En los capítulos 6 y 7 se introdujeron los fractales de Koch y de Peano mediante una imagen geomorfológica, pero las aplicaciones más importantes de los fractales han arraigado en otros dominios. Adentrándonos cada vez más en la corriente principal de la ciencia, este capítulo y los dos siguientes atacan dos problemas de excepcional antigüedad, importancia y dificultad.

La distribución de las estrellas, las galaxias, los cúmulos de galaxias, etc. fascina tanto al aficionado como al especialista, y sin embargo es algo que sigue estando al margen de la astronomía y la astrofísica en conjunto.

Ello se debe básicamente a que nadie ha explicado aún por qué la distribución de materia sigue una jerarquía irregular, por lo menos en una cierta gama de escalas. Y mientras en la mayoría de trabajos sobre el tema hay alusiones al arracimamiento, los trabajos teóricos serios se apresuran a esconderlo bajo la alfombra, afirmando que a partir de un cierto umbral, grande pero no especificado, las galaxias están uniformemente distribuidas.

Otra razón, aunque menos fundamental, de esta vacilación para tratar con lo irregular es la falta de útiles para describirlo matemáticamente. Se pide a la estadística que decida entre dos hipótesis, de las que sólo una ha sido completamente estudiada (la uniformidad asintótica). ¿Nos debe sorprender, pues, que los resultados no sean concluyentes?

No obstante, estas cuestiones se resisten a ser dejadas de lado. En mi opinión, paralelamente a los esfuerzos por explicar, es indispensable describir el arracimamiento e imitar la realidad con medios puramente geométricos. El tratamiento fractal de este tema, repartido en varios capítulos de este ensayo, se propone demostrar con modelos construidos explícitamente que la evidencia es compatible con un grado de agregación que se extiende mucho más allá de los límites sugeridos por los modelos existentes.

Este capítulo introductorio describe una teoría muy influyente de Hoyle sobre la formación de estrellas y galaxias, junto con el principal modelo descriptivo de su distribución, de Fournier d’Albe (conocido también como modelo de Charlier), y, sobre todo, presenta algunos datos empíricos. Se demuestra que tanto las teorías como los datos experimentales se pueden interpretar en términos de un polvo fractal escalante. Sostengo que en la distribución de estrellas y galaxias hay una zona de autosemejanza en la que la dimensión fractal cumple 0 < D < 3. Se esbozan las razones teóricas por las que cabría esperar que D = 1, planteándose la pregunta de por qué la D observada es aproximadamente ~ 1,23.

ANTICIPO. En el capítulo 22 se echa mano de los fractales para mejorar nuestra comprensión del significado del principio cosmológico, de cómo habría que modificarlo y de por qué dicha modificación hace necesaria la introducción del azar. La discusión de modelos mejorados de agregación se retrasa hasta los capítulos 22, 23 y del 32 al 35.

Empecemos por examinar el concepto de densidad global de la materia. Como en el caso de la longitud de una costa, las cosas parecen sencillas, pero lo cierto es que se complican con mucha facilidad, y de un modo sumamente interesante. Para definir y medir la densidad, se empieza con la masa M(R) contenida en una esfera de radio R con centro en la Tierra. Se evalúa la densidad aproximada

Luego se hace que el valor de R tienda a infinito, y se define la densidad global como el límite al que converge la densidad aproximada.

Pero ¿tiene que converger necesariamente dicha densidad aproximada a un límite positivo y finito? De ser así, la velocidad de convergencia deja mucho que desear. Además, las estimaciones de la densidad límite en el pasado presentaban un comportamiento muy singular. A medida que aumentaba la profundidad del universo accesible a los telescopios, la densidad aproximada disminuía de un modo sorprendentemente sistemáüco. Según De Vaucouleurs (1970), ha permanecido ∝ R^D−3. El exponente D observado es mucho menor que 3, y la mejor esfimación, en base a evidencias indirectas es D = 1,23.

La tesis de De Vaucouleurs es que el comportamiento de la densidad aproximada refleja la realidad, en el sentido de que M(R) ∝ R^D. Esta fórmula nos recuerda el resultado clásico según el cual una bola de radio R en un espacio euclídeo de dimensión E tiene un volumen ∝ R^E. En el capítulo 6 nos encontramos con la misma fórmula para la curva de Koch, con la diferencia importante de que el exponente no era la dimensión euclídea E = 2, sino una dimensión fractal D no entera. Y en el capítulo 8 se obtiene M(R) ∝ R^D para el polvo de Cantor en el eje temporal (para el cual E = 1).

