En este ensayo tienen un papel fundamental los antiguos conceptos de dimensión (en el sentido de número de dimensiones) y de simetría. Además, nos encontraremos constantemente con síntomas de divergencia.
La idea de dimensión
Durante la crisis que va de 1875 a 1925, los matemáticos se dieron cuenta de que no es posible una comprensión correcta de lo irregular y lo fragmentado (así como de lo regular y lo conexo) si se define la dimensión como número de coordenadas. El primero en emprender un análisis riguroso fue Cantor en su carta a Dedekind, fechada el 20 de junio de 1877. Le siguió Peano en 1890, y los pasos finales datan de la década de 1920.
Como todos los grandes progresos intelectuales, el final de esta historia admite diversas interpretaciones. Cualquiera que escriba un tratado matemático sobre la teoría de la dimensión está asumiendo que dicha teoría es única. Pero en mi opinión lo más importante es que un concepto amplio como el de dimensión presenta diversas facetas matemáticas que, aparte de ser conceptualmente distintas, dan distintos resultados numéricos. Exactamente igual que Guillermo de Ockham propugna para los entes z, no hay que multiplicar las dimensiones más allá de lo necesario; no obstante, es inevitable usar varias clases de dimensión. Euclides se limita a conjuntos para los que los distintos tipos de dimensiones útiles coinciden; así pues, podríamos llamarles conjuntos dimensionalmente concordantes. Por el contrario, la mayor parte de este ensayo estudia conjuntos para los que las distintas dimensiones no coinciden; se trata pues de conjuntos dimensionalmente discordantes.
Al pasar de las dimensiones de los conjuntos matemáticos a las dimensiones «efectivas» de los objetos físicos modelizados por dichos conjuntos, nos encontramos con otro tipo de ambigüedad, inevitable e imprescindible. En este capítulo ofreceremos una primera visión de los aspectos matemáticos y físicos de la dimensión.
Definición del término fractal
En esta sección se usan muchos términos matemáticos no definidos previamente, pero a muchos lectores les puede ser útil, o cuando menos estimulante, echarle una ojeada. En cualquier caso, si se desea, puede saltarse. Esta digresión y las otras que seguirán están enmarcadas por los nuevos paréntesis ▯ y ▮. El segundo es muy visible, a fin de que cualquiera lo pueda encontrar fácilmente cuando, después de perderse en la digresión, decida saltársela. El primero de ellos, la «apertura de paréntesis», pretende no llamar demasiado la atención sobre las digresiones, que a menudo sólo son un tratamiento avanzado de conceptos que se estudiarán con posterioridad.
▯ El hecho de que los fractales elementales sean dimensionalmente discordantes puede servir para dar contenido matemático al concepto hasta ahora intuitivo de fractal. Nos concentraremos en dos definiciones que asignan, a cada conjunto del espacio euclídeo RE y con independencia de lo «patológico» que sea, un número real que por razones intuitivas y formales merece ser llamado su dimensión. La más intuitiva de dichas definiciones es la dimensión topológica según Brouwer, Lebesgue, Menger y Urysohn. La denotaremos por DT, y está descrita en una entrada del capítulo 41. La segunda dimensión fue formulada por Hausdorff (1919) y Besicovitch le dio la forma final. Se discute en el capítulo 39 y la denotamos por D.
▯ Siempre que uno trabaja en el espacio euclídeo RE, tanto DT como D toman valores comprendidos entre 0 y E. Pero aquí se acaban las analogías. Mientras DT es siempre un entero, D no tiene por qué serlo. Así, ambas dimensiones no tienen por qué coincidir; sólo están sujetas a la desigualdad de Szpilrajn (Hurewicz y Wallman 1941, capítulo 4).
D ≥ DT
Para todas las figuras euclídeas D = DT, pero casi todos los conjuntos de este ensayo satisfacen D > DT. No existía ninguna palabra para referirse a tales conjuntos, así que me vi obligado a acuñar el término fractal, definiéndolo así:
▯ Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
▯ Los conjuntos con D no entera son fractales. Así, por ejemplo, el conjunto de Cantor es un fractal ya que, como se ve en el capítulo 8,
D = log 2/log 3 ~ 0,6309 > 0, mientras que DT = 0.
