15
Las superficies de volumen positivo y la carne

Las curvas, superficies y polvos fractales que se describen y domestican en esta parte del libro para sus posibles aplicaciones científicas son escalantes en un sentido asintótico o con alguna otra limitación.

Este primer capítulo se concentra en las superficies que ocupan un volumen positivo (¡no nulo!). ¡Vaya combinación disparatada de características contradictorias! ¿No habremos llegado ya por fin a unos monstruos matemáticos sin ninguna utilidad para la filosofía natural? Otra vez la respuesta es negativa sin ningún género de duda. Mientras creían huir de la naturaleza, dos famosos matemáticos puros preparaban sin saberlo los útiles precisos que yo (entre otros) necesitaba para comprender la geometría de… la carne.

Polvos de Cantor de medida positiva

Como paso preliminar revisaremos la construcción cantoriana del conjunto triádico C. El hecho de que tenga una longitud nula (o en términos más rebuscados, que su medida lineal sea cero) se explica porque la suma de las longitudes de las tremas centrales es 1/3 + 2/3² + … + 2^k/3^k+1 = 1.

Pero el hecho de que C sea totalmente disconexo, y que su dimensión topológica sea por tanto D_T = 0, es independiente de las longitudes de las tremas. Es consecuencia de que, en cada paso de la construcción, cada segmento creado en el paso inmediatamente anterior es dividido en dos quitando una trema centrada en el punto medio del segmento «huésped». Si denotamos por λ_k la razón de las longitudes de la trema y del huésped, la longitud acumulada de los segmentos que quedan después de K pasos es Π₀^k(1 − λ_k). Cuando K → ∞, dicho producto disminuye hasta un límite que denotaremos por P. En la construcción original de Cantor, λ_k ≡ 2/3 , con lo que P = 0. Pero siempre que Σ₀^∞λ_k < ∞, se tiene que P > 0. En tal caso el conjunto residual C_* tiene una longitud positiva 1 − P. Este conjunto no es autosemejante, y por tanto no tiene dimensión de semejanza, pero la definición de Hausdorff-Besicovitch (capítulo 5) nos lleva a D = 1. De D > D_T se sigue que C_* es un conjunto fractal. Como D y D_T son independientes de las longitudes λ_k de las tremas, la descripción de C_* que nos darán sus valores será puramente superficial.

En el plano, la construcción es aún más diáfana. Arránquese al cuadrado unidad una cruz de área λ₁ dejando cuatro baldosas cuadradas. Sáquese de cada una de éstas una cruz de área λ₂. Esta cascada genera un polvo, D_T = 0, de área Π₀^∞(1 − λ_k). Si esta área no es nula, D = 2.

En un espacio de dimensión E, y por un procedimiento análogo, se puede obtener un polvo de volumen positivo, con D_T = 0 y D = E.

Variando lentamente log N/log(1/r)

▯ Aunque los polvos de Cantor con longitud, área o volumen positivos no tienen dimensión de semejanza, resulta útil definir rk = (1 − λ_k)/2 e investigar las dimensiones formales definidas por D_k = log N/log(1/r_k).

▯ Cuando D_k varía lentamente tenemos una realización de lo que en el capítulo 3 llamábamos dimensión efectiva, al describir un ovillo de hilo. En el caso de la recta, la dimensión D = 1 del conjunto C_* es el límite de log 2/log(1/r_k). Además, no es necesario que Σλ_k < ∞ para que D = 1, basta con que λ_k → 0. En consecuencia, hay tres tipos de polvos de Cantor lineales: (a) 0 < D < 1 y longitud = 0, (b) D = 1 y longitud = 0, y (c) D = 1 y longitud > 0.

▯ Una categoría análoga a (c) se da también en las curvas de Koch. Basta con cambiar el generador en cada paso, de modo que D tienda a 2. Tómese, por ejemplo, r_k = (1/2)k, y para N_k, (y en consecuencia para D_k) el valor máximo que mencionábamos en el pie de la lámina 80. El límite presenta una notable combinación de propiedades: su dimensión fractal, D = 2, no es normal para una curva, pero su dimensión topológica es la estándar, D_T = 1, y su área es nula.

▯ Las mismas propiedades coexisten en el movimiento browniano (capítulo 25), pero aquí se han obtenido sin puntos dobles.

▯ La dimensión formal puede también desviarse de D = 2. Por ejemplo, a partir del k-ésimo paso de un árbol que recubre una zona plana se podría continuar con otros pasos que llevaran a D < 2. El resultado podría ser útil para modelizar ciertos árboles fluviales que, por encima de un corte inferior η, parecen recubrir el plano, pero en los que la irrigación es menos completa a escalas más finas. Esta η sería muy grande en los desiertos y muy pequeña en las junglas pantanosas, quizá igual a 0 en este caso. La dimensión efectiva de tales ríos sería D = 2 para las escalas superiores a η, y D < 2 para las escalas inferiores. ▮

Curvas de área positiva

Como nuestra visión intuitiva de los polvos es un tanto imperfecta, la idea de polvos de longitud o volumen no nulos no acaba de resultar incómoda. Pero las curvas de área positiva son más difíciles de aceptar. Así pues, desde que Lebesgue (1903) y Osgood (1903) demostraron que no nos queda más remedio que aceptarlas, vinieron a reemplazar las curvas de Peano en el papel de monstruos supremos. Después de describir un ejemplo, demostraré que el solo pensamiento es peor aún que la realidad: en un sentido absolutamente literal, las superficies de volumen positivo están muy cerca del corazón humano.

