lagos poco profundos, que nos recuerdan cactus con ramas en forma de disco. Las cuencas forman un árbol, que en mi opinión es una curva ramificada con D < 2, aunque bien podría ser una curva de área positiva, y por tanto de dimensión D = 2. Se imponen diversas variantes más elaboradas, pero es mejor guardarlas para mejor ocasión.
Propiedades de las hondonadas
Para situar en la perspectiva adecuada las afirmaciones hechas en una sección anterior, estudiaremos primero la reducción unidimensional del problema, a saber, una función browniana fraccionaria real de una variable real BH(x). En este caso, una isla es simplemente un intervalo [x', x''] en el que BH(x) > 0 cuando x' < x < x'' mientras que BH(x') = BH(x'') = 0. Designemos por x = x0 el punto en el que BH(x) alcanza el valor máximo (los casos en que hay varios máximos x0 tienen probabilidad nula), y definamos BH(x)de manera que:
para x en [x', x0], B*H(x) = maxx' ≤ u ≤ x BH(u)
para x en [x0, x''], B*H(x) = maxx ≤ u ≤ x'' BH(u)
Resulta claro que z ≥ B*H(x) es una condición necesaria y suficiente para que una gota que parte del punto (x, z) pueda llegar al mar siguiendo un camino nunca ascendente. Las gotas para las que BH(x) < z < B*H(x) quedarán atrapadas, y z = B*H(x) es el nivel de agua que se alcanza cuando se han llenado todas las hondonadas. Esta función B* es simplemente una escalera del diablo de Lévy (láminas 405 y 406) que sube de x' a x0, empalmada con otra escalera que baja de x0 a x''. Es continua y no diferenciable, y varía sobre un conjunto de longitud nula. Cualquier gota de agua en la proximidad del punto más elevado de la tierra firme bajará hasta el mar siguiendo un camino que alterna regiones planas con regiones cuesta abajo.
Las gotas que no pueden escapar llenan el dominio BH(x) < z < B*H(x). Se trata de un dominio inconexo, pues no hay puntos en los que B*H(x) = BH y sus partes conexas son las hondonadas del terreno. La longitud de una hondonada es la distancia entre dos ceros consecutivos de B*H − BH. Su distribución es hiperbólica, debido a la propiedad escalante; se sabe que el exponente es 1/2 cuando H = 1/2, y yo estoy convencido de que siempre es H. La longitud de la hondonada más larga, dividida por |t' − t''|, es mayor cuanto más próxima a 0 está H y menor cuanto más próxima a 1.
Volvamos ahora al terreno browniano BH(x, y), sobre una Tierra plana. La función B*H(x, y) se define también con la condición de que una gota de agua que parta de una altura z > B*H(x, y) pueda escapar al mar siguiendo un camino no ascendente que discurra por encima de nuestro terreno. Como antes, el dominio espacial en que BH(x, y) < z < B*H(x, y) se descompone en dominios abiertos conexos que definen las hondonadas.
Comparemos ahora estas hondonadas con las de una rebanada muy fina de nuestro terreno, comprendida entre dos paredes verticales paralelas en y = 0 e y = ε. Apliquémosle la notación anterior BH(x) y B*H(x). La definición de B*H(x) obliga al agua a escapar por un camino comprendido entre las paredes citadas, pero la definición de B*H(x, 0) permite elegir entre una gama más amplia de caminos de escape. De ahí se deduce que, casi para todo x, B*H(x, 0) < B*H(x). Por tanto, la función B*H(x, 0), o cualquier otra sección vertical de B*H(x, y), es mucho más interesante que B*H(x). Se trata de una función singular endiabladamente «aterrazada» con (una infinidad de) máximos locales muy pronunciados y mínimos locales planos. Si mi conjetura fuerte es válida, éstos cubren casi todos los puntos del terreno.
Como la suma de las áreas de las hondonadas es, como mucho, igual al área del terreno, se pueden ordenar según áreas decrecientes y, por tanto, son numerables. Como consecuencia de ello, la costa de BH correspondiente a un valor aleatorio de z0 carece, casi con toda seguridad, de puntos dobles.
El contorno acumulado de todas las hondonadas puede obtenerse, pues, del modo siguiente. Tómese un conjunto numerable de valores zm (que casi seguramente no incluirán valores cuya costa tenga un bucle). Corríjanse las cosías borrando los contornos de las depresiones de todos los z0 = zm. Tómese la reunión de las costas corregidas y añádanse los puntos límite.
La generalización a funciones brownianas de M variables x = {x1, …, xM} con M > 2, es inmediata. Dado BH(x), el mismo argumento empleado para M = 2 prueba que la diferencia entre B*H y BH disminuye al aumentar M. En el caso límite en que M = ∞ y BH es una función browniana sobre un espacio de Hilbert, se deduce a partir de resultados clásicos de Paul Lévy que B*H − BH = 0. ¿Vale esta identidad para todos los M > Mcrit con Mcrit < ∞?