El estudio de la turbulencia es uno de los capítulos más antiguos, duros y frustrantes de la física. La experiencia común basta para mostrar que, bajó determinadas circunstancias, el flujo de un gas o un líquido es suave (o «laminar», usando un lenguaje más técnico) mientras que en otras circunstancias dista mucho de serlo. Pero ¿dónde habría que trazar la línea divisoria? ¿Hay que calificar de «turbulentas» todas las corrientes no suaves, incluyendo buena parte de las que se dan en meteorología y oceanografía? ¿O por el contrario es mejor reservar el término para una clase restringida y, en tal caso, cuál? Parece ser que cada especialista da una respuesta distinta a esta pregunta.
Esta falta de acuerdo no nos importará aquí, pues nos concentraremos en flujos cuyo carácter turbulento es incuestionable, y cuya característica más llamativa es la ausencia de una escala de longitud bien definida: en todas ellas coexisten «remolinos» de todos los tamaños. Este rasgo ya se puede apreciar en los dibujos de Leonardo y Hokusai, y demuestra que la turbulencia es algo necesariamente ajeno al espíritu de la física «antigua», que se concentró en fenómenos con escalas de longitud bien definidas. Sin embargo, esta misma razón es la que hace que el estudio de la turbulencia tenga un interés directo para nosotros.
Como ya sabrán algunos lectores, prácticamente todas las investigaciones sobre la turbulencia se centran en el estudio analítico de la corriente del fluido y dejan de lado la geometría. Prefiero pensar que esta descompensación no significa una falta de importancia real. De hecho, muchas figuras geométricas que tienen que ver con la turbulencia son fácilmente visibles y claman por una descripción propia. Pero no pudieron recibir la atención que merecían hasta el advenimiento de la geometría fractal. En efecto, como supuse inmediatamente, la turbulencia presenta muchas facetas fractales, y en este capítulo y otros posteriores describiré unas cuantas de ellas.
Habrá que renunciar a dos cosas. En primer lugar, pasaremos por alto el problema de la aparición de la turbulencia en un flujo laminar. Hay poderosas razones para pensar que dicha aparición tiene aspectos fractales muy importantes, pero no están lo bastante claros como para comentarlos aquí. En segundo lugar, no nos ocuparemos tampoco de estructuras periódicas como las celdas de Bénard y las calles de Kármán.
Este capítulo empieza con una serie de alegatos en favor de un enfoque más geométrico de la turbulencia y del uso de los fractales. El número de estos alegatos es grande, si bien cada uno de ellos es breve, pues se basan en sugerencias con pocos resultados firmes por el momento.
A continuación nos concentramos en el problema de la intermitencia, en el que he trabajado activamente. Mi conclusión más importante es que el dominio de disipación, esto es, el conjunto espacial en el que se concentra la disipación turbulenta, admite un modelo fractal. Medidas realizadas con otros fines sugieren que la D en este dominio cae entre 2,5 y 2,6, pero probablemente por debajo de 2,66.
Por desgracia, el modelo no se puede concretar con precisión hasta que no se determinen las propiedades topológicas del dominio de disipación. ¿Se trata de un polvo, de una curva ondulada y ramificada (tubo de torbellinos), o de una superficie ondulada y estratificada (hoja de torbellinos)? La primera conjetura es improbable, mientras que las otras dos sugieren modelos parecidos a los fractales ramificados del capítulo 14. Pero no estamos en condiciones de decidir. Los avances en el nuevo frente fractal no sirven para nada en el viejo frente topológico. Nuestro conocimiento de la geometría de la turbulencia sigue en mantillas.
