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Tema

¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo «frío» y «seco»? Una de las razones es su incapacidad de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o un árbol. Ni las nubes son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares, ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo es rectilíneo.

En términos más generales, creo que muchas formas naturales son tan irregulares y fragmentadas que, en comparación con Euclides —un término que en esta obra denotará todo lo referente a la geometría común—, la naturaleza no sólo presenta un grado superior de complejidad, sino que ésta se da a un nivel completamente diferente. El número de escalas de longitud de las distintas formas naturales es, a efectos prácticos, infinito.

La existencia de estas formas representa un desafío: el estudio de las formas que Euclides descarta por «informes», la investigación de la morfología de lo «amorfo». Los matemáticos, sin embargo, han desdeñado este desafío y, cada vez más, han optado por huir de lo natural, ideando teorías que nada tienen que ver con aquello que podemos ver o sentir.

En respuesta a este desafío, concebí y desarrollé una nueva geometría de la naturaleza y empecé a usarla en una serie de campos. Permite describir muchas de las formas irregulares y fragmentadas que nos rodean, dando lugar a teorías hechas y derechas, identificando una serie de formas que llamo fractales. Las más útiles implican azar, y tanto sus regularidades como sus irregularidades son estadísticas. Las formas que describo aquí tienden a ser, también, escalantes, es decir su grado de irregularidad y/o fragmentación es idéntico a todas las escalas. El concepto de dimensión fractal (de Hausdorff) tiene un papel central en esta obra.

Algunos conjuntos fractales son curvas o superficies, otros «polvos» inconexos, y también los hay con formas tan disparatadas que no he encontrado, ni en las ciencias ni en las artes, palabras que los describieran bien. El lector puede hacerse una idea de ello ahora mismo con sólo echar una mirada rápida a las ilustraciones del libro.

Aunque muchas de estas ilustraciones representan formas que nunca antes habían sido consideradas, otras representan, en varios casos por vez primera, construcciones ya conocidas. En efecto, la geometría fractal como tal data de 1975, pero muchos de sus útiles y conceptos son anteriores, y aparecieron para satisfacer objetivos muy distintos de los míos. Mediante esas piedras antiguas encajadas en una estructura recién construida, la geometría fractal pudo «tomar prestada» una base excepcionalmente rigurosa, y pronto planteó preguntas nuevas y compulsivas en el terreno de la matemática.

Sin embargo, esta obra no pretende ser ni abstracta ni general en sí misma, y no es ni un libro de texto ni un tratado de matemáticas. A pesar de su extensión, pretende ser un ensayo científico, pues la he escrito bajo un prisma personal y sin pretensiones de completitud. También, como ocurre con muchos ensayos, tiende a presentar disgresiones e interrupciones.

Esta informalidad debiera permitir al lector saltarse aquellos fragmentos que caen fuera de su interés o más allá de su competencia. Hay muchos fragmentos matemáticos «fáciles» dispersos por todo el libro, especialmente hacia el final. La consigna es, hojear y saltar, por lo menos en las dos primeras lecturas.

Presentación de objetivos

Este ensayo reúne diversos análisis de distintas ciencias, y estimula una nueva síntesis tanto en lo matemático como en lo filosófico. Así pues, sirve tanto de sumario como de manifiesto. Además, revela todo un mundo completamente nuevo de belleza plástica.

Un sumario científico

Los abogados llaman «sumario» a una recopilación acerca de casos reales relacionados por un tema común. Esta palabra no tiene un equivalente en la ciencia y sugiero que nos la apropiemos. Los casos importantes merecen que se les preste atención repetidas veces, pero es interesante también comentar los casos menores; a menudo su discusión se abrevia si uno dispone de «antecedentes».

Uno de los casos se refiere a una aplicación muy conocida de unas matemáticas muy conocidas al estudio de un fenómeno natural muy conocido: el modelo geométrico de Wiener del movimiento browniano. Sorprendentemente, no encontramos ninguna otra aplicación directa de los procesos de Wiener, lo que sugiere que el movimiento browniano sólo es un caso especial, especialmente simple y desestructurado, entre los fenómenos de complejidad superior que vamos a tratar. No obstante, lo incluyo porque muchos fractales útiles son modificaciones cuidadosas del movimiento browniano.