Todos estos precedentes sugieren con gran fuerza que el exponente D de Vaucouleurs es una dimensión fractal.

Es evidente que el dominio escalante en el que 0 < D < 3 debe acabarse antes de llegar a objetos con límites bien definidos, como los planetas. Pero ¿incluye o no las estrellas? Según los datos de Webbink, presentados en Faber y Gallagher (1980), la masa de la Vía Láctea contenida en una esfera de radio R se puede representar perfectamente por M(R) ∝ R^D, con la D extrapolada a partir de las galaxias. No obstante, continuaremos nuestra discusión exclusivamente en términos de galaxias.

La cuestión de hasta qué escalas alcanza el dominio en el que 0 < D < 3 es controvertida y es tema de actividad renovada. Muchos autores todavía afirman o suponen que el dominio escalante admite una cota superior que corresponde a los cúmulos de galaxias. Otros autores no comparten esta opinión. De Vaucouleurs (1970) afirma que «el arracimamiento de las galaxias, y presumiblemente de todas las formas de materia, es la característica dominante de la estructura del universo a cualquier escala observable, sin ningún indicio de una tendencia a la uniformidad; la densidad media de materia disminuye continuamente a medida que se consideran volúmenes cada vez mayores, y no hay base observacional alguna para la hipótesis de que esta tendencia no vaya a mantenerse para distancias mucho mayores y densidades más bajas».

El debate entre estas dos escuelas es interesante e importante para la cosmología (pero no para los objetivos de este ensayo). Aun en el caso de que el dominio en el que 0 < D < 3 esté acotado en ambos extremos, su importancia es suficiente para merecer un estudio cuidadoso.

En cualquier caso, el universo (al igual que la bola de hilo a que hacíamos referencia en el capítulo 3) parece presentar una sucesión de dimensiones efectivas distintas. Partiendo de una escala del orden del radio de la Tierra, se encuentra primero la dimensión 3 (correspondiente a cuerpos sólidos con contornos bien definidos). Luego la dimensión pasa a ser 0 (contemplándose la materia como una colección de puntos aislados). A continuación viene el dominio que nos interesa, en el que la dimensión toma un valor no trivial comprendido ente 0 y 3. Si la agregación escalante continúa indefinidamente, ocurrirá lo mismo con este valor de D. Si, por el contrario, hay una cota inferior a este fenómeno, hay que añadir un cuarto dominio en el que los puntos pierden su identidad y se tiene un fluido uniforme, con lo que la dimensión vuelve a ser 3.

Por otra parte, lo más ingenuo es imaginar que las galaxias están casi uniformemente distribuidas en el universo. En el caso de esta hipótesis insostenible, se tiene la sucesión D = 3, luego D = 0 y finalmente D = 3 otra vez.

▯ La teoría general de la relatividad afirma que en ausencia de materia la geometría local del espacio tiende a ser plana y euclídea, mientras que la presencia de materia la convierte en localmente riemanniana. En nuestro caso podríamos hablar de un universo globalmente plano de dimensión 3 con una D < 3 local. Este tipo de perturbación es considerada en Selety (1924), un trabajo oscuro que no cita a Koch aunque contiene (pág. 312) un ejemplo de la construcción vista en el capítulo 6. ▮

Queda por construir un fractal que cumpla M(R) ∝ R^D y ver cómo se ajusta a las imágenes aceptadas del Universo. El primer modelo completo de esta clase se debe a E. E. Fournier d’Albe (capítulo 40). Aunque Fournier (1907) es, con mucho, una obra de ficción disfrazada de ciencia, contiene también consideraciones auténticamente interesantes que comentaremos dentro de un momento. Conviene, no obstante, describir primero la estructura que propone.

Su construcción empieza con el octaedro regular centrado, cuya proyección se representa casi en el centro de la lámina 139. La proyección se reduce a los cuatro vértices de un cuadrado, cuya diagonal mide 12 «unidades» de longitud, y al centro de dicho cuadrado. El octaedro incluye también dos puntos, uno encima del plano y otro debajo, en la vertical del centro y a 6 unidades de distancia del mismo.