Y se pueden generalizar y construir conjuntos de Cantor en RE, de manera que DT = 0, mientras que D toma cualquier valor que queramos entre 0 y E (ambos inclusive).
▯ La curva de Koch original también es un fractal pues, como se ve en el capítulo 6,
D = log 4/log 3 ~ 1,2618 > 1, mientras que DT = l.
▯ Sin embargo, algunos fractales pueden tener valores de D enteros. Por ejemplo, en el capítulo 25 se demuestra que la traza del movimiento browniano es un fractal, ya que
D = 2, mientras que DT = 1.
▯ El hecho sorprendente de que D no tenga que ser necesariamente un entero merece ser reflejado en la terminología. Si uno usa el término fracción en sentido amplio, como sinónimo de número real no entero, algunos de los valores de D anteriormente expuestos son fraccionarios; así pues, a menudo se llama dimensión fraccionaría a la dimensión de Hausdorff-Besicovitch. Ahora bien, D puede tomar valores enteros (menores que E pero estrictamente mayores que DT). Diré que D es una dimensión fractal. ▮
Los fractales en el análisis armónico
▯ El estudio de los fractales es en parte el aspecto geométrico del análisis armónico, pero no daremos importancia a este hecho en el presente ensayo. El análisis armónico (espectral o de Fourier) es algo desconocido para la mayoría de lectores, y muchos de los que lo utilizan corrientemente no están familiarizados con sus estructuras básicas.
Además, cada uno de estos enfoques, el fractal y el espectral, tiene su propio estilo y personalidad, los cuales se aprecian mejor estudiándolos primero cada uno por su propio interés. En fin, en comparación con el análisis armónico, el estudio de fractales es más fácil e intuitivo. ▮
De «conceptos que son nuevos, pero…»
Lebesgue bromeaba acerca de ciertos «conceptos que son nuevos, efectivamente, pero que una vez definidos no sirven para nada». Este comentario nunca se aplicó a D, pero su uso permaneció confinado en el campo de la matemática pura. Yo fui el primero que usó con éxito la D para describir la naturaleza, y uno de los principales objetivos de esta obra es colocar la D en un lugar central de la ciencia empírica, demostrando con ello que tiene una importancia mucho mayor que lo que nadie hubiera imaginado jamás.
En diversas áreas de la física esta pretensión mía acerca de D fue aceptada con una prontitud excepcional. De hecho, después de haberse dado cuenta de la insuficiencia de la dimensión estándar, muchos investigadores en estas áreas ya habían avanzado a tientas hacia dimensiones quebradas anómalas o continuas de todo tipo. Sin embargo, no se había establecido ninguna conexión entre estos enfoques. Además, pocas de estas definiciones de dimensión se habían usado para más de un cometido, ninguna tenía el respaldo de una teoría matemática y ninguna había evolucionado lo suficiente como para que la falta de dicho respaldo se hiciera notar. Por el contrario, la existencia de una teoría matemática es vital para los métodos que se presentan aquí.
Un estudio matemático de la forma debe ir más allá de la topología
Es muy probable que, si preguntamos a un matemático cuál es la rama de la matemática que estudia la forma, nos conteste que la topología. Este campo es importante para nuestros objetivos y nos hemos referido a él en la sección anterior; no obstante, en este ensayo se afirma y defiende que el vago concepto de forma presenta otros aspectos aparte de los topológicos.
Para la topología, que antes se llamaba geometría de la posición o análisis situs (del griego Topos, que significa posición o situación), todas las ollas de dos asas tienen la misma forma pues, suponiéndolas infinitamente flexibles y compresibles, se pueden transformar una en otra sin discontinuidades y sin tener que abrir ningún agujero nuevo, ni cerrar otro que ya existiera. Asimismo, las costas de todas las islas tienen la misma forma, topológicamente idéntica a la del círculo. Se asigna la misma dimensión topológica, igual a 1, a las costas y a los círculos. Si se añaden las «islas satélites», próximas a una dada, la costa acumulada de todas ellas es topológicamente idéntica a «muchos» círculos. Así pues, la topología no es capaz de distinguir entre distintas costas.
Por contra, en el capítulo 5 se demuestra que distintas costas tienden a tener dimensiones fractales diversas. Las diferencias en la dimensión fractal reflejan diferencias de forma en un aspecto no topológico, que propongo llamar forma fractal.