El grueso de este capítulo no precisa de ningún conocimiento previo de la materia. ▯ Sin embargo, el especialista observará que una parte del análisis fractal de la turbulencia es la contrapartida geométrica del estudio analítico de correlaciones y espectros. La relación entre turbulencia y teoría de la probabilidad es algo que viene de antiguo. En efecto, después de las investigaciones de Perrin sobre el movimiento browniano, los primeros trabajos de G. I. Taylor fueron la segunda gran influencia sobre Norbert Wiener en su teoría matemática de los procesos estocásticos. Desde entonces, el análisis espectral ha «devuelto» con creces (con intereses acumulados) lo que había tomado prestado del estudio de la turbulencia, y ahora es tiempo de que la teoría de la turbulencia saque provecho de los progresos de una sofisticada geometría estocástíca. En particular, el espectro de Kolmogorov tiene un homólogo geométrico que examinaremos en el capítulo 30. ▮
Nubes, estelas, chorros, etc.
Un problema genérico de la geometría de la turbulencia se refiere a la forma de la frontera del dominio donde se encuentra determinada característica del fluido. Tenemos ejemplos sorprendentes de ello en las volutas sobre volutas que uno encuentra en la nubes comunes (de agua), así como en las nubes de las erupciones volcánicas y en los hongos de las explosiones nucleares. En este punto, resulta realmente difícil escapar a la impresión de que, en la medida en que hay un dominio de escalas según el cual una nube tiene unos límites bien definidos, los contornos de las nubes tienen que ser superficies fractales. La misma observación se puede aplicar a las figuras de los chubascos en las pantallas de radar (Véase el capítulo 12 para una primera confirmación de esta sospecha).
Pero prefiero tratar con figuras más sencillas. La turbulencia puede estar confinada en una parte de un flujo por lo demás laminar, una estela o un chorro, por ejemplo. En el grado de aproximación más bajo, la forma es la de una barra. Sin embargo, si examinamos el contorno con más detalle, aparece una jerarquía de muescas, cuya profundidad aumenta con el valor de la medida clásica de la escala hidrodinámica conocida como número de Reynolds. Esta estructura «local» compleja y palpable no evoca tanto una barra como una cuerda con muchos hilos que vagamente cuelgan de ella y flotan a su alrededor. Su sección transversal típica no es circular, sino más parecida a una curva de Koch, y más parecida aún a la más accidentada de las costas con islas estudiadas en los capítulos 5 y 28. En todo caso, el contorno de un chorro tiene una apariencia fractal. Si hay torbellinos su topología es de interés, pero no agotan toda la estructura.
Para el comentario siguiente hace falta que el lector se haga una imagen mental de una estela, la bella forma del aceite que se derrama de un buque cisterna siniestrado. La «barra» que describe tal estela en la peor de las aproximaciones tiene muchísima estructura: no es cilíndrica, pues su sección transversal se ensancha rápidamente al alejarse del barco, y su «eje» no es rectilíneo, sino que presenta meandros cuyo tamaño típico aumenta también con la distancia al buque.
Aparecen rasgos parecidos en la turbulencia debida a la cizalladura entre dos masas de fluido que se frotan, como se demuestra en Browand (1966) y Brown y Roshko (1974). Los estructuras coherentes que resultan («animales») atraen hoy la atención general. Los fractales no tienen que ver con su forma global, pero creo que también es claro que la jerarquía de finos rasgos que «viajan» en los meandros es sorprendentemente fractal en su estructura.
La famosa mancha roja de Júpiter podría ser también un ejemplo de esta clase.
Se plantean problemas afines, aunque distintos, al estudiar la Corriente del Golfo. No se trata de una corriente marina única y bien definida, sino que se divide en una multitud de ramas ondulantes que, a su vez, se subdividen y ramifican. Sería útil disponer de una especificación global de esta tendencia a ramificarse que, sin duda, implicará fractales.
Isotermas, dispersión, etc.
Análogamente, es interesante estudiar la forma de las superficies de temperatura constante o las isosuperficies de cualquier otra característica escalar del fluido. Se pueden trazar isotermas sobre la superficie que rodea un plancton que vive y se reproduce sólo en aguas con una temperatura T > 45° y llena todo el volumen disponible. El contorno de tal burujo presenta un sinfín de convoluciones y, en el modelo concreto del capítulo 30, se puede demostrar que es un fractal.