Ahora, cada vértice se sustituye por una bola de radio 1, que será considerada como un «agregado estelar de orden 0»; y la menor bola que contiene las 7 bolas elementales constituirá lo que llamaremos un «agregado estelar de orden 1». Un agregado de orden 2 se obtiene aumentando un agregado de orden 1 en una razón 1/r = 7 y sustituyendo cada una de las bolas resultantes, de radio 7, por una réplica del agregado de orden 1. Del mismo modo, un agregado de orden 3 se obtiene aumentando un agregado de orden 2 en una razón 1/r = 7 y sustituyendo cada bola por una réplica del agregado de orden 1. Y así sucesivamente.

En resumen, entre dos órdenes de agregación consecutivos, el número de puntos y el radio aumentan en una razón 1/r = 7. Por tanto, cualquiera que sea el radio R de un agregado, la función M₀(R) que da el número de puntos contenido en una bola de radio R es M₀(R) = R. Para valores intermedios de R, M₀(R) es menor (llegando a disminuir hasta R/7), pero la tendencia global es M₀(R) ∝ R.

Partiendo de los agregados de orden 0, se puede también, procediendo por pasos sucesivos, interpolar agregados de órdenes −1, −2, etc. El primer estadio sustituye cada agregado de orden 0 por una imagen reducida del agregado de orden 1, con una razón de proporcionalidad de 1/7, y así sucesivamente. Procediendo así, la validez de la relación M₀(R) ∝ R se extiende a valores de R cada vez menores. Y después de continuar indefinidamente la extrapolación y la interpolación, se obtiene un conjunto autosemejante con D = log 7/log 7 = 1.

Podemos apreciar de paso que un objeto con D = 1 en el espacio tridimensional no tiene por qué ser una recta ni una curva rectificable. Ni tan sólo tiene por qué ser conexo. Cualquier D es compatible con cualquier valor menor o igual de la dimensión topológica. En el caso particular del doblemente infinito universo de Fournier, como se trata de un «polvo» totalmente inconexo, la dimensión topológica es 0.

El paso de la geometría a la distribución de masa es obvio. Si se asigna una unidad de masa a cada agregado estelar de orden 0, la masa M(R) interior a una bola de radio R > 1 es idénfica a M₀(R) y por tanto ∝ R. Además, la producción de agregados de orden −1 a partir de los agregados de orden 0 equivale a romper una bola que se consideraba uniforme y ver que está formada por otras 7 bolas menores. Este proceso generaliza la regla M(R) ∝ R para R < 1.

Si se contempla la construcción en el espacio tridimensional, la distribución de masa resultante es marcadamente heterogénea, pero contemplada en el fractal de Fournier es tan homogénea como puede serlo. (Recuérdese la lámina 117). En concreto, dos porciones geométricamente idénticas cualesquiera del universo de Fournier tienen la misma masa. Propongo la denominación fractalmente homogénea para las distribuciones de masa de este tipo.

▯ La anterior definición se ha presentado en términos de fractales escalantes, pero el concepto de homogeneidad fractal es más general. Se puede aplicar a cualquier fractal que tenga medida de Hausdorff de dimensión D positiva y finita. La homogeneidad fractal significa que la masa contenida en una parte del conjunto es proporcional a su medida de Hausdorff. ▮

Confío en que el hecho de haber empleado superficialmente una terminología fractal en los párrafos iniciales de este capítulo no haya confundido al lector. Resulta claro que, sin ser consciente de ello, Fournier andaba siguiendo un camino paralelo al de su contemporáneo Cantor. La diferencia principal estriba en que la construcción de Fournier se hace en el espacio en vez de la recta. Para mejorar el parecido, basta con cambiar la forma esférica de los agregados de Fournier por la forma cúbica (o de ladrillo). Así, cada agregado de orden 0 es un ladrillo de lado 1, que contiene 7 agregados de lado 1/7; uno de éstos tiene el mismo centro que el cubo inicial y los seis restantes están en contacto con los cuadraditos centrales de las caras del cubo original.

Veremos más adelante cómo Fournier llega al valor D = 1 a partir de fenómenos físicos elementales, y también como llega Hoyle a este mismo valor. No obstante, desde el punto de vista geométrico, D = 1 es un caso especial, aun conservando la estructura octaédrica global y el valor N = 7.

