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Curvas construidas por desplazamiento aleatorio del punto medio

La trama lógica de este capítulo se remonta a la mitad del capítulo 25, donde se generaba el movimiento browniano por aleatorización de una curva de Peano.

Recuérdese que, entre dos instantes sucesivos de la forma h2^−k, el k-ésimo terágono de una B(t) browniana es un segmento rectilíneo, y que el (k + 1) -ésimo terágono se obtiene por un desplazamiento aleatorio de los puntos medios de los lados del k-ésimo terágono. Exactamente lo mismo vale para los terágonos X_k(t) e Y_k(t) de los procesos coordenados X(t) e Y(t) de B(t).

Como este método del desplazamiento del punto medio funciona a la perfección para D = 2, se puede esperar adaptarlo al copo de nieve y otras curvas de Koch con N = 2, y usarlo en la construcción de superficies. Esto es lo que haremos a continuación.

El mismo enfoque genérico han tomado muchos autores de películas y gráficos por ordenador que pretendían duplicar y mejorar los gráficos del Fractals de 1977, buscando un método más directo y menos costoso. Estos autores no se dieron cuenta de que el método del desplazamiento aleatorio del punto medio da un resultado sustancialmente distinto de lo que ellos andaban buscando. Tiene la ventaja de su simplicidad, pero también muchas otras características no deseadas.

Curvas de Koch aleatorias con trama temporal y sin ligaduras espaciales

Recuérdese que se puede construir la curva «copo de nieve» de Koch con una base N = 2 y un generador formado por dos segmentos de longitud 1/√3. En este caso, y más generalmente siempre que el generador consista en dos segmentos de longitud 2^−1/D, con D < 2, el método de construcción indica si los puntos medios de los lados del k-ésimo terágono deben desplazarse a la derecha o a la izquierda. El desplazamiento es siempre ortogonal al lado y el cuadrado de su longitud viene dado por

2^−2(k+1)/D − 2^−2(k/D+1)

Para aleatorizar esta construcción se procede del mismo modo que en la transformación de una curva de Peano en un movimiento browniano. Se toma una dirección de desplazamiento aleatoria e isótropa, independiente de su historia anterior, se toma una distribución gaussina para la longitud del desplazamiento y se aplica la fórmula anterior al desplazamiento cuadrático medio. Como no se hace nada por evitar las autointersecciones, la curva fractal que se obtiene como límite estará plagada de ellas. La denotaremos por B_H*(t), usando la notación H = 1/D, que justificaremos dentro de poco.

Como consecuencia tenemos que la relación entre el desplazamiento ΔB_H* en un lapso de tiempo 2^−k y los dos desplazamientos interpolados Δ₁B_H* y Δ₂B_H* toma la forma

〈|Δ₁B_H*|^D + |Δ₂B_H*|^D − |ΔB_H*|^D〉 = 0

con una D < 2 arbitraria.

Un corolario es que, si el intervalo de tiempo [t', t''] es diádico, esto es, si t' = h2^−k y t'' = (h + 1)2^−k, tenemos que

〈|ΔB_H*|²〉 = |Δt]^2/D = |Δt|^2H

Hemos tomado H como parámetro por ser el exponente de la raíz del desplazamiento cuadrático medio.

Se puede probar también que, si B_H*(0) = 0, la función B_H*(t) es estadísticamente autosemejante para razones de semejanza del tipo 2^−k. Es, pues, una generalización deseable de lo que ya sabemos para D = 2.

Incrementos no estacionarios

Pero no debemos regocijarnos demasiado. Excepto en el caso de Peano-Brown con D = 2, que se reduce a B(t), B_H*(t) no es estadísticamente autosemejante para razones de proporcionalidad distintas de 2^−k.