La mayoría de problemas realmente interesantes combina aspectos fractales y topológicos de una manera cada vez más sutil.
Obsérvese que, en el caso de la topología, la definición de la propia disciplina y la de DT se fueron refinando en paralelo, mientras que el concepto de D es anterior en más de medio siglo al presente estudio sobre la forma fractal.
Y a propósito, como se ha dado el nombre de Félix Hausdorff a una cierta clase de espacios topológicos, la denominación generalmente dada a D, dimensión de Hausdorff, podría sonar a «dimensión de un espacio de Hausdorff», lo cual podría sugerir que se trata de un concepto topológico, y no es así en absoluto. He aquí, pues, otra razón para preferir la denominación dimensión fractal.
Dimensión efectiva
Además de los conceptos matemáticos inherentes a DT y D, en este ensayo se habla a menudo de la dimensión efectiva, un concepto que no habría que definir con precisión. Se trata de un regreso potente e intuitivo a la geometría griega arcaica de los pitagóricos. Una de las novedades de este ensayo es que la dimensión efectiva puede tomar valores fraccionarios.
La dimensión efectiva tiene que ver con la relación entre los conjuntos matemáticos y los objetos reales. Estrictamente, los objetos físicos tales como un velo, un hilo o una bolita, tendrían que representarse como formas tridimensionales. Sin embargo, los físicos prefieren pensar en dichos objetos —en el supuesto de que sean lo bastante finos, naturalmente— como si su dimensión fuera «de hecho» 2, 1 o 0, respectivamente. Así, por ejemplo, en la descripción de un hilo, las teorías unidimensional y tridimensional deben modificarse con términos correctivos, y sólo a posteriori puede decidirse qué modelo geométrico es el mejor, es decir, el que precisa de menos correcciones. Si hay suerte, dicho modelo sigue siendo útil aún sin las correcciones. En otras palabras, la dimensión efectiva tiene una base subjetiva. Es una cuestión de aproximación y, por lo tanto, de grado de resolución.
Diversas dimensiones efectivas que se dan en la descripción de un ovillo de hilo
Confirmando este presentimiento, un ovillo de 10 cm de diámetro, de un hilo de 1 mm de grosor tiene (en potencia) varias dimensiones efectivas.
Para un observador lejano, el ovillo se reduce a un punto, una figura de dimensión 0. (¡De todos modos, Blaise Pascal y los filósofos medievales afirman que, a escala cósmica, nuestro mundo no es más que un punto!). Con una resolución de 10 cm, el ovillo de hilo es una figura tridimensional. A 10 mm es un lío de hilos unidimensionales. A 0,1 mm cada hilo se convierte en una columna, y el conjunto recupera el aspecto de figura tridimensional. A 0,01 mm cada columna se resuelve en fibras y volvemos a tener una figura unidimensional, y así sucesivamente. El valor de la dimensión efectiva va cambiando. Cuando el ovillo es representado por un número finito de puntos atómicos, vuelve a tener dimensión 0. Si cambiamos el ovillo por una hoja de papel, nos encontraremos con una secuencia similar de dimensiones efectivas.
La idea de que un resultado numérico pueda depender de la relación entre el objeto y el observador está muy arraigada en la física de este siglo, y el caso que hemos considerado es una ilustración ejemplar de la misma.
La mayoría de objetos que consideraremos a lo largo de este ensayo son como nuestro ovillo de hilo: presentan una sucesión de dimensiones efectivas distintas. Pero se añade una novedad esencial: ciertas transiciones mal definidas entre sectores de dimensión bien definida son reinterpretadas como sectores fractales, en los que D > DT.
Homogeneidad espacial, invariancia por cambio de escala y autosemejanza
Esto es todo por ahora en cuanto a las dimensiones. Preparemos ahora el tema de la simetría recordando que Euclides empieza con las formas más simples, como las rectas, los planos o los espacios. Las situaciones físicas más sencillas se dan también cuando alguna cantidad, como la presión, la densidad, la temperatura o la velocidad, están homogéneamente distribuidas.