Como las bolas no se solapan, 1/r puede tomar cualquier valor entre 3 e infinito, obteniéndose M(R) ∝ R_D, donde D = log 7/log(1/r) toma cualquier valor entre 0 y log 7/log 3 = 1,7712.

Además, dado cualquier D < 3, es fácil cambiar N para construir una variante del modelo de Fournier con esa dimensión.

Las construcciones anteriores presentan uno de los defectos imputables a los primeros modelos fractales. El más notable es que, al igual que el modelo de la curva de Koch del capítulo 6 y el del polvo de Cantor del capítulo 8, el modelo de Fournier es regular hasta lo grotesco. Para corregir esto, Charlier (1908, 1922) sugirió que hay que dejar que N y r varíen de un nivel de jerarquía a otro, tomando valores N_m y r_m.

La eminencia científica de Charlier era tal que, a pesar de prodigarse en elogios a Fournier escribiendo en los idiomas científicos dominantes de su época, incluso el modelo simple acabó siendo atribuido a su famoso divulgador y no a su desconocido autor. Fue muy discutido en su tiempo, en particular por Selety (1922, 1923a, 1923b, 1924). Además, el modelo llamó la atención de Emile Borel, cuyos comentarios en Borel (1922), aunque secos, fueron perceptivos. Pero desde entonces, aparte de algunos resurgimientos caprichosos, el modelo cayó en el olvido (por razones no muy convincentes apuntadas en North, 1965, págs. 20-22 y 408-409). Sin embargo, se resiste a morir. La idea fundamental ha sido reinventada independientemente varias veces desde entonces, de las que es de destacar Levy (1930). (Véase la entrada LEVY del capítulo 40). Y lo que es más importante, el concepto fractal central del universo de Fournier está presente implícitamente en las consideraciones sobre turbulencia y galaxias de Weizsacker (1950) (véase el capítulo 10) y en el modelo de Hoyle (1953) de la génesis de las galaxias, que discutiremos en breve.

El ingrediente fractal básico también se encuentra en mis modelos de los capítulos 32 al 35.

Bajo esta luz, se plantea la cuestión de si un modelo de distribución de galaxias puede dejar de ser un fractal con uno o dos cortes. En mi opinión, no. Si se está de acuerdo en que dicha distribución debe ser escalante (por razones que elaboraremos en el capítulo 11) y que el conjunto en el que se concentra no es un conjunto escalante trivial, tiene que tratarse de un conjunto fractal.

Admitida la importancia del carácter escalante, la generalización no escalante del modelo de Fournier está mal inspirada. No obstante, deja que log N/log (1/r_m) varíe con m entre dos cotas, D_min > 0 y D_max < 3. Esto plantea otra cuestión: la dimensión efectiva no tiene por qué tomar un solo valor, puede oscilar entre dos valores límite. Volveremos sobre ello en el capítulo 15.

Presentamos ahora los argumentos que llevaron a Fournier (1907, pág. 103) a la conclusión de que D debe ser igual a 1. Este argumento es una razón poderosa para no olvidar a su autor.

Considérese un agregado de galaxias de orden arbitrario, masa M y radio R. Usando sin temor una fórmula aplicable a objetos con simetría esférica, supongamos que el potencial gravitatorio en la superficie es GM/R (siendo G la constante gravitatoria). Una estrella cayendo sobre este universo entra en él con una velocidad V = (2GM/R)^1/2.

Parafraseando a Fournier, se puede sacar una conclusión importante del hecho de que, según los datos observados, ninguna estrella tiene una velocidad superior a 1/300 de la velocidad de la luz. Resulta, pues, que la masa comprendida en una esfera universal aumenta en proporción al radio y no al volumen. En otras palabras, que la densidad en una esfera universal varía en razón inversa a su superficie… O más claro aún, el potencial en la superficie sería siempre el mismo, por ser directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional a la distancia. A consecuencia de ello, no habría estrellas con velocidades próximas a la de la luz en ninguna parte del universo.

También aparece una distribución jerárquica en una teoría presentada por Hoyle (1953). Según dicha teoría, las galaxias y estrellas se forman por un proceso en cascada a partir de un gas uniforme.

