Notas

^[1] George corta un trozo que cree equivalente a un cuarto de pastel. Si Martha estima que es la cuarta parte o menos, no toca el pedazo; pero si piensa que es más de la cuarta parte, le quita el trozo que sobra. Waldo deja en paz el pedazo, o le quita otro trozo en el caso de que piense que aún contiene más de la cuarta parte. Myrtle, por último, tiene las mismas oportunidades: reducirlo si lo ve grande o dejarlo intacto en caso contrario. El último a quien le toca el tumo se queda con el pedazo. (Pero ¿qué impide que cada uno corte un pedazo demasiado pequeño o demasiado grande?). Acabado el primer reparto, quedan aún tres personas para repartirse equitativamente el resto del pastel. Hay que seguir el mismo procedimiento. La primera persona corta lo que considera es la tercera parte del pastel restante (y que ha de equivaler a la cuarta parte del pastel entero) y así sucesivamente. De este modo, todos están convencidos de que se han quedado con un cuarto de pastel. <<

^[2] Pensemos en una empresa o un cuerpo político con cuatro partidos —seamos románticos y llamémoslos A, B, C y D— que poseen el 40, 35, 15 y 10 por ciento de los votos, respectivamente. Si catalogáramos metódicamente todas las situaciones posibles (A, C, D a favor, B en contra; B y D a favor, A y C en contra; etcétera), veríamos que hay diez en que el voto de A es un voto bisagra (vuelve perdedora una coalición ganadora y al revés), seis en que lo es el voto de B y de C, y sólo dos en que es bisagra el voto de D. Así pues, el índice de poder de estos grupos es, respectivamente, 10, 6, 6 y 2, lo que quiere decir que el partido A es diez veces más poderoso que el partido D, y que los partidos B y C tienen idéntico poder y sólo son tres veces más poderosos que el partido D. Aquí no hay comparsas. <<

^[3] Si tres miembros de la camarilla (una subcamarilla, si se quiere) se reúnen en secreto de antemano, deciden por mayoría qué piensa la subcamarilla y acuerdan mantener la alianza y votar en bloque dentro de la camarilla, pueden controlar las decisiones del grupo mayor, que, a su vez, controlará las decisiones de todo el cuerpo jurídico. <<

^[4] NAFTA: North Atlantic Free Trade Area, Zona de Libre Comercio del Atlántico Norte. (N. del T.) <<

^[5] La probabilidad de que salga rojo al menos una vez en las cuatro oportunidades siguientes es de (1 − 0,3⁴), o mayor que 0,99. La probabilidad de que salga rojo cuatro veces seguidas es de 0,7⁴ alrededor de 0,24. <<

^[6] Habría que responder a las siguientes preguntas: ¿Cuántos habitantes tiene Chicago? ¿Cuántas viviendas? ¿En cuántas hay piano? ¿Cuántos centros docentes hay? ¿Con qué frecuencia se afina el piano medio? ¿Cuántos pianos afina en una semana un afinador medio? Basta con calcular por orden de magnitud estas cantidades, no hace falta ir a la biblioteca. <<

^[7] He aquí algunas preguntas lógicas: ¿Qué es un «caso» y qué no lo es? ¿Cuántos se esperan exactamente? ¿Cuántos ha habido ya? ¿Cuántos se consideran algo normal? ¿Quién ha calculado lo que se espera? ¿Se puede pensar que hay en esto algo de profecía que se cumple o un secreto calendario de trabajo? ¿Se han tenido en cuenta todos los casos? ¿Y su índice de aumento? <<

^[8] Hay que recordar aquí la rama de la combinatoria que se conoce por teoría de Ramsey, que estudia qué longitud han de tener las series para garantizar determinadas relaciones entre sus elementos. ¿Cuántos invitados han de estar presentes en una fiesta, por ejemplo, para asegurar que por lo menos cinco se conozcan entre sí o sean desconocidos? <<

^[9] El primer dígito de un prefijo territorial puede ser cualquiera, menos el 0 y el 1, el segundo ha de ser 0 o 1, y el tercero puede ser cualquiera. Hay pues 8 × 2 × 10 = 160 prefijos territoriales posibles. Puesto que los faxes, los teléfonos móviles y tener varias líneas en la misma casa o empresa están agotando los prefijos disponibles, podría flexibilizarse pronto la exigencia de que el 0 o el 1 aparezcan en la segunda posición. <<

^[10] Pregunta en parte retórica y de importancia secundaría: supongamos que una organización quiere «apoyar» a quienes tienen la característica C, pero no puede preguntar a nadie directamente si la tiene. Supongamos también que el 20% de los tocayos del señor X posee la característica C. Si del señor X no sabemos más que su nombre, parece razonable pensar que hay un 20% de probabilidades de que el señor X tenga C. Si más tarde averiguamos que el señor X procede de un barrio donde el 70% de la población tiene la característica C, ¿qué probabilidades de tener C habría que dar ahora al señor X? ¿Y si más tarde aún nos enteramos de que el señor X es miembro de una organización de ámbito nacional sólo el 3% de cuyos miembros posee la característica C? Con toda esta información, ¿qué conclusión sacaremos sobre las probabilidades de que el señor X tenga C? <<