La distribución homogénea sobre la recta, el plano o el espacio tiene dos propiedades muy interesantes. Es invariante por traslaciones, y es invariante por cambios de escala. Al pasar a los fractales, hay que modificar y/o restringir el alcance de estas invariancias. Por tanto, los mejores fractales son los que presentan el máximo de invariancia.
Por lo que respecta a las traslaciones, dos sectores cualesquiera de la traza del movimiento browniano nunca son exactamente superponibles (como ocurre con dos partes iguales de una recta). Sin embargo, tales sectores se pueden hacer superponibles en sentido estadístico. Casi todos los fractales de este ensayo son, en cierto sentido, invariantes por traslación.
Además, la mayoría es también invariante según ciertos cambios de escala. Diremos que son escalantes. Un fractal que sea invariante por la transformación geométrica de semejanza, en el sentido ordinario, se dice autosemejante.
En la expresión compuesta fractal escalante, el adjetivo suaviza el significado del sustantivo. Así, mientras fractal suena a desorden y abarca casos de una irregularidad inmanejable, el calificativo escalante da a entender un cierto orden. Si se prefiere, se puede tomar la expresión en orden inverso; con escalante como sustantivo que indica un orden estricto y fractal como calificativo que excluye las rectas y los planos.
No hay que mal interpretar la motivación que nos impulsa a suponer la homogeneidad y la invariancia por cambios de escala. Aquí, como en la geometría ordinaria de la naturaleza, nadie cree que el mundo sea estrictamente homogéneo ni escalante. La geometría ordinaria estudia las rectas como caso preliminar más simple. También la mecánica contempla el movimiento rectilíneo y uniforme como un simple primer paso.
Lo mismo ocurre con los fractales escalantes, pero aquí este primer paso es más lento, ya que el papel de la línea recta lo juega ahora una multitud de posibilidades distintas, de las que este libro sólo puede presentar una pequeña muestra. No hay que sorprenderse de que los fractales escalantes se limiten a dar una primera aproximación de las formas naturales que queremos tratar. Antes bien, lo que resulta sorprendente es que dichas primeras aproximaciones sean tan notablemente razonables.
Conviene señalar que la idea de autosemejanza es antigua. En el caso de la línea recta, se le ocurrió a Leibniz hacia 1700 (véase la entrada «cambio de escala en Leibniz y Laplace», en el capítulo 41). Y su generalización a casos distintos de rectas y planos tiene más de cien años, aunque su importancia no haya sido apreciada en su justo valor hasta este ensayo. Tampoco es nueva en otras ciencias distintas de la matemática, pues Lewis F. Richardson postuló en 1926 que, en una amplia gama de escalas, la turbulencia se puede descomponer en remolinos autosemejantes. Es más, Kolmogorov (1941) extrae consecuencias analíticas notables de esta idea aplicada a la mecánica. Y en física, los aspectos analíticos del cambio de escala están relacionados con el concepto de grupo de renormalización (véase el capítulo 36).
Sin embargo, mi ensayo precedente de 1975 fue la primera obra que abordó los aspectos geométricos del cambio de escala no estándar en la naturaleza.
«Simetrías» más allá del cambio de escala
Tras acabar con las líneas, Euclides aborda formas con otras invariancias más ricas, comúnmente denominadas «simetrías». Este ensayo realiza también una excursión bastante larga por el terreno de los fractales no escalantes del capítulo 15 al 20.
Los fractales no escalantes imagen de sí mismas están íntimamente relacionados con algunos de los temas más refinados y difíciles del análisis matemático clásico «duro». Y, en contra del tópico de que el análisis es un campo muy austero, estos fractales suelen resultar de una belleza inesperada.
Síndromes de divergencia
Casi todos los casos que consideramos presentan un síndrome de divergencia. Esto es, una cantidad que se espera sea positiva y finita resulta que se hace infinita, o se anula. A primera vista, este mal comportamiento resulta de lo más extraño, e incluso aterrador, pero después de un examen más minucioso se hace del todo comprensible…, siempre y cuando se adopten nuevas formas de pensar.
Los casos en que una simetría va acompañada de una divergencia son también habituales y omnipresentes en la física cuántica, donde los métodos de eliminación de divergencias ocupan un lugar destacado. Por suerte, las distintas divergencias fractales son más fáciles de manejar.