Cuando un medio está completamente ocupado por la turbulencia, pero algunas partes están marcadas por una característica «pasiva» o inerte que no afecta al flujo, se plantean una serie de problemas geométricos bastante generales. El mejor ejemplo lo tenemos en la dispersión turbulenta de una gota de tinta. En todas las direcciones, y de manera incesante, emerge toda clase de ramas, pero ni los análisis existentes ni la geometría estándar sirven de gran cosa para la descripción de las figuras resultantes. En la lámina 83 y en Mandelbrot (1976c) se dan razones por las que dichas figuras deben ser fractales.
Otras cuestiones geométricas
TURBULENCIA DEL AIRE TRANSPARENTE. He examinado algunas pruebas dispersas que sugieren que el conjunto soporte de este fenómeno es un fractal.
FLUJO ALREDEDOR DE UNA FRONTERA FRACTAL. Éste es otro caso típico donde la mecánica de fluidos está condenada a emplear los fractales (láminas 73 y 102).
ALARGAMIENTO DE LOS VÓRTICES. El movimiento del fluido hace que los vórtices se alarguen. En este proceso, cada vórtice tiene que plegarse para poder acomodar una longitud cada vez mayor en un volumen fijo. En la medida que el flujo es escalante, mi conjetura es que el vórtice tiende a un fractal.
LA TRAYECTORIA DE UNA PARTÍCULA DE FLUIDO. En una aproximación bastante burda, inspirada en el modelo ptolemaico del movimiento planetario, supongamos que nuestra partícula es transportada verticalmente hacia arriba por una corriente global de velocidad unidad, mientras es perturbada por una jerarquía de remolinos, cada uno de los cuales es un movimiento circular en un plano horizontal. Las funciones resultantes x(t) − x(0) y y(t) − y(0) son sumas de funciones seno y coseno. Si la contribución de las frecuencias altas es pequeña, la trayectoria es continua y diferenciable, y por tanto es rectificable, con D = 1. Pero si la contribución de las frecuencias altas es importante, la trayectoria es un fractal, con D > 1. Suponiendo que los remolinos sean autosemejantes, dicha trayectoria resulta ser idéntica a un famoso contraejemplo del análisis: la función de Weierstrass (capítulos 2, 39 y 41). Esto le hace a uno preguntarse si la transición de la totalidad del fluido a la turbulencia se puede asociar a las circunstancias bajo las que la trayectoria es un fractal.
La intermitencia de la turbulencia
Debido a la viscosidad del fluido, a la larga la turbulencia acaba por disiparse, pues la energía del movimiento visible acaba por convertirse en calor. Las teorías más primitivas suponen que la disipación es espacialmente uniforme. Pero la esperanza de que la «turbulencia homogénea» fuera un modelo razonable fue descartada por Landau y Lifshitz (1953-1959), quienes observan que, mientras algunas regiones presentan una disipación muy alta, otras parecen carecer de ella casi por completo. Esto significa que la propiedad tan conocida del viento, que parece ir a ráfagas, se refleja también —de un modo más consistente— a escalas más pequeñas.
Este fenómeno, la intermitencia, fue estudiado por primera vez en Batchelor y Townsend (1949, pág. 253; véase también Batchelor, 1953, sección 8.3, y Monin y Yaglom, 1963, 1971, 1975). La intermitencia es particularmente manifiesta cuando el número de Reynolds es muy grande, en el sentido de que el corte superior es grande en comparación con el corte inferior, como en las estrellas, los océanos y la atmósfera.
Diremos que las regiones en las que se concentra la disipación la transportan o soportan.
El hecho de que en este ensayo se traten juntas la intermitencia de la turbulencia y la distribución de las galaxias es algo natural y no es en absoluto nuevo. Hace algún tiempo, los físicos (von Weizsacker, 1950) trataron de explicar la génesis de las galaxias por medio de la turbulencia. Aceptando que la turbulencia homogénea no puede explicar la intermitencia estelar, von Weizsacker esbozó algunas correcciones que estaban en el espíritu del modelo de Fournier («Charlier») del capítulo 9, y por tanto en el de la teoría que se presenta aquí. Si se reanudaran los esfuerzos unificadores de von Weizsacker, se podría establecer un nexo físico entre dos tipos de intermitencia y los correspondientes fractales autosemejantes.
