Este capítulo se ocupa de una primera relación entre la geometría fractal de la naturaleza y la corriente principal de la física matemática. El tema es tan importante que merece capítulo aparte. Los lectores que no estén Interesados en él pueden saltárselo.
Un defecto de la teoría de la turbulencia
Uno de los grandes defectos de la investigación teórica actual sobre la turbulencia es que se divide en por lo menos dos partes inconexas. En una de ellas tenemos la fructífera fenomenología (que examinamos con mayor detalle en el capítulo 30) propuesta por Kolmogorov (1941). Y en la otra están las ecuaciones diferenciales de la hidrodinámica: las de Euler para fluidos no viscosos y las de Navier (y Stokes) para fluidos viscosos. La relación entre ambas está por establecer todavía. Si «explicado» y «comprendido» significa «reducido a ecuaciones fundamentales», la teoría de Kolmogorov no está ni explicada ni comprendida. Tampoco ha contribuido Kolmogorov a resolver las ecuaciones del movimiento de los fluidos.
Pudiera parecer a primera vista que lo que he dicho en el capítulo 10 (que la disipación turbulenta no es algo homogéneo en todo el espacio, sino sólo sobre un subconjunto fractal) ensancha aún más la brecha. Pero yo sostenía que esto no era así. Y la evidencia a mi favor es cada vez mayor.
La importancia de las singularidades
Repasemos ahora los procedimientos que nos permiten resolver con éxito las ecuaciones de la física matemática. Normalmente se empieza por hacer una lista de soluciones obtenidas resolviendo la ecuación en circunstancias especiales y soluciones adivinadas basándose en la observación física. A continuación, y prescindiendo de los detalles de las soluciones, se hace una lista de las «singularidades» elementales características del problema. A partir de ahí, se pueden resolver en primera aproximación otros casos más complejos de la misma ecuación identificando las singularidades pertinentes y enlazándolas convenientemente. Así es también como un estudiante de cálculo infinitesimal se las arregla para trazar la gráfica de una función racional. En este caso las singularidades son conjuntos euclídeos comunes: puntos, curvas y superficies.
Conjetura: las singularidades del movimiento de un fluido son conjuntos fractales (Mandelbrot, 1976c).
Con esto en mente, interpreto que las dificultades que se encuentran al estudiar la turbulencia a parfir de las soluciones de las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes implican que una singularidad no común es la responsable de lo que percibimos intuitivamente como características típicas de la turbulencia.
Sostengo (Mandelbrot, 1976c) que las soluciones turbulentas de las ecuaciones fundamentales presentan singularidades o «cuasisingularidades» de una clase completamente nueva. Dichas singularidades son conjuntos fractales localmente escalantes, y las cuasisingularidades son aproximaciones a los mismos.
Esta opinión es, de entrada, legítima por cuanto, al haber fallado los conjuntos euclídeos comunes, uno puede probar con los conjuntos mejor conocidos de un grado de dificultad inmediatamente superior. Pero se pueden dar justificaciones más concretas.
Fluidos no viscosos (Euler)
PRIMERA CONJETURA CONCRETA. Parte de mi afirmación es que las singularidades de las soluciones de las ecuaciones de Euler son conjuntos fractales.
JUSTIFICACIÓN. Mi convicción se basa en la antigua idea de que las simetrías y otras invariancias presentes en una ecuación «deberían» manifestarse en sus soluciones. (Para una descripción elocuente, cuidada y autocontenida, véase el capítulo IV de Birkhoff, 1960.) Por supuesto que la conservación de la simetría no es, ni mucho menos, un principio general de la naturaleza, y por ello no se puede descartar aquí la posibilidad de una «rotura de simetría». Sin embargo, mi propuesta es intentar ver cuáles serían las consecuencias de la conservación de la simetría. Como las ecuaciones de Euler son invariantes por cambio de escala, también deberían serlo sus soluciones típicas, y lo mismo debería ser cierto para las singularidades de dichas soluciones. Y si el fracaso de los intentos anteriores se toma como prueba de que las singularidades no son puntos, líneas ni superficies comunes, dichas singularidades deben ser fractales. Podría ocurrir, naturalmente, que la forma y tamaño del contorno, así como la velocidad inicial, impusieran una escala. Sin embargo, es probable que el comportamiento local de la solución sea gobernado por un «principio de insensibilidad al contorno». Por tanto, localmente las soluciones tienen que carecer de escalas.