Se plantea un problema más serio aún cuando el intervalo [t', t''] no es diádico, aunque con la misma duración Δt = 2^−k, como por ejemplo en el caso t' = (h − 0,5)2^−k y t'' = (h + 0,5)2^−k. En tales intervalos, el incremento ΔB_H* tiene una varianza distinta y menor, que depende de k. Una cota inferior de dicha varianza es 2^1−2HΔt^2H. Además, si Δt es conocido pero t no lo es, la distribución del ΔB_H* correspondiente no es una gaussiana sino una mezcla aleatoria de gaussianas distintas.

A consecuencia de ello, los pliegues característicos de los puntos diádicos de los terágonos aproximados se mantienen durante todo el proceso. Si D es apenas inferior a 2, y por tanto H es apenas superior a 1/2, los pliegues son suaves. Pero si H es próximo a 1 (en el capítulo 28 se ve que para un modelo del relieve terrestre hay que tomar H ~ 0,8 a 0,9), los pliegues son muy importantes y son visibles en las funciones de muestra. El único modo de evitarlos es abandonar el esquema del desplazamiento recurrente del punto medio, como haremos en la sección siguiente y en el capítulo 27.

Estratos dispuestos al azar

▯ Para investigar el porqué del carácter no estacionario de las curvas y superficies construidas por desplazamiento aleatorio del punto medio, consideremos la función X(t) de una curva B_H*(t). Cada estadio contribuye con una función Δ_kX(t) = X_k(t) − X_k−1(t), cuya gráfica es una línea quebrada y cuyo conjunto de ceros (a) es periódico con período 2^−k, y (b) contiene el conjunto de ceros de Δ_k−1X(t). Así pues, se puede decir que cada contribución está sincronizada con las anteriores.

▯ Una posibilidad consiste en construir la función ΔB_k^†(t) del modo siguiente. Tómese una sucesión poissoniana de instantes t_n(k), con una media de puntos por unidad de tiempo igual a 2^k tómense luego unos valores al azar independientes y con la misma distribución para los ΔB_k^†(t_n(k)) y finalmente interpólese linealmente entre los t_n(k). La suma infinita B_H^†(t) de dichas contribuciones es una función aleatoria estacionaria, propuesta por primera vez en la tesis doctoral del hidrólogo O. Ditlevsen (1969). Véase Mejía, Rodríguez-Iturbe y Dawdy (1972) y Mandelbrot (1972w).

▯ Se puede ver también que en esta generalización no hace falta que el número medio de ceros por unidad de tiempo sea 2^k. Puede ser también de la forma b^k, siendo b cualquier base real mayor que 1.

▯ Las razones de semejanza admisibles para la correspondiente fractal vienen dadas por la sucesión discreta r = b^−k. Cuando b → 1, esta sucesión se hace cada vez más tupida y asintóticamente se hace prácticamente continua. Así pues, B_H^†(t) es cada vez más aceptable para quien esté interesado en la estacionariedad y en una amplia gama de cambios de escala. Pero en este proceso B_H^†(t) pierde su especificidad. El argumento de Mandelbrot (1972w) implica que B_H^†(t) converge hacia la función aleatoria B_H(t) que se estudia en el capítulo siguiente. ▮

LÁMINA 347. El «gazapo» informático haciendo de artista, Opus I.

FIGURA 347

Esta lámina se debe en parte a una programación defectuosa. El «gazapo» fue identificado y corregido al instante (¡pero sólo después de ver y grabar el resultado, naturalmente!). El resultado definitivo corresponde a las láminas 429 a 432.

El cambio introducido por un solo gazapo en un lugar crítico fue mucho más allá de lo que hubiéramos podido imaginar.

Está claro que las láminas correctas contienen un orden muy estricto y planificado. Aquí este orden está oculto, y aparentemente no hay ningún otro tipo de orden.

El hecho de que, al menos a primera vista, esta lámina pudiera pasar por una obra de arte podría no ser accidental. Mis ideas al respecto están esbozadas en Mandelbrot (1971 l), y pienso desarrollarlas en un futuro próximo.