Los otros casos tratan principalmente de mi propio trabajo, de sus antecedentes prefractales y de su ampliación por parte de estudiosos que reaccionaron a los dos ensayos que precedieron a éste. Algunos casos tienen que ver con el mundo visible de las montañas y otros objetos por el estilo, dando por fin contenido a la promesa que encierra la palabra geometría. Pero otros casos tratan de sistemas submicroscópicos, el objeto primordial de la física.

El tema en cuestión es a veces esotérico. Otras veces, se trata de un tema corriente, si bien sus aspectos geométricos no habían sido tratados adecuadamente. Ello hace pensar en la observación de Poincaré de que hay preguntas que uno decide plantearse y otras que se plantean por sí solas. Y una pregunta que se ha estado planteando por sí misma y a la que durante mucho tiempo no se le ha encontrado respuesta, tiende a ser dejada para los niños.

Debido a esta dificultad, mis anteriores ensayos insistían machaconamente en que el enfoque fractal es tan efectivo como «natural». Y no sólo era indiscutible, sino que habría que preguntarse cómo se podía haber ido tan lejos sin él. Además, para evitar controversias innecesarias, aquellos textos minimizaban la discontinuidad entre las exposiciones clásicas, los trabajos publicados y la presentación de mis propias ideas y resultados. En este ensayo, por el contrario, reclamo escrupulosamente el mérito que me corresponde.

Bajo ningún concepto considero que el enfoque fractal sea la panacea, y el análisis de cada caso debería juzgarse según criterios basados en su propio campo, es decir, en base sobre todo a su propia capacidad de organización, predicción y explicación, y no como ejemplo de una estructura matemática. Como cada estudio se detiene un poco antes de llegar a los aspectos verdaderamente técnicos, se ofrece al lector una lista de referencias para que pueda proseguir un estudio detallado. A consecuencia de ello (parafraseando a d’Arcy Thompson, 1917), este ensayo es un prefacio de principio a fin. Cualquier especialista que espere más quedará decepcionado.

Un manifiesto: la geometría de la naturaleza tiene una cara fractal

Ahora bien, la razón para reunir todos estos prefacios es que cada uno ayuda a entender los demás, pues comparten una estructura matemática común. He aquí el elocuente resumen de F. J. Dyson:

En pocas palabras, que he confirmado la observación de Blaise Pascal de que la imaginación se cansa antes que la naturaleza. («L’imagination se lassera plutôt de concevoir que la nature de fournir»).

No obstante, la geometría fractal no es una «aplicación» directa de la matemática del siglo XX. Es una nueva rama nacida tardíamente de la crisis de la matemática que comenzó cuando Du Bois-Reymond (1875) llamó la atención por primera vez sobre una función continua y no diferenciable construida por Weierstrass (capítulos 3, 39 y 41). Dicha crisis duró aproximadamente hasta 1925, siendo los principales actores Cantor, Peano, Lebesgue y Hausdorff. Estos nombres, así como los de Besicovitch, Bolzano, Cesàro, Koch, Osgood, Sierpinski y Urysohn, no suelen aparecer en el estudio empírico de la naturaleza, pero yo afirmo que el impacto de la obra de estos gigantes trasciende, con mucho, los objetivos que se propusieron inicialmente.

Muestro cómo, sin que ni ellos ni las generaciones que les siguieron se dieran cuenta, sus extravagantes creaciones esconden todo un mundo de interés para aquellos que celebran la naturaleza tratando de imitarla. Una vez más nos sorprende lo que ya era de esperar atendiendo a nuestra experiencia anterior, que «el lenguaje de la matemática resulta increíblemente eficiente en las ciencias naturales…, un regalo maravilloso que ni comprendemos ni merecemos. Deberíamos sentirnos agradecidos por ello y esperar que seguirá valiendo en el futuro, y que, para bien o para mal, para nuestra satisfacción y quizá también para nuestra confusión, se generalizará a muchos campos del saber» (Wigner, 1960).

Matemática, naturaleza y estética

Además, la geometría fractal revela que algunos de los capítulos más austeros y formales de la matemática tienen una cara oculta: todo un mundo de belleza plástica que ni siquiera podíamos sospechar.

