«Como sabe todo el mundo, antes de dar una definición rigurosa de continuidad, todo buen maestro demuestra a los principiantes que, de hecho, poseen ya la idea subyacente a este concepto. Traza una curva bien definida y, sosteniendo una regla, dice: “Como ven, en cada punto hay una tangente”. O también, al introducir el concepto de velocidad instantánea de un móvil en un punto de su trayectoria, dice: “Vean cómo la velocidad media entre dos puntos próximos no varía apreciablemente al acercar infinitamente dichos puntos”. Y muchos, sabedores de que para ciertos movimientos corrientes estas afirmaciones parecen ser bastante ciertas, no se dan cuenta de que encierran un número considerable de dificultades.

»Los matemáticos, sin embargo, son muy conscientes de lo pueril de tratar de demostrar, con dibujos solamente, que toda función continua tiene derivada. Aunque las funciones diferenciables son las más simples y las más fáciles de manejar, son una excepción. Hablando en términos geométricos, lo normal son las curvas sin tangente, mientras que las curvas regulares, como el círculo, son casos interesantes pero muy particulares.

»A primera vista, la consideración del caso general parece un mero ejercicio intelectual, ingenioso pero artificial, el deseo de una precisión absoluta llevado a un extremo ridículo. Quienes oyen hablar de curvas sin tangente, o de funciones sin derivadas, piensan a menudo que cosas tan complicadas ni se dan en la naturaleza, ni nos son sugeridas por ella.

»Sin embargo, lo cierto es lo contrario, y la lógica de los matemáticos les ha mantenido más cerca de la realidad que las representaciones prácticas que usan los físicos. Ilustraré esta afirmación considerando algunos datos experimentales sin ninguna idea preconcebida.

»Consideremos, por ejemplo, un copo blanco de los que se obtienen al echar sal al agua jabonosa. De lejos, su contorno puede parecer claramente definido, pero a medida que lo examinamos más y más cerca, esa claridad desaparece. El ojo no ve ya una tangente en cada punto. Una línea que pudiera a primera vista tener esta propiedad resulta, después de un examen más minucioso, ser perpendicular u oblicua al contorno. Y si tomamos una lupa o un microscopio, la incertidumbre se mantiene, pues cada vez que incrementamos el aumento aparecen nuevas irregularidades, y nunca llegamos a tener una imagen clara y nítida, como en el caso, por ejemplo, de una bola de acero. Así pues, si se acepta que este último caso ilustra la forma clásica de la continuidad, el copo anterior podría lógicamente ilustrar el concepto más general de función continua sin derivada».

«Hay que tener en cuenta que la incertidumbre en la posición de la tangente en un punto no tiene nada que ver con la incertidumbre que uno observa en un mapa de Bretaña. Aunque se obtendría un resultado distinto según la escala del mapa, siempre habría una tangente, pues un mapa es un diagrama convencional. Por el contrario, tanto nuestro copo como la costa presentan la característica esencial de que sospechamos, sin verlo absolutamente claro, que en cada escala aparecen detalles que prohiben del todo determinar una tangente.

»Sin abandonar el reino de la realidad experimental, observemos con un microscopio una partícula suspendida en un fluido agitándose por el movimiento browniano [véase la lámina 29 de este ensayo]. Se observa cómo la dirección de la línea recta que une las posiciones de la partícula en dos instantes de tiempo muy próximos cambia de manera absolutamente irregular al disminuir el intervalo de tiempo entre ambos instantes. Para un observador imparcial la conclusión sería que no está tratando con una curva sobre la que se puedan trazar tangentes, sino con una función sin derivada.

»No hay que olvidar que, a pesar de que una observación cada vez más fina de cualquier objeto nos llevaría normalmente al descubrimiento de una estructura muy irregular, a menudo resulta ventajoso aproximar sus propiedades por medio de funciones continuas. Aunque la madera pueda tener una porosidad indefinida, resulta útil considerar que una viga que ha sido serrada y pulida tiene un área finita. Es decir, a ciertas escalas y según para qué métodos de investigación, muchos fenómenos pueden representarse por funciones regulares y continuas, de manera parecida a como se puede envolver una esponja con papel de aluminio sin seguir exactamente el contorno complicado de la misma.

»Si, yendo algo más lejos…, atribuimos a la materia la estructura infinitamente granular que plantea la teoría atómica, la posibilidad de aplicar a la realidad el concepto matemático riguroso de continuidad sufrirá un serio revés.

»Consideremos, por ejemplo, la definición de la densidad del aire en un punto y en un instante dados. Nos representamos una esfera de volumen v con centro en ese punto. Si la masa del aire contenido es m, el cociente m/v es la densidad media en el interior de esa esfera, y llamamos densidad verdadera a un cierto valor límite de dicho cociente. Esta definición implica, sin embargo, que, en el momento considerado, la densidad media es prácticamente constante para todas las esferas de un tamaño inferior a un volumen dado. Aunque esa densidad media pueda variar considerablemente entre una esfera de 1000 metros cúbicos y otra de 1 centímetro cúbico, uno espera que varíe sólo en una millonésima al comparar 1 centímetro cúbico con una milésima de milímetro cúbico.

»Supongamos que el volumen decrece continuamente. En vez de ser cada vez menos importantes, resulta que estas fluctuaciones son cada vez mayores. A escalas en las que es importante el movimiento browniano, el efecto de las fluctuaciones puede ser de una parte en un millar, y llegan a ser de 1 parte de cada 5 cuando el radio de la esfera hipotética alcanza la centésima de micra.

»Siguiendo un poco más, nuestra esférula llega al tamaño de una molécula. En un gas, lo más probable es que se encuentre en el espacio intermolecular, con lo que la densidad media será nula. En el punto en cuestión, la densidad verdadera será nula también. Pero aproximadamente una de cada mil veces nuestro punto estará en una molécula, y entonces la densidad media será mil veces mayor que el valor que solemos tomar como densidad verdadera del gas.

»Sigamos disminuyendo el tamaño de nuestra esférula. Excepto en casos excepcionales, pronto llegará a estar vacía debido al vacío interatómico; con lo que la densidad verdadera es nula casi por doquier, excepto en un número infinito de puntos aislados, en los que tiene un valor infinito.

»Otras propiedades tales como la velocidad, la presión o la temperatura son susceptibles de consideraciones análogas. Descubrimos que se hacen cada vez más irregulares a medida que incrementamos el aumento de nuestra imagen necesariamente imperfecta del universo. En el espacio intermaterial, la función que representa cualquier propiedad física formará un continuo con un número infinito de puntos singulares.

»Una materia infinitamente discontinua, un éter continuo sembrado de minúsculas estrellas, también aparece en el universo cósmico. Y se puede llegar también a la misma conclusión que más arriba, imaginando esferas cada vez mayores que abarquen sucesivamente planetas, sistemas solares, estrellas, nebulosas,…

»Permítasenos pues una hipótesis que, aun siendo arbitraria, no es lógicamente inconsistente. Podrían darse casos en los que usar una función no diferenciable fuera más simple que usar una que sí lo fuera. Cuando esto ocurra, se habrá probado el valor práctico del estudio matemático de los continuos irregulares».