Considérese una nube de gas de masa M₀ y a temperatura T, distribuido uniformemente en el interior de una esfera de radio R₀. Como demostró Jeans, se alcanza una situación crítica cuando M₀/R₀ = JkRT/G. (Aquí k es la constante de Boltzmann y J un coeficiente numérico). En este punto crítico, la nube gaseosa primordial es inestable y se contrae inevitablemente.

Hoyle postula (a) que M₀/R₀ alcanza este valor crítico en algún instante inicial, (b) que la contracción resultante se detiene cuando el volumen de la nube gaseosa se reduce a 1/25 de su valor inicial y (c) que la nube se fragmenta entonces en cinco nubes iguales, de masa M₁ = M₀/5 y radio R₁ = R₀/5. Con ello el proceso acaba igual que empezó: en una situación inestable que va seguida de un segundo estadio de contracción y subdivisión, luego un tercero, y así sucesivamente. Finalmente, el proceso de coagulación se detiene cuando las nubes se hacen tan opacas que el calor desprendido por el colapso del gas no puede ya escapar.

Como en otros campos en los que se da un proceso en cascada similar, propongo llamar grumos a las cinco nubes y coagulación al proceso en cascada global. Como ya dije al introducir este último término, no podía resistirme a usarla junto con el adjetivo galáctico.

Fournier toma N = 7 para facilitar la ilustración gráfica, pero según Hoyle N = 5 tiene un fundamento físico. También a diferencia de Fournier, que detalla su ilustración gráfica más allá de lo razonable y necesario, Hoyle es poco explícito en lo que concierne a la distribución espacial de los grumos. La realización explícita del modelo habrá de esperar a que en el capítulo 33 describamos la coagulación aleatoria. Pero estas discrepancias no tienen gran importancia, y lo principal es que r = 1/N, con lo que D = 1 es una parte crucial del mecanismo si la coagulación tiene que acabar como empezó, en la inestabilidad de Jeans.

Además, si se toma igual a 1 la duración del primer estadio, la dinámica de gases muestra que la duración del m-ésimo estadio es 5 − m. En consecuencia, el mismo proceso puede repetirse indefinidamente con una duración total de 1,2500.

En el borde de una nube inestable de gas que satisfaga el criterio de Jeans, la velocidad y la temperatura están relacionadas por V₂/2 = JkT, pues GM/R es igual a V₂/2 (Fournier) y a JkT (Jeans). Recuérdese ahora que, en termodinámica estadística, la temperatura de un gas es proporcional a la velocidad cuadrática media de sus moléculas. Por tanto, la combinación de los criterios de Jeans y Fournier sugiere que en el borde de una nube la velocidad de caída de un objeto macroscópico es proporcional a la velocidad media de sus moléculas. Un análisis cuidadoso del papel de la temperatura en el criterio de Jeans debe mostrar forzosamente que ambos criterios son equivalentes. ▯ Lo más probable es que la analogía sea válida también para la relación M(R) ∝ R en el interior de las galaxias, presentada en Wallenguist (1957). ▮

El desacuerdo entre el valor empírico D = 1,23 y la D = 1 teórica de Fournier y Hoyle plantea un problema importante. P. J. E. Peebles lo afrontó en 1974 mediante la teoría de la relatividad. Peebles (1980) presenta un tratamiento a fondo de la física y la estadística del tema (aunque no de su geometría).

El cielo es una proyección del universo en el que cada punto, descrito primero por sus coordenadas esféricas ρ, θ y φ, es proyectado sobre el punto de coordenadas esféricas 1, θ, φ. Si el universo es un fractal de dimensión D, y el origen de coordenadas pertenece al universo (véase el capítulo 22), la estructura de la proyección obedece «por lo general» la regla siguiente: D > 2 implica que la proyección cubre una porción no nula del cielo, y D < 2 implica que la propia proyección tiene también dimensión D. Como se muestra en las láminas 139 y 140 con un ejemplo, esto admite excepciones, asociadas a la estructura del fractal y/o a la elección del origen. Hay que entenderlo como «verdadero con probabilidad 1».

