NOTAS SOBRE LAS FUENTES Y BIBLIOGRAFÍA

NOTA: Los números de página se refieren a la edición en papel.

PRÓLOGO

9 Los Álamos Feigenbaum, Carruthers, Campbell, Farmer, Visscher, Kerr, Hasslacher, Jen.

10 «Sé que es usted» Feigenbaum, Carruthers.

13 Programas gubernamentales Buchal, Shlesinger, Wisniewski.

13 Elementos del movimiento Yorke.

13 Del proceso antes que del estado F. K. Browand, «The Structure of the Turbulent Mixing Layer», Physica 18D (1986), pág. 135.

13 Comportamiento de los automóviles Los científicos japoneses se tomaron muy en serio los problemas del tráfico; por ejemplo, Toshimit su Musha e Hideyo Higuchi, «The Uf Fluctuation of a Traffic Current on an Expressway», Japanese Journal of Applied Physics (1976), páginas 1271-75.

14 El hecho de haberse dado cuenta de ello Mandelbrot, Ramsey; Wisdom, Marcus; Alvin M. Saperstein, «Chaos – A Model for the Outbreak of War», Nature 309 (1984), págs. 303-5.

14 «Hace quince años» Shlesinger.

14 Sólo por tres cosas Shlesinger.

14 La tercera gran revolución Ford.

14 «La relatividad eliminó» Joseph Ford, «What Is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», separata, Georgia Institute of Technology, pág. 12.

15 El cosmólogo John Boslough, Stephen Hawking’s Universe (Cambridge: Cambridge University Press, 1980), véase también Robert Shaw, The Dripping Faucet as a Model Chaotic System (Santa Cruz: Aerial, 1984), pág. 1.

EL EFECTO DE LA MARIPOSA

27 El tiempo atmosférico simulado Lorenz, Marcus, Spiegel, Farmer. Lo esencial de Lorenz es un tríptico de artículos cuyo centro ocupa «Deterministic Nonperiodic Flow», Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), págs. 130-41; lo flanquean «The Mecanics of Vacillation», Journal of the Atmospheric Sciences 20 (1963), págs. 448-64, y «The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations», Tellus 16 (1964), págs. 1-11. Representan una obra, engañosamente elegante, que aún influye, al cabo de veinte años, en matemáticos y físicos. Algunos recuerdos personales de Lorenz de su primer modelo atmosférico de ordenador aparecen en «On the Prevalence of Aperiodicity in Simple Systems», en Global Analysis, eds. M. Grmela y J. Marsdem (Nueva York: Springer-Verlag, 1979), págs. 53-75.

28 Fueron reglas numéricas Una descripción contemporánea de Lorenz, muy legible, del empleo de ecuaciones para establecer un modelo de la atmósfera es «Large-Scale Motions of the Atmosphere: Circulation», en Advances in Earth Science, ed. P. M. Hurley (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1966), págs. 95-109. Análisis inicial e influyente de este problema es Weather Prediction by Numerical Process, de L. F. Richardson (Cambridge: Cambridge University Press, 1922).

29 Pureza de las matemáticas. Lorenz. Asimismo, una exposición de la influencia contradictoria de las matemáticas y la meteorología en su pensamiento es «Irregularity: A Fundamental Property of the Atmosphere», Crafoord Prize Lecture presentada en la Real Academia Sueca de Ciencias, Estocolmo, en 28 de septiembre de 1983, en Tellus 36A (1984), págs. 98-110.

30 «Abarcaría en la misma fórmula» A Philosophical Essay on Probabilities de Pierre-Simon Laplace (Nueva York: Dover, 1951).

31 «La idea básica» Winfree.

32 «Es la clase de regla» Lorenz.

33 Se le ocurrió al pronto «On the Prevalence», pág. 55.

33 Los errores ínfimos fueron catastróficos De todos los físicos y matemáticos clásicos que reflexionaron sobre los sistemas dinámicos, el que mejor comprendió la posibilidad del caos fue Jules-Henri Poincaré. Comentó en Ciencia y método:

«Una pequeñísima causa, que escapa a nuestra percepción, determina un efecto considerable, que hemos de ver forzosamente, y entonces decimos que el efecto se debe al azar. Si conociésemos bien las leyes de la naturaleza, y la situación del universo en el momento inicial, conseguiríamos predecir exactamente la situación del mismo universo en un momento siguiente. Mas, incluso en el caso de que las leyes naturales no nos ocultasen sus secretos, continuaríamos sabiendo la situación sólo de manera aproximada. Si eso nos facultase a pronosticar la situación sucesiva con la misma aproximación, no necesitaríamos más, y afirmaríamos que el fenómeno se vaticinó y que las leyes gobiernan todo. Sin embargo, no ocurre siempre así; acaso suceda que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan unas muy grandes en el fenómeno definitivo. Un leve error en las primeras se convertirá en uno colosal en el segundo. Se hace imposible predecir…».

Se olvidó el aviso de Poincaré, pronunciado en el cambio de siglo. En los Estados Unidos, el único matemático que atendió con seriedad a Poincaré en las décadas de 1920 y 1930 fue George D. Birkhoff, quien por curiosa casualidad enseñó durante breve tiempo en el MIT al estudiante Edward Lorenz.

34 «No habíamos tenido éxito» Lorenz.

35 Los años de 1950 y 1960 se caracterizaron Woods, Schneider; amplia revisión de los pareceres expertos de entonces fue «Weather Scientists Optimistic That New Findings Are Near», The New York Times, 9 de septiembre de 1963, pág. 1. 35 Von Neumann imaginó Dyson.

35 Una vasta y costosa burocracia Bonner, Bengtsson, Woods, Leith.

37 Previsiones sobre el crecimiento económico «Expectation and Prediction», de Peter B. Medawar, en Pluto’s Republic (Oxford: Oxford University Press, 1982), págs. 301-4.

37 El efecto de la mariposa Lorenz empleó de momento la imagen de una gaviota; el nombre más duradero parece haber salido de su artículo «Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set of a Tornado in Texas?», discurso pronunciado en la reunión anual de la American Association for the Advancement of Science en Washington (29 de diciembre de 1979).

38 Supóngase que la Tierra Yorke.

38 «Nada de predicción» Lorenz, White.

39 Debía de haber un eslabón «The Mechanics of Vacillation».

40 «Por un clavo» George Herbert; citado en este contexto por Norbert Wiener, «Nonlinear Prediction and Dynamics», en Collected Works with Commentaries, ed. P. Masani (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1981), 3:371. Wiener se anticipó a Lorenz en ver al menos la posibilidad de «autoampliación de los detalles pequeños del mapa meteorológico». Notó: «Un tornado es un fenómeno muy localizado y aparentes nonadas, de escasa extensión, quizá decidan su trayectoria exacta».

41 «El carácter de la ecuación» John von Neumann, «Recent Theories of Turbulence» (1949), en Collected Works, ed. A. H. Taub (Oxford: Pergamon Press, 1963), 6:437.

42 Taza de café recién hecho «The Predictability of Hydrodynamic Flow», en Transactions of the New York Academy of Sciences II:25:4 (1963), págs. 409-32.

42 «Quizá nos cueste pronosticar» Ibíd., pág. 410.