Uno de los objetivos de dicho efecto unificador sería relacionar la dimensión de la distribución de galaxias (que, como ya sabemos, es D ~ 1,23) con las dimensiones que aparecen en la turbulencia, que como apuntábamos caen entre 2,5 y 2,7.
Una definición de turbulencia
Observamos anteriormente que, por raro que parezca, se aplica la misma expresión, turbulencia, a varios fenómenos distintos. Esta continua falta de definición se comprende fácilmente si, como pretendo y me propongo demostrar, para una definición correcta hacen falta los fractales.
La imagen mental habitual de la turbulencia está prácticamente «congelada» en los términos planteados por primera vez, hace ahora unos cien años, por Reynolds para una corriente de fluido en un tubo: cuando la presión aguas arriba es débil, el movimiento es regular y «laminar»; si la presión se aumenta lo suficiente, de repente todo se vuelve irregular. En este caso prototípico, el soporte de la disipación turbulenta es o bien «vacío», inexistente, o bien todo el tubo. En cualquier caso, además de no haber ninguna geometría que estudiar, tampoco hay razones imperativas para definir la turbulencia.
En las estelas las cosas son más complicadas. Hay una frontera entre la zona turbulenta y el mar circundante, y habría que estudiar su geometría. Sin embargo, esta frontera es tan clara que un criterio «objetivo» para definir la turbulencia tampoco es realmente necesario.
En la turbulencia plenamente desarrollada que se da en un túnel de viento las cosas también son simples, pues la turbulencia se manifiesta en el todo, como en el tubo de Reynolds. Sin embargo, los procedimientos empleados a veces para conseguir este objetivo son curiosos, si hay que dar crédito a ciertas versiones mantenidas con bastante tenacidad. Se sabe que, cuando se pone en marcha un túnel de viento, éste no sirve para el estudio de la turbulencia. Lejos de llenar por completo el volumen que se le ofrece, la propia turbulencia parece «turbulenta» y se presenta en ráfagas irregulares. Sólo después de esfuerzos graduales se consigue estabilizarla al estilo del tubo de Reynolds. Por esta razón, me cuento entre los que se preguntan hasta qué punto la «turbulencia de laboratorio» no intermitente de los túneles de viento se puede considerar el mismo fenómeno físico que la «turbulencia natural», intermitente, que se da en la atmósfera. De ahí que sea necesario definir los términos.
Abordaremos esta tarea por un camino indirecto, partiendo de un concepto mal definido de qué es turbulento, y examinando los registros unidimensionales de la velocidad en un punto. Los movimientos del centro de gravedad de un aeroplano grande ilustran un primer análisis aproximado de dichos registros. De vez en cuando el aeroplano sufre una sacudida, y esto prueba que ciertas regiones de la atmósfera son fuertemente disipativas. Un aeroplano más pequeño es una sonda más sensible: «siente» las ráfagas turbulentas que no perturbaban al aeroplano mayor, y recibe cada choque de los que afectaban a este último como una ráfaga de choques más débiles. Así, cuando se examina con detalle un sector fuertemente disipativo de la sección eficaz, aparecen intervalos de comportamiento laminar. Y si se afina más el análisis, aparecen nuevos intervalos laminares más cortos.
A cada estadio se necesita una redefinición de qué es turbulento. La idea de un minuto de registro turbulento adquiere sentido cuando se interpreta como un «minuto de registro que no está totalmente libre de turbulencias». Por otra parte, el concepto más fuerte de un minuto de registro densamente turbulento parece carecer de significado observable. Procediendo por estadios sucesivos, la turbulencia se concentra cada vez más en una parte cada vez menor de la duración total del registro. El volumen del soporte de la disipación parece decrecer, y nuestra próxima tarea consistirá en modelizar este soporte.
