Apéndice B

La aplicación de la regla de Bayes a la mamografía y el cáncer de mama

En el año 2009, un grupo de trabajo del gobierno de los Estados Unidos encargado de realizar las revisiones periódicas destinadas al control del cáncer de mama, aconsejó a la mayoría de las mujeres de más de cuarenta años que no realizaran la mamografía anual que venían haciéndose hasta entonces. La reacción del público fue inmediata —y cabe decir igualmente que, en buena medida, la actitud general fue de indignación—. Lo que a continuación exponemos es una versión simple del cálculo bayesiano que se hallaba en la base misma de toda esta controversia.

Imaginemos que una mujer de cuarenta años que carece de síntomas de cáncer de mama y no tiene en su historial familiar ningún caso de dicha dolencia pasa una revisión rutinaria consistente en la realización de una mamografía, y que una semana después recibe una carta en la que se le informa de que a raíz de la prueba se ha detectado una anomalía y es preciso proceder a un nuevo examen. ¿Cuál es en tal caso la probabilidad de que padezca efectivamente un cáncer de mama?

La verdad es que dicha probabilidad es muy baja.

Son muchos los estudiantes de primer año de estadística —y muchos también los médicos— que encuentran sorprendente este extremo, dado que las pruebas diagnósticas son razonablemente precisas. Gracias a esos cribados clínicos se logra identificar aproximadamente al ochenta por ciento de las mujeres de cuarenta años o más que padecen cáncer de mama en el momento mismo en que se las somete a examen, y el porcentaje de errores, o, lo que es lo mismo, el número de resultados positivos —es decir, de presencia de la enfermedad— de las pruebas no suele superar aproximadamente la cifra del diez por ciento, de modo que sólo se advertirá a esa cantidad de mujeres de la presencia de un mal que en realidad no padecen.

Con todo, el cáncer de mama revela ser una dolencia relativamente rara. Y además la regla de Bayes tiene en cuenta las tasas de incidencia anteriormente registradas de la enfermedad y las incorpora como a priori a su bagaje de conocimientos previos. En consecuencia, la regla de Bayes resalta el hecho de que no todo el mundo que obtiene un resultado positivo en la prueba diagnóstica de una determinada patología padece de hecho esa dolencia. Y también subraya la circunstancia de que la probabilidad de padecer un cáncer de mama es más elevada en una mujer que se detecte por palpación un bulto en el pecho que en otra a la que se haya realizado una mamografía positiva como parte de una revisión rutinaria.

Será mejor que pongamos un ejemplo:

De acuerdo con esta fórmula, tres son los datos que necesitamos, y los tres habrán de colocarse en la parte derecha de la ecuación:

1. La probabilidad de padecer un cáncer de mama: éste es el conocimiento con el que contamos a priori, y nos informa sobre las tasas de incidencia previa que ha mostrado tener el cáncer de mama entre las mujeres de cuarenta años que se someten a una mamografía. De acuerdo con las revistas Cancer y Jama (Journal of the American Medical Association) dichas tasas se sitúan aproximadamente en el 0,4 por ciento. De este modo, de cada diez mil mujeres de cuarenta años que se hagan una mamografía, podemos estimar que aproximadamente cuarenta vendrán a padecer la enfermedad. La cifra de incidencia que debemos poner en la ecuación es por tanto 40/10.000
2. La probabilidad de que la mamografía de una paciente que sufre de cáncer de mama arroje efectivamente un resultado positivo: según el Instituto Nacional del Cáncer de los Estados Unidos y las pruebas obtenidas mediante la realización de mamografías, de esas cuarenta mujeres afectadas por un cáncer de mama, aproximadamente treinta y dos recibirán la notificación de un resultado positivo tras la realización del mamograma. La cifra de nuestra ecuación será por tanto 32/10.000.
3. La probabilidad de que se produzca una mamografía positiva: en la cifra total de mujeres que reciben un resultado positivo (con independencia de que padezcan efectivamente o no la enfermedad) se contabilizan tanto a aquellas mujeres que padecen la dolencia como a aquellas otras a las que se informa erróneamente de que están afectadas por la patología. En ocasiones, las mamografías informan de un resultado positivo (señalando la presencia de una «anomalía») a algunas mujeres que en realidad no padecen el mal. Damos a dichas pruebas erróneas el nombre de falsos positivos. En el caso de las mamografías esta tasa es muy elevada, ya que se sitúa aproximadamente en el diez por ciento, según el New England Journal of Medicine. De este modo, por cada diez mil mujeres de cuarenta o cuarenta y tantos años, habrá novecientas noventa y seis que reciban una carta indicándoles que el resultado de la prueba diagnóstica que acaban de efectuar señala la presencia de una anomalía. Para descartar la presencia de la enfermedad, dichas mujeres deberán someterse a nuevas pruebas, lo que significa realizar más mamografías y contemplar la posibilidad de efectuar ecografías de mama o muestreos tisulares, y quizá incluso una biopsia. A esta cifra hay que añadirle la de las treinta y dos pacientes de cáncer que hay en cada grupo de diez mil mujeres —y que también han sido informadas de que su mamografía ha dado un resultado positivo—. El guarismo final es por tanto el siguiente: 1.028/10.000, esto es, poco más del diez por ciento de las mujeres sometidas a esta batería de exámenes adicionales.

Al incorporar estas cifras a la fórmula obtenemos el siguiente resultado:

Una vez realizados los cálculos, el resultado es 0,03, es decir, el tres por ciento. Por consiguiente, la probabilidad de que una mujer que reciba un resultado positivo en su mamografía padezca realmente un cáncer de mama se reduce al tres por ciento. O dicho de otro modo: tiene un noventa y siete por ciento de posibilidades de no sufrir la patología.

Ninguno de estos datos es estático. A medida que la investigación vaya permitiendo obtener nuevas informaciones será preciso volver a calcular los datos de la regla de Bayes.

Desde el punto de vista de la metodología bayesiana, la utilización universal de las pruebas diagnósticas en la detección de una enfermedad que únicamente afecta al 0,4 por ciento de la población puede provocar una innecesaria preocupación en un gran número de mujeres sanas, obligándolas además a seguir un tratamiento adicional que a su vez puede derivar en el surgimiento de algunos problemas médicos. Por si fuera poco, el dinero gastado en una revisión de carácter universal podría emplearse potencialmente en otros proyectos de interés. De este modo, el teorema de Bayes destaca la importancia de mejorar las técnicas de detección del cáncer de mama, reduciendo así el número de falsos positivos. Otro de los hechos que señala es que también en sentido inverso resulta necesario realizar mejores mamografías, puesto que los resultados negativos también fallan en ocasiones, revelándose incapaces de detectar uno de cada cinco cánceres reales.

La ecuación general que permite aplicar la regla de Bayes a otros problemas es la siguiente:

siendo A una hipótesis y B los datos correspondientes a la misma.