42 Lorenz despojó hasta los huesos La serie de siete ecuaciones para representar el modelo de la convección fue ideada por Barry Saltzman, de la Universidad de Yale, al cual Lorenz visitó. Por lo común, las ecuaciones de Saltzman se portaban periódicamente, pero una versión «se negó a reposar», como dijo Lorenz, quien advirtió que, durante el comportamiento caótico, cuatro variables se aproximaban a cero, por lo que podían ser descartadas. Barry Saltzman, «Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem», Journal of the Atmospheric Sciences 19 (1962), pág. 329.

44 Geodínamo Malkus; la idea del caos en los campos magnéticos terrestres todavía se debate con calor, y algunos científicos buscan otras explicaciones, de origen externo, como los impactos de grandes meteoritos. Una exposición inicial del concepto de que las inversiones se deben al caos inherente al sistema se debe a K. A. Robbins, «A Moment Equation Description of Magnetic Reversals in the Earth», Proceedings of the National Academy of Science 73 (1976), 4297-4301.

44 Rueda de agua o noria Malkus.

47 Tres ecuaciones Este modelo clásico, que suele llamarse sistema de Lorenz, es:

dx/dt = 10(y − x)

dy/dt = xz + 28x − y

dz/dt = xy − (8/3)z.

Se ha analizado ampliamente desde su aparición en «Deterministic Nonperiodic Flow»; volumen técnico, lleno de autoridad, es el de Colin Sparrow, The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors (Springer-Verlag, 1982). 48 «Ed, sabemos» Malkus, Lorenz.

49 A nadie se le ocurrió La comunidad científica, mediada la década de 1960, citó alrededor de una vez al año «Deterministic Nonperiodic Flow»; dos decenios más tarde, las citas anuales ascienden a más de un centenar.

REVOLUCIÓN

51 El historiador de la ciencia Se ha analizado y debatido sobradamente cómo entendió Kuhn las revoluciones científicas durante los cinco lustros transcurridos desde que manifestó su parecer, más o menos en la época en que Lorenz programaba su modelo de ordenador del tiempo atmosférico. Sobre las opiniones de Kuhn me he basado ante todo en The Structure of Scientific Revolutions, 2 fl ed. ampliada (Chicago: University of Chicago Press, 1970), y de modo secundario en The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change (Chicago: University of Chicago, 1977); «What Are Scientific Revolutions?» (Ocassional Paper n.º 18, Center for Cognitive Science, Massachusetts Institute of Technology); y entrevista con Kuhn. Otro análisis útil e importante sobre la cuestión es I. Bernard Cohen, Revolution in Science (Cambridge, Mass.: Belknap Press, 1985).

51 «No conseguí entender» Structure, págs. 62-65, citando a J. S. Bruner y Leo Postman, «On the Perception of Incongruity: A Paradigm», Journal of Personality XVIII (1949), pág. 206.

52 Operaciones de limpieza Structure, pág. 24.

52 Los experimentalistas ejecutan Tension, pág. 229.

52 En la época de Benjamin Franklin Structure, págs. 13-15.

53 «En condiciones normales» Tension, pág. 234.

53 Un físico atómico Cvitanović.

54 Tolstoi Ford, entrevista y «Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable», en Chaotic Dynamics and Fractals, eds. M. F. Barnsley y S. G. Demko (Nueva York: Academic Press, 1985).

55 Palabras como éstas sonaron Pero Michael Berry observa que el OED (Oxford English Dictionary) admite «caología» (infrecuente), «la historia o descripción del caos». Berry, «The Unpredictable Bouncing Rotator: A Chaology Tutorial Machine», separata, H. H. Wills Physics Laboratory, Bristol.

55 «Es un masoquismo» Richter.

55 Estos resultados se manifiestan J. Crutchfield, M. Nauenberg y J. Rudnick, «Scaling for External Noise at the Onset of Chaos», Physical Review Letters 46 (1981), pág. 933.

55 El corazón del caos Alan Wolf, «Simplicity and Universality in the Transition to Chaos», Nature 305 (1983), pág. 182.

55-56 El caos presagia Joseph Ford, «What is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», separata, Georgia Institute of Technology, Atlanta.

56 Las revoluciones no se declaran «What Are Scientific Revolutions?», pág. 23.

56 «Es algo así como» Structure, pág. 111.

56 La rata de laboratorio Yorke y otros.

57 Aristóteles, al observar el péndulo «What Are Scientific Revolutions?», págs. 2-10.

57 «Si dos amigos se ponen» Galileo, Opere VIII:277. También VIII:129130.

59 «La medicina fisiológica y psiquiátrica» David Tritton, «Chaos in the swing of a pendulum», New Scientist, 24 de julio de 1986, pág. 37. Es un ensayo muy legible y de carácter no ético sobre las inferencias filosóficas que se extraen del caos pendular.

59 Es posible En realidad, cualquiera que empuje un columpio produce siempre un movimiento más o menos regular, debido, por lo visto, a que usa un mecanismo inconsciente de realimentación no lineal.

59 Pero, por extraño que parezca Entre los muchos análisis de las posibles complicaciones de un péndulo sencillo, puede utilizarse como buen sumario D. D’Humiéres, M. R. Beasley, B. A. Huberman y A. Libchaber, «Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum», Psysical Review A 26 (1982), págs. 3483-96.

60 «Bolas espaciales» Michael Berry investigó teórica y experimentalmente los comportamientos físicos de este juguete. En «The Unpredictable Bouncing Rotator» describe una porción de ellos sólo comprensibles desde el punto de vista de la dinámica caótica: «KAM tori, bifurcation of periodic orbits, Hamiltonian chaos, estable fixed points and strange attractors».

62 Un astrónomo francés Hénon.

62 Un ingeniero eléctrico japonés Ueda.

62 Un físico joven Fox.

62 Smale Smale, Yorke, Guckenheimer, Abraham, May, Feigenbaum; una exposición breve, y algo anecdótica, del pensamiento de Smale en este período es «On How I Got Started in Dynamical Systems», en Steve Smale, The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics (Nueva York: Springer-Verlag, 1980), págs. 147-51.

63 Lo ocurrido en Moscú Raymond H. Anderson, «Moscow Silences a Critical American», The New York Times, 27 de agosto de 1966, pág. 1; Smale, «On the Steps of Moscow University», The Mathematical Intelligencer 6:2, págs. 21-27.

63 De vuelta a California Smale.

65 Un colega le informó por carta El colega era N. Levinson. Se reunieron así varias orientaciones matemáticas, que se remontaban a Poincaré. Una era la obra de Birkhoff. En Inglaterra, Mary Lucy Cartwright y J. E. Littlewood examinaron los indicios descubiertos por Balthasar Van der Pol en los osciladores caóticos. Estos matemáticos tenían buen conocimiento de la posibilidad de que hubiera caos en los sistemas sencillos; pero Smale, como la mayor parte de los matemáticos formados tradicionalmente, ignoraba su labor. Fue necesaria la carta de Levinson para enterarle de ella.

66 Sólido y raro Smale; «On How I Got Started».

66 Nos referimos a un tubo de vacío Van der Pol describió su trabajo en Nature 120 (1927), págs. 363-64.

66 «A menudo se percibe en el teléfono» Ibíd.

69 Una versión simple La exposición matemática definitiva de Smale de este trabajo es «Differentiable Dynamical Systems», Bulletin of the American Mathematical Society 1967, págs. 747-817 (también en The Mathematics of Time, págs. 1-82).