El papel de los fractales autosemejantes
Como ya se ha dicho, no me sorprende que muy pocos aspectos geométricos de la turbulencia se hayan investigado efectivamente, pues las únicas técnicas de las que se disponía eran las euclídeas. Para escapar de estas limitaciones se han usado muchas expresiones preeuclídeas. Por ejemplo, los artículos sobre la intermitencia hacen un uso insistente de expresiones poco corrientes tales como manchado y lleno de grumos. Batchelor y Townsend (1949) prevén «sólo cuatro tipos de figuras posibles: gotas, barras, tablas y cintas». Algunos conferenciantes (aunque pocos escritores) también emplean las expresiones judías, espagueti y lechugas, como parte de una terminología imaginativa que no trata de ocultar la pobreza de la geometría subyacente.
Por contra, las investigaciones que he llevado a cabo desde 1964, y que presenté por primera vez en el Kyoto Symposium de 1966 (Mandelbrot, 1967k), ampliaron la caja de herramientas de la geometría clásica con los fractales autosemejantes.
Propugnar el uso de fractales es un avance radical, pero restringir los fractales de la turbulencia a la categoría autosemejante es ortodoxo, pues el propio concepto de autosemejanza se elaboró en principio para describir la turbulencia. El pionero fue Lewis Fry Richardson, del que ya hablamos en el capítulo 5. Richardson (1926) introdujo el concepto de jerarquía de remolinos enlazados por una cascada. (Véase el capítulo 40.)
Fue también en el contexto de la teoría de la turbulencia donde la teoría de las cascadas y la autosemejanza alcanzó sus éxitos de predicción entre los años 1941 y 1948. Las principales contribuciones se deben a Kolmogorov, Obukhov, Onsager y von Weizsacker, aunque la tradición asocia los progresos de esta época al nombre de Kolmogorov. Sin embargo, se produjo un cambio sutil entre Richardson y Kolmogorov.
Mientras la autosemejanza viene sugerida por los remolinos visualmente perceptibles, la teoría de Kolmogorov es puramente analítica. Los fractales, por otra parte, permiten aplicar la técnica de la autosemejanza a la geometría de la turbulencia.
El enfoque fractal debería contrastarse con el hecho peculiar de que las gotas, barras, tablas y cintas de la cuádruple elección de teorías anteriores no consiguen ser autosemejantes. Ésta podría ser la razón por la cual Kuo y Corrsin (1972) admiten que dicha elección es «primitiva» y que harían falta estructuras intermedias.
Vienen entonces a la mente una serie de posibles modificaciones ad hoc de las estructuras estándar. Así, por ejemplo, las barras se podrían dividir en cuerdas rodeadas de hebras sueltas (recuérdese una situación similar con las estelas y los chorros) y cortar las tablas en láminas rodeadas de capas también sueltas. De algún modo esas hebras y esas capas se podrían hacer autosemejantes.
Sin embargo, una tal inyección ad hoc de la autosemejanza no se ha intentado nunca, y la encuentro a la vez poco prometedora y desagradable. Prefiero seguir un rumbo completamente diferente, y dejar que las formas globales y los detalles de hebra y capa sean generados por el mismo proceso. Como los fractales autosemejantes básicos carecen de direcciones privilegiadas, nuestro estudio deja de lado (por el momento) todas las cuestiones geométricas interesantes que combinan la turbulencia con el movimiento global.