La sección anterior se ha referido directamente a las motivaciones que llevaron a diversos autores (Fournier incluido) a variantes de un universo fractal. Se dieron cuenta de que esos universos «exorcizaban» geométricamente el efecto del cielo en llamas, también conocido (aunque equivocadamente) como paradoja de Olbers. Si se supone que la distribución de los cuerpos celestes es uniforme, esto es, que D = 3 a todas las escalas, el cielo estaría iluminado casi uniformemente, día y noche, con un brillo semejante al del disco solar.

Esta paradoja ya no tiene interés para los físicos, pues la teoría de la relatividad, la teoría de la expansión del universo y otros argumentos la han resuelto. Pero su ocaso nos legó un subproducto peculiar: numerosos críticos invocan su explicación preferida del efecto del cielo en llamas como excusa para no tener en cuenta el arracimamiento, e incluso como un argumento para negar la realidad del mismo. Se trata de un punto de vista verdaderamente singular: aunque no haga falta que las galaxias estén arracimadas para evitar el efecto del cielo en llamas, lo están, y este hecho merece un estudio cuidadoso. Además, como veremos en el capítulo 32, la expansión del universo es compatible con la homogeneidad fractal, y no sólo con la homogeneidad estándar.

El argumento del cielo en llamas es la simplicidad misma. Si la luz emitida por una estrella es proporcional a su superficie, la cantidad de luz recibida por un observador a una distancia R es ∝ 1/R². Pero la superficie aparente de la estrella es también ∝ 1/R² con lo que la razón aparente entre la luz recibida y el ángulo sólido es independiente de R. Además, si la distribución de estrellas en el universo es uniforme, casi en cualquier dirección del cielo nos encontramos, tarde o temprano, con una estrella. Por lo tanto, el brillo del cielo es uniforme y parece en llamas. (El disco lunar sería un dominio excepcionalmente oscuro, por lo menos en ausencia de difusión atmosférica).

Por otra parte, la hipótesis de que el universo es fractal con D < 2 resuelve la paradoja. En tal caso la proyección del universo sobre el cielo es un fractal con la misma D y, por tanto, un conjunto de área nula. Aun tomando las estrellas con radio distinto de cero, una gran parte de las direcciones del cielo se pueden prolongar hasta el infinito sin encontrar ninguna estrella. En estas direcciones el cielo nocturno es negro. Cuando el dominio en el que D < 3 es sucedido por una escala mayor en la que D = 3, el fondo celeste no es estrictamente negro, sino que tiene una iluminación sumamente débil.

El efecto del cielo en llamas fue apuntado por Kepler poco después de que el mensajero sideral de Galileo se hubiera pronunciado favorablemente sobre la idea de que el universo no tiene límites. En su Conversación con el mensajero sideral de 1610, Kepler replicaba: «Afirmáis sin titubeos que hay más de 10.000 estrellas visibles… Si es así y si (las estrellas son de) la misma naturaleza que nuestro Sol, ¿cómo es que estos soles no superan en brillo, por su acción colectiva, al nuestro?… ¿Acaso el éter intermedio los oscurece? Ni muchísimo menos. Está absolutamente claro que… este mundo nuestro no forma parte de un enjambre indiferenciable e innumerable de otros mundos» (Rosen, 1965, págs. 34-35).

Esta conclusión siguió siendo controvertida, pero el argumento no fue olvidado, como lo prueba el comentario de Sammuel Halley, en 1720, según el cual: «Otro argumento que he oído es que si el número de las estrellas fijas fuera más que finito, toda la superficie de su esfera aparente sería luminosa». Posteriormente fue discutida también por De Chéseaux y J. H. Lambert, pero acabó siendo atribuida a Olbers, gran amigo de Gauss. Así pues, la denominación «paradoja de Olbers» es escandalosa pero sintomática. Las observaciones que habían sido realizadas y enviadas al «residuo sin clasificar» (página 28) acaban a menudo siendo atribuidas a la primera figura oficial que la decora con un envoltorio clasificable, por transitorio que sea éste. Se pueden encontrar discusiones históricas sobre el tema en Gamow (1954), Munitz (1957), North (1965), Dickson (1968), Wilson (1965), Jaki (1969), Claylon (1975) y Harrison (1981).

