Notas

^[1] El desarrollo sistemático de la topología se inició hace sólo un siglo (investigaciones de H. Poincaré (1854-1912), luego las de L. E. Brouwer (1881-1966), etc.) y ha conocido desde entonces un crecimiento muy notable. Pero el término aparece ya en J. B. Listing (1808-1872), que lo utilizó en 1831 en lugar del precedente analysis situs, acuñado por Leibniz (1646-1716) en 1679.

Pero si «topología» indica un sector de la matemática, la expresión «una topología» es comúnmente sinónima de «una estructura topológica» y designa con mucha frecuencia la colección de los abiertos de un espacio. Recordemos brevemente que una topología sobre un conjunto X es un sistema de subconjuntos de X, llamados abiertos, tales que 1) la unión (de cuantos se desee) de conjuntos abiertos es un abierto (y el conjunto vacío y el propio X son abiertos); 2) la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un abierto. Un subconjunto V de X se llama cerrado si su complemento, es decir el conjunto de los elementos de X que no pertenecen a V es un abierto.

Una topología en X, finalmente, puede definirse (quedar definida) no directamente en términos de abiertos (o de cerrados), sino asignando a cada elemento (o «punto») p de X un sistema I(p) de entornos, es decir de subconjuntos de X tales que a) p pertenece a cualquier entorno U de p; b) si U es un entorno de p, entonces también cualquier sobreconjunto V de U es un entorno de p; c) si V y W son entornos de p, entonces también su intersección V ⋂ W es un entorno de p; d) para cada entorno U de p existe un entorno T de p contenido en U tal que U es también entorno de todo punto q de T. Los axiomas [a)-d)] forman parte de los denominados axiomas de los entornos, introducidos por F. Hausdorff (1868-1942) en 1914, que permitieron una caracterización axiomática de la noción de topología desvinculada de la noción de métrica (sobre lo cual vid. nota 2). Las definiciones de una topología en términos de abiertos o de sistemas de entornos son equivalentes; según 1)-2), se puede definir como entorno de un punto p de X cualquier subconjunto de X que contenga un abierto en el que se contenga p; viceversa, para cualquier p de X, según a)-d), se define como abierto cualquier subconjunto V de X tal que para cualquier punto p de V existe un entorno U de p incluido en V. <<

^[2] Supongamos que el estado de un sistema físico A pueda caracterizarse por completo dando los valores de n parámetros x₁ x₂, …, x_n. Cualquier estado del sistema queda entonces representado por un sistema de n números reales, es decir por un punto de un espacio euclideo Rⁿ de n dimensiones (para n = 1 se tiene la recta euclidea usual, para n = 2 el plano euclideo, para n = 3 el espacio ecuclídeo). Dados dos puntos x = (x₁, x₂, …, x_n) e y = (y₁, y₂, …, y_n) del espacio Rⁿ, se define su distancia euclidea con la fórmula

d(x,y)² = ∑ⁿ_j=1(x_j − y_j)².

Dotado de tal distancia, Rⁿ resulta un peculiar espacio métrico: de hecho, la distancia euclidea satisface las condiciones: 1) d(x, y) = 0, si y sólo si x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) para todos los puntos x, y; 3) d(x, y) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todos los puntos x, y, z. Tales condiciones definen axiomáticamente la noción de espacio métrico. El conjunto de los puntos y de Rⁿ situados a una distancia de un punto x menor que un número real positivo r se denomina esfera abierta de centro x y radio r.

Si se da a priori un sistema de n números a₁, a₂, …, a_n, por lo general no será posible preparar un estado del sistema A que lo representa. Los puntos Rⁿ susceptibles de representar estados físicamente realizables del sistema A forman el conjunto de definición M_A del sistema A en Rⁿ. Pero los valores de los parámetros x_j no son normalmente denotados con absoluta precisión; en consecuencia, si a = (a₁, …, a_n) es un punto de M_A, es decir un estado físicamente realizable del sistema A, cualquier punto b = (b₁, …, b_n) lo bastante próximo a a define también un sistema realizable. El conjunto goza de la propiedad siguiente: si M_A contiene un punto a, M_A contiene también una esfera abierta de centro a y radio r muy pequeño. Los conjuntos Rⁿ con esta propiedad se llaman abiertos en el espacio euclideo Rⁿ: lo inmediato es demostrar que constituyen una topología sobre Rⁿ en el sentido aclarado en la nota 1. Por definición, el complemento de un conjunto abierto en Rⁿ se llama cerrado. (La situación es más general: una vez definida la noción de esfera abierta de centro x y radio r en un espacio métrico, como se ha indicado más arriba, lo inmediato es generalizar lo noción de abierto —y de cerrado— en espacios métricos cualesquiera y demostrar que la métrica induce de forma canónica una topología).

Por lo tanto: una unión de abiertos es un abierto y (se demuestra inmediatamente que) una intersección de cerrados es un cerrado. Dado un abierto M, la intersección de todos los cerrados que contienen M es un cerrado denominado clausura de M, que se indica usualmente M. La diferencia M − M recibe el nombre de frontera de M; en el entorno de cualquier punto c de M − M hay puntos de M, pero c no está en M. Ahora bien, si M es el conjunto de definición de un sistema físico A, se ve que en cada punto de la frontera se presenta un fenómeno nuevo, brutal, que impide la realización de A en aquel punto. De ahí la noción de conjunto cerrado de los puntos de catástrofe de que se habla en el texto.

Un conjunto B de Rⁿ se denomina limitado si está situado de lleno en una esfera abierta de centro en el origen 0 de Rⁿ y radio r finito. Un conjunto cerrado limitado se llama compacto.

Los espacios euclídeos Rⁿ son un caso particular de espacios topológicos conexos (un espacio topológico X se llama conexo si no existen abiertos no vacíos de X tales que su unión sea X y su intersección sea el conjunto vacío). Para poder decir que un subconjunto M de un espacio X es conexo, hay que considerar a su vez M como espacio topológico (si X es un espacio métrico, M se concibe de inmediato como espacio métrico; si X se da tan sólo como espacio topológico, se da una topología en M a partir de los subconjuntos de M que se pueden representar como intersecciones de M con un abierto de X) y ver si es conexo. <<

^[3] Raro o denso en ninguna parte (nulle part dense, en francés; nowhere dense, en inglés) se denomina un conjunto B de un espacio métrico (o topológico) X tal que el interior de su clausura B (vid. nota 2) es vacío. (Recordemos que por parte interior de un conjunto S de un espacio X métrico —o, más generalmente, topológico— se entiende la unión de todos los abiertos contenidos en S. A continuación vemos que S es un abierto si y sólo si coincide con su interior.) Dado que «se puede pensar en un conjunto raro como en un conjunto que no cubre una gran porción del espacio» (G. F. Simmons, Topology and modern analysis, MacGraw-Hill, Nueva York, 1963, pág. 74), el hecho de que el conjunto de los puntos de catástrofe K sea raro garantiza ante el observador una morfología bastante «reconocible». <<

^[4] «A principios de siglo apareció una sencilla descripción de lo que es una teoría física, sobre todo entre los estudiosos del continente europeo —como Duhem, Poincaré, Einstein, Hadamard, Hilbert— una descripción que aún hoy está con toda probabilidad bastante próxima a lo que piensa la inmensa mayoría de los físicos matemáticos. Fue Duhem, en su Théorie physique, quien dijo con mayor claridad que una teoría física consta de un dominio experimental, de un modelo matemático y de una interpretación convencional. El modelo, en tanto que sistema matemático, incorpora también la lógica de la teoría, es decir su axiomática. La interpretación es, sustancialmente, un acuerdo que conecta los parámetros —y por tanto las conclusiones consideradas en el modelo— con los elementos observables en el dominio experimental. Tradicionalmente, los filósofos de la ciencia valoran la utilidad de una teoría con un criterio de adecuación basado en la verificabilidad de las predicciones o en la calidad del acuerdo entre las conclusiones del modelo una vez interpretadas y los datos experimentales. Pero a estos requisitos Duhem había añadido, como pequeño ejemplo, el criterio de la estabilidad» (R. Abraham, J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, The Benjamin/Cummings Publishing Company, Reading (Mass), 1978², pág. XIX) El fragmento de Duhem, en el punto esencial dice así: «Si el hecho fijado por la experiencia es un haz de datos teóricos, el resultado será otro manojo de datos teóricos. Pero por mucho que se reduzca indefinidamente el primer haz, no por eso se consigue reducir todo lo deseado la divergencia entre los hilos del segundo; cuando el primer haz está indefinidamente reducido, aún así los hilos del segundo divergen y se separan los unos de los otros, sin que se puedan reducir sus recíprocas distancias por debajo de un cierto límite. Una deducción matemática semejante es y seguirá siendo siempre inútil para el físico; por precisos y minuciosos que sean los instrumentos que cuantifican las condiciones de la experiencia, esta deducción hará siempre que correspondan a condiciones experimentales prácticamente determinadas una infinidad de resultados prácticos distintos». Poco más allá Duhem recoge un ejemplo «muy sorprendente» tomado de la mecánica y debido a Hadamard, y concluye finalmente con una referencia «al problema de la estabilidad del sistema solar que Laplace creía haber resuelto y del que se probó la extraordinaria dificultad en los intentos realizados por los geómetras modernos, en particular Poincaré». Para hacer un breve pero eficaz bosquejo de los desarrollos del problema en el siglo XX, desde Poincaré hasta los resultados de Arnold, Kolmogorov y Moser, vid. A. M. Gleason, «L’evoluzione della topologia diferenziale», en AA. VV., Le scienze matematiche (1969), ital. ed., Unione Matematica Italiana y Zanichelli, Bolonia, 1973, págs. 202-217. Para una lúcida formulación de la cuestión de la estabilidad antecedente de la de Duhem vid. la siguiente nota 5. <<

^[5] J. C. Maxwell, «Does the Progress of Physical Science tend to give any advantage to the Opinion of Necessity (or Determinism) over that of Contingency of Events and the Freedom of the Will» (1876), en L. Campbell y W. Garrett, The Life of James Clerk Maxwell, with a selection from his correspondence and occasional writings and a sketch of his contributions to science, MacMillan, Londres, 1882. La cita está en la pág. 400. Para un interesante comentario del paso de Maxwell, vid. K. Pomian, «Catastrofi», en Enciclopedia, vol. II, Einaudi, Turín, 1977, págs. 789-803. <<

^[6] Una función /definida en un abierto D de R (reales) o de C (complejos) se llama analítica en D si puede desarrollarse en serie entera (es decir en una serie de término general a_nxⁿ) en cualquier punto x₀ de D. «La analiticidad alcanza todo su significado cuando se pasa de lo real a lo complejo y se consideran funciones f de una variable compleja, con valores complejos […]. En el campo complejo, la simple derivabilidad (en el abierto D) es suficiente para implicar el más poderoso vínculo de solidaridad entre local y global. Las funciones complejas derivables, y por lo tanto analíticas, se llaman también holomorfas. La holomorfía es una noción intrínsecamente local, pero que “pasa” automáticamente a lo global» (J. Petitot, «Locale/globale», en Enciclopedia, vol. VIII, Einaudi, Turín, 1979, págs. 429-490; los fragmentos mencionados están en las págs. 444-445). En el núcleo de la aproximación de Karl Weierstrass (1825-1897) a la teoría de las funciones analíticas se encuentra el famoso principio de la prolongación analítica. Si dos funciones f y g, analíticas en un abierto conexo (vid. nota 2) D coinciden en un entorno de un punto de D, son idénticas en D. Este teorema permite afirmar que si h es una función analítica en D que prolonga f en un abierto conexo D' que contiene a D, entonces h es única. <<