▯ Obukhov (1962) y Kolmogorov (1962) son los primeros estudios analíticos de la intermitencia. Por lo que respecta a influencias inmediatas, casi enlazan con los artículos de 1941 de los mismos autores, pero tienen defectos importantes, por lo que su influencia a la larga se augura pequeña. (Véase Mandelbrot, I972J, I974f, 197601 y Kraichnan, 1974.) ▮
Cortes superior e inferior
Debido a la viscosidad, el corte inferior de la turbulencia es positivo. Y además, las estelas, chorros y otros flujos análogos presentan claramente un corte superior n finito. De todas formas, la corriente aceptación general de la finitud de n tendría que someterse a crítica. Richardson (1926) afirma que «la observación demuestra que los valores numéricos [que se suponen convergentes para muestras de tamaños cercanos a Ω] dependerían totalmente de durante cuánto tiempo se incluyó un volumen en el promedio. Los trabajos de Defant muestran que para la atmósfera no hay ningún límite». Los meteorólogos han descartado primero, y olvidado después, esta afirmación, y en mi opinión lo han hecho demasiado a la ligera. Los nuevos datos del capítulo II y el estudio de la lagunaridad del capítulo 34 refuerzan mi convicción de que el tema sigue abierto.
La coagulación y la turbulencia fractalmente homogénea
En un estadio preliminar aproximado, podemos representar el soporte de la turbulencia por medio de uno de los fractales autosemejantes obtenidos en los capítulos anteriores por un proceso de coagulación. Este consistiría en una variante «desaleatorizada» del modelo de Novikov y Stewart del capítulo 23. Al cabo de un número finito m de estadios de una cascada de coagulación, la disipación se distribuye uniformemente sobre N = r−mD subremolinos escogidos de entre r−3m subremolinos no solapantes de m-ésimo orden, cuyas posiciones vendrían especificadas por el generador. Después de continuar la cascada indefinidamente, la distribución límite de la disipación se extiende uniformemente sobre un fractal de dimensión D < 3. Propongo el nombre de turbulencia fractalmente homogénea para dicho límite.
La turbulencia homogénea de G. I. Taylor se obtiene en el límite D → 3. El hecho notable es que la coagulación no excluye D = 3, pero permite la nueva posibilidad de que D < 3.
Evidencia experimental directa de que la intermitencia satisface D > 2
Desde el punto de vista de las secciones lineales, muchas clases de fractales no acotados presentan un comportamiento muy simple: la sección es casi con toda seguridad vacía cuando D < 2 y tiene una probabilidad no nula de ser no vacía para D > 2. (En el capítulo 23 se demuestra este resultado para un tipo simple de fractales).
Si el conjunto soporte de la disipación turbulenta cumpliera que D < 2, el enunciado anterior implicaría que casi todas las sondas experimentales deberían escapar por entre las regiones turbulentas. El hecho de que no sea así sugiere que en realidad D > 2. Esta deducción es extraordinariamente fuerte, pues descansa en un experimento que se repite constantemente y cuyos posibles resultados se reducen a una alternativa entre «nunca» y «a menudo».
Una contrapartida topológica provisional es DT > 2. (Mandelbrot, 1976o); esta posibilidad es tentadora, pero demasiado especial para detallarla aquí.
Las galaxias y la turbulencia comparadas
La desigualdad D > 2 para el conjunto soporte de la disipación turbulenta y la desigualdad contraria D < 2 para la distribución de masa en el cosmos (capítulo 9) emanan de los efectos del signo de D − 2 para la sección típica de un fractal y para su proyección típica en un plano o en el cielo. Para el fenómeno que se estudia en el presente capítulo, la sección debe ser no vacía. En el capítulo 9, por el contrario, el efecto del «cielo en llamas» se «exorciza» si la mayoría de rectas trazadas desde la Tierra nunca se encuentran con una estrella. Para ello hace falta que la proyección de las estrellas en el cielo tenga un área nula.
El contraste entre los signos de D − 2 en estos dos problemas debe tener una relación vital con una diferencia de estructura.
