En el capítulo anterior, al insistir en las razones habituales en favor del azar, no se distingue entre modelos estándar y fractales. En el primero de estos contextos, aunque la aleatorización aporta mejoras considerables, los modelos no aleatorios siguen siendo aceptables a muchos efectos. Veamos ahora que, en el contexto fractal, el azar es un ingrediente necesario para que un modelo sea realmente aceptable.
Invariancia por traslación, simetría
En este razonamiento interviene el antiguo concepto filosófico de simetría, que aquí no se toma en el sentido de simetría axial con respecto a una línea recta, sino en el de una combinación del significado griego original de συμμετρια, como «resultante de la conmensuración con el todo de varias de sus partes constituyentes» (Weyl, 1952), y el significado que le dan los físicos, para quienes simetría es sinónimo de invariancia.
El defecto esencial de los fractales no aleatorios es que no son lo bastante simétricos. Un primer defecto, formulado en los vocabularios de distintas ramas de la ciencia, es que es inconcebible que un fractal no aleatorio sea invariante por traslación, o estacionario, o que no pueda satisfacer el principio cosmológico.
En segundo lugar, un fractal no aleatorio no puede ser uniformemente escalante, en el sentido de que sólo acepta una escala discreta de razones de semejanza, de la forma rk.
El problema de los cúmulos de galaxias es tan importante que esta discusión se centrará en él, de manera que este capítulo se convertirá en la segunda parte de la contribución de este ensayo a la astronomía.
El principio cosmológico
El postulado de que ni el tiempo ni nuestra posición sobre la Tierra tienen un papel especial ni central, de que las leyes de la naturaleza tienen que ser las mismas siempre y en todas partes, se conoce como Principio cosmológico.
Esta afirmación, formalizada por Einstein y E. A. Milne (North 1965, pág. 157) se discute a fondo en Bondi (1952).
Principio cosmográfico fuerte
Una aplicación estricta del principio cosmológico exige que la distribución de materia siga precisamente la misma ley independientemente del sistema de referencia (origen y ejes) empleado en la observación. En otras palabras, dicha distribución debe ser invariante por traslación.
Hay que poner mucho cuidado en la elección de un nombre para denotar este corolario. Como no se trata de la teoría (λογοs) sino de la descripción (γραϕη), y como enseguida propondremos una serie de versiones más débiles, lo mejor es llamarlo principio cosmográfico fuerte.
La idea subyacente se encuentra ya en la doctrina de la «ignorancia instruida» de Nicolás de Cusa (1401-1464): «Dondequiera que uno esté, piensa que ése es el centro; El centro del mundo está en todas partes, y por tanto en ninguna, y su circunferencia no está en ninguna parte».
Principio cosmográfico
Sin embargo, la distribución de materia no es estrictamente homogénea.
La debilitación más inmediata del principio consiste en introducir el azar, en el marco estándar descrito en el capítulo anterior. El enunciado resultante es lo que los probabilistas llaman estacionariedad estadística, pero para mayor consistencia lo llamaremos principio cosmográfico estadístico uniforme: la distribución de materia sigue las mismas leyes estadísticas con independencia del sistema de referencia.
Un dilema
La aplicación del principio anterior al arracimamiento galáctico plantea serios problemas. El universo de Fournier del capítulo 9 es, naturalmente, muy poco homogéneo, pero uno tendría la esperanza de poder aleatorizarlo con objeto de satisfacer el principio cosmográfico estadístico uniforme. Sin embargo, para conservar el espíritu del modelo, la aleatorización tendría que preservar la propiedad de que la densidad aproximada M(R)R−3 en el interior de una esfera de radio R tiende a 0 cuando R tiende a infinito. Por desgracia, esta última propiedad es incompatible con el principio cosmográfico estadístico uniforme.
Es tentador asignar menos peso a los simples datos que a todo un principio general, y concluir que la agregación jerarquizada debe terminar a partir de un corte superior finito, de modo que todas las fluctuaciones tengan sólo un ámbito local, y que, al fin y al cabo, la densidad global de materia no sea nula.