69 El proceso remeda Riissler.

69 Pero lo suprimido resultó Yorke.

70 Era una edad de oro Guckenheimer, Abraham.

70 «Es el cambio paradigmático» Abraham.

70 Un modesto enigma cósmico Marcus, Ingersoll, Williams; Philip S. Marcus, «Coherent Vortical Features in a Turbulent Two-Dimensional Flow and the Great Red Spot of Jupiter», comunicación presentada en la 110.ª reunión de la Acoustical Society of America, Nashville, Tennessee, 5 de noviembre de 1985.

70 «La Mancha Roja alborotada» John Updike, «The Moons of Jupiter», en Facing Nature (Nueva York: Knopf, 1985), pág. 74.

72 El Voyager duplicó Ingersoll; también, Andrew P. Ingersoll, «Order from Chaos: The Atmospheres of Jupiter and Saturn», Planetary Report 4:3, págs. 8-11.

73 «Uno ve a gran escala» Marcus.

74 «¡Eh! ¿Qué es esta especie?» Marcus.

ALTIBAJOS DE LA VIDA

75 Pez famélico May Schaffer, Yorke, Guckenheimer. El célebre artículo en que May reseñó las lecciones del caos en la biología de la población se titula «Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics», Nature 261 (1976), págs. 459-67. También: «Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos», Science 186 (1974), págs. 645-47; y May y George F. Oster, «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models», The American Naturalist 110 (1976), págs. 573-99. Una excelente visión del desarrollo de los modelos matemáticos de las poblaciones, antes del caos, es Sharon E. Kingsland, Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology (Chicago: University of Chicago Press, 1985).

75 El mundo ofrece May y Jon Seger, «Ideas in Ecology: Yesterday and Tomorrow», separata, Princeton University, pág. 25.

76 Caricaturas de lo real May y George F. Oster, «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models», The American Naturalist 110 (1976), pág. 573.

80 En la década de 1950 May.

81 Los libros de consulta J. Maynard Smith, Mathematical Ideas in Biology (Cambridge: Cambridge University Press, 1968), pág. 18; Harvey J. Gold, Mathematical Modeling of Biological Systems.

81 Escondida en algún rincón May.

82 Su informe sobre cómo Gonorrhea Transmission Dynamics and Control, Herbert W. Hethcote and James A. Yorke (Berlín: Springer-Verlag, 1984).

82 El método de limitar con cupos Con simulaciones de ordenador, Yorke averiguó que el método obligaba a los conductores a visitar la gasolinera con mayor frecuencia y a tener siempre lleno el depósito; de tal suerte, se acrecentaba la cantidad de gasolina que permanecía sin consumo en los automóviles del país en cualquier momento.

82 Analizó la sombra que proyectaba Los registros de los aeropuertos probaron más tarde que York había acertado.

82-83 El artículo de Lorenz Yorke.

83 «Los miembros de la facultad» Murray Gell-Mann, «The Concept of the Institute», en Emerging Synthesis in Science, actas de los talleres del Santa Fe Institute (Santa Fe: The Santa Fe Institute, 1985), pág. 11.

84 Entregó una copia Yorke, Smale.

85 «Si se puede escribir» Yorke.

85 Hasta qué extremo la naturaleza no lineal Un ensayo comprensible sobre la linealidad, la no linealidad y el uso histórico de los ordenadores para entender la diferencia, se tiene en David Campbell, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer y Erica Jen, «Experimental Mathematics: The Role of Computation in Nonlinear Science», Communications of the Association for Computing Machinery 28 (1985), págs. 374-84.

85 «La Biblia no dice» Fermi, citado en S. M. Ulam, Adventures of a Mathematician (Nueva York: Scribners, 1976). Ulam describe asimismo el origen de otra importante orientación en la comprensión de la no linealidad: el teorema de Fermi-Pasta-Ulam. Buscando problemas que pudieran calcularse con el nuevo ordenador MANIAC de Los Álamos, los científicos recurrieron a un sistema dinámico que era sólo una cuerda vibrante, modelo sencillo que «tenía, además, un pequeño término no lineal físicamente correcto». Hallaron pautas que se fundían en inesperada periodicidad. Como Ulam lo refiere: «Los resultados fueron por completo distintos cualitativamente de lo que incluso Fermi, con su gran sabiduría en movimientos ondulados, había esperado… Con gran sorpresa nuestra, la cuerda se puso a jugar a una partida de sillas que se eliminan al son de la música…». Fermi no dio importancia al fenómeno, y los resultados no tuvieron mucha publicidad, aunque unos pocos matemáticos y físicos los siguieron, y se convirtieron en parte especial de la leyenda de Los Álamos. Adventures, págs. 226-28.

85 «Animales no elefantes» Pasaje citado en «Experimental Mathematics», pág. 374.

85 «El primer mensaje» Yorke.

86 El artículo sobresalió Escrito en colaboración con el estudiante TienYien Li. «Period Three Implies Chaos», American Mathematical Monthly 82 (1975), págs. 985-92.

86 May había llegado a la biología May.

87 «¿Qué diablos sucede?» May. Fue esta pregunta, en apariencia sin respuesta, la que le llevó de los métodos analíticos a la experimentación numérica, en busca, por lo menos, de intuición.

91 Bien que fuera detonante Yorke.

91 A. N. Sarkovski «Coexistencia de ciclos de un diagrama continuo de una sola línea en sí mismo», Ukrainian Mathematics Journal 16 (1964), pág. 61.

94 Los matemáticos y físicos soviéticos Sinai, confidencia personal, 8 de diciembre de 1986.

94 Algunos expertos occidentales en el caos Por ejemplo, Feigenbaum, Cvitanović.

95 Para calar en el sistema Hoppensteadt, May.

95 El pasmo de aquel momento Hoppensteadt.

96 Dentro de la ecología May.

97 Epidemias de sarampión en Nueva York William M. Schaffer y Mark Kot, «Nearly One-Dimensional Dynamics in an Epidemic», Journal of Theoretical Biology 112 (1985), págs. 403-27; Schaffer, «Stretching and Foldin in Lynx Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature», The American Naturalist 124 (1984), págs. 798-820.

98 El mundo mejoraría «Simple Mathematical Models», pág. 467.

98 «La intuición matemática» Ibíd.

UNA GEOMETRÍA DE LA NATURALEZA

99 Una imagen de la realidad Mandelbrot, Gomory, Voss, Barnsley, Richter, Mumford, Hubbard, Shlesinger. El texto básico de Benoît Mandelbrot es The Fractal Geometry of Nature (Nueva York: Freeman, 1977). Una entrevista efectuada por Anthony Barcelos aparece en Mathematical People, eds. Donald J. Albers y G. L. Alexanderson (Boston: Birkhäuser, 1985). Dos ensayos de Mandelbrot menos conocidos y sumamente interesantes son «On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised», Proceedings of the International Congres of Mathematicians, 16-24 de agosto de 1983, Varsovia, págs. 1661-75; y «Towards a Second Stage of Indeterminism in Science», separata, IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, Nueva York. Las reseñas sobre la aplicación de los fractales se han hecho tan comunes, que sería prolijo citarlas; dos ejemplos útiles son Leonard M. Sander, «Fractal Growth Processes», Nature 322 (1986), págs. 789-93; y Richard Voss, «Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music», en Science and Uncertainty, ed. Sara Nash (Londres: IBM United Kingdom, 1985).