La idea consiste en generalizar el proceso de desplazamiento del punto medio expuesto en la lámina 43. De aquella construcción retenemos las bahías y promontorios, siendo cada uno un triángulo cuya base está centrada en el punto medio de la base de la marisma. El elemento nuevo es que los tamaños relativos λ_k de las bahías y promontorios no son constantes, sino que tienden a 0 a medida que k aumenta, de modo que Π₀^∞(1 − λ_k) > 0. Ahora bien, como el área recubierta por la marisma no tiende a 0, tenemos que para el límite de la marisma se cumple D = 2. Pero por otra parte, es totalmente distinto de un conjunto estándar de dimensión 2. Aparte de no tener puntos interiores, es una curva con D_T = 1, pues el entorno de cada punto puede ser separado del resto del conjunto eliminando sólo dos puntos.

La construcción anterior sigue el método de Osgood (1903), simplificando su caprichosa manera de hacer que una construcción artificial sea más fácil de seguir. Pero la utilidad de un descubrimiento no debe juzgarse por las razones que lo motivaron.

La geometría de las arterias y las venas

Para citar a Harvey (1628):

«Podemos decir que el movimiento de la sangre es circular, en el mismo sentido que Aristóteles dice que el aire y la lluvia emulan el movimiento circular de los cuerpos superiores… Y análogamente, por el movimiento de la sangre,… las distintas partes del cuerpo son nutridas, cuidadas y avivadas por la sangre más perfecta, cálida, vaporosa, espiritosa y nutritiva; la cual, por otra parte, debido a su contacto con dichas partes, se enfría, coagula y, por así decirlo, se desgasta».

La imagen de la circulación sanguínea elaborada por Harvey lleva implícita la idea de que, a una distancia muy pequeña de casi cada punto del cuerpo, se encuentran una arteria y una vena. (Véase también El mercader de Venecia). En esta imagen se prescinde de los capilares, pero en una primera aproximación es mejor imponer que infinitamente cerca de cada punto hay tanto una arteria como una vena excepto, claro está, en el caso de los puntos interiores a las arterias (o las venas), que no pueden estar infinitamente cerca de una vena (o de una arteria).

Dicho de otro modo (¡aunque esta reformulación hace que el enunciado suene mucho más raro!): cualquier punto del tejido extravascular tiene que pertenecer a la frontera que separa ambas redes sanguíneas.

Un segundo factor importante es que la sangre es cara, por lo que el volumen total de arterias y venas debe ser sólo una pequeña fracción del volumen total del cuerpo, siendo el resto tejidos.

Los monstruos de Lebesgue-Osgood constituyen la parte esencial de nuestra carne

Desde un punto de vista euclideo, estas condiciones implican una contradicción exquisita. Se trata de una figura que, por una parte, tiene que ser topológicamente bidimensional, pues constituye la frontera común de dos figuras topológicamente tridimensionales, y por otra parte no sólo debe tener un volumen no despreciable comparado con el de las dos figuras que separa, sino ¡mucho mayor!

Una de las virtudes del enfoque fractal de la anatomía es que en este marco ambas condiciones son perfectamente compatibles. Una variante espacial de la construcción de Osgood descrita en la penúltima sección cumple todas las condiciones impuestas al modelo de sistema vascular.

En este modelo, las venas y las arterias son dominios estándar, pues en su interior caben pequeñas bolas (¡las células sanguíneas!). Además, los vasos ocupan sólo una pequeña fracción del volumen total. El tejido, en cambio, es muy distinto; no tiene ninguna parte que no esté atravesada a la vez por una arteria y una vena. Y es una superficie fractal: su dimensión topológica es 2 y su dimensión fractal 3.

Como ya se ha dicho, estas propiedades dejan de sonar a extravagancia. No importa que aparecieran por vez primera en una artificioso vuelo matemático más allá del sentido común. He demostrado que son intuitivamente inevitables, que ¡los monstruos de Lebesgue-Osgood constituyen la parte esencial de nuestra carne!

Nuestra intuición, antes y después

La combinación de los conductos pulmonares y su sistema vascular se presenta también como una construcción muy interesante, en la que tres conjuntos —arterias, venas y bronquiolos— comparten una frontera común. El primer ejemplo de conjunto de este tipo se debe a Brouwer. Si se presenta de este modo, el montaje de Brouwer concuerda perfectamente con nuestra intuición. Pero para contemplarlo desde una perspectiva histórica tenemos que volver a nuestro portavoz del punto de vista convencional, Hans Hahn.

Este libro demuestra que Hahn está completamente equivocado. Para domesticar sus propios ejemplos, hay que entrenar nuestra intuición actual, pero esto no debe suponer, en mi opinión, ningún cambio discontinuo. Hahn equivoca el diagnóstico y sugiere un tratamiento letal.

La intuición geométrica ya ha reconocido hace mucho tiempo la necesidad del auxilio de la lógica y sus extraños y tortuosos métodos. ¿Por qué tendría la lógica que estar siempre intentando huir de la intuición?

En cualquier situación, la idea que tiene un matemático típico de qué es intuitivo es muy poco de fiar. Es imposible tomar dicha idea como guía en la construcción de modelos; la matemática es demasiado importante para dejarla en manos de los fanáticos de la lógica.