^[7] Véase más adelante la discusión de la «causalidad formal», cap. III, págs. 116-119 en particular. <<

^[8] R. Thom, Stabilité structurelle et morphogenése, ed. orig., Benjamin, Nueva York, 1972. <<

^[9] Vid notas 125, 126, 127, al capítulo IV. <<

^[10] K. R. Popper, Congetture e confutazioni (1963), trad. Ital. Il Mulino, Bolonia, 1972, pág. 118. Versión castellana de Néstor Mínguez, El desarrollo del conocimiento científico: conjeturas y reputaciones, Paidós 1967. <<

^[11] En cuanto a las contribuciones de H. Cartan a la teoría de los espacios analíticos, vid. J. Dieudonné, Panorama des mathématiques purés. Le choix bourbachique, Gauthier-Villars, París, 1977, págs. 109-115. Vid. nota 4. <<

^[12] En cuanto a las contribuciones del japonés K. Oka al renacimiento de la teoría de las funciones de varias variables complejas, en el período de alrededor de veinte años (1936-1955), vid. AA. VV. Scienza e tecnica del Novecento, Mondadori, Milán, 1977, págs. 211-212, 358 y 361-362. También J. Dieudonné, Panorama, op. cit., págs. 109-115. <<

^[13] En cuanto a los problemas de Cousin (el matemático Pierre Cousin, 1867-1933), las contribuciones específicas de K. Oka, los resultados de H. Cartan y J. -P. Serre y, finalmente, los teoremas A y B de Cartan, vid. J. -L. Verley, «Les fonetions analytiques», en J. Dieudonné (y otros), Abregé d’histoire des mathématiques. 1700-1900, Hermann, París, 1978, vol. I, pags. 129-163, en particular págs. 160-161. También Dieudonné, Panorama, op. cit., págs. 103-105. <<

^[14] En cuanto las distintas contribuciones de Charles Ehresmann (topología algebraica y diferencial, variedades diferenciables, geometría diferencial, etc.), vid. J. Dieudonné, Panorama, op. cit., págs. 18, 30, 70. En cuanto al origen y desarrollos de las teorías mencionadas en el texto, vid. los capítulos A I y A II del citado Panorama. También Scienza e técnica del Novecento, op. cit., págs. 282-283 y 359-360. <<

^[15] En cuanto a las relaciones entre dominios analíticos y diferenciables, véase J. Dieudonné, Panorama, op. cit., págs. 99 y siguientes. <<

^[16] El estudio de las geodésicas en una variedad riemanniana fue lo que llevó a M. Morse a la elaboración de un «cálculo variacional en grande» («Calculus of variations in the large», en Amer, Math. Soc. Collog. Publ. 1934), sucesivamente y geometría diferencial por el propio Morse y otros autores, sobre todo en los años sesenta (trabajos de S. Smale, R. S. Palais, etc.). <<

^[17] En cuanto a las contribuciones de S. Eilenberg, vid. por ejemplo Scienza e técnica del novecento, op. cit., págs. 280-281 y 283. También J. Dieudonné, Panorama, op. cit., caps. A I, B I, C I. <<

^[18] Vid. notas 5, 7 y 8. <<

^[19] «Se puede datar el impulso actual de la topología diferencial a la solución dada por Thom (1954) a dos problemas propuestos con anterioridad por N. E. Steenrod: en una variedad diferencial M, ¿cuándo una clase de homología está “representada” por una subvariedad, y cuando una variedad de dimensión n es el borde de una variedad de dimensión n + 1?» (J. Dieudonné, Panorama, op. cit., pág 14). <<

^[20] En Estrasburgo, Thom redactó su tesis Espaces fibrés en sphéres et carrés de Steenrod (Ann. Sci. Ecole norm. sup. (3) 69), con la que obtuvo en 1951 el doctorado por la Universidad de París. En 1954 apareció Quelques proprietés globales des varietés differentiables (Comm. Math. Helvet. 28). <<

^[21] Vid. H. Hopf, «The Work of R. Thom», en J. A. Todd (ed.), Proceedings of the Internacional Congress of mathematicians (14-21 august 1958), Cambridge University Press, Cambridge, 1960, págs, LX-LXIV. «La topología —comenta Hopf (págs, LXIII)—, como otras ramas de la matemática, se encuentra hoy en una situación de algebrización masiva y consecuente; este proceso ha llevado a madurar investigaciones extraordinariamente clarificadoras, simplificadoras y unificadoras, llevando también a nuevos e inesperados resultados. No es que el álgebra proporcione por sí misma nuevos instrumentos para el tratamiento de los problemas topológicos, pero sí es algo manifiesto que la mayor parte de los problemas, en sí mismos, tienen un marcado carácter algebraico, en todo caso, que los grandes éxitos que puede hacer posibles un desarrollo como éste comportan un cierto peligro: que se rompa el equilibrio de la matemática al afirmarse una tendencia a descuidar el contenido geométrico de los problemas y de las situaciones de naturaleza topológica; descuidar este contenido tiende a un empobrecimiento de la matemática. Precisamente teniendo en cuenta este peligro creo que los trabajos de Thom tienen en sí mismos algo que es extraordinariamente estimulante: Thom, claro está, domina y utiliza a la perfección los modernos métodos algebraicos y sabe interpretar el aspecto algebraico de sus problemas, pero sus ideas fundamentales son de naturaleza rigurosamente geométrica». <<

^[22] Nicolas Bourbaki es el seudónimo adoptado por un grupo de matemáticos (en su mayoría franceses) que surgió hacia 1935 como firmante de notas, reseñas y memorias publicadas en Comptes rendus, de la Academia de Ciencias francesa, y en otros medios. El grupo se dedicó a escribir un tratado general, Elements de mathématique, que se proponía exponer de forma sistemática y absolutamente rigurosa los capítulos fundamentales de la matemática. Sometida a constantes puestas al día y a continuas reediciones, la obra ha influido notablemente en no pocos matemáticos de nuestro tiempo. El grupo no tiene un número fijo de componentes ni muchas normas, como no sea la de la retirada de los colaboradores una vez alcanzan los 50 años. Los fundadores parecen haber sido H. Cartan, C. Chevalley, J. Delsarte, J. Dieudonné, A. Weil. En el siglo XIX formaba parte de la iniciación de los estudiantes de primer año de matemáticas un examen, por parte de un colega mayor, que proponía algunos teoremas formulados de forma errónea y que llevaban nombres de famosas generales. Parece ser que Nicolas Bourbaki era precisamente el nombre de un general francés del siglo pasado.

«El programa bourbakista —ha escrito Jean Dieudonné— consiste en hacer una relación de la matemática moderna que sirva como núcleo central a partir del cual se explique el resto; ello comporta la eliminación de muchos temas. (…) Donde se opera de forma artesanal, Bourbaki no interviene: Bourbaki sólo presenta teorías racionalmente organizadas en las que los métodos se siguen naturalmente de las premisas.» La idea básica sobre la que se ha desarrollado el programa bourbakista es la de «estructura matemática», aunque hoy se reconoce que esta noción «ha sido superada por las de categoría y funtor, que la incluyen de forma más general y conveniente; por supuesto, entra en las cuentas de Bourbaki incorporar al tratado las ideas válidas de esta teoría».

El texto de Dieudonné, del que se han tomado estas dos citas (J. Dieudonné Nicolas Bourbaki en AA. VV. Scienziati e tecnologi I contemporanei, 3 vols., Mondadori, Milán, 1974-1975, vol. I, págs. 158-161. Cita de la pág. 159), presenta además un breve bosquejo del método de trabajo bourbakista: «El método de trabajo utilizado por los bourbakistas es extremadamente largo y pesado, pero viene impuesto prácticamente por el mismo proyecto. En sus reuniones, que se celebran dos o tres veces al año, se toman acuerdos acerca de la necesidad de dedicar un libro o un artículo a una cuestión, previendo un cierto número de capítulos para el libro. El trabajo de escribirlo se confía a uno de los colaboradores, que escribe una primera versión del capítulo o de los capítulos propuestos, con libertad de incluir o eliminar lo que quiera por su propia cuenta y riesgo. Cuando esta primera redacción está acabada, al cabo de un año o dos, se somete al congreso de los bourbakistas y se lee en voz alta, sin omitir una página. Cualquier demostración se examina hasta el mínimo detalle y se somete a una crítica despiadada. Los observadores externos invitados a las reuniones de los bourbakistas salen siempre con la impresión de que estamos locos. (…) Una vez analizada la primera versión, otro colaborador se encarga de una nueva redacción en la que se tengan en cuenta las instrucciones del congreso. Pero se trata de una tarea desesperada: el año siguiente las opiniones del congreso habrán cambiado y le tocará a esta versión ser desmontada a piezas. Entonces le tocará el turno a otro colaborador, y así sucesivamente. Se podría creer que se procede de la misma manera hasta el infinito, pero en un cierto punto hay que acabar…» (págs. 159-160). <<

^[23] Lakatos, «Dimostrazioni e confutazioni» (1963-1964) actualmente en I. Lakatos, Dimostrazioni e confutazioni. La lógica della scoperta matemática (edición de J. Werrall y E. Zahar), ital., Feltrinelli, Milán, 1979, pág. 41, nota 7. <<

^[24] «La escuela matemática alemana conoció en los años siguientes a la Primera Guerra Mundial un momento de esplendor excepcional. Contaba con cabezas como C. L. Siegel, E. Noether, E. Artin, W. Krull, H. Hasse; en Francia no se sabía nada de ellos» (J. Dieudonné, «Nicolás Bourbaki», op. cit., pág. 158, nota 13). En cuanto a la figura y la influencia de David Hilbert (1862-1943), consultar C. Reid, Hilbert, Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1970. <<

^[25] E. Picard (1856-1941), E. Borel (1871-1956), J. Hadamard (1865-1963) eran, en realidad, personalidades extremadamente activas en el período que siguió a la Primera Guerra Mundial. Pero, según lo afirmado por quienes luego debían formar el grupo Bourbaki, entre la vieja y la nueva generación «se había formado una laguna» (J. Dieudonné, «Nicolás Bourbaki», op. cit., pág. 158). <<

^[26] Gaspard Monge (1776-1818), cuyo nombre está especialmente ligado al desarrollo de la geometría descriptiva, fue claramente partidario de la revolución, ministro de marina en 1792-1793, formó parte del Comité de Salud pública, fundó la Ecole Polytechnique (1795, en su origen Ecole centróle des travaux publiques), organizó para Napoleón Bonaparte la expedición a Egipto. La Restauración le privó de todos sus cargos. <<

^[27] L. E. J. Brouwer (1881-1966), a quien se deben importantes resultados en topología (entre ellos el conocido teorema del punto fijo que lleva su nombre) ha sido el principal promotor del moderno intuicionismo matemático. El intuicionismo brouweriano es una de las formas más radicales de constructivismo: las proposiciones matemáticas se interpretan como expresión de la posibilidad de una construcción y, en consecuencia, la tradicional lógica «clásica», basada en el principio del tertium nom datur, resulta inadecuada. La teoría cantoriana del transfinito, lo que para Hilbert era «el paraíso que Cantor se ha procurado», aparecía en esta perspectiva como una extrapolación arbitraria. <<