99 Sucedió en la pizarra de gabinete de trabajo Houthakker, Mandelbrot.

100 Wassily Leontief Citado en Fractal Geometry, pág. 423.

103 En el prólogo de una conferencia Woods Hole Oceanographic Institute, agosto de 1985.

103 Nació en Varsovia Mandelbrot.

105 Bourbaki Mandelbrot, Richter. Poco se ha escrito sobre Bourbaki, incluso a estas alturas. Una introducción juguetona es Paul R. Halmos, «Nicholas Bourbaki», Scientific American 196 (1957), págs. 88-89.

106 Las matemáticas habían de ser algo aparte Smale.

106 Su ciencia está sometida Peitgen.

107 Pionero por necesidad «Second Stage», pág. 5.

109 Esta descripción tan abstracta Mandelbrot; Fractal Geometry, pág. 74; J. M. Berger y Benoît Mandelbrot, «A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits», IBM Journal of Research and Development 7 (1963), págs. 224-36.

109 El efecto de José Fractal Geometry, pág. 248.

111 Las nubes no son esferas Ibíd., pág. 1, por ejemplo.

112 Intrigado por las líneas costeras Ibíd., pág. 27.

114 El procedimiento de abstracción Ibíd., pág. 17.

114 «La noción» Ibíd., pág. 18.

115 En una tarde invernal Mandelbrot.

117 La torre Eiffel Fractal Geometry, pág. 131, y «On Fractal Geometry», pág. 1663.

119 Técnicas de matemáticos F. Hausdorff y A. S. Besicovich.

120 «Había un ancho hiato» Mandelbrot.

121 En el nordeste Scholz; C. H. Scholz y C. A. Aviles, «The Fractal Geometry of Faults and Faulting», separata, Lamont-Doherty Geophysical Observatory; C. H. Scholz, «Scaling Laws for Large Earthquakes», Bulletin of the Seismological Society of America 72 (1982), págs. 1-14.

122 «Manifiesto» Fractal Geometry, pág. 24.

122 «No era un libro práctico» Scholz. 124 «Es un modelo único» Scholz.

127 «En la transición gradual» William Bloom y Don W. Fawcett, A Textbook of Histology (Filadelfia: W. B. Saunders, 1975).

127 Varios biólogos teóricos Hay una reseña de estas ideas en Ary L. Goldberger, «Nonlinear Dynamics, Fractals, Cardiac Physiology, and Sudden Death», en Temporal Disorder in Human Oscillatory Systems, eds. L. Resings, U. An der Heiden, M. Mackey (Nueva York: Springer-Verlag, 1987).

127 La red de fibras especiales Goldberger, West.

127-128 Varios cardiólogos que simpatizaban con el caos Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava, Bruce J. West y Arnold J. Mandell, «On a Mechanism of Cardiac Electrical Stability: The Fractal Hypothesis», Biophysics journal 48 (1985), pág. 525.

128 E. I. Dupont de Nemours Barnaby J. Feder, «The Army May Have Matched the Goose», The New York Times, 30 de noviembre de 1986, 4: 16.

128 «Me puse a buscar» Mandelbrot.

129 Su nombre apareció I. Bernard Cohen, Revolution in Science (Cambridge, Mass.: Belknap, 1985), pág. 46.

130 «Ciertamente, es algo» Mumford.

130 «Tuvo que vencer tantas dificultades» Richter.

130 No podían evitar De la misma manera que, más tarde, evitó reconocer el mérito concedido rutinariamente a Mitchell Feigenbaum, en referencias a los números y universalidad de tal científico. En vez de hacerlo, Mandelbrot solía mencionar a P. J. Myrberg, matemático que había estudiado, de modo oscuro, en los primeros años sesenta, las iteraciones de los mapas cuadráticos.

131 «Mandelbrot no tuvo los pensamientos» Richter.

131 «La política afectaba» Mandelbrot.

132 Los grandes centros investigadores de la Exxon Klafter.

133 Un matemático contó a sus amigos Relatado por Huberman.

135 «¿Por qué se declara?» «Freedom, Science, and Aestetics», en Schönheit im Chaos, pág. 35.

136 «Aquel período no simpatizó» John Fowles, A Maggot (Boston: Little, Brown, 1985), pág. 11.

137 «Tenemos que agradecer a los astrónomos» Rober H. G. Helleman, «Self-Generated Behavior in Nonlinear Mechanics», en Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5, ed. E. G. D. Cohen (Ámsterdam: North-Holland, 1980), pág. 165.

137 Pero los físicos anhelaron Leo Kadanoff, por ejemplo, preguntó «Where is the physics of fractals?», en Physics Today, febrero de 1986, pág. 6, y contestó la pregunta con un nuevo planteamiento «multifractal» en Physics Today, abril de 1986, pág. 17, que provocó una réplica, enojada, como era de esperar, de Mandelbrot, en Physics Today, septiembre de 1986, pág. 11. La teoría de Kadanoff, escribió, «me llena del orgullo de un padre… ¿Será pronto el de un abuelo?».

ATRACTORES EXTRAÑOS

139 Todos los grandes físicos Ruelle, Hénon, Rössler, Sinai, Feigenbaum, Mandelbrot, Ford, Kraichnan. Existen muchas perspectivas del contexto histórico de los atractores extraños, en cuanto a la turbulencia. Hay una introducción excelente en John Miles, «Strange Attractors in Fluid Dynamics», en Advances in Applied Mechanics 24 (1984), págs. 189-214. El artículo más accesible de Ruelle es «Strange Attractors», Mathematical Intelligencer 2 (1980), págs. 126-37; su proposición catalizadora fue David Ruelle y Floris Takens, «On the nature of Turbulence», Communications in Mathematical Physics 20 (1971), págs. 167-92; entre sus artículos esenciales figuran «Turbulent Dynamical Systems», Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 16-24 de agosto de 1983, Varsovia, págs. 271-86; «Five Turbulent Problems», Physica 7D (1983), págs. 40-44; y «The Lorenz Attractor and the Problem of Turbulence», en Lecture Notes in Mathematics No. 565 (Berlín: Springer-Verlag, 1976), págs. 14658.

139 Se cuenta sobre Hay muchas versiones de la anécdota. Orszag cita cuatro sustitutos de Heisenberg —Von Neumann, Lamb, Sommerfeld y Von Karman—, y agrega: «Imagino que, si Dios contestase a esas cuatro personas, la respuesta sería distinta en cada caso».

141 Este supuesto Ruelle; también «Turbulent Dynamical Systems», pág. 281.

142 Cuya obra sobre la mecánica de los fluidos L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Oxford: Pergamon, 1959).

142 El oscilatorio, la varicosis sesgada Malkus.

144 «Es verdad» Swinney.

148 Swinney daba clases en 1973 Swinney, Gollub.

148 «Tenía la apariencia de improvisación endeble» Dyson.

149 «Lo leímos» Swinney.

149 Comenzaron a comunicar sus resultados Swinney, Gollub.

149 «Allí teníamos la transición» Swinney.