Para llevar a la práctica esta idea se podría, por ejemplo, tomar una infinidad de universos de Fournier y distribuirlos de manera estadísticamente uniforme. En Peebles (1980) se discute una variante propuesta por R. M. Soneira.
Estacionariedad condicional
Sin embargo, yo creo que el principio cosmográfico estadístico uniforme sobrepasa lo que sería razonable y deseable, y que habría que sustituirlo por una versión más débil, que llamaremos condicional, y que no se refiere a todos los observadores, sino sólo a los materiales. Esta versión más débil debería ser aceptable para los astrónomos, y quizá la hubieran estudiado ya mucho antes si hubieran sospechado que podía tener un mínimo de interés sustantivo. Y en efecto lo tiene: la forma condicional no implica ninguna suposición acerca de la densidad global, y permite tomar M(R) ∝ RD−3
Reformulando lo dicho de manera menos enérgica, es difícil, si no imposible, reconciliar el principio cosmográfico fuerte con la idea de que la distribución real de galaxias dista mucho de ser uniforme. Por una parte, si la densidad global de materia, δ, del universo es nula, el principio cosmográfico fuerte es falso. Y por otra, si δ es positiva, aunque sea pequeña, el principio cosmográfico fuerte se cumple asintóticamente, pero no sirve de nada a las escalas que nos interesan. Se podría preferir guardarlo en la trastienda, para estar más tranquilo, o prescindir de lo que es una fuente potencial de confusiones. Finalmente, se podría decidir su sustitución por un enunciado válido para todas las escalas y que fuera independiente de si δ = 0 o δ > 0. Este último enfoque equivale a subdividir el principio cosmográfico fuerte en dos partes.
El principio cosmográfico condicional
DISTRIBUCIÓN CONDICIONAL. Cuando el sistema de referencia satisface la condición de que el propio origen de coordenadas es un punto material, la distribución de probabilidad de masa se llama condicional.
HIPÓTESIS COSMOGRÁFICA PRIMARIA. La distribución condicional de masa es la misma para todos los sistemas de referencia condicionados. Y, en particular, la masa M(R) contenida en una bola de radio R es una variable aleatoria independiente del sistema de referencia.
En el enunciado del principio cosmográfico condicional se emplean precisamente las mismas palabras con independencia de si δ > 0 o δ = 0. Esto es satisfactorio desde el punto de vista estético, y tiene la ventaja filosófica de estar de acuerdo con el espíritu de la física contemporánea. Subdividiendo el principio cosmográfico fuerte en dos partes, subrayamos un enunciado que afecta a todo lo observable, y degradamos una afirmación que constituye un acto de fe o una hipótesis de trabajo.
La hipótesis auxiliar de la densidad global de materia positiva
HIPÓTESIS COSMOGRÁFICA AUXILIAR. Las cantidades
limR→∞M(R)R−3 y limR→∞〈M(R)〉R−3
existen, son iguales (con probabilidad uno) y son positivas y finitas.
El caso estándar en que δ > 0
Las leyes estadísticas de la distribución de materia se pueden formular de distintas maneras. Se puede usar la distribución de probabilidad absoluta, relativa a un sistema de referencia arbitrario, o bien se puede usar la distribución de probabilidad condicional, relativa a un sistema de referencia centrado en un punto material. Si se cumple la hipótesis auxiliar anterior, la distribución de probabilidad condicional se deriva de la distribución absoluta por la regla de Bayes. Y la probabilidad absoluta se deriva de la condicional tomando la media respecto a los orígenes uniformemente distribuidos por el espacio.