^[28] Se alude al célebre teorema de incompletitud de Gödel (1931), al teorema de Tarski (1933) en torno a la noción semántica de verdad, a la demostración de la consistencia de la hipótesis generalizada del continuo y del axioma de elección con los demás axiomas de la teoría de conjuntos (Gödel, 1938 y 1940), a la demostración de la independencia de la hipótesis del continuo de Cantor y del axioma de elección (P. J. Cohen 1963-1964). Para acceder a una reseña exhaustiva de estos resultados vid, por ejemplo, P. J. Cohen, La teoria degli insiemi e l’ipotesi del continuo (1966), ed. ital. con un apéndice de G. Lolli, Feltrinelli, Milán, 1973. Vid. J. Pia i Cañera. Aportacions de la lógica matemática en la primera mitat del segle XX en Acte 1^er Congrés Català de Lògica Matemàtica. Barcelona 1982. Kurt Gödel: dos teoremes i una metodologia en Acte 2^on Congrés Cat. de Lòg. Matem. Barcelona 1983. <<

^[29] Vid. el juicio de Bourbaki, en N. Bourbaki, Elementi di storia della matemàtica (1960), ed. ital., Feltrinelli, Milán 1963: «Introducción castellana de Jesús Hernández. A. V. n.º 18, Madrid 1972. EL sistema de Russell y Whitehead (expuesto y plenamente articulado en los Principia mathematica, 3 vols.», Cambridge University Press, Cambridge, 1910-1913) tuvo más éxito entre los lógicos que entre los matemáticos además todavía más alejados de la práctica matemática hay que colocar los sucesivos intentos de simplificar y aligerar el sistema de Russell y Whitehead (trabajos de Ramsey, Chwistek, Quine, Rosser, etc.)». <<

^[30] B. Russell (1872-1970) se recuerda aquí sobre todo como promotor del programa logicista y como creador de la teoría de los tipos (vid. nota 29). <<

^[31] G. Cantor (1845-1918) es el creador de la moderna teoría de conjuntos, que formuló en una serie de artículos desde 1874 a 1895 (recogidos ahora en G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen, Springer, Berlín, 1932, y la reimpresión de Georg Olms, Hildesheim, 1962). Este acontecimiento, que B. Russell saludó como «el más grande de todos aquéllos de los que nuestra época puede gloriarse» fue, por el contrario, descrito por Henri Poincaré como un «caso patológico», debido a las paradojas que la teoría genera. Vid. J. Pía i Cañera. Els origens de la teoria de conjunts en El desenvolupament de les matemàtiques al segle XIX. Inst. d’Est. Catalans. Barcelona 1989. <<

^[32] E. Borel (1871-1956) y H. Lebesgue (1875-1941) dieron vida con R. Baire (1874-1932) y J. Hadamard (1865-1963) a una correspondencia centrada en el tema de la plausibilidad de los axiomas introducidos por la teoría de conjuntos, y en particular en la legitimidad del axioma de elección (R. Baire, E. Borel, J. Hadamard, H. Lebesgue, «Cinc lettres sur la théorie des ensembles», en Bulletin de la Société mathématique de France, XXXIII (1905), págs. 261-273). <<

^[33] En cuanto al desarrollo de la teoría de las categorías y de la teoría de los «topos» —a partir de las ideas de S. MacLane y las más recientes de F. W. Lawvere—, en particular como programa alternativo a la tradicional fundamentación de la matemática sobre el concepto de conjunto, véanse, por ejemplo, W. S. Hatcher, Fondamenti della matemática (1968), ed. ital. Boringhieri, Turín, 1973, cap. 8, y C, Mangione, «La logica nel ventesimo secolo II», en L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. VII («Il Novencento (2)», ed. Garzanti, Milán, 1976, págs. 299-433, en particular págs. 359-413). <<

^[34] La teoría de las categorías nace «oficialmente» con el artículo de MacLane y Eilenberg «General theory of natural equivalence», aparecido en 1945 en Transactions of the American Mathematical Society, LVIII, págs. 231-294. El objetivo inmediato de los autores era la simplificación de ciertos aspectos de la topología algebraica. Los conceptos —introducidos en el artículo— de categoría, funtor entre categorías y transformación natural entre funtores, pronto mostraron poseer un significado general capaz de unificar conceptos diversos, incluso en otros sectores de la matemática (abstract non-sense) En cuanto al punto de vista de MacLane, véase también S. MacLane, «Saunders MacLane», en Scienziati e tecnologi. I contemporanei, op. cit. vol. II, págs. 209-210. <<

^[35] La topología combinatoria, creada sustancialmente por Poincaré, posteriormente a los años veinte (S. Lefschetz, J. W. Alexander, etc.) se desarrolló según dos líneas principales: una consistió en la progresiva profundización en la temática de la denominada homología, mediante un formidable aparato algebraico; la otra ha estudiado las estructuras combinatorias de los poliedros —tema ya central en la aproximación de Poincaré— junto con aplicaciones «a segmentos lineales» (piecewise linear, con su abreviatura PL), empezando en los años cuarenta (investigaciones de J. H. C. Whitehead, S. S. Cairns, etc.) hasta los recientes progresos en estrecha vinculación con la topología diferencial (S. Smale, J. Stallings, E. C. Zeeman, etc.). Véase un cuadro de conjunto de tales resultados en Scienza e técnica del Novecento, op. cit., págs. 359-361 y 459-461. <<

^[36] Con E (q, 1) o más brevemente E(q), indicamos el espacio de los «gérmenes» (cfr., más adelante, nota 31) de las funciones de R^q a R, infinitamente diferenciabas, es decir C∞ en O (cfr. nota 2 al cap. I). Tal espacio puede estar provisto de una topología (llamada precisamente topología de Whitney o topología C∞) adaptada al nivel diferenciable, o sea la topología de la convergencia uniforme de un elemento F de E(q) y de todas sus derivadas en los compactos de R^q. En cuanto a la relevancia general de las contribuciones de Whitney a la topología diferencial y al estudio de las singularidades de las aplicaciones diferenciables, véase J. Dieudonné, Panorama, op. cit, págs. 22 y siguientes. <<

^[37] Cfr. R. Thom, «Ensembles et morphismes stratifiés», en Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969), págs. 240-284. <<

^[38] En cuanto a las oportunas referencias bibliográficas y una exposición de los resultados obtenidos por Mather, véase por ejemplo M. Golubitsky, V. Guillemin, Stable Mappings and Their Singularities, Springer, Nueva York-Heiddlberg-Berlín, 1973. <<

^[39] Sin ninguna pretensión de exhaustividad recordamos aquí algunas definiciones, siguiendo sustancialmente a T. Poston, J. Stewart, Catastrophe theory and its applications, Pitman, Londres, 1978, en especial caps. 6-8.

Con E(q, m) denotamos el espacio vectorial de los gérmenes (vid. nota 31) de las funciones R^q en Rⁿ (cfr. nota 2, cap. I) que son C∞ en 0. En particular, sea m = 1 y abréviese E(q, 1) como E(q). Como se sabe, E(q) es un álgebra local cuyo único ideal maximal es el conjunto M(q) de los elementos η de E(q) tales que η(0) = η. Un germen η de E(q) tal que η(0) = D η(0) = 0 recibe el nombre de singularidad.

Se define r-despliegue de una singularidad η de Rⁿ en R a un germen F de M(n + r) tal que F(x₁, …, x_n, 0, …, 0) = η(x₁, …, x_n), y se indica usualmente (r, F). Sea u un punto de R^r; x abrevia (x₁, …, x_n): así, abreviaremos F(x, u) con F_u(x).

Se define como morfismo el tema (ω, W, ε) donde i) w es un germen perteneciente a E(n + r, n + s) tal que F₁(x₁, …, x_n, 0, …, 0) = identidad; ii) W es un germen de E(r, x) tal que π_s ∘ ω = W ∘ π^r (donde ∘ denota la composición de dos aplicaciones); iii) ε es un germen perteneciente a M(r) tal que F = G ∘ W + ε ∘ π. Con π, de ordinario, se denota la proyección del espacio producto Rⁿ × Rv en el espacio R^r; brevemente: π_r(x₁, …, x_n, x_n+1, …, x_n+r) = (x_n+1, …, x_n+r). En este caso se dice que el despliegue (r, F) viene inducido por el despliegue (s, G) mediante el morfismo (ω, W, ε).

Un despliegue (r, F) de η se denomina versal si cualquier despliegue de η es inducido por (r, F) mediante un morfismo adecuado. Sea r el número más pequeño por el cual (r, F) es versal: (r, F) constituye entonces un despliegue uni-versal. <<

^[40] En el conjunto de las funciones de R^q (cfr. nota 2 al cap. I) en R^m, continuas en un entorno de un punto x (por ejemplo, x = 0), se puede definir una relación de equivalencia de la manera siguiente: f ~ g si y sólo si existe un entorno (cfr. nota 1 del cap. I) de x en que f y g coinciden. La clase de equivalencia para la relación ~ (es decir el conjunto de las funciones g tales que g ~ f) se denomina germen de la función f. Para m = q, en E(q, q) se indicará con B(q) el conjunto de los gérmenes invertibles R^q en R^q que aplican 0 en 0. <<

^[41] «La inteligibilidad… ha aparecido siempre como una exigencia de concentración de lo no-local en una estructura local. Ahora bien, existe un ente matemático que satisface esta condición bastante bien: la noción de singularidad. Examinemos un ejemplo típico: el vértice del cono de revolución de ecuación z² = x² + y² en el espacio euclídeo tridimensional referido al triedro ortonormal 0 xyz. En realidad, este punto singular puede considerarse como procedente de una superficie lisa, el cilindro de ecuación x² + y² = 1, mediante la aplicación continua que concentra el círculo meridiano de ecuación x² + y² = 1, z = 0 en el origen 0. Éste es un hecho de alcance general: una singularidad puede considerarse siempre como procedente de un espacio regular E mediante concentración en un punto de una figura global inmersa en este espacio E. No hay que maravillarse, pues, de que la teoría de las catástrofes, en su forma “elemental” de campo de una dinámica de gradiente, deba depender de forma sistemática del concepto de singularidad de una función» (R. Thom, «Mathematics and Scientific Theorizing», en V. Mathieu, P. Rosi (eds.) Scientific Culture in the Contemporary World. <<

^[42] El «teorema de preparación» (Vorbereitungssatz) es el primer resultado importante conseguido por K. Weierstrass en sus investigaciones acerca de las funciones analíticas de varias variables complejas; si bien lo enseñaba ya a partir de 1860, no se publicó hasta el 1879. Substancialmente, precisa el comportamiento de una función holomorfa en el entorno de un punto en que se anula. La versión para funciones reales lisas se debe a B. Malgrange (1964). Cfr. M. Golubitsky, V. Guillemin, Stable mappings, op. cit, cap. IV. <<

^[43] Acerca de tal problemática el lector puede consultar J. Petitot, «Local/global», en Enciclopedia, vol. VIII, Einaudi, Turín 1979, págs. 429-490, en particular págs. 467-471. <<

^[44] Sean F y G gérmenes de E (n + r). Se dice que F y G son equivalentes (como r-despliegues) si existe un germen invertible h, de B(r) (cr. nota 31), una familia H_u de elementos B(n) donde el punto u pertenece a un abierto (cfr. notas 1 y 2 del capítulo II) de R' y un germen ε de M(r) (cfr. nota 30) tal que F(x, u) = G(H(x), h(u)) + ε(u), recordemos que en F(x, u), x abrevia el punto (x₁, …, x_n) del espacio Rⁿ y u es un punto del espacio r-dimensional R^r).