150 El experimento no confirmaba la teoría J. P. Gollub y H. L. Swinney, «Onset of Turbulence in a Rotating Fluid», Physical Review Letters 35 (1975), pág. 927. Los primeros experimentos sólo dieron entrada al reconocimiento de los complejos comportamientos espaciales que podían ocurrir, variando los escasos parámetros del fluido entre los cilindros giratorios. En los años siguientes, se identificaron pautas que iban de «onditas en forma de sacacorchos» a «corrientes onduladas hacia el interior y el exterior» y «espirales interpenetrantes». Se tiene un sumario en C. David Andereck, S. S. Liu y Harry L. Swinney, «Flow Regimes in a Circular Couette System with Independently Rotating Cylinders», Journal of Fluid Mechanics 164 (1986), págs. 155-83.

150 David Ruelle decía Ruelle.

151 «La gente no especializada siempre descubre» Ruelle.

152 Escribió en el instituto un artículo «On the Nature of Turbulence».

152 Las opiniones al respecto variaban Descubrieron en seguida que algunas de sus ideas habían aparecido ya en la bibliografía rusa; «Por otra parte, la interpretación matemática que ofrecemos de la turbulencia es de nuestra propia responsabilidad», escribieron. «Note Concerning Our Paper “On the Nature of Turbulence”», Communications in Mathematical Physics 23 (1971), págs. 343-44.

152 Psicoanalíticamente «sugestiva» Ruelle.

152 «¿Acaso se pregunta a Dios?» «Strange Attractors», pág. 131.

152 «Takens visitaba» Ruelle.

155 Algunos matemáticos de California Ralph H. Abraham y Christopher D. Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior (Santa Cruz: Aerial, 1984).

157 «Siempre me preocupa» Richard P. Feynman, The Character of Physical Law (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1967), pág. 57.

157 David Ruelle conjeturó Ruelle.

158 «La reacción del estamento científico» «Turbulent Dynamical Systems», pág. 275.

159 Edward Lorenz había adjuntado «Deterministic Nonperiodic Flow», pág. 137.

159 «Se hace muy cuesta arriba conciliar» Ibíd., pág. 140.

160 Le visitó una vez Ruelle.

160 «No se forme un concepto ególatra» Ueda expone sus primeros descubrimientos, desde el punto de vista de los circuitos eléctricos, en «Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing’s Equation», en International Journal of Non-Linear Mechanics 20 (1985), págs. 481-91. Proporciona en un epílogo una explicación personal de sus motivos y de la fría acogida de sus colegas. También, Stewart, informe personal.

161 «Una salchicha dentro de una salchicha» Rössler.

162 El más revelador de los atractores extraños Hénon; informó de su invención en «A Two-Dimensional Mapping with a Strange Attractor», en Communications in Mathematical Physics 50 (1976), págs. 69-77, y Michel Hénon e Yves Pomeau, «Two Strange Attractors with a Simple Structure», en Turbulence and the Navier-Stokes Equations, ed. R. Teman (Nueva York: Springer-Verlag, 1977).

165 ¿Es estable el solar? Wisdom.

166 «Para disfrutar de mayor libertad» Michel Hénon y Carl Heiles, «The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments», Astronomical Journal 69 (1964), pág. 73.

167 En el observatorio Hénon.

167 «Yo estaba convencido» Hénon.

167 «Aquí viene la sorpresa» «The Applicability», pág. 76.

169 «Pero el tratamiento matemático» Ibíd., pág. 79.

169 Un físico invitado Yves Pomeau.

169 «En ocasiones los astrónomos temen» Hénon.

172 Otros acopiaron millones de noticias Ramsey.

173 «No he hablado de la fascinación» «Strange Attractors», pág. 137.

UNIVERSALIDAD

175 «Uno se fija en algo» Feigenbaum. Los artículos más importantes de Feigenbaum sobre la universalidad son «Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations», Journal of Statistical Physics 19 (1978), págs. 25-52, y «The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations», Journal of Statistical Physics 21 (1979), págs. 669-706; una representación algo más accesible, aunque requiera manejo matemático, es «Universal Behavior in Nonlinear Systems», Los Alamos Science 1 (estío de 1981), págs. 4-27. También me he apoyado en sus recuerdos inéditos, «The Discovery of Universality in Period Doubling».

175 Cuando llegó al Los Alamos Feigenbaum, Carruthers, Cvitanović, Campbell, Farmer, Visscher, Kerrr, Hasslacher, Jen.

176 «Si se establece un comité» Carruthers.

177 El misterio del universo Feigenbaum.

178 A veces un asesor Carruthers.

179 Tal como Kadanoff consideró Kadanoff.

181 «El movimiento incesante» Gustav Mahler, carta a Max Marschalk.

182 «Cuando la luz se cierne» Zür Farbenlehre, de Goethe, ha tenido varias ediciones. He consultado Goethe’s Color Theory, obra bellamente ilustrada, que editó Herb Aach (Nueva York: Van Nostrand Reinhold, 1970); más fácil de consultar es Theory of Colors (Cambridge, Mass.: The MIT Press, 1970), con excelente introducción de Deane B. Judd.

186 Aquella ecuación de aire inocente En un momento dado, Ulam y Von Neumann usaron sus propiedades caóticas para resolver el problema de generar números al azar con un ordenador digital finito.

186 Metropolis, Stein y Stein Ese artículo —único camino que lleva a Stanislaw Ulam y John von Neumann a James Yorke y Mitchell Feigenbaum— es «On Finit Limit Sets for Transformations on the Unit Interval», Journal of Combinatorial Theory 15 (1973), págs. 25-44.

186 ¿Existe un clima? «The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations», Tellus 16 (1964), págs. 1-11.

188 Clima de la Tierra Blanca Manabe.

189 No sabía nada de Lorenz Feigenbaum.

191 Robert May recordó más tarde May.

191 Las mismas combinaciones de D e I «On Finite Limit Sets», págs. 30-31. Indicación trascendental: «El hecho de que estas pautas… sean propiedad común de cuatro transformaciones, en apariencia independientes…, propone que la secuencia de las pautas es atributo general de una amplia clase de representaciones gráficas o mapas. Por esa razón la hemos llamado secuencia U, en que U quiere decir (con alguna exageración) “universal”». Los matemáticos jamás sospecharon que la universalidad incluiría los números verdaderos; confeccionaron una tabla de 84 valores de parámetro, cada uno con siete decimales, sin observar las relaciones geométricas que disimulaban.

193 «Toda la tradición de la física» Feigenbaum.

199 Sus amigos sospechaban Cvitanović.

199 De repente se «veía» Ford.

199 Premios y honores La beca MacArthur; el Premio Wolf de Física de 1986.

202 La «feigenbaumología» Dyson.

202 «Fue un descubrimiento muy feliz» Gilmore. 202 En el ínterin Cvitanović.

203 Oscar E. Lanford III Incluso entonces la prueba pecaba de heterodoxa, pues dependían de una cantidad ingente de cálculos, de suerte que no podía efectuarse, ni comprobarse, sin el auxilio de un ordenador. Lanford; Oscar E. Lanford, «A Computer-Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures», Bulletin of the American Mathematical Society 6 (1982), pág. 427; también, P. Collet, J. P. Eckmann y O. E. Lanford, «Universal Properties of Maps on an Interval», Communications in Mathematical Physics 81 (1980), pág. 211.

203 «Caballero, ¿nos ofrecerá?» Feigenbaum, «The Discovery of Universality», pág. 17.

203 En el estío de 1977 Ford, Feigenbaum, Lebowitz.

203 «Mitch había visto la universalidad» Ford.