«Fractal» y otros neologismos

Según un dicho latino, «nombrar es conocer»: Nomen is numen. Antes de emprender su estudio, los conjuntos a los que he aludido en las secciones anteriores no eran lo bastante importantes como para precisar un término que los denotara. Sin embargo, a medida que con mi esfuerzo los monstruos clásicos fueron siendo domados y afeitados, y que nuevos «monstruos» fueron apareciendo, la necesidad de una palabra para designarlos fue cada vez más manifiesta. Se hizo acuciante cuando hubo que buscar un título para el primer antecesor de este ensayo.

Acuñé el término fractal a partir del adjetivo latino fractus. El verbo correspondiente es frangere que significa «romper en pedazos». Es pues razonable, ¡y nos viene de perlas!, que además de «fragmentado» (como en fracción) fractus signifique también «irregular», confluyendo ambos significados en el término fragmento.

La asociación conjunto fractal tendrá una definición rigurosa, no así fractal natural, que servirá para designar sin demasiada precisión una figura natural que puede ser representada por un conjunto fractal. Por ejemplo, las curvas brownianas son conjuntos fractales, y el movimiento browniano físico es una fractal natural.

(Como álgebra procede del árabe jabara = unir, atar, ¡fractal y álgebra son etimológicamente opuestos!).

En términos generales, en mis viajes por tierras recién descubiertas o acabadas de colonizar, he ejercido a menudo el derecho a nombrar los lugares más destacados. Normalmente me ha parecido mejor acuñar un neologismo que dar un nuevo giro a alguna palabra demasiado usada ya por otra parte.

Hay que tener en cuenta, además, que el significado corriente de una palabra está a menudo tan arraigado que no se borra fácilmente con una redefinición. Como observó Voitaire en 1730, «si Newton no hubiera usado la palabra atracción, todo el mundo en la Academia [francesa] hubiera abierto los ojos a la luz, pero por desgracia usó en Londres un término que en París tenía un sentido ridiculizado». Además, frases como «la distribución de probabilidad de la distribución de Schwartz en el espacio respecto a la distribución de galaxias» son horrendas.

Los términos acuñados en este ensayo evitan este peligro echando mano de raíces griegas o latinas en desuso, como trema, y al léxico raramente usado de la tienda, la casa o la granja. ¡Los nombres domésticos facilitan la doma de los monstruos! Así, por ejemplo, he dado significados técnicos a palabras como polvo, coágulo y suero. Recomiendo también el uso de «perembaldosado» para indicar una forma minuciosa (= per) de embaldosado.

Reafirmación de objetivos

Resumiendo, este ensayo describe las soluciones que propongo para una multitud de problemas concretos, algunos de ellos muy antiguos, con la ayuda de una matemática que en parte es también muy antigua, pero que (aparte de sus aplicaciones al movimiento browniano) nunca se había usado de esta manera. Los casos que esta matemática permite resolver, y las generalizaciones requeridas por éstos, sientan los fundamentos de una nueva disciplina.

Los científicos se sorprenderán y se alegrarán (estoy convencido de ello) de que muchas formas que habían de llamar veteadas, en forma de hidra, llena de granos, pustulosas, ramificadas, en forma de alga, extrañas, enmarañadas, tortuosas, ondulantes, tenues, arrugadas y otras cosas por el estilo, admiten de ahora en adelante un tratamiento riguroso y cuantitativo.

Los matemáticos se sorprenderán y alegrarán (así lo espero) de saber que conjuntos que hasta ahora tenían fama de excepcionales (Carleson, 1967) pasen en cierto sentido a ser lo corriente, que construcciones consideradas patológicas deban darse de modo natural a partir de problemas muy concretos, y que el estudio de la naturaleza deba ser de gran ayuda en la resolución de viejos problemas y plantee otros nuevos.

No obstante, este ensayo evita todas las dificultades de índole puramente técnica. Está dirigido principalmente a un conjunto amplio de científicos. La presentación de cada tema empieza con casos específicos y concretos. Se pretende que el lector vaya descubriendo gradualmente la naturaleza de los fractales. Y el arte se disfruta por sí solo.