Ahora podemos especificar la idea de estabilidad estructural. Un (r, F) se denominará (estructuralmente) estable si cualquier pequeña perturbación (r, G) de (r, F) en E(n + r) (cfr. nota 30) —pequeña para la topología de Whitney (cfr. nota 27)— resulta equivalente a (r, F). El «teorema de Thom» —observado por Thom y demostrado rigurosamente por J. N. Mather y otros (para referencias bibliográficas véase, por ejemplo, M. Golubitsky, V; Guillemin, Stable Mappings, op. cit.)— se puede entonces enunciar de la siguiente manera. Supongamos r < 4. El conjunto de los (r, F) resulta un abierto denso (es decir que su clausura coincide con el espacio completo, cfr. nota 2 del cap. II) de E(n + r) (dotado de la topología de Whitney). Además (a menos de la adición de una forma cuadrática no degenerada y del producto por ±1), cualquier (r, F) resulta equivalente a uno de los siete despliegues universales de las singularidades η relacionados en la tabla siguiente (donde x, y denotan las variables de estado del sistema y u, v, w, t las variables de control, cfr. págs. 65-68 y págs. 70-73).

r	Singularidad η	Despliegue universal F
1	x3	x3 + ux
2	x4	x4 + ux2 + vx
3	x5	x5 + ux3 + vx2 + wx
3	x3 + y3	x3 + y3 + uxy + vx + wy
3	x3 + xy2	x3 − xy2 + u (x2 + y2) + vx + wy
4	x6	x6 + tx4 + ux3 + vx2 + wx
4	x2y + y4	x2y + y4 + ux2 + vy2 + wx + ty

Utilizando la nomenclatura acuñada por Thom: pliegue (pli), cúspide (fronce: literalmente encrespadura; cúspide es la proyección sobre el plano de control, véase fig. 8), cola de golondrina (queue d’aronde), ombligo hiperbólico (ombelic hyperbolique), ombligo elíptico (o. elliptique), mariposa (papillon), ombligo parabólico (o. parabolique). <<

^[45] R. Thom, «D’un modèle de la science à une science des modèles», en Synthese, 31, 1975, págs. 359-374. La cita es de la página 374. <<

^[46] En cuanto a una detallada explicación de las ideas de fondo de la «teoría de la bifurcación» véase R. Abraham, J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, cit., caps. 6, 7 y, en particular, el 8. Véase además, pág. 544: «Queremos decir claramente, desde el principio, que aún no existe una teoría exacta. Mientras quede una laguna en la torre de la estabilidad, la teoría de la bifurcación seguirá siendo un castillo de naipes». Vid. lo que diremos en el texto en las págs, 74-75. <<

^[47] «La nueva tendencia [la mecánica cuántica (quantenmechanik) en sentido estricto] fue inaugurada por Heisenberg con una nota publicada en julio de 1925. La idea fundamental que en ella se expresaba era que alguna de las cantidades inherente al modelo atómico en uso en la teoría de los quanta (por ejemplo, las coordenadas de un electrón del átomo en un determinado momento, la duración de una revolución orbital, etc.) no se han medido nunca directamente y, dado que los razonamientos basados en ellas conducen a las dificultades que ya se conocen, es lícito dudar que estas cantidades tengan un significado físico real y puedan llegar a medirse. Otras cantidades (por ejemplo, las frecuencias emitidas, la intensidad, etc.) son directamente observables. (…) Pero las relaciones directas entre magnitudes observables no son por lo general expresables con los medios ordinarios del álgebra y por eso el ulterior desarrollo de la idea de Heisenberg lleva a utilizar un algoritmo matemático que se conocía hacía tiempo pero que aún no había tenido aplicación en el campo físico, es decir el álgebra de las matrices» (E. Pérsico, Fondamento delta mecanica atómica, Zanichelli, Bolonia, 1939 (y reimpresiones sucesivamente), pág. 69, Cfr. también pág. 70). En cuanto al planteamiento conceptual de Pérsico (1900-1969), es lícito remitir al fragmento relacionado en AA. VV., L’immagine della scienza (con una introducción de G. Giorello, il Saggiatore, Milán, 1977, págs. 119-130) y a las observaciones de la introducción. <<

^[48] En el 1926 P. A. M. Dirac (n. 1902) había introducido la célebre «función» 6 (cfr nota 45). La rigorización por parte de L. Schwartz es de 1945-1949. Es significativa la misma reflexión sobre la génesis de la propia «teoría de las distribuciones» que Schwartz propone en su Théorie des distributions. Hermann. París. 1966³. <<

^[49] H. J. Sussmann. R. S. Zahler. «Catastrophe theory as applied to the social and biological sciencies: a critique», en Synthese. 37 (1978), págs. 117-216. La cita se halla en la pág. 208. <<

^[50] Kepler (1571-1630) enunciaba en 1609, en su Astronomía nova, las dos primeras de las leyes que llevan su nombre, utilizando órbitas elípticas, aplicando a los movimientos celestes el esquema matemático estudiado en su tiempo por Apolonio de Pérgamo (262?-190? a. de J. C.). «Nunca se le ha dado a ninguna obra astronómica un título más significativo que el libro de Kepler sobre Marte: Astronomía nova» (O. Nugebauer. Le scienze escatte nell Antichitá (1957), ed. ital., Feltrinelli, Milán, 1974, pág. 242). <<

^[51] Como el mismo Einstein reconoció el cálculo tensorial, creado por G. Ricci Curbastro (1835-1925) y T. Levi-Civita (1873-1941) representa un instrumento esencial para la concepción relativista: las ecuaciones gravitacionales de la relatividad general, a su vez, «constituyen un auténtico triunfo de los métodos de cálculo creados por Ricci» (citado y discutido por L. Geymonat, en «Storia della matematica», en N. Abbagnano (ed.), Storia delle scienze, Utet, Turín, 1962, vol. I. págs. 648-649). <<

^[52] Respecto a esta cuestión vid. I. Grattan-Guinnes (en colaboración con J. R. Ravetz), Joseph Fourier, 1768-1830, MIT Press, Harvard (Mass.), 1972. <<

^[53] Para el cálculo de los operadores creado por O. Heaviside (1850-1925) véase el interesante trabajo de D. H. Moore, Heaviside Operational Calculus, American Elsevier, Nueva York, 1971, que ofrece también informaciones estimulantes desde el punto de vista histórico. <<

^[54] Escribe L. Schwartz: «Fue en 1935 cuando oí hablar por primera vez de la función δ; era estudiante y un compañero mío que acababa de asistir a una conferencia de física teórica, me habló de ella en estos términos: “Aquella gente introduce una llamada función δ, nula en todas partes menos en el origen en donde vale +∞ y tal por fin que δ(x) dx = +1. Si se utilizan métodos de este tipo no es posible colaboración alguna”. Reflexionamos un poco los dos juntos, hasta que por fin lo dejamos correr. He vuelto a pensar en ello en 1945. En esta ocasión, ha sido por un motivo muy diferente que he definido las distribuciones. Me sentía atormentado por las “soluciones generalizadas” de las ecuaciones en las derivadas parciales». («La “función” δ y los nudos», en A. Salam, E. P. Wigner (eds), Aspects of Quantum Mechanics, Cambridge University Press. Nueva York, 1972, págs. 179-182. La cita es de la pág. 179). <<

^[55] Sólo al acabar el siglo XVIII los números complejos, que había aparecido en la práctica matemática con los algebristas italianos del cinquecento, encontraron una interpretación «natural» como vectores surgidos del origen en R × R. En 1797, el noruego Casper Wessel (1745-1818) esbozó una interpretación de este tipo en un estudio que publicó dos años después la Academia Real de Dinamarca, pero que se mantuvo prácticamente desconocido hasta que se produjo su auténtico redescubrimiento (y reedición en versión francesa) en 1897. En 1806 el suizo Jean-Robert Argand (1768-1822) publicó su fundamental Essai sur una maniere de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géometriques. Cari Friedrich Gauss (1777-1855), mientras tanto, había estructurado una interpretación de los números complejos que retornó después en trabajos sucesivos, hasta la madura presentación de 1831. Para un detallado examen de la cuestión véase, por ejemplo, M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Nueva York, 1972, págs. 628-632. <<

^[56] En cuanto a la historia de la justificación de los números negativos (o «ficticios», como les gustava llamarlos a los algebristas del cinquecento) y de los imaginarios, véase, por ejemplo, F. Waismann, y capp. Introduzione al pensiero matematico (1936). Citemos también G. Geymonat, G. Giorello «Calcolo» en Enciclopedia, vol II. Einaudi, Turín 1977, págs. 379-500, en particular págs. 411-412 y 430-433. <<

^[57] El modelo del quark fue ideado independientemente en 1963 por M. Gell-Mann y G. Zweig: las partículas «elementales» están formadas por la unión de ciertas entidades a las que se les ha dado el nombre de «quark», con los respectivos «antiquarks». Se trata de entidades hipotéticas en el sentido de que hasta el momento no se han podido aislar [y se duda que nunca se pueda]. <<

^[58] Albert Einstein prosiguió hasta los últimos años de su vida su programa de física unitaria. En su última (1953) teoría del campo unificado el campo fundamental, que engloba todo ente físico, no es simétrico [como en los espacios riemannianos, tipo éstos de la relatividad general], en cuanto debe representar tanto el campo gravitatorio descrito mediante un tensor simétrico como el campo electromagnético descrito mediante un tensor hemisimétrico. <<

^[59] Lucrecio, De rerum natura, IV. Por ejemplo: Quin etiam gallum, noctem explaudentibus alis / auroram clara consuetum voce vocare, / noenu queunt rabidi contra constare leones / inque tueri: ita continuo meminere fugai, / nirairum quia sunt gallorum in corpore quaedam / semina, quae cum sunt oculis inmissa leonum, / pupillas interfoidunt acremque dolorem / praebent, ut nequeant contra durare feroces, / cum tamen haec nostras acies nil laedere possint / aut quia non pénétrant aut quod penetrantibus / illis / existus ex oculis liber datur, in remorando / laedere ne possint ex ulla lumina parte (vv. 710-721). «He ahí el gallo que ahuyenta la noche con un batir de alas, y saluda el alba con voces resonantes: si lo ve un furioso león, no se detiene delante, no soporta su vista y corre en precipitada fuga. Porque hay en el cuerpo del gallo gérmenes sutilísimos que, lanzados contra los ojos del león, se los destrozan, causándole tan gran dolor que, aunque son de natural fieros, no pueden soportar su vista. Esos gérmenes no ofenden en absoluto nuestras populas: o no entran en ellas o al penetrar se les concede libre curso y salida, de manera que, a lo largo de su paso, no dejan ni un rasguño y nos dejan los ojos ilesos por completo.» (edición española, De la naturaleza de las cosas, Austral, Madrid, 1946). <<

^[60] La fase nemática (del griego, filiforme) es una de las tres «mesofases» fundamentales de un cristal líquido, aquélla en la que el fluido turbio tiende a asumir una textura filiforme. <<

^[61] Acerca de M. Delbrück (n. 1906), premio Nobel en 1966 junto con A. Hershey y S. Luria por los descubrimientos realizados en el mecanismo de reproducción de los virus y su estructura genética, vid. M. Delbrück, «Max Delbrück», en Scienziati e tecnologi, op. cit., vol. I, págs. 301-303. Para la importancia de sus ideas acerca de la teoría de las catástrofes, véase la correspondencia entre Waddington y Thom, en R. Thom, Modèles mathématiques de la norphogenèse, Unión genérale d’éditions, París, 1974, págs. 271-288. <<

^[62] En cuanto al tratamiento de las reacciones tipo Zabotinsky (llamadas así por el nombre del científico ruso E. M. Zabotinsky) en el marco de la teoría de las catástrofes, vid. E. C. Zeeman, Catastrophe Theory. Selected papers 1972-1977, Addison-Wesley, Reading (Mass.), 1977, págs. 76-77. <<