204 «Algo dramático sucedió» Feigenbaum.

EL EXPERIMENTADOR

207 «Albert está madurando» Libchaber, Kadanoff.

207 Sobrevivió Libchaber.

208 «Helio en una cajita» Albert Libchaber, «Experimental Study of Hydrodynamic Instabilities. Rayleigh-Bénard Experiment: Helium in a Small Box», en Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities, ed. T. Riste (Nueva York: Plenum, 1982), pág. 259.

209 El laboratorio ocupaba Libchaber, Feigenbaum.

211 «La ciencia se edifició» Libchaber.

212 «¡Claro que se sabe que es así!» Libchaber.

212 «El río manchado» Wallace Stevens, «This Solitude of Cataracts», The Palm at the End of the Mind, ed. Holly Stevens (Nueva York: Vintage, 1972), pág. 321.

213 «Ondulación asólida de lo sólido» «Reality Is an Activity of the Most August Imagination», Ibíd., pág. 396.

214 «Crea riberas» Theodor Schwenk, Sensitive Chaos (Nueva York: Schocken, 1976), pág. 19.

214 «Principio arquetípico» Ibíd.

217 Las desigualdades Ibíd., pág. 39.

217 «Pudiera ser» D’Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, ed. J. T. Bonner (Cambridge: Cambridge University Press, 1961), pág. 8.

217 «Más allá de toda comparación» Ibíd., pág. viii.

218 «Escasean los que se han preguntado» Stephen Jay Gould, Hen’s Teeth and Horse’s Toes (Nueva York: Norton, 1983), pág. 369.

219 «Arraigados ritmos del crecimiento» On Growth and Form, pág. 267.

219 «La interpretación, en términos de fuerza» Ibíd., pág. 114.

221 Fue algo tan sensible Campbell.

222 «Era física clásica» Libchaber.

223 Sin embargo, una frecuencia distinta Libchaber y Maurer, 1980 y 1981. También proporciona un sumario lúcido la introducción de Cvitanović.

225 «La idea de que el movimiento» Hohenberg.

226 Se encontraron rodeados de las partes diseminadas Feigenbaum, Libchaber.

226 «Había que considerarlo» Gollub.

226 Un amplio bestiario de experimentos La bibliografía es asimismo amplia. Un sumario de la fusión inicial de la teoría con el experimento, en una variedad de sistemas, se tiene en Harry L. Swinney, «Observations of Orden and Chaos in Nonlinear Systems», Physica 7D (1983), págs. 3-15. Swinney proporciona una lista de referencias, divididas en categorías, desde osciladores electrónicos y químicos hasta experimentos de género más esotérico.

227 Para muchos fue más convincente Valter Franceschini y Claudio Tebaldi, «Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a FiveMode Truncation on the Navier-Stokes Equations», Journal of Statistical Physics 25 (1981), pág. 1. 228 «Un físico me preguntará» Libchaber.

IMÁGENES DEL CAOS

231 Michael Barnsley conoció Barnsley.

232 «Ruelle me lo devolvió» Barnsley.

233 John Hubbard, matemático estadounidense Hubbard; también Adrien Douady, «Julia Sets and the Mandelbrot Set», págs. 161-73. El texto principal de The Beauty of Fractals proporciona asimismo un sumario matemático del método de Newton, lo mismo que de los campos coincidentes de la dinámica compleja tratada en este capítulo.

233 «Ahora bien, en lo referente a las ecuaciones» «Julia Sets and the Mandelbrot Set», pág. 170.

234 Estaba persuadido Hubbard.

236 Jamás se formó del todo un límite Hubbard; The Beauty of Fractals; Peter H. Richter y Heinz-Otto Peitgen, «Morphology of Complex Boundaries», Bunsen-Gesellschaft für Physikalische Chemie 89 (1985), págs. 575-88.

237 El conjunto de Mandelbrot Se tiene una introducción amena, con instrucciones para componer personalmente un programa de microordenador, en A. K. Dewdney, «Computer Recreations», Scientific American (julio de 1985), págs. 16-32. Peitgen y Richter ofrecen, en The Beauty of Fractals, una detallada exposición matemática y algunas de las imágenes más espectaculares que existen.

238 «Se obtiene una variedad increíble» «Julia Sets and the Mandelbrot Set», pág. 161.

238 Mandelbrot descubrió, en 1979 Mandelbrot, Laff, Hubbard. Mandelbrot relata el hecho en primera persona en «Fractals and the Rebirth of Iteration Theory», en The Beauty of Fractals, págs. 151-60.

239 Mientras procuraba refinar Mandelbrot; The Beauty of Fractals.

244 No hay en ellos dos partes «juntas» Hubbard.

245 «Era una concepción de líneas rectas» Peitgen.

246 En Cornell, mientras tanto Hubbard.

246 Richter había llegado a los sistemas Richter.

247 «En un área de nuevo cuño como ésta» Peitgen.

247 «El rigor es el alma» Peitgen.

250 Cada cuenca tiene un límite Yorke; buena introducción, para quien tenga aficiones técnicas, es Steven W. MacDonald, Celso Grebogi, Edward Ott y James A. Yorke, «Fractal Basin Boundaries», Physica 17D (1985), págs. 125-83.

250 Un billar romano imaginario Yorke.

252 «Nadie podrá acusarme» Yorke, comentarios en la Conference on Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine, National Institutes of Health, Bethesda, Maryland, 10 de abril de 1986.

252 Más de las tres cuartas partes Yorke.

252 La frontera entre la calma y la catástrofe De modo semejante, en un texto de presentación del caos a los ingenieros, H. Bruce Stewart y J. M. Thompson avisaron: «Aletargado por una falsa sensación de seguridad, nacida de su familiaridad con la respuesta única de un sistema lineal, el analista o experimentador atareado grita “¡Eureka! He aquí la solución”, una vez que la simulación presenta un equilibrio de ciclo estable, sin molestarse en explorar con paciencia el resultado de diferentes condiciones iniciales. Para evitar errores y desastres, potencialmente dañinos, los diseñadores industriales han de apercibirse a destinar mayor esfuerzo a reconocer todo el ámbito de las respuestas dinámicas de sus sistemas». Nonlinear Dynamics and Chaos (Chiches-ter: Wiley, 1986), pág. xiii.

253 «Debiéramos creer» The Beauty of Fractals, pág. 136.

253 Cuando se refirió a ella por escrito Por ejemplo, «Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals», Proceedings of the Royal Society of London A 399 (1985), págs. 243-75.

255 «Si la imagen es complicada» Barnsley.

256 «No existe azar» Hubbard.

256 «La casualidad es un trampantojo» Barnsley.

EL COLECTIVO DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS

259 Santa Cruz Farmer, Shaw, Crutchfield, Packard, Burke, Nauenberg, Abrahams, Gucuenheimer. Lo esencial de Robert Shaw, en la aplicación de la teoría de la información al caos, es The Dripping Faucet as a Model Chaotic System (Santa Cruz: Aerial, 1984) en compañía de «Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Theory», Zeitschrift für Naturforschung 36a (1981), pág. 80. Una narración de las aventuras con la ruleta de algunos de los estudiantes de Santa Cruz, que retrata muy bien el ambiente de aquellos años, es Thomas Bass, The Eudemonic Pie (Boston: Houghton Mifflin, 1985).