LA OBRA DE ALEXANDER CHORIN. Chorin (1981) da un sólido apoyo a mi opinión, aplicando un método del vórtice al análisis del dominio inercial en la turbulencia plenamente desarrollada. Su conclusión es que la vorticidad sumamente extendida se acumula en un dominio de volumen decreciente y dimensión D ~ 2,5, compatible con las conclusiones del capítulo 10. La corrección de los exponentes de Kolmogorov, B = 1,7 ± 0,03, es compatible con los datos experimentales. Los cálculos sugieren que las soluciones a las ecuaciones de Euler en tres dimensiones surgen en un tiempo finito.
En trabajos no publicados, Chorin se aproxima aún más a los resultados experimentales: 2,5 < D < 2,6.
Fluidos viscosos (Navier-Stokes)
SEGUNDA CONJETURA ESPECÍFICA. También afirmé que las singularidades de las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes sólo podían ser fractales.
DESIGUALDADES DIMENSIONALES. Tenemos también la sensación intuitiva de que las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes tienen que ser más regulares, y por ello menos singulares, que las de la ecuación de Euler. Por tanto, la nueva conjetura es que en el caso de Euler la dimensión es mayor que en el caso de Navier Stokes. La transición a viscosidad nula es, sin duda, singular.
CUASI SINGULARIDADES. Una última conjetura en la puesta en práctica de mi concepción global del problema se refiere a los máximos de disipación implicados en la idea de intermitencia: son singularidades de Euler regularizadas por efecto de la viscosidad.
LA OBRA DE V. SCHEFFER. El examen de mis conjeturas sobre el caso viscoso fue promovido por V. Scheffer, al que recientemente se han unido otros, estudiando bajo esta luz un fluido finito o infinito, sometido a la ecuación de Navier-Stokes y con una energía cinética finita en t = 0.
En el supuesto de que haya efectivamente singularidades, Scheffer (1976) demuestra que cumplen necesariamente los siguientes teoremas. Primero, la dimensión fractal de su proyección sobre el eje de tiempos es menor o igual que 1/2. Segundo, su proyección sobre las coordenadas espaciales es como máximo un fractal de dimensión 1.
Al final ha resultado que el primero de estos resultados es un corolario de una observación de un antiguo y famoso artículo de Leray (1934), que termina de repente con una desigualdad formal cuyo corolario es el primer teorema de Scheffer. De hecho, no es más que una reformulación. Pero ¿es justo decir «no es más que»? Rara vez se considera (y por fundadas razones) que reformular un resultado en una terminología más elegante sea un progreso científico, pero pienso que este caso es distinto. La desigualdad del teorema de Leray fue prácticamente inútil hasta que el corolario de Mandelbrot-Scheffer la situó en la perspectiva adecuada.
Los antecedentes de todas las aplicaciones casi rutinarias de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch a los estudios recientes de la ecuación de Navier-Stokes se remontan a mi conjetura.
Singularidades de otras ecuaciones no lineales de la física
Hay otros fenómenos que, según sostiene este ensayo, también implican fractales escalantes, y que no tienen nada que ver ni con la ecuación de Euler, ni con la de Navier-Stokes. La distribución de galaxias, por ejemplo, es regida por las ecuaciones de la gravitación. Sin embargo, el argumento de la conservación de la simetría vale para todas las ecuaciones escalantes. De hecho, ahora se puede interpretar (¡con una perspectiva total!) una oscura observación de Laplace (véase la entrada «la invariancia por cambio de escala en Leibniz y Laplace», capítulo 41) como si apuntara el tema del capítulo 9.
En general, el carácter fractal de las singularidades se remonta probablemente a rasgos genéricos compartidos por muchas ecuaciones distintas de la física matemática. ¿Puede haber una clase muy amplia de no linealidad? Retomaremos el tema, en otros términos, en el capítulo 20.