^[63] Cfr. nota 46. <<

^[64] Véase más adelante, pág. 96 y siguientes. <<

^[65] El DNA (ácido desoxirribonucleico) representa el componente más importante genético celular, que transmitiría, en función de un particular «código», las «informaciones» de una célula a otra. Hoy se da por sabido que el DNA presenta la configuración molecular ilustrada por Watson y Crick en 1953: cada molécula está compuesta por dos largas cadenas polinucleotídicas que se arrollan en direcciones opuestas, formando una doble hélice en torno a un eje central. Las dos cadenas tienen enlaces con el hidrógeno en determinados puntos, que se establecen entre dos bases, acopladas de modo específico. El DNA, mediante su mecanismo de duplicación (disociación de las dos cadenas, de forma que cada una de ellas puede servir como modelo para la síntesis de dos cadenas complementarias, obteniéndose así dos nuevas moléculas; véase también la nota 14 de cap. IV), representaría el medio de transmisión de los caracteres, mediante un «código» que se basa en la diferente secuencia de las bases azotadas presentes en la cadena. En cuanto al «dogma central», véase nota 79. <<

^[66] Conrad Hal Waddington (1905-1975), Buchanan Professor de genética animal en la Universidad de Edimburgo desde 1947, ha estudiado los fenómenos de inducción embrional en los animales, proponiendo la teoría de los inductores enmascarados, y se ha interesado también por las relaciones entre genética y embriología, desarrollando importantes investigaciones sobre la evolución. A partir de la publicación de The Strategy of the Genes (Alien & Unwin, Londres y MacMillan Company, Chicago, 1957) ha desarrollado un nuevo programa epigenético, centrado en las ideas de «creodo» y de «paisaje epigenético» (cfr. nota 16 al cap. III) y relacionado con las aplicaciones de la teoría de las catástrofes a la evolución. (Cfr. las contribuciones incluidas en C. H. Waddington Towards a Teoretical Biology, Edinburgh University Press, Edinburgh, del que han aparecido entre 1968 y 1972 cuatro volúmenes.) En Italia se han publicado diversos libros de Waddington: Strumenti per pensare. Un approccio globale al sistemi complessi (1977) (ed. ital., Mondadori, Milán, 1977) y Evoluzione di un evoluzionista (1975) (ed. ital. a cargo de F. Voltaggio, Armando, Roma, 1979). <<

^[67] F. H. Crick, premio Nobel de fisiología y medicina en 1962, junto con J. D. Watson y M. H. F. Wilkins, es el creador, junto con Watson, del célebre modelo de molécula del DNA (1953). El acontecimiento se cuenta en un libro de Watson, La doppia elica (1965). Como se sabe, el modelo de Crick y Watson ha servido de base para el estudio ulterior del código genético. <<

^[68] El Genoma, como se sabe, designa el complejo de los genes de un individuo, o sea el ajuar cromosómico haploide (presente en las células germinales maduras). <<

^[69] Acerca del caso Lysenko, vid. J. S. Huxley, La genetica sovietica e la scienza (1952), ed. ital. con una introducción de S. Tagliagambe, Longanesi, Milán, 1977. <<

^[70] La gastrulación es el proceso mediante el cual el embrión pasa del estado de blástula (con un folículo) al de gástrula (con dos folículos). <<

^[71] Cfr. más adelante el cap. III. <<

^[72] H. J. Sussmann, R. S. Zahler, op. cit., págs. 195-198. <<

^[73] En cuanto a la idea de progreso matemático, vid. J. Dieudonné, «L’idea di progresso in matematica», en E. Agazzi (ed.), Il concepito di progresso nella scienza, Feltrinelli, Milán, 1976. <<

^[74] Para una aproximación a las investigaciones y los resultados conseguidos por Smale, vid. S. Smale, «Stephen Smale», en Scienziati e tecnologi. I contemporanei, op. cit., vol II, págs. 508-509. <<

^[75] Para una rápida presentación de los resultados de H. Hironaka y de las cuestiones relativas a la disolución de la singularidad, véase G. Geymonat, A. Sanini, P. Valabrega, «Geometria e topologia», en Enciclopedia, vol. VI, Einaudi, Turín, 1979, págs. 616-723, en particular págs. 711-713. <<

^[76] A. Weil. «L’avenir des mathématiques», en F. Le Lionnais (ed.), Les grands courants de la pensée mathématique, Blanchard. París, 1962, págs. 307-320. La cita es de la pág. 309. <<

^[77] La polimerasa es una enzima que cataliza los ligámenes de los nucleótidos para formar los ácidos nucleicos, ln vitro, un DNA polimerasa permite la síntesis del DNA en presencia de una cadena simple de DNA que inicia la reacción. <<

^[78] Los eucariotes son organismos cuyas células tienen un núcleo provisto de una membrana nuclear. Se contraponen a los procariotes, es decir a los organismos cuyo núcleo carece de membrana nuclear. Se clasifican como procariotes los virus, las bacterias y las algas azules. <<

^[79] James H. Watson y Francis H. C. Crick (cfr. nota 58) enunciaron en 1953-1955 lo que después se confirmó como un dogma central de la biología molecular. Ello concierne al proceso sobre cuya base las secuencias de DNA se traducen en secuencias de aminoácidos, proceso en el que también está involucrado el RNA (ácido ribonucleico). En la primera fase, la molécula de DNA hace de molde para la síntesis de una cadena polinucleotídica de RNA en la que se da transcrita la secuencia de las bases nucleotídicas en la cadena de DNA. En otros términos: el RNA se convierte en una «imagen negativa» de la secuencia nucleotídica del DNA. En la segunda fase, la cadena de RNA se traduce, por la acción del aparato celular reservado para la síntesis proteica, en moléculas proteicas cuya secuencia de aminoácidos queda especificada por el código genético. Hay que subrayar el hecho de que una característica esencial del dogma central es el flujo unidireccional de la información, del DNA al RNA y a la proteína. Este flujo no se invierte nunca. <<

^[80] Con la Farbenlehre (1808 y después 1810) Goethe realizó lo que consideraba su proyecto científico más comprometido. La polémica contra Newton debía revelarse como el obstáculo mayor para la difusión de las ideas goetheanas en ambientes rigurosamente científicos; pero, más allá de eso, el trabajo de Goethe ha quedado como un clásico en el plano cultural, cuya utilidad queda atestiguada por la significativa recuperación de principios y temas en distintas direcciones y contextos. La Farbenlehre es quizá el primer esbozo de una psicología de la percepción, de una Gestalt psychologye (G. C. Argan, en J. W. Goethe, La teoría dei colorí. Parte didattica, ed. ital. a cargo de R. Troncón, con una introducción de G. C. Argan, il Saggiatore, Milán, 1979). <<

^[81] En su célebre discurso (1862) Ueber das Verhaltniss der Naturwissenschaften zur Gesamtheit der wissenschaften, Helmholtz se expresa así a propósito de la filosofía hegeliana de la naturaleza: «Era obvio que en las ciencias del Espíritu debían encontrarse las huellas de la actividad del Espíritu humano y de sus estadios evolutivos. Pero si la naturaleza reflejase el resultado del proceso racional de un Espíritu creador semejante, sus formas y sus procesos, de una simplicidad relativamente mayor, deberían dejarse incluir en el sistema de una manera también más fácil. Ahora bien, precisamente aquí fallan los esfuerzos de la filosofía de la identidad; y fallan, podríamos decirlo así, por completo. La filosofía hegeliana de la naturaleza les pareció a los cultivadores de las disciplinas naturalistas cuanto menos algo absolutamente sin sentido. Entre los muchos científicos insignes de aquel tiempo no hubo ni uno que se contentase con las ideas de Hegel. Y es que, por otra parte, Hegel atribuía una particular importancia al hecho de conquistar en este campo el reconocimiento que tenía en otros, y provocó así una polémica de una insólita vehemencia y acritud, dirigida sobre todo contra Newton como primer y máximo representante de la investigación científica. Los científicos fueron acusados por los filósofos de estrechez mental, y éstos fueron acusados por aquéllos de charlatanes. Los científicos empezaron, a partir de aquí, a conceder una cierta importancia al hecho de que sus trabajos quedasen al margen de cualquier influencia filosófica, y a ello se añadió que muchos de ellos, entre los cuales había hombres eminentes, condenaran toda filosofía como algo inútil, o como un desvarío pernicioso. No podemos negar que de ese modo se tiró por la ventana no sólo las injustificadas pretensiones de subordinar las demás disciplinas, enfrentadas a la filosofía de la identidad, sino también la pretensión legítima de la filosofía, es decir la de desarrollar una crítica de las fuentes cognoscitivas y fijar una medida del trabajo conceptual» (trad. ital. en Hermann von Helmholtz, Opere, edición de V. Capelleti, Itet, Turín, 1967, págs. 342-344). Un comentario amplio sobre este planteamiento de Helmholtz se encuentra en L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. V («Dalí ’Ottocento al Novecento», Garzanti, Milán, 1973², págs. 510-512). Hay traducción castellana en Ariel Filosofía. <<

^[82] Una presentación eficaz de esta tesis se encuentra en N. R. Hanson, I modelli della scoperta scientifica (1958), ed. ital. Feltrinelli, Milán, 1978, cap. I. Por ejemplo: «Esta afirmación podría desconcertar a alguien: que es posible que los investigadores no valoren los datos de la misma manera es una cuestión seria. Sin embargo, es importante darse cuenta de que en la selección de diferencias en torno a los datos y los hechos la observación puede exigir algo más que un simple gesto en la comparación de hechos observables. Puede exigir una nueva valoración general del mismo campo de estudio. (…) Se da, pues, un sentido en el que el simple hecho de ver es en realidad una empresa “cargada de teoría”. La observación de x se ve condicionada por el conocimiento anterior de x. Las observaciones se ven también influenciadas por el lenguaje o por la notación utilizada para expresar lo que sabemos, sin las cuales reconoceríamos bien poco del conocimiento» (págs. 30-31). <<

^[83] Limitándose a los clásicos sistemas de conservación, recordemos que la mecánica hamiltoniana (llamada así por William Rowan Hamilton, 1805-1895) reconduce el estudio de los movimientos de ciertos sistemas de puntos materiales al estudio geométrico del espacio de fases, en el que un «punto» es dado por 2_n-pla(p₁, …, p_n, q₁, …, q_n), donde q₁, …, q_n son los n parámetros que definen el movimiento p_i = δL/δq_i en donde L es la llamada lagrangiana, que expresa la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial del sistema. La introducción de la hamiltoniana H = ∑ⁿ_i=1 pi qi − L (interpretable como la suma de la energía cinética y de la energía potencial del sistema) permite escribir las conocidas ecuaciones canónicas (o de Hamilton). Se encontrará un ejemplo clásico y simple de ello en las págs. 117-119 del texto. <<

^[84] Cfr. nota 2 del cap. I. <<

^[85] «La noción de aplicación es un modelo matemático muy general de aspectos diversos de la realidad y del pensamiento. Se genera como forma de la idea de una correspondencia por pares de objetos de una clase, o de un conjunto, con objetos de otra clase. Esta correspondencia se lleva a cabo en la descripción de procesos que se desarrollan en el tiempo cuando a cada momento del tiempo le corresponde un determinado estado del sistema que se estudia. Se utiliza en el estudio de operaciones sobre los objetos [etc.].» (J. I. Manin, «Applicazioni», en Enciclopedia, vol. I, Einaudi, Turín, págs. 701-743. Cita de la pág. 701). <<

^[86] Para un tratamiento en detalle y las distintas terminologías (no siempre iguales de un texto a otro) véase también el artículo «Applicazioni» citado en la anterior nota 85. <<