^[11] Combinando las dos sumas tenemos A + B + C + D = C + EA. Si eliminamos la C en ambos lados de la ecuación, tenemos A + B + D = EA, y por tanto B + D = EA − A. El número EA es igual a 10 × E + A, y por tanto EA − A es igual a (10 × E + A) − A, o sencillamente 10 × E. Como el dígito E tiene que ser 1, (B + D) = 10 × 1, o lisa y llanamente 10. (Hay otras formas de averiguarlo). <<

^[12] Si un ciudadano elegido al azar suma todas las probabilidades de morir a manos de los restantes 5.500 millones de personas que hay en el mundo, la suma, incluso en nuestra violenta sociedad, es sin embargo inferior a la probabilidad de que el ciudadano se mate solo. <<

^[13] Las tarjetas 3 y D. <<

^[14] Puede hacerse una observación parecida a propósito de muchas clasificaciones. Si se analizan por trienios los índices de seguridad de las compañías aéreas estadounidenses, se advierte que es normal que la compañía «más segura» durante un periodo sea la «más peligrosa» durante el siguiente. <<

^[15] Al margen de la estructura de la patata, señalemos que los 100 kilos se dividían en 99 kilos de agua y 1 kilo de esencia de patata. Las patatas pesan ahora X y este peso contiene un 98% de agua y un 2% de esencia de patata. El 2% de X es 1 kilo. Como 0,02X = 1, X = 50 kilos. La solución es que las patatas pesan ahora sólo 50 kilos. <<

^[16] La cantidad de defunciones producidas por el cambio de lugar del depósito de gasolina es inferior a las 4.000 muertes anuales que se atribuyen a no llevar airbag en los coches. <<

^[17] Hablando de matemágicas, recordemos la anécdota de los tres hombres que se inscriben en un hotel y se instalan en una habitación de 60 dólares. Cuando ya están en la habitación, el gerente se da cuenta de que la habitación vale sólo 55 dólares y de que les ha cobrado de más. Entrega 5 dólares al botones y le dice que se los devuelva a los tres hombres. Como no sabe dividir 5 entre 3, el botones da 1 dólar a cada hombre y se guarda los 2 restantes. Más tarde, el botones se da cuenta de que cada hombre ha pagado 19 dólares (20 menos el que les ha devuelto). Pero como los 57 dólares que han pagado los huéspedes más los 2 dólares que se ha quedado él suman 59 dólares, el botones no sabe qué ha sido del dólar que falta. <<

^[18] Seguro de enfermedad para la tercera edad, estatal y de cobertura nacional. (N. del T.) <<

^[19] En una clásica operación de Ponzi, a los primeros y escasos inversores se les paga con la contribución de los numerosos inversores posteriores, a los que, a su vez, se les retribuye con las aportaciones de los inversores que llegan más tarde, hasta que la pirámide se viene abajo. <<

^[20] Este artículo apareció en el New York Times del 2 de marzo de 1992. Entonces había aún cinco candidatos con posibilidades en la carrera de la nominación presidencial por el Partido Demócrata. El artículo demuestra que es útil tener un matemático en el séquito de campaña. <<

^[21] Cada pregunta podría dividir por dos la cantidad de posibilidades. Así, la primera pregunta —¿es inferior o igual a 500.000?— deja 1.000.000 (1/2) posibilidades, dos preguntas dejan 1.000.000 (1/2)² posibilidades y veinte preguntas dejan 1.000.000 (1/2)²⁰ posibilidades. La cantidad final de posibilidades es inferior a 1 y el número queda al descubierto. Para averiguar un número entre uno y mil millones sólo hacen falta treinta preguntas, puesto que 1.000.000.000 (1/2)³⁰ es inferior a 1. <<

^[22] La respuesta que da el informático Marvin Minsky en The Society of Mind es que el yo es un parlamento de pequeños procesos semiautónomos cuyas interacciones se suman de manera extraña y mal comprendida para formar un todo ideológico que puede, en circunstancias propicias, responder en una nota a pie de página a una pregunta retórica sobre su definición. Al margen de los detalles de esta definición, la evolución ha permitido que nos tomemos el yo en serio. Hacerlo nos ayuda a sobrevivir e impide que se extingan nuestros genes; los nihilistas radicales no son muy prolíficos. <<

^[23] Los profesores de filosofía bromean sobre la manera de identificar a un filósofo: es el que, en un simposio sobre el sistema de justicia criminal, pronuncia una charla sobre el dilema del preso (un problema abstracto sobre el toma y daca entre la cooperación y el egoísmo). La broma, que por lo general sólo divierte a los filósofos, está en que el enigma teórico tiene, a pesar de su nombre, muy poco que ver con los intereses prácticos del simposio. Algunas de las ideas de este libro y en particular las que se comentan en los dos capítulos siguientes también podrían parecer al lector muy alejadas de la crítica tradicional del periodismo. Aunque quizá padezco la misma deformación profesional que los filósofos, tengo confianza sin embargo en la fuerza y pertinencia de las abstracciones. <<

^[24] ¿Quizá preguntar si las dos afirmaciones —Eres persona veraz y El senador está complicado en el escándalo— son o verdaderas las dos o las dos falsas? Lo notable de esta pregunta es que tanto la persona veraz como la embustera responderán que sí si el senador está complicado y dirán que no si no lo está. Medítese. Es un principio general. Si queremos saber si la afirmