Una vez esbozados los distintos objetivos de este ensayo, comentaré el estilo, que también intenta integrar varias facetas distintas.
La oscuridad no es una virtud
Con objeto de ser accesible a investigadores y estudiantes no necesariamente especialistas en los temas tratados, muchos de ellos esotéricos, esta obra es bastante expositiva.
La explicación no es sin embargo su principal intención.
Se ha intentado, además, no asustar a quienes, sin estar interesados en la precisión matemática, deberían estarlo en mis principales conclusiones. Aunque el estilo del libro es informal (aunque preciso), sus resultados tienen un respaldo matemático riguroso (más sólido que muchas ramas de la física). Los detalles se dejan para el capítulo 39, las referencias y diversos trabajos posteriores.
Como no es de esperar que los trabajos originales llenen este vacío, este ensayo es hasta cierto punto una obra de divulgación.
La divulgación no es sin embargo su principal intención.
La erudición es buena para el espíritu
Este ensayo contiene muchas referencias antiguas y oscuras, como se ha visto ya en el capítulo 2. La mayor parte de ellas no atrajo mi atención hasta bastante después de que mi propio trabajo en temas afínes estuvo terminado en sus aspectos esenciales, y no tuvieron influencia sobre mí. Sin embargo, en los largos años en que no compartía mis intereses con nadie, me regocijaba descubrir inquietudes parecidas en viejos trabajos, por efímera e ineficaz que fuera su presentación, como prueba su ausencia de desarrollo subsiguiente. Así, el interés en los «clásicos», que la práctica habitual de la ciencia no suele fomentar, se vio alimentado en mi caso.
En otras palabras, me alegraba ver cómo las piedras que me hacían falta —en mi condición de arquitecto y constructor de la teoría de los fractales— habían merecido ya la consideración de otros. Pero ¿por qué seguir hoy insistiendo en este hecho? Una nota a pie de página de vez en cuando bastaría para seguir la costumbre, mientras que insistir demasiado en unas raíces y unos orígenes lejanos podría alimentar la impresión absurda de que mi construcción es sólo un montón de viejas piedras con nombres nuevos.
Así pues, mi curiosidad de anticuario requiere una explicación que no intentaré dar. Baste decir que, en mi opinión, el interés por la historia de la ciencia es bueno para el alma del científico.
No obstante, siempre que leamos los escritos de un gran hombre a la luz de una gloria que él no alcanzó, podemos ponderar el delicioso prólogo de Lebesgue a un libro de Lusin, en el que renunciaba a la paternidad de muchas ideas profundas que dicho libro le atribuía, diciendo que podría, o quizás debería, haber tenido dichas ideas, pero no había sido así, y había que atribuírselas a Lusin. Un caso parecido es Whittaker (1953), en cuyo libro se manipulan citas de Poincaré y Lorentz para apoyar una tesis que ambos habían rechazado claramente: que la teoría de la relatividad fue obra suya y no de Einstein.
Corremos además el riesgo de que, por cada autor que apunte una idea que él no pudo desarrollar y nosotros sí, encontremos un segundo autor que declare la absurdidad de dicha idea. ¿Hemos de atribuir al joven Poincaré el mérito de las ideas que no pudo desarrollar y fueron descartadas por él mismo en su madurez? Stent (1972) podría llevarnos a la conclusión de que la precocidad, el estar muy avanzado a la propia época, sólo merece un olvido compasivo.
Si bien el exceso de erudición es contraproducente en lo que respecta a la historia del pensamiento, quiero reivindicar los ecos del pasado, poniéndolos de relieve en las notas biográficas e históricas de los capítulos 40 y 41.
Sin embargo, mostrar mi erudición no es ciertamente la intención principal de este ensayo.
«Ver es creer»
En una carta a Dedekind, prácticamente al principio de la crisis matemática entre 1875 y 1925, Cantor se muestra abrumado por lo asombroso de sus propios descubrimientos, y pasa del alemán al francés para exclamar: «Lo veo pero no lo creo» («Je le vois, mais je ne le crois pas»). Y, como siguiendo esta indicación, la matemática procura evitar que las imágenes de los monstruos la confundan. ¡Qué contraste entre la exuberancia rococó de las geometrías pre o contrarrevolucionarias, y la aridez casi total de las obras de Weierstrass, Cantor o Peano! En física existía la amenaza de una evolución parecida desde principios del siglo XIX, cuando la Mecánica celeste de Laplace evita las ilustraciones. Muestra de ello es también la afirmación de P. A. M. Dirac (en el prólogo de su Mecánica cuántica, de 1930) de que las «leyes fundamentales [de la naturaleza] no rigen el mundo directamente tal como éste aparece en nuestra imagen mental, sino que actúan sobre un sustrato del que no podemos formarnos ninguna imagen mental sin cometer desatinos».
La aceptación general y sin el menor sentido crítico de esta opinión ha tenido consecuencias destructivas. En la teoría de fractales, en concreto, «ver es creer». Por tanto, antes de seguir adelante, aconsejo al lector que hojee otra vez mi libro de imágenes. Este ensayo fue proyectado para que su contenido fuera accesible en grado diverso a un público amplio, y para intentar servirse, convenciendo incluso al más puro de los matemáticos, de los buenos gráficos para mejorar la comprensión de conceptos tanto conocidos como nuevos, así como en la investigación de conjeturas. Una confianza así en la utilidad de los gráficos no es frecuente en la literatura científica contemporánea.
Sin embargo, la intención principal de este ensayo no es mostrar bellas imágenes; son un útil esencial pero sólo eso.
Hay que reconocer también que cualquier intento de ilustrar la geometría encierra una falacia fundamental. Por ejemplo, una línea recta es ilimitada, infinitamente fina e infinitamente lisa, mientras que cualquier ilustración tiene inevitablemente una longitud finita, un cierto grosor y rugosidades. Sin embargo, muchos piensan que un dibujo que groseramente evoque una recta les es útil, y a otros les es necesario para estimular la intuición y les sirve de ayuda para buscar demostraciones. Un dibujo tosco es un modelo mejor de un hilo que la propia recta matemática. Es decir, a efectos prácticos es suficiente que un concepto geométrico y su imagen coincidan en una serie de escalas características, que van de un tamaño grande pero finito, que llamaremos corte superior, a un pequeño corte inferior no nulo.
Hoy en día, gracias al dibujo asistido por ordenador, es posible y práctico emplear ilustraciones evocativas de esta clase en el caso de los fractales. Por ejemplo, todas las curvas fractales autosemejantes son también ilimitadas e infinitamente finas. Además, cada una de ellas tiene un grado de rugosidad específico, lo que la hace más compleja que cualquier figura euclídea. Por consiguiente, la mejor de las representaciones sólo puede ser válida en una gama limitada de escalas. Sin embargo, limitarse a las escalas entre los cortes superior e inferior no sólo es completamente aceptable sino muy adecuado, puesto que ambos cortes se dan en la naturaleza, o por lo menos así podemos sospecharlo. Así pues, las curvas fractales típicas pueden ser evocadas satisfactoriamente mediante poligonales de un número grande, pero finito, de lados.
Cuanto mayor es el número de lados y la precisión del proceso, más útil resulta la representación, pues los conceptos fractales se refieren a la posición mutua de dichos lados en el espacio, y para ilustrarla es vital mantenerlos en la escala conveniente. El dibujo a mano supondría un trabajo excesivo, pero los gráficos por ordenador cumplen perfectamente este cometido. La disponibilidad de sistemas cada vez más sofisticados —¡y de programadores-artistas cada vez más sofisticados que los hagan funcionar!— ha tenido una gran influencia sobre mis sucesivos ensayos. Me considero muy afortunado también por tener acceso a una máquina que produce ilustraciones ya listas para la imprenta. Y en este ensayo se presenta una muestra de su rendimiento.
Las gráficas son un útil estupendo para contrastar los modelos con la realidad. Cuando un mecanismo aleatorio concuerda con los datos desde un cierto punto de vista analítico, pero las simulaciones del modelo no tienen en absoluto una apariencia de «realidad», hay que dudar de la concordancia analítica. Una fórmula dada sólo puede reflejar un aspecto de la relación entre el modelo y la realidad, en tanto que el ojo tiene una enorme capacidad de integración y discriminación. Es cierto que, a veces, el ojo aprecia falsas relaciones que un análisis estadístico posterior invalida, pero este problema se da sobre todo en áreas de la ciencia en las que las muestras son pequeñas. En las áreas que estudiaremos aquí, las muestras son enormes.
Además, las gráficas ayudan a encontrar nuevas aplicaciones para modelos ya existentes. Experimenté por primera vez esta posibilidad con la ilustración del camino aleatorio de Feller (1950); la curva se parecía al perfil o corte vertical de una montaña, y sus puntos de intersección con el eje de tiempos me recordaban ciertos registros que estaba investigando por aquel entonces, en relación con los errores telefónicos. Los presentimientos subsiguientes me llevaron a las teorías que presento en los capítulos 28 y 31, respectivamente. Mis propias ilustraciones asistidas por ordenador dieron lugar a inspiraciones similares, tanto en mí como en otros que amablemente «exploraron» por mí en ciencias cuya existencia ni sospechaba.
La cinematografía es, desde luego, una prolongación del arte gráfico, y Max (1971) ha realizado algunas películas sobre unos cuantos fractales clásicos.
La forma estándar y la nueva forma fractal del «arte» geométrico
La sobrecubierta de este libro y otras figuras que se han ido difundiendo sólo son el fruto involuntario de programas defectuosos. Me he enterado de que dichas ilustraciones, tanto las deseadas como las fortuitas, eran presentadas como una «nueva forma de arte».
Está claro que competir con los artistas no es, ni mucho menos, la intención de este ensayo. Sin embargo, hay que pronunciarse sobre el asunto. No se trata tanto de que las ilustraciones estén bien presentadas, ni tampoco de que los originales se hayan dibujado con un ordenador, sino de que estamos ante una nueva forma del viejo y controvertido tema de que cualquier representación gráfica de un concepto matemático es una forma de arte, tanto mejor cuanto más simple. Una forma de «arte minimalista» (usando una expresión propia de la pintura).
En general se piensa que el minimalismo se reduce a unas cuantas combinaciones de formas estándar: rectas, círculos, espirales y otras por el estilo. Pero no hace falta que sea así. Las fractales que se emplean en los modelos científicos son también muy simples (pues la ciencia fomenta la sencillez), y opino que muchas de ellas merecen ser consideradas una nueva forma de arte geométrico minimalista.
¿Hay algo que nos sugiera la obra de M. C. Escher? Debería ser así, pues Escher se inspiró en los embaldosados hiperbólicos de Fricke y Klein (1897), los cuales (véase el capítulo 18) están íntimamente relacionados con formas que han entrado a formar parte del reino fractal.
El «nuevo arte geométrico» fractal presenta una sorprendente afinidad con las pinturas de los grandes maestros y con la arquitectura. Una razón evidente es que, al igual que los fractales, las artes visuales clásicas ponen en juego muchas escalas de longitud distintas y tienen preferencia por la autosemejanza (Mandelbrot, 1981). Por todo ello, y también por haber resultado de un esfuerzo por imitar la naturaleza con objeto de descubrir sus leyes, podría muy bien ser que el arte fractal fuera fácilmente aceptado, por no ser del todo nuevo. En este aspecto, la situación de la pintura abstracta no es uniforme: los cuadros abstractos que me gustan no suelen distar mucho del arte geométrico fractal, pero muchos otros se aproximan más al arte geométrico estándar (demasiado para mi gusto).
Se plantea entonces una paradoja: pudiera parecer que, como señala Dyson en la cita del capítulo 1, la matemática, la música, la pintura y la arquitectura modernas guardan una cierta relación. Es una impresión completamente superficial. Esto queda muy claro especialmente en arquitectura; un edificio de Mies van der Rohe es una vuelta atrás a Euclides, en tanto que un edificio estilo Art Nouveau tardío es rico en aspectos fractales.
Aspectos logísticos
Con la finalidad de introducir gradualmente las ideas básicas, la complejidad de los temas abordados en los sucesivos capítulos es creciente. El hecho de que este enfoque parezca posible es una gran ventaja de la teoría de los fractales. La cantidad de material repetido que se incorpora es tal que parece poco probable que el lector vaya a perder el hilo del argumento aun cuando se salte fragmentos que le parezcan repetitivos, o demasiado complicados (en especial aquellos que van más allá de la matemática más elemental). Los pies de las láminas contienen buena parte de la información.
Como ya se ha dicho, las láminas se han concentrado al final de los capítulos en los que han sido consideradas por primera vez. Además, este autor siente de vez en cuando la necesidad de entablar conversaciones privadas, por así decirlo, con grupos concretos de lectores que pudieran sentirse demasiado molestos si ciertos puntos no fueran citados o recibieran una explicación insuficiente. Las digresiones se han dejado en el texto, aunque enmarcadas en los recién inventados paréntesis ▯ y ▮, que deben facilitar el pasarlas de largo a quien así lo desee. Otras digresiones se dedican a observaciones secundarias en las que no tengo tiempo de profundizar. Sin embargo, este ensayo tiene menos digresiones que su antecesor de 1977.
Se ha intentado que a primera vista esté claro si se está tratando con dimensiones D teóricas o empíricas. En su mayoría, de éstas sólo se pueden precisar uno o dos decimales, y así se escriben como 1,2 o 1,37. Las primeras, por el contrario, se expresan como enteros, fracciones enteras, cocientes de logaritmos de enteros o, cuando se dan en forma decimal, con un mínimo de cuatro cifras decimales.
Volviendo al tema fundamental
Después de haber renunciado a varios objetivos que son colaterales a este ensayo, permítaseme parafrasear el capítulo 1. Este libro es un manifiesto y un sumario, casi exclusivamente dedicado a teorías y tesis que he introducido yo y que a menudo han traído consigo el resurgimiento y la reinterpretación de trabajos antiguos.
Ninguna de estas teorías ha dejado de crecer, y algunas están aún en fase de germinación. Algunas ven la luz aquí por primera vez, en tanto que otras fueron descritas en mis artículos anteriores. Cito además muchos avances que fueron inspirados por mis ensayos anteriores y que, a su vez, me han estimulado a mí. No obstante, por temor a echar a perder el estilo del ensayo y el sabor a manifiesto, no intento dar una lista de todos aquellos campos en los que los fractales han probado su utilidad.
Ultima advertencia: no me propongo desarrollar ninguno de los casos a tratar con todo el detalle que desearían los especialistas. Pero muchos de los temas son tratados de manera repetitiva; es muy conveniente usar el índice.