^[87] Epicteto, filósofo estoico, nacido en Hierápolis, Frigia, hacia el 60 d. J. C. fue esclavo en Roma y logró la libertad con Nerón. Quedó comprendido en el decreto del Senado del año 94 d. J. C. Se estableció en Nicópolis, en Epiro, donde murió, probablemente al principio del reinado de Adriano. Sus doctrinas han llegado hasta nosotros a través de los escritos de Flavio Arriano, autor de La vida y la muerte de Epicteto, de ocho libros de Disertaciones sobre Epicteto y su filosofía, así como del Enquiridión (o Manual) que resume los dos anteriores. <<

^[88] La parabra «función» fue utilizada por Leibniz en un manuscrito de 1763 para indicar cualquier cantidad que variase de un punto a otro de una curva, como por ejemplo la longitud de la tangente. También fue Leibniz quien introdujo los términos «constante», «variable» y finalmente «parámetro», este último utilizado en el tratamiento de una familia de curvas. (Cfr. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Nueva York, 1972, 339-340). <<

^[89] Cfr. nota 39 del cap. II. <<

^[90] Según la convención de Maxwell, determinado un despliegue (r, F) (para simplificar se escribe sólo F, sobrentendiéndose que r es la dimensión del espacio de control), el conjunto K de los puntos de catástrofe consta de los puntos u del espacio de control R^r, donde F_u (cfr. nota 39 del cap. II) alcanza el mínimo absoluto por lo menos para dos puntos o donde el mínimo se alcanza en un solo punto, pero es inestable. Esta convención no es la única adoptada por Thom para individualizar los puntos de catástrofe. Otra convención es la denominada del «retraso perfecto», en la que a todo camino T de U se asigna una aplicación m_r de T en X × T tal que π_r (m_r(u)) = u (en cuanto a la proyección π_r, véase nota 39 del cap. II) y, por otra parte, m_r(u) caracteriza un mínimo local de F_u y m_r permanece continuo para un intervalo máximo en T. Sea D el conjunto de los puntos (x, u) de Rⁿ × R^r tales que d²_xF(x, u) es degenerado: su imagen B = π_r(D) por la proyección π_r de Rⁿ × R^r en R^r se denomina conjunto de bifurcación. Sirviéndose de la convención del retraso perfecto, los puntos de B quedan caracterizados como puntos de catástrofe (en el caso por ejemplo, planteado en el texto en las páginas 76-77 el conjunto B viene dado por los puntos del plano (a, b) para los que 4a³ + 27b² = 0, forman la parábola semicúbica de la figura 8. No hay que sorprenderse por ello: apenas se mueve un punto (a, b) de B₁ o B₂ se obtienen dos tipos diferentes de funciones F de x. Cfr. Fig. 9). <<

^[91] Cfr. nota 44 del cap. II. <<

^[92] Para ver la lista de las siete catástrofes elementales, cfr. nota 44 del cap. II. <<

^[93] Conseguir las ecuaciones del movimiento de un fluido con fenómenos de viscosidad ha sido algo tortuoso. Euler (1707-1783) había dado en su tiempo las ecuaciones de movimiento de un líquido no viscoso y desde los tiempos de Lagrange (1736-1813) se tenía conocimiento de la diferencia esencial entre el movimiento de un fluido en el que se admite la existencia de un potencial para la velocidad y otro en el que tal hipótesis no es aceptable. Guiado por una analogía formal con la teoría de la elasticidad y por la hipótesis de la existencia de moléculas animadas por fuerzas repulsivas, el francés Claude L. M. H. Navier (1785-1836) consiguió obtener las ecuaciones del fenómeno en 1821, que Poisson (1781-1840) volvió a encontrar en 1829. En 1845 las recogió, en el marco de la mecánica de continuos, George Gabriel Stokes (1819-1903). Para seguir las distintas formulaciones vid. M. Kline, op. cit., págs. 696 y siguientes. <<

^[94] Cfr. nota 46 del cap. II. <<

^[95] En 1873 el físico holandés van der Waals (1837-1923) modificó la descripción de un «gas ideal» (o ley de Boyle) estableciendo (p + α/v²) (v − β) = RT, donde R era una constante, T, la temperatura absoluta, p y v la presión y el volumen respectivamente de la muestra del fluido considerado y α y β dos constantes. Es inmediatamente determinable un valor crítico T_c tal que a) para T > T_c, el volumen crece regularmente; b) para T = T_c, v es una función continua pero no diferenciable de p; c) para T < T_c, hay valores de la presión p para los que son posibles diversos volúmenes v. En el espacio (p, v, T), el punto (p_c, v_c, T_c) en que T_c = 8α/27β R, y en consecuencia p_c = α/27β² y v_c = 3β se manifiesta como de considerable importancia: con un cambio de coordenadas, p' = plp_c, v' = v/v_c y T' = T/T_c se obtiene la ecuación de van der Waals reducida (p' + 3/v'²) (v' − 1/3) = 8T'/3, y sustituyendo la densidad por el volumen, estableciendo v' = 1/X, y con un ulterior cambio de variables P = p' − 1, x = X − 1, t = T − 1, se obtiene x³ + (8t + P)x/3 + (8t − 2P)3 = 0, o bien x³ + ax + b = 0 (en donde hemos hecho a = (8t + P)/3, b = (8t − 2P)/3 que es la ecuación de tercer grado de la pág. 76 del texto. La discusión de tal ecuación permite establecer modelos con una cúspide de los cuales en la fig. 8 la situación estudiada por van der Waals consiste en determinar un conjunto K de puntos de catástrofe utilizando la convención de Maxwell. Para ver un tratamiento detallado de la cuestión, véase por ejemplo T. Poston, I. Stewart, Catastrophe Theory, op. cit., cap. 14, que contiene también un análisis del modelo de Landau. <<

^[96] E. C. Zeeman, Catastrophe Theory, op. cit., págs. 615-638. Cfr. también nota 71 del cap. II. <<

^[97] Estos modelos se explican ampliamente en los distintos artículos de Catastrophe theory, op. cit. Se puede ver una explicación extraordinariamente clara y sin detalles técnicos en el artículo que Zeeman escribió para «Scientific American», o bien en la edición italiana E. C. Zeeman, «La teoría de las catástrofes», en «Le Scienze», n.º 96, agosto 1976, págs. 16-29. El modelo de la agresividad del perro lo retoma Thom varias veces a lo largo de la entrevista. Véase también la fig. 10 y su anotación. El modelo se ha elaborado utilizando la convención del retraso perfecto (cfr. nota 95). <<

^[98] Las críticas de Sussmann y Zahler (cfr. nota 10 del cap. II) al modelo de Zeeman del comportamiento agresivo del perro (cfr. la precedente nota 14) se concentran substancialmente en los siguientes puntos a) el modelo no mejora nuestro conocimiento del comportamiento agresivo; de hecho, no proporciona predicción controlable alguna (no banal) ni contribuye al proyecto de experimentos que puedan convalidarlo; no proporciona, pues, según los dos críticos, ningún conocimiento; b) ni siquiera da cuenta de hechos ya conocidos, en tanto que la discontinuidad introducida en el modelo no se asemeja de forma significativa a la discontinuidad advertida en el comportamiento observable: el único elemento común al modelo y al proceso real es que en ambos casos hay discontinuidades; pero eso no es suficiente: a partir de esta analogía, sostienen Sussmann y Zahler, se podría también sostener que cualquier función matemática discontinua podría «dar cuenta» de cualquier fenómeno natural en el que la discontinuidad esté presente (H. J. Sussmann, R. S. Zahler, «Catastrophe Theory: a critique» op. cit., pág. 133). Así pues, la semejanza o analogía entre el modelo y el fenómeno real del que el modelo debe dar cuenta no es suficiente: «Hay que demostrar, además, que el fenómeno matemático sigue al modelo de forma no banal y no puede simplemente formar parte de sus asunciones» (ibid. pág. 133). En caso contrario, no sólo el modelo no es correcto desde un punto de vista cuantitativo, sino que «sus mismas conclusiones cualitativas son frecuentemente erróneas, vagas o taulológicas» (ibid. pág. 212). <<

^[99] Es evidente que «si un embrión ha recibido daño en uno de los primeros estadios de su desarrollo, con frecuencia ocurre que a partir de ahí se desarrolle luego un embrión normal… En todo caso, después de haber recibido el daño, no vuelve al punto en que se encontraba en el momento de la alteración para reemprender el proceso a partir de ahí, sino que vuelve gradualmente a su camino, de manera que el daño no queda reparado hasta que el embrión ha llegado a un estadio posterior a aquél en que se produjo el daño. (…) También se dice, para describir estos sistemas, que el camino de la transformación está canalizado: en cuanto al recorrido en sí, se puede utilizar el término creodo, palabra derivada del griego que significa recorrido obligado. Muchos tipos de transformación que se producen en la sociedad tienen un carácter creódico más o menos desarrollado; una vez tomada una cierta dirección resulta muy difícil inducir un cambio de ruta. […Por otra parte,] en los sistemas biológicos progresivos, como los embriones en desarrollo o las plantas, nos enfrentamos normalmente con sistemas no descriptibles por completo en términos de un solo creodo ni de un conjunto de creodos grosso modo paralelos… En el desarrollo de un huevo, sus partes seguirán distintas vías de desarrollo y al final pasarán a formar diversas partes del animal completo; algunas se convertirán en músculos, otras en nervios, y así sucesivamente. Es posible ofrecer una imagen intuitiva en términos de paisaje epigenético, donde en el momento en que se inicia el proceso existe un solo valle, pero a continuación se ramifica en dos valles o más; a su vez, estas ramificaciones se van dividiendo continuamente, hasta formar un número de valles separados correspondiente a las partes separadas del animal adulto». (C. H. Waddington, Strumenti per pensare, trad. ital., Mondadori, Milán., 1977, págs. 108 y 111-112). <<

^[100] Se puede definir intuitivamente la ergodicidad como la propiedad de un sistema que tiende a un estado límite independiente de la situación inicial. Entre los diversos textos disponibles que tratan la cuestión, recomendamos al lector V. I. Arnold, A. Avez, Problèmes ergodiques de la mécanique classique Gauthier-Villars, París, 1967. <<

^[101] Cfr. R. Thom, «Rôle et limites de la mathématisation en sciences», en La Pensée, n.º 195, octubre 1977, págs. 36-42, en particular págs. 38. J. B. Perrin (1870-1942) obtuvo en 1926 el Nobel de física (movimiento browniano, rayos catódicos, teoría atómica, etc.). <<

^[102] I. Lakatos, «La falsificazione e la metodologia dei programi di ricerca scientifica» (1970), en I. Lakatos, A. Musgrave (eds.), Critica e crescita della conoscenza, ed. ital., Feltrinelli, Milán, 1976, págs. 164-276. Cfr. en particular págs. 190-191, 207-208, 256-258. Existe traducción castellana de Juan Carlos Zapatero en Alianza Universidad, Madrid 1983. <<

^[103] «En el interior de una estancia subterránea en forma de caverna, con la entrada abierta a la luz y tan grande como toda la amplitud de la caverna, cree ver hombres que están ahí dentro desde que eran niños, con las piernas y el cuello encadenados de forma que han de permanecer en pie y sólo pueden mirar hacia adelante, incapaces, debido a la cadena, de volver la cabeza. Alta y lejana brilla a sus espaldas la luz de un fuego, y entre el fuego y los prisioneros discurre, elevado, un camino. A lo largo de éste le parece ver un múrete, como aquellos bastidores que los titiriteros colocan ante las personas para mostrarles los títeres. (…) Imagina que ve hombres que llevan objetos a lo largo del múrete que sobresalen por el borde, esculturas y otras figuras de piedra y de madera trabajadas; y, como es natural, algunos de los portadores hablan y otros callan. —Extraña imagen la tuya, dijo, y extraños tus prisioneros. —Nos sueñan a nosotros, respondí: ¿crees que esas personas pueden ver, aparte de a sí mismos y a sus compañeros, algo más que las sombras proyectadas por el fuego en la pared de la caverna que hay frente a ellos? —¿Y cómo pueden hacerlo, replicó, si se ven obligados a mantener la cabeza inmóvil toda su vida? —¿Y no ocurre los mismo con los objetos? —Es verdad.» (Platón, La República, VII, 514-515 a-b). <<