(Des)igualdades entre exponentes (Mandelbrot, 1967k, 1976o)
Muchas características útiles de la turbulencia fractalmente homogénea dependen únicamente de D. Este tema se estudia en Mandelbrot (1976o), donde la turbulencia intermitente se caracteriza por una serie de exponentes conceptualmente distintos relacionados por (des)igualdades. ▯ La situación recuerda los fenómenos que se dan en un punto crítico. ▮
(DES)IGUALDADES ESPECTRALES. La primera (des)igualdad que se plantea en Mandelbrot 1967k (donde se usa la notación θ = D − 2), se expresa normalmente en función del espectro de la velocidad turbulenta, aunque aquí la presentamos en función de la varianza. En la turbulencia fractalmente homogénea, la velocidad de un punto cumple que
<|v(x) − v(x + r)|2> = |r|2/3+B
donde B = (3 − D)/3.
En la turbulencia homogénea de Taylor, D = 3, y B se anula, quedando el exponente clásico de Kolmogorov, 2/3, que nos volveremos a encontrar en el capítulo 30.
Mandelbrot (1976o) también demuestra que el modelo más general de coagulación ponderada, descrito en Mandelbrot (1974f), implica la desigualdad B ≤ (3 − D)/3.
EL MODELO β. Frisch, Nelkin y Suiem (1978) injertan un vocabulario pseudodinámico en la geometría de la turbulencia fractalmente homogénea descrita en Mandelbrot (1976o). La interpretación ha demostrado su utilidad, pero sus razonamientos matemáticos y sus conclusiones son idénticos a los míos. El nombre «modelo β» que se ha dado a su interpretación se usa bastante y se identifica a menudo con la homogeneidad fractal.
La topología de la turbulencia sigue siendo un tema abierto
Los capítulos anteriores insistieron abundantemente en que el mismo valor de D se puede encontrar en conjuntos que son distintos en cuanto a su conexión topológica. La dimensión topológica DT nos da una cota inferior para la dimensión fractal D, pero frecuentemente esta cota es superada por un margen tan amplio que no sirve prácticamente para nada. Una figura de dimensión fractal D comprendida entre 2 y 3 tanto puede ser «hojaldrada», «hilachuda» o «polvorosa», y puede presentar una tal variedad de configuraciones que resulte difícil acuñar o encontrar nombres para todas ellas. Por ejemplo, incluso en figuras fractales que en su mayor parte tienen forma de cuerda, las «hebras» pueden ser tan tupidas que el resultado sea realmente «algo más» que cordadas. Análogamente, las fractales próximas a las hojas son «algo más» que hojaldradas. Además, se pueden mezclar rasgos de las cuerdas y las hojas a gusto del consumidor. Intuitivamente se podría haber esperado que hubiera una relación más íntima entre la dimensión fractal y el grado de conexión, pero los matemáticos perdieron esta esperanza entre 1875 y 1925. En el capítulo 23 trataremos un problema especial de esta clase, pero se puede decir que la verdadera relación entre estas estructuras es en esencia un terreno virgen aún.
La cuestión de la ramificación, planteada en el capítulo 14, es también de vital importancia, pero su impacto en el estudio de la turbulencia está también por explorar.
DESIGUALDADES DE CURTOSIS. Corrsin (1962), Tennekes (1968) y Saffman (1968) usan una medida de la intermitencia llamada curtosis para abordar el tema de la conexión. Sus modelos tratan claramente con figuras que fienen la dimensión topológica del plano (hojas) o de la recta (barras). Sin embargo, la topología es determinada indirectamente, mediante el exponente de una ley exponencial predicha entre la curtosis y un número de Reynolds. Desgraciadamente, este intento falla porque el exponente de curtosis está de hecho dominado por distintas suposiciones adicionales, y finalmente sólo depende de la dimensión fractal D de la figura generada por el modelo. Corrsin (1962) predice un valor de D igual a la dimensión topológica que postula, DT = 2. La predicción es incorrecta, debido a que, aunque los datos tengan que ver con fractales, el modelo no. Por otra parte, Tennekes (1968) postula DT ≈ 1, pero obtiene el valor fraccionario D = 2,6, que implica por tanto un fractal aproximado. Sin embargo, la deducción que se pretendía de una combinación de «forma» intuifiva y dimensión topológica a partir de la medida de curtosis, no queda asegurada.