▯ La distribución uniforme de los orígenes integrada sobre todo el espacio da una masa infinita. La distribución no condicional puede renormalizarse para que sume 1 si, y sólo si, la densidad global es positiva. Véase Mandelbrot (1967b). ▮
El caso no estándar en que δ = 0
Supongamos que, por el contrario, la hipótesis auxiliar no se cumple; más concretamente, que limR→∞M(R)R−3 se anula. En tal caso, la distribución de probabilidad absoluta dice simplemente que una bola de radio finito R escogida al azar estará vacía casi con toda certeza. Por tanto, cualquiera que pudiera echar una mirada desde un punto elegido al azar, casi seguro que no vería nada. Sin embargo, al hombre sólo le interesa la distribución de probabilidad de masa en el caso del universo real, del que sabe que la masa no se anula en su entorno. Una vez se ha producido un suceso, conocer la probabilidad absoluta de que ocurra tiene un interés limitado.
El mismo hecho de que la distribución no condicional no tenga en cuenta estos casos la hace muy inadecuada cuando δ = 0. Aparte de ser incompatible con la masa contenida en un fractal de dimensión D < 3, tampoco dice absolutamente nada más allá de δ = 0.
La distribución de probabilidad condicional, por el contrario, distingue entre fractales con dimensiones distintas, entre fractales según sean o no escalantes, y entre otras suposiciones alternativas.
«Sucesos despreciables» no estándar
El caso no estándar δ = 0 enfrenta al físico con un suceso casi seguro que se puede despreciar, y con un suceso de probabilidad nula que, aparte de no poder despreciarse, se tiene que descomponer en subsucesos más finos.
Esto contrasta de manera absoluta con aquello a lo que estamos acostumbrados. El número medio de caras en una sucesión creciente de lanzamientos de una moneda sin truco puede no converger a 1/2, pero los casos en que dicha convergencia no se da tienen probabilidad nula y por tanto carecen de interés. Cuando en mecánica estadística una conclusión vale casi con toda certeza (como por ejemplo el principio de aumento de entropía), la conclusión contraria tiene una probabilidad nula y por tanto es despreciable. Queda claro que el por tanto de las dos últimas frases indica precisamente lo contrario de lo que propongo en cosmografía.
Evitación de la estratificación
Una segunda forma de simetría se refiere a los cambios de escala. Cuando las razones de reducción de las partes de un fractal no aleatorio son todas iguales a r, las razones de cambio de escala admisibles son de la forma rk. Cuando las razones de reducción de las partes son r1, r2, …, las razones totales admisibles son menos restrictivas, pero tampoco pueden elegirse libremente.
En otras palabras, los fractales no aleatorios encarnan una marcada estructura jerárquica o, como yo prefiero decir, están marcadamente estratificados. Algunos modelos estratificados son aceptados por los físicos, pues son muy manejables desde el punto de vista informático. Sin embargo, esta característica es filosóficamente inaceptable, y en el caso de las galaxias no hay una evidencia directa de la realidad de los cúmulos. Ésta es la razón de la demanda (especialmente en de Vaucouleurs, 1970) de «la extensión del trabajo de Charlier a modelos cuasicontinuos de fluctuaciones de densidad que sustituyeran el modelo jerárquico supersimplificado original».
Este deseo no puede satisfacerse con un fractal no aleatorio, pero sí con fractales aleatorios, como demostraré más adelante.
Universos fractales no estratificados con principio cosmográfico condicional
Como ya he señalado, no es muy probable que los astrónomos vayan a presentar objeciones a priori a la idea de la condicionalidad, y ésta sería una idea corriente si se reconociera que tiene consecuencias que vale la pena considerar. Me propongo demostrar que se trata en efecto de una auténtica generalización, y no de un simple refinamiento formal. Con este objeto, los capítulos 32 a 35 describen construcciones explícitas con las siguientes propiedades:
Mis modelos satisfacen todas estas propiedades menos la última. Por lo que respecta al ajuste a los datos cuantitativos, éste mejora progresivamente. Así pues, basta ordenar mis modelos según una complicación creciente para obtener un ajuste cada vez más perfecto al mejor análisis de los datos.
Anticipo
Después de aclamar las espléndidas perspectivas abiertas por los fractales totalmente aleatorios, no podemos apresurarnos a contemplar esos modelos, pues presentan una complicación matemática que es mejor dejar para más adelante. Los capítulos del 23 al 30 se mantienen en un terreno probabilístico comparativamente familiar.