^[104] La estructura triploblástica indica la subdivisión del embrión en exodermo, mesodermo, y endodermo. Véase también la nota 16 en el cap. IV. La analogía entre estructura triploblástica del embrión y estructura ternaria de la frase transitiva se comenta ampliamente en el cap. IV. <<

^[105] Se alude en particular al célebre y discutido Principies of topological psychology, de K. Lewin, McGraw-Hill, Nueva York-Londres, 1936. <<

^[106] Sobre este aspecto, remitimos al lector al volumen de Kurt Lewin, Teoría e sperimentazione in psicología sociale (1951), ed. ital. con una introducción de A. Palmonari, II Mulino, Bolonia, 1972. Vid. en particular cap. IX. <<

^[107] La lista aristotélica de las categorías se encuentra especialmente en Categorie, 4, 1 b, 25. Pero también son relevantes las referencias en Topici I, 9, 103 b-104 a, y, sobre todo, en Metafísica VI, 2, 1026 a 33. Esta última lista está precedida por una especie de definición según la cual las categorías responden a la exigencia de saber en qué «acepción» se utiliza el término «ser». De hecho, «será cometido de esta ciencia (la filosofía primera) contemplar el ser-en-cuanto-ser, es decir la esencia y las propiedades que el ser posee en-cuanto-ser. Pero, teniendo en cuenta que el simple término “ser” se utiliza con muchas acepciones, una de las cuales es, como decíamos, la de “ser por accidente”, otra la de “ser” en tanto que “verdad” siendo el término “no ser” utilizado en el sentido de “falsedad”, y teniendo en cuenta que, además de estas acepciones, existen las categorías [ta eschemata tes categorias, es decir las figuras del predicado] (por ejemplo la sustancia [ti], la cualidad [poion], la cantidad [poson], el lugar [pou], el tiempo [pote] y cualquier otro método de significar el ser) y teniendo en cuenta, además que, aparte de todas estas acepciones, existe el ser-en-potencia y el ser-en-acto —teniendo, pues, presentes las distintas acepciones en que se usa el término “ser”— debemos, en primer lugar, poner de relieve que no es posible hacer indagación especulativa alguna acerca del ser accidental» (1026 a 30-1026 b 4). <<

^[108] Cfr. nota 6 del cap. I. <<

^[109] En cuanto a este punto específico remitimos al lector a R. Thom, «Role et limites de la mathématisation en sciences», op. cit., en especial pág. 39. <<

^[110] Entre las posibles referencias, señalamos M. Spivak, Calculus on Mainfolds, Benjamin, Nueva York y Amsterdan, 1965, que contiene también interesantes referencias históricas. Hay traducción castellana en Ed. Ravatí. <<

^[111] Véase en particular V. I. Arnold, «Critical points of Smooth Functions», en R. D. Janes (ed.), Proceedings of the International Congress of mathematicians, Vancouver 1974, Canadian Mathematical Congress 1975, vol. I, págs. 19-39 donde el lector encontrará una amplia bibliografía sobre el tema. En el volumen II de los mismos Proceedings, véase asimismo E. C. Zeeman, «Levels of structure in Catastrophe Theory», págs. 533-546. <<

^[112] Cfr. nota 49 del cap. II y la precedente nota 98. <<

^[113] E. C. Zeeman, C. S. Hall, P. J. Hassiron, G. H. Marriage, P. H. Shapland, «A model for institutional disturbances», en The British Journal of mathematical and statistical Psychology, 29 (1976), págs. 66-80; E. C. Zeeman, «Prison disturbances», en Structural stability, the theory of catastrophes and applications in the sciences, Springer Lecture Notes in Mathematics, vol. 525, Springer, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1976, págs. 402-406. Ambos artículos aparecen reproducidos en E. C. Zeeman, Catastrophe theory, op. cit., cap. 13 y 14 respectivamente. <<

^[114] H. J. Sussmann, R. S. Zahler, «Catastrophe theory, a critique», op. cit., págs. 126-141. <<

^[115] Ibid. págs. 208-209 y 211-212. <<

^[116] S. Smale, recensión de E. C. Zeeman, «Catastrophe theory. Selected papers 1972-1977», en Bulletin of the American Mathematical Society, 84 (1978), págs. 1360-1368. Acerca de Smale, vid. nota 74 del cap. II. <<

^[117] Pero las primeras intuiciones acerca de las bifurcaciones se pueden remontar a un tiempo anterior a Jacobi (1804-1851), aunque el nacimiento oficial de la «teoría» (cfr. nota 37 del cap. II) suela relacionarse con las clásicas contribuciones de Poincaré (1854-1912) a la dinámica. Cfr. R. Abraham, J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, op. cit., págs. 543-544. <<

^[118] E. E. Evans Pritchard, The Nuer. A description of the modes of livelihood and political institutions of a Nilotic people, Oxford University Press, Nueva York-Oxford, 1940 (y diversas reediciones). <<

^[119] El primer informe del desciframiento del Lineal B lo dio Michael Ventris junto con John Chadwick en Documenís in Mycenaean Greek, Cambridge University Press, Cambridge, 1956. El primer comunicado se hizo en 1952. En cuanto a la reconstrucción del desciframiento del Lineal B por parte de Ventris, véase J. Chadwick, Lineare B. L’enigma della scrittura micenea (1959), ed. ital., Einaudi, Turín, 1959. <<

^[120] K. R. Popper, Lógica della scoperta scientifica (1959), ed. ital., Einaudi, Turín, 1970, págs. 31 y 55. Versión castellana de Víctor Sánchez de Zabala, La lógica de la investigación científica, Tecnos. Madrid 1962. <<

^[121] Una caustica es una superficie tangente al conjunto de los rayos luminosos procedentes de una fuente luminosa. Una reseña de los resultados de M. V. Berry, junto con una amplia bibliografía, se encuentra en T. Poston, I. Stewart, Catastrophe theory, op. cit., en especial el cap. 12. <<

^[122] Vid. nota 44 del cap. II. <<

^[123] D’Arcy W. Thompson, Crescita e forma (1917), edición reducida a cargo de J. T. Bonner (1961), ed. ital., Boringhieri, Turín, 1969. «Los términos crecimiento y forma que constituyen el título del libro deben entenderse (…) en relación con el estudio de los organismos. Queremos ver cómo, por lo menos en algunos casos, las formas de las cosas vivientes pueden explicarse a través de consideraciones físicas, y queremos dar cuenta de que, en general, no existen otras formas orgánicas aparte de las que respetan las leyes físicas y matemáticas.

»Y ya que “crecimiento” es una palabra más bien vaga para una cuestión tan compleja, que puede depender de diversas cosas que van de una simple imbibición de agua a todos los complejos resultados de la química de la nutrición, lo adecuado es estudiar el crecimiento en relación con la forma: si se produce por un simple aumento de la dimensión, sin modificación de forma, o si tal proceso comporta un cambio gradual de la forma, acompañado de un lento desarrollo de estructuras más o menos complejas» (págs. 14-15). <<

^[124] T. S. Kuhn, The Essential Tensión. Selected Studies in Scientific Tradition and Change, The University of Chicago Press, Chicago, 1977, pág. 25. <<

^[125] Thomas S. Kuhn, La struttura delle rivolucioni scientiche (1962¹; 1969²), trad. ital., Einaudi, Turín, 1978. Hay traducción castellana. La estructura de las revoluciones científicas. Fondo de Cultura Económica, México, 1975. <<

^[126] «Antes de que estos textos (los usuales manuales científicos, tanto elementales como superiores) se popularizasen a principios del siglo XIX (y en un período aún más reciente por cuanto concierne a las ciencias que sólo hace poco han alcanzado su propia madurez), muchos clásicos famosos de la ciencia asumían tal función. (Muchas obras de este tipo) sirvieron durante un cierto período para definir implícitamente los problemas y los métodos legítimos en un determinado campo de investigación para muchas generaciones de científicos. Pudieron hacerlo así porque tenían dos características comunes: los resultados que presentaban eran suficientemente nuevos como para atraer a un grupo constante de seguidores, disuadiéndolos de formas de actividad científica desafines, y, a la vez, eran lo bastante abiertos como para permitir al grupo de científicos constituido sobre estas nuevas bases la posibilidad de resolver problemas de cualquier tipo. En adelante, para indicar los resultados que tienen en común estas dos características utilizaré el término “paradigma”, que tiene una relación precisa con el término “ciencia normal”. Con la elección de este término he querido dejar constancia de que ciertos ejemplos de praxis científica efectiva reconocidos como válidos —ejemplos que comprenden globalmente leyes, teorías, aplicaciones e instrumentos— proporcionan modelos que dan origen a particulares tradiciones de investigación científica, de una gran propia coherencia» (T. S. Kuhn, La struttura, op. cit., págs. 29-30). Para un análisis en profundidad de la idea kuhniana de paradigma, vid. M. Masterman, «La natura di un paradigma» (1970), en I. Lakatos, A. Musgrave (eds.), Critica e crescita della conoscenza, ed. ita., Feltrinelli, Milán, 1976, págs. 129-163. <<

^[127] T. S. Kuhn, La struttura, op. cit., en particular cap. IV. «Los rompecabezas son (…) aquella especial categoría de problemas que pueden servir para poner a prueba el ingenio o la habilidad de resolverlos. (…) Mientras el valor intrínseco no es un criterio para definir un rompecabezas, sí lo es la certeza de que existe una solución. (…) Para clasificar un rompecabezas, un problema debe caracterizarse por algo más que una solución cierta. Debe haber también reglas que delimiten la naturaleza de las soluciones aceptables así como los puntos a través de los cuales se deben obtener tales soluciones» (págs. 58-60). <<

^[128] Jean Buridán de Béthune, discípulo de Occam, célebre profesor de París, donde fue rector en 1328, muerto aprox. 1366, fue autor de una Summa dialéctica, de un Compendium logicae y de comentarios a muchas obras aristotélicas. El problema que le dio mayor renombre fue el de la libertad, al que dio una solución estrictamente determinista, pues admitía una especie de libertad por cuanto la fuerza de los motivos dependen también de la razón. Según él, el hombre puede también decidirse eligiendo entre motivos externos equivalentes entre sí, a diferencia del asno, que entre dos montones de heno de la misma cantidad y calidad, o entre la alfalfa y el agua de similar atractivo, se dejaría morir antes de hacer una elección. De esta comparación no hay, sin embargo, ni rastro en sus escritos; si no lo inventaron sus contemporáneos para desacreditar su doctrina se puede conjeturar que Buridán se sirvió de este ejemplo en la enseñanza oral. <<

^[129] Cfr. nota 99 del cap. III. <<

^[130] R. Thom, «Rôle et limites de la mathématisation en sciences» en La Pensée, n.º 195, octubre, 1977, págs. 36-42. <<

^[131] Cfr. págs. 116-117. <<

^[132] «Role et limites…», op. cit., pág. 40. <<

^[133] T. S. Kuhn, La struttura, op. cit., pág. 129. <<

^[134] P. K. Feyerabend, Contro el metodo. Abbozzo di una teoria anarchica della conoscenza (1975), ed. ital., Feltrinelli, Milán, 1979, pág. 131. Traducción castellana, Tecnos 1981. <<