260 Ignoraba por qué había ido Shaw.

260 William Burke, cosmólogo Burke, Spiegel.

261 «Arritmias cósmicas» Edward A. Spiegel, «Cosmic Arrhythmias», en Chaos in Astrophysics, eds. J. R. Buchler y otros (Nueva York: D. Reidel, 1985), págs. 91-135.

261 Los proyectos originales Farmer, Crutchfield.

262 Con distintas combinaciones de circuitos Shaw, Crutchfield, Burke.

263 Minutos después, Shaw supo Shaw.

263 «Cuanto hay que hacer» Abraham.

264 Doyne Farmer Farmer es el protagonista, y Packard su segundón, en The Eudemonic Pie, historia del proyecto de la ruleta, escrita por un antiguo componente del grupo.

265 La física de Santa Cruz Burker, Farmer, Crutchfield.

266 Era un «manitas» Shaw.

269 Había decidido Ford.

269 Juzgaron que podían hacerse Shaw, Farmer.

272 Teoría de la información El texto clásico, muy legible, es Claude E. Shannon y Warren Weaver, The Mathematical Theory of Communication (Urbana: University of Illinois, 1963), con una útil introducción de Weaver.

274 «Cuando encuentra el concepto» Ibíd., pág. 13.

275 Norman Packard, mientras leía Packard.

276 En el mes de diciembre de 1977 Shaw.

278 A. N. Kolmogorov y Yasha Sinai Sinai, entrevista privada.

279 «En el pináculo» Packard.

280 «Nada se ve» Shaw.

280 «Sirve de ejemplo sencillo» Shaw.

280 Los sistemas que el grupo de Santa Cruz Farmer; un medio de estudiar con uno dinámico el sistema inmunológico, simulando la capacidad del cuerpo humano para «recordar» y reconocer las pautas de manera creativa, se delinea en J. Doyne Farmer, Norman H. Packard y Alan S. Perelson, «The Inmune System, Adaptation, and Machine Learning», separata, Los Alamos National Laboratory, 1986.

281 Variable importante The Dripping Faucet, pág. 4.

281 «Una obra maestra del arte» Ibíd.

282 Un «seudocoloquio» Crutchfield.

283 «Da la casualidad de que» Shaw.

284 «Cuando se piensa en una variable» Farmer.

284 Reconstruir el espacio de fases Estos métodos, que llegaron a ser el principal soporte de la técnica experimental en muchas disciplinas, fueron refinados y ampliados por los investigadores de Santa Cruz y otros experimentadores y teóricos. Una de las propuestas esenciales de Santa Cruz se debió a Norman H. Packard, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer y Robert S. Shaw —la nómina canónica—, «Geometry from a Time Series», Physical Review Letters 47 (1980), pág. 712. El artículo más influyente sobre la materia, obra de Floris Takens, fue «Detecting Strange Attractor in Turbulence», Lecture Notes in Mathematics 898, eds. D. A. Rand y L. S. Young (Berlín: Springer-Verlag, 1981), pág. 336. Una revisión anterior, bastante amplia, de las técnicas de reconstrucción de imágenes del espacio de fases es Harold Froehling, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard y Robert S. Shaw, «On Determining the Dimension of Chaotic Flows», Physica 3D (1981), págs. 605-17.

285 ¡Dios mío! Aún hacemos esto Crutchfield.

285 Algunos profesores negaron Por ejemplo, Nauenberg.

285 «No tuvimos consejero» Shaw.

286 Interesaban más al colectivo los sistemas reales Ello no quiere decir que los estudiantes ignorasen los diagramas y gráficos. Crutchfield, inspirado por la obra de May, invirtió mucho tiempo en 1978 en hacer diagramas, y por ello se le prohibió que se acercase a la mesa trazadora del centro de ordenadores: se habían destruido demasiadas plumillas en la operación de marcar millares de puntos.

286 Lanford escuchó con amabilidad Farmer.

286 «Tuvo la culpa de mi ingenuidad» Farmer.

287 «Las ayudas audiovisuales» Shaw.

288 Hubo un día en que Bernardo Huberman Crutchfield, Huberman.

288 «Todo era muy vago» Huberman.

288 El primer artículo Bernardo A. Huberman y James P. Crutchfield, «Chaotic States of Anharmonic Systems in Periodic Fields», Physical Review Letters 43 (1979), pág. 1743.

289 Farmer se encolerizó Crutchfield.

289 Los climatólogos Todavía se mantiene vivo el debate, por ejemplo, en Nature.

289 Los economistas, que analizaban los datos bursátiles Ramsey.

289 La dimensión fractal, la de Hausdorff J. Doyne Farmer, Edward Ott y James A. Yorke, «The Dimension of Chaotic Attractors», Physica 7D (1983), págs. 153-80.

289 «El primer nivel de conocimiento» Ibíd., pág. 154.

RITMOS INTERNOS

291 Bernardo Huberman miró Huberman, Mandell (entrevistas y observaciones en la Conference on Perspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine, Bethesda, Maryland, 11 de abril de 1986). También, Bernardo A. Huberman, «A Model for Disfunctions in Smooth Porsuit Eye Movement», separata, Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California.

295 «Hay tres cosas» Abraham. La introducción básica a la hipótesis de Gaia —imaginativa visión dinámica de cómo los sistemas complejos de la Tierra se autorregulan, algo dada de lado por su deliberado antropomorfismo— es J. E. Lovelock, Gaia: A New Look at Life on Earth (Oxford: Oxford University Press, 1979).

296 Los investigadores, reconociendo cada vez más He aquí una selección algo arbitraria de referencias sobre temas fisiológicos (todas tienen citas útiles): Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava y Bruce J. West, «Nonlinear Dynamics of the Heartbeat», Physica 17D (1985), páginas 207-14. Michael C. Mackay y Leon Glass, «Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems», Science 197 (1977), pág. 287. Mitchell Lewis y D. C. Rees, «Fractal Surfaces of Proteins», Science (1985), págs. 116365. Ary L. Goldberger y otros, «Nonlinear Dynamics in Heart Failure: Implications of Long Wavelenght Cardiopulmonary Oscillations», American Heart Journal 107 (1984), págs. 612-15. Teresa Ree Chay y John Rinzel, «Bursting, Beating, and Chaos in Excitable Membrane Model», Biophysical Journal 47 (1985), páginas 357-66. Una colección muy amplia y útil de otros artículos análogos es Chaos, ed. Arun V. Holden (Manchester: Manchester University Press, 1986).

297 «Sistema dinámico de interés trascendental» Ruelle, «Strange Attractors», pág. 48.

298 «Los médicos lo reducen a un problema» Glass.

298 «Estamos ante una frontera nueva» Goldberger.

299 Los matemáticos del Courant Institute Peskin; David M. McQueen y Charles S. Peskin, «Computer-Assisted Design of Pivoting Disc Prosthetic Mitral Valves», Journal of Thoracic and Cardiovascular Surgery 86 (1983), págs. 126-35.

300 El paciente de corazón aparentemente sano Cohen.

301 «La tarea de decidir» Winfree.