El reverendo Bentley no dejó de importunar a Newton con una observación fuertemente emparentada con el efecto del cielo en llamas: si la distribución de las estrellas es homogénea, la fuerza que ejercen sobre una de ellas es infinita. Se podría añadir que su potencial gravitatorio es infinito, y que cualquier distribución en la que M(R) ∝ R^D para valores grandes de R da también un potencial infinito, a menos que D < 1. La teoría moderna del potencial (teoría de Frostman) confirma que hay una conexión privilegiada entre la gravitación newtoniana y el valor D = 1. Las deducciones de D = 1 por Fournier y Hoylc deben tener algo que ver con esta conexión. La idea de Fournier de que «el potencial gravitatorio en la superficie será siempre el mismo» tiene un papel central en la moderna teoría del potencial.

▯ Parafraseando a de Vaucouleurs (1970); «La teoría de la relatividad nos ha llevado a pensar que, para ser observable ópticamente, ninguna bola de material estacionario puede tener un radio R menor que el límite de Schwarzschild R_M = 2GM/c², siendo c la velocidad de la luz. En una representación gráfica de la densidad media ρ y el radio característico de varios sistemas cosmológicos, ρ_M = 3c²/8πGR_M² define una cota superior. El cociente ρ/ρ_M podría llamarse factor de llenado de Schwarzschild. Para los objetos y sistemas astronómicos más corrientes (como las estrellas y las galaxias, respectivamente) el factor de llenado es muy pequeño, del orden de 10⁻⁴ o 10⁻⁶». El cuadrado de la razón de velocidades postulado por Fournier es 300⁻² ~ 10⁻⁵ valor que cae precisamente en la parte central de dicho dominio. ▮

Muchos autores piensan que se puede explicar la génesis de las estrellas y otros objetos celestes mediante una cascada ascendente (esto es, la aglutinación de partículas de polvo muy dispersas para formar pedazos cada vez mayores) más que mediante una cascada descendente al modo propuesto por Hoyle (esto es, la fragmentación de masas muy grandes y difusas en pedazos más y más pequeños).

Se plantea una alternativa análoga relativa a las cascadas en el estudio de la turbulencia (capítulo 10). La cascada de Richardson desciende hacia remolinos cada vez más pequeños, aunque también tienen cabida las cascadas descendentes (véase la entrada «Richardson» en el capítulo 40). Es, pues, de esperar que las interrelaciones entre las cascadas ascendentes y las descendentes se aclaren pronto.

Para terminar esta discusión, nada más apropiado que un comentario acerca de los útiles empleados en la observación de las galaxias. Dyson (1977) sugiere que podría ser ventajoso sustituir los telescopios de una sola pieza por una hilera de telescopios pequeños, siendo el diámetro de cada uno del orden de 0,1 m, igual al tamaño de la menor perturbación atmosférica ópticamente significativa. Sus centros formarían una figura fractalmente jerárquica y estarían conectados mediante interferómetros de Currie. Un análisis aproximado nos lleva a la conclusión de que un valor conveniente de la dimensión sería 2/3. Y la conclusión de Dyson: «Una hilera de 3 kilómetros de 1024 telescopios de diez centímetros conectados por 1023 interferómetros no es, hoy en día una proposición práctica. Se ofrece como ideal teórico, con el fin de mostrar lo que en principio se podría hacer».

Si se acepta la afirmación de que ciertos modelos fractales no intencionados, con una sutilidad y versatilidad limitadas, proporcionan una descripción útil de la distribución de galaxias, el hecho de que los modelos fractales aleatorios diseñados adrede nos proporcionen una descripción mejor no debe constituir ninguna sorpresa. Para empezar, nuestra comprensión de la coagulación de Hoyle mejora cuando se la sitúa en el contexto adecuado: los fractales aleatorios (capítulo 23). Más importantes aún son, en mi opinión, los modelos aleatorios que desarrollé yo mismo, y que presento en los capítulos 32 a 35. Una razón para explayarme en varios modelos es que una mejor calidad de la descripción «se paga» con una mayor complicación. Otra razón es que en cada modelo interviene un polvo fractal que merece una cierta atención. Repasemos aquí dichos modelos, saltándonos el orden lógico.

Hacia 1965, mi ambición era implementar la relación M(R) ∝ R^D con R < 3 dentro de un modelo en el que no hubiera «centro del universo». La primera vez que lo conseguí fue con el modelo de paseo aleatorio descrito en el capítulo 32. Luego, y como alternativa, desarrollé un modelo por tremas, que consiste en arrancar del espacio un conjunto de tremas de radio aleatorio, hasta una cota superior L, finito o infinito, y dispuestas al azar.