^[135] Cfr. por ejemplo, P. K. Feyerabend, «Consolazioni per lo specialista», en I. Lakatos, A. Musgrave (eds.), Critica e crescita della conoscenza (1970), ed, ital., Feltrinelli, Milán, págs. 277-312. Véase también P. K. Feyerabend, Contro il metodo, op. cit., pág. 40-45. <<

^[136] En cuanto a Arquímedes y la utilización del cuerpo como instrumento para la adquisición y la transmisión del saber, cfr. M. Vegetti, Il coltello e il stilo, Il Saggiatore, Milán, 1979, pág. 147. <<

^[137] Escribían Crick y Watson («Genetical Implications of the Structure of Desoxyribonucleic Acid», Nature 171 (1953), págs. 962-967): «Nuestro modelo para el ácido desoxirribonucleico es, en efecto, una pareja de moldes, uno complementario del otro. Imaginamos que antes de la duplicación se rompen los enlaces del hidrógeno, y que las dos cadenas se separan. Cada cadena hace así de molde para la formación, en ella misma, de una nueva cadena complementaria, de tal modo que finalmente habrá dos pares de cadenas donde antes había una sola. Por otra parte, también la secuencia de las parejas de bases vendrá exactamente duplicada». (Cfr. también F. H. Portugal, J. S. Cohen, Un secolo di DNA (1977), ed. ital., Boringhieri, Turín, 1979, págs. 257-259.) Por «duplicación del DNA» se entiende el proceso de reproducción de las moléculas de DNA y de los cromosomas que permite el mantenimiento del patrimonio hereditario en todas las generaciones celulares (véase también la nota 56 del cap. II). La doble hélice se escindirá como consecuencia de la rotura de los enlances de hidrógeno que unen las bases azotadas complementarias entre sí, y en el curso de tal ruptura los nucleótidos portadores de las basas azotadas, complementarios de las bases de la molécula original, serán captados y ordenados debido a la intervención del DNA-polimerasa. <<

^[138] Cfr. págs. 14-18. <<

^[139] Hay muchos estudios sobre las principales características de la corteza terrestre; dorsales mesooceáncias, fallas transcurrentes, fosas oceánicas, bloques continentales, cadenas de montañas, distribución de los terremotos, zonas volcánicas, etc., sugieren que éstos pueden ser utilizados para definir una serie de bloques principales de la corteza terrestre, llamados precisamente placas. La teoría de la deriva continental (propuesta por A. L. Wegener) presupone movimientos relativos entre bloques continentales: ello haría pensar que el movimiento se produciría entre placas que pueden deslizarse una con respecto a la otra, alejándose, acercándose o superponiéndose. <<

^[140] Dicho brevemente: el exodermo es el estrato externo de las células que forman parte de la gástrula (cfr. nota 61 del cap. II); de él derivan la epidermis, el sistema nervioso y los órganos de los sentidos. El endodermo es el estrato interno de las células que forman la pared de la gástrula; de él derivan el tubo digestivo, las glándulas anexas y los pulmones. Durante el desarrollo embrional de los animales se forma un folículo embrional, el mesodermo, que se interpone entre el exodermo y el endodermo. De él derivan los músculos, los órganos excretores y los reproductores. <<

^[141] El vitelio es el conjunto de las substancias de reserva acumuladas en los ovocitos al término de la fase de crecimiento y utilizadas en los primeros estadios de desarrollo del embrión. <<

^[142] Etienne Geoffroy Saint Hilaire (1772-1844), considerado uno de los padres de la embriología, mantenía la existencia de un plan único para la organización de los animales («principio de conexión»): sobre esta base pudo descubrir un auténtico sistema dental en los pájaros, indicar la analogía entre los esqueletos de todos los vertebrados y, finalmente, considerar la cabeza como formada por un conjunto de vértebras. Acerca de la importancia de esta visión unitaria, vid. R. Thom, «La notion d’archétype en biologie et ses avatars modernes», originalmente en el Bulletin de la Société Kigérienne de Philosophie, en la actualidad en R. Thom, C. Lejeune, J.-P. Duport, Morphogenèse et imaginaire, Editions Lettres Modernes, 1978, págs. 25-39, en especial págs. 30-31. <<

^[143] Vid. también L. Tesnière, Eléments de syntaxe structurale, Klincksieck, Paris, 1965. Para acceder a una más amplia discusión de la idea de Tesnière, vid. R. Thom, «Topologie et signification» originalmente en «Age de la Science», I, 34, 1968, actualmente en R. Thom, Modèles mathématiques de la morphogenèse, Unión générale d’éditions, Paris, 1974, págs. 193-228. <<

^[144] El ejemplo que Thom discute en el texto es el clásico con el que Aristóteles introduce la analogía sobre la falsilla de la proporción matemática (el término, por otra parte, deriva del griego y significa proporción): «La “vejez” (B) está con la “vida” (A) en la misma relación que la “noche” (D) con el “día” (C) por eso se podrá decir que la “noche” (D) es la “vejez del día” (B + C), (…) y también se podrá decir que la “vejez” (B) es la “noche de la vida” (D + A)» (Aristóteles, Poética, 1, 1457 b). <<

^[145] Véase en particular E. Benveniste, Problemi di linguistica generale (1966), ed. ital., 11 Saggiatore, Milán, 1971, en especial XII («Para el análisis de las funciones causales: el genitivo latino»): «Finalmente, resulta evidente que, en la concepción aquí considerada, la función del genitivo se define como resultante de La transposición de un sintagma verbal en sintagma nominal; el genitivo es el caso que transpone entre dos nombres la función del nominativo, o del acusativo, en el enunciado con verbo personal. Todos los demás usos del genitivo son, como se ha intentado demostrar antes, derivaciones de este planteamiento, subclases con un valor semántico particular, o variedades de naturaleza estilística» (págs. 175). <<

^[146] En cuanto a un análisis de este aspecto del pensamiento de Spencer, vid. R. Thom, «Les Archéthypes entre Phome et la nature», originalmente en Bulletin de la Société Ligérienne de Philosophie, 1975, actualmente en R. Thom, C. Lejeune, J.-P. Duport, Morphogenèse et imaginaire, op. cit., págs 52-64. En especial págs. 58-61. <<

^[147] R. Thom, «Sur la typologie des langues naturelles: essai d’interprétatión psycho-linguistique», en M. Gros, M. Halle y M. P. Shutzenberger (eds.), Formai Analysis of natural languages (Mouton, The Hague-Paris, 1973); reproducido también en R. Thom, Modèles mathématiques de la morphogenèse, op. cit., págs. 285-313. <<

^[148] R. Thom, «La double dimensión de la grammaire universelle», aparecido originalmente en la revista «Arbeiten des Kölner Universalien Projekts», de la Universidad de Colonia, y en la actualidad en R. Thom, C. Lejeune, J.-P. Duport, Morphogenèse et imaginaire, op. cit. Paris, 1978, págs 78-90. Las observaciones de Seiler aparecieron en H. J. Seiler, «Determination: a universal dimension for interlanguage comparison», Arbeiten des Kölner Universalien Projekts, n.º 23, 1976. <<

^[149] En cuanto a la construcción de la aritmética a partir de los axiomas de Peano, formulados por primera vez en 1899 por el matemático y lógico italiano Giuseppe Peano (1858-1932), el lector podrá consultar el tratado, aún hoy no desprovisto de interés, de F. Waismann, Introduzione al pensiero matemático (1936), ed. ital., Boringhieri, Turín, 1965², caps. 9 y 10. <<

^[150] La construcción de los números reales a partir de los racionales mediante sucesiones de Cauchy (método de completación) o mediante secciones de Dedekind fue, en una y otra fórmula, propuesta en 1872, respectivamente por G. Cantor (1845-1918) y por R. Dedekind (1831-1916). Una exposición articulada de los dos planteamientos y un balance crítico se encuentra en F. Waismann, Introduzione al pensiero matemático, op. cit., cap. 14. <<

^[151] Un viajante de comercio se interesa sólo por una cosa, el dinero. Sale de viaje, visita un cierto número de puntos (o ciudades) y vuelve al punto de partida: el paso directo de la i-ésima ciudad a la j-ésima le cuesta una cierta suma, C_ij. Su problema consiste en encontrar un itinerario que pase por todas las ciudades, minimizando el conjunto de los gastos de viaje. En cuanto a éste y otros rompecabezas del análisis combinatorio, vid. G. C. Rota, «Analisi combinatoria», en AA. VV. Le sienze matematiche, (1969), ed. ital., Unione Matematica Italiana y Zanichelli, Bolonia, 1973, págs. 226-238. Para una exposición más amplia de los temas y problemas más relevantes del análisis combinatorio y de la teoría de los grafos, remitimos al lector a F. Rosenstichl, «Combinatoria», en Enciclopedia, vol. III, Einaudi, Turín, 1978, págs. 437-500, y «Grafo», en Enciclopedia, vol VI, Einaudi, Turín, 1979, págs. 869-896. <<

^[152] Para una breve pero brillante exposición de algunos temas ejemplares, vid. el artículo de G. C. Rota mencionado en la nota precedente, en especial págs. 229-238. <<

^[153] En cuanto a las esferas abierta en un espacio euclídeo o, más en general, en un espacio métrico, cfr. nota 2 del cap. I. <<

^[154] El niño lobo no es más que un caso, relativamente próximo a nosotros, del homo ferus devuelto al primordial estado selvático. Cfr. F. Tinland, L’homme sauvage. Homo ferus et homo sylvestris. Payot, París, 1968. <<

^[155] «Si mi análisis de la lógica del mago es correcto, sus dos grandes principios no son otra cosa que dos distintas y malas aplicaciones del principio de la asociación de ideas. La magia homeopática se basa en la asociación de ideas por similaridad; la magia contagiosa en la asociación por contigüidad. La magia homeopática comete el error de postular que las cosas que se parecen son las mismas; la magia contagiosa comete el error de postular que las cosas que han estado en una determinada ocasión en contacto siguen siempre en contacto. (…) Las dos clases de magia, la homeopática y la contagiosa, se pueden comprender bajo el nombre genérico de magia simpática, ya que las dos afirman que las cosas actúan una sobre otra a distancia, por medio de una secreta simpatía, mientras el impulso se transmite de la una a la otra por medio de lo que podríamos considerar una especie de éter invisible, no muy distinto del que postula la ciencia moderna, con una intención del todo similar, para explicar cómo pueden influenciarse físicamente las cosas a través de un espacio que parece vacío». (J. G. Frazer, II ramo d’oro (1890¹, 1900², edición renovada y definitiva 1911-1915; edición reducida, 1922; ed. ital., Boringhieri, Turín, 1964², págs. 48-49). <<

^[156] Feromona o ferhormona es una sustancia química —por lo general de secrección glandular— que se utiliza en la comunicación en el seno de una especie. Un individuo libera la sustancia como señal y otro individuo responde después de haberla gustado u olfateado. <<

^[157] O. T. Avery, C. M. MacLeod, M. McCarty, «Sudies on the Chemical Nature of the Substance Inducing Transformation of Pneumococcal Types I. Induction of Transformation by a Desoxyribonucleic Acid Fraction Isolated from Pneumococcus Type III», en Experimental Journal of Medicine, 79 (1944), págs. 137-158. Los autores empezaban así: «Durante mucho tiempo los biólogos han intentado producir químicamente en los organismos superiores determinadas modificaciones específicas, transmisibles como características hereditarias. La transformación de tipos específicos en el neumococo es, en los microorganismos, el ejemplo más claromoroso de una alteración específica en la estructura y en las funciones celulares que puede inducirse experimentalmente y reproducirse en condiciones controladas y bien definidas». Véase un cuadro de conjunto de la cuestión en F. H. Portugal, J. S. Cohen, Un secolo di DNA, op. cit., cap. 7. <<