302 Aportó decidida noción geométrica Winfree expone su visión del tiempo geométrico en los sistemas biológicos en un libro provocativo y bello, When Time Breaks Down: The Three-Dimensional, Dynamics of Electrochemical Waves and Cardiac Arrhythmias (Princeton: Princeton University Press, 1987); artículo en que se reseñan las aplicaciones de los ritmos cardíacos de Arthur T. Winfree, «Sudden Cardiac Death: A Problem in Topology», Scientific American 248 (mayo de 1983), pág. 114.

302 «Tenía la cabeza llena» Winfree.

303 «Se va a un mosquito» Winfree.

304 Informó que se sentía en el mejor de los mundos Strogatz; Charles A. Czeisler y otros, «Bright Light Resets the Human Circadian Pacemaker Independent of the Timing of the Sleep-Wake Cycle», Science 233 (1986), págs. 667-70. Steven Strogatz, «A Comparative Analysis of Models of the Human Sleep-Wake Cycle», separata, Harvard University, Cambridge, Massachusetts.

304 El corazón le atrajo Winfree.

304 «Mines decidió» «Sudden Cardiac Death».

306 Sin embargo, lograrlo pide Ideker.

306 «El equivalente cardíaco» Winfree.

306 La intención inmediata de Ideker Ideker.

307 Emplearon diminutos agregados Glass.

307 «El comportamiento dinámico extraño» Michael R. Guevara, Leon Glass y Alvin Schrier, «Phase Locking, Period-Doubling Bifurcations, and Irregular Dynamics in Periodically Stimulated Cardiac Cells», Science 214 (1981), pág. 1350.

308 «Muchos ritmos distintos» Glass,

308 «Es ejemplo evidente» Cohen.

308 «Se han efectuado esas fantásticas» Glass.

309 «Los objetos dinámicos suelen ser» Winfree.

310 «Sistemas que por lo general oscilan» Leon Glass y Michael C. Mackay, «Pathological Conditions Resulting from Instabilities in Physiological Control Systems», Annals of the New York Academy of Sciences 319 (1979), pág. 214.

311 «Los procesos fractales» Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava, Bruce J. West y Arnold J. Mandell, «Some Observations on the Question: Is Ventricular Fibrillation “Chaos”», separata.

311 «¿Será posible?» Mandell.

316 «Se llega al equilibrio con la muerte» Mandell.

316 Mandell ofreció a sus colegas Arnold J. Mandell, «From Molecular Biological Simplification to More Realistic Central Nervous System Dynamics: An Opinion», en Psychiatry: Psychobiological Foundations of Clinical Psychiatry 3:2, eds. J. 0. Cavenar y otros (Nueva York: Lippincott, 1985).

316 «El paradigma subyacente» Ibíd.

317 La dinámica de sistemas Huberman.

317 Tales modelos parecían tener Bernardo A. Huberman y Tad Hogg, «Phase Transitions in Artificial Intelligence Systems», separata, Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California, 1986. También, Tad Hogg y Bernardo A. Huberman, «Understanding Biological Computation: Reliable Learning and Recognition», Proceedings of the National Academy of Sciences 81 (1984), págs. 6871-75.

317 «Asombroso don de concentrar», Erwin Schrödinger, What Is Life? (Cambridge: Cambridge University Press, 1967), pág. 82.

317 «Hasta ahora hemos tratado en física» Ibíd., pág. 5.

EL CAOS Y ALLENDE

321 «¿Qué pasó cuando dije aquello?» Ford.

321 «Se rehace todo lo de Feigenbaum» Fox.

322 En cuanto al nombre y la definición (Holmes) SIAM Review 28 (1986), pág. 107; (Hao) Chaos (Singapur: World Scientific, 1984), pág. i; (Stewart) «The Geometry of Chaos», en The Unity of Science, Brookhaven Lecture Series, n.º 209 (1984), pág. 1; (Jensen) «Classical Chaos», American Scientist (abril de 1987); (Crutchfield) conversación privada; (Ford) «Book Reviews», International Journal of Theoretical Physics 25 (1986), n.º 1.

323 A su juicio, el mensaje imperioso Hubbard.

323 Era nombre insuficiente por lo angosto Winfree.

324 «Si usted metiera una sonda» Huberman.

324 «Consideremos de nuevo» Gaia, pág. 125.

324 Los físicos reflexivos P. W. Atkins, The Second Law (Nueva York: W. H. Freeman, 1984), pág. 179. Este excelente libro, de publicación reciente, es una de las contadas exposiciones de la segunda ley que explora el poder creador de la disipación en los sistemas caóticos. Opinión muy personal y filosófica de las relaciones de la termodinámica con los sistemas dinámicos que brinda Ilya Prigogine, Order Out of Chaos: Man’s New Dialogue With Nature (Nueva York: Bantam, 1984).

327 El desarrollo de tales puntas Langer. Es voluminosa la bibliografía reciente sobre el copo de nieve dinámico. Las obras más útiles son: James S. Langer, «Instabilities and Pattern Formation», Reviews of Modern Physics 52 (1980), págs. 1-28; Johann Nittmann y H. Eugene Stanley, «Tip Splitting without Interfacial Tension and Dendritic Growth Patterns Arising from Molecular Anisotropy», Nature 321 (1986), págs. 663-68; David A. Kessler y Herbert Levine, «Pattern Selection in Fingered Growth Phenomena», que aparecerá en Advances in Physics.

331 En el fondo de sus mentes Gollub, Langer.

331 Las ondas de la convección, de figuras tan raras Un interesante ejemplo de este camino al estudio de la formación de pautas es P. C. Hohenberg y M. C. Cross, «An Introduction to Pattern Formation in Nonequilibrium Systems», separata, AT&T Laboratories, Murray Hill, Nueva Jersey.

331 Los expertos en el caos emplean en astronomía Wisdom; Jack Wisdom, «Meteorites May Follow a Chaotic Route to Earth», Nature 315 (1985), págs. 731-33, y «Chaotic Behavior and the Origin of the 3/1 Kirkwood Gap», Icarus 56 (1983), págs. 51-74.

331 Estructuras que se copian Como lo manifestaron Farmer y Packard: «El comportamiento adaptable es propiedad emergente que nace de manera espontánea gracias a la interacción de componentes simples. Sean esos componentes neuronas, aminoácidos, hormigas o tendones, la adaptación sólo ocurre si el comportamiento colectivo del todo es distinto, cualitativamente, de la suma de las partes individuales. Ésta es en sí la definición de lo no lineal». «Evolution, Games, and Learning: Models for Adaptation in Machines and Nature», introducción a las actas de la conferencia, Center for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory, mayo de 1985.

331 «La evolución es caos» «What is Chaos», pág. 14.

331 «Dios juega a los dados» Ford.

332 «La profesión no puede continuar» Structure, pág. 5.

332 «A la vez estimulante y un poco amenazador» William M. Schaffer, «Chaos in Ecological Systems. The Coals That Newcastle Forgot», Trends in Ecological Systems 1 (1986), pág. 63.

332 «Lo que pasa por conceptos básicos» William M. Schaffer y Mark Kot, «Do Strange Attractors Govern Ecological Systems?», BioScience 35 (1985), pág. 349.

332 Schaffer usa Por ejemplo, William M. Schaffer y Mark Kot, «Nearly One-Dimensional Dynamics in an Epidemic», Journal of Theoretical Biology 112 (1985), págs. 403-27.

333 «Más puntualmente» Schaffer.

333 Años más tarde, Schaffer vivió Schaffer; también William M. Schaffer, «A Personal Hejira», obra inédita.