Como ambos modelos habían sido escogidos sólo por su simplicidad formal, fue una sorpresa agradable descubrir su valor predictivo. Mis funciones de correlación teóricas (Mandelbrot, 1975u) concuerdan con las ajustadas a los datos de Peebles (1980) (véanse las págs. 243-249). ▯ Concretando más, mis dos enfoques del problema concuerdan con la correlación a dos puntos, mi paseo aleatorio da una buena correlación a tres puntos y una mala correlación a cuatro puntos, y mi modelo por tremas esféricas es muy bueno para todas las correlaciones conocidas. ▮

Desafortunadamente, el aspecto de las muestras generadas con uno u otro modelo es muy poco realista. Empleando un término que inventé con este mismo objeto y que describo en el capítulo 35, dichas muestras presentan unas propiedades de lagunaridad inaceptables. En el caso del modelo por tremas este defecto se corrige introduciendo formas de tremas más complicadas. En el modelo del paseo aleatorio, uso un «subordinador» menos lagunar.

Así pues, el estudio de los cúmulos de galaxias ha estimulado muchísimo el desarrollo de la geometría fractal. Y en la actualidad las aplicaciones de esta última al estudio de los cúmulos de galaxias van mucho más allá de las tareas de coordinación y limpieza llevados a cabo en el presente capítulo.

Y la distribución de los diamantes en bruto en la corteza terrestre se parece a la distribución de estrellas y galaxias en el cielo. Consideremos un gran mapa mundi en el que cada mina de diamantes o cada lugar rico en diamantes —actual o del pasado— esté señalado por un alfiler. Mirada desde lejos, la densidad de alfileres es extraordinariamente desigual. Unos pocos aislados por acá y allá, pero la mayoría concentrados en unas pocas zonas benditas (o malditas). Sin embargo, la superficie de la Tierra en dichas zonas no está uniformemente cubierta de diamantes. Si se examina más de cerca, cualquiera de esas zonas resulta estar también vacía en su mayor parte, con unas subzonas dispersas de mayor concentración de diamantes. Y el proceso se repite a lo largo de varios órdenes de magnitud.

¿No resulta irresistible introducir la coagulación en este contexto? En efecto, de Wijs ha propuesto un modelo fractal no intencionado, como ya veremos al hablar de los «Fractales no lagunares» en el capítulo 39.

LÁMINA 139. Proyección del multiuniverso de Fournier (dimensión D ~ 0,8270)

FIGURA 139

Esta lámina es una representación a escala de la proyección y de la sección «ecuatorial» de un universo con D = 1 descrito en el texto. Véase también la lámina 140.

Parafraseando el título de Fournier (1907): «Un multiuniverso construido según un principio cruciforme u octaédrico no es el plan del mundo, pero sirve para mostrar que puede existir una serie infinita de universos sucesivos semejantes sin dar lugar a un “cielo en llamas”. La materia contenida en cada esfera universal es proporcional al radio. Ésta es la condición requerida para que se cumplan las leyes de la gravitación y de la radiación. En algunas direcciones el cielo aparece totalmente negro, aunque haya una sucesión infinita de universos. La “proporción del mundo” es en este caso N = 7 en vez del 10²² que correspondería a la realidad».

En el sentido que se describe en el capítulo 34, un universo con D = 1 y N = 10²² tiene una lagunaridad muy baja, pero es extraordinariamente estratificado.

LÁMINA 140. Un universo de Fournier plano con D = 1

FIGURA 140

Como se ha dibujado a escala exacta, la lámina 139, además de ser difícil de representar y de ver, puede inducir a confusión. En efecto, no es un universo de dimensión D = 1, sino su proyección plana, cuya dimensión es D = log 5/log 7 ~ 0,8270 < 1. Por tanto, para no dejar una mala impresión, nos apresuramos a presentar una figura plana regular al estilo de Fournier, de dimensión D = 1. La construcción, en la que se tiene 1/r = 5 en vez de 1/r = 7, ha progresado un paso más que en la lámina 139.

9 Un enfoque fractal de los cúmulos de galaxias

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Un enfoque fractal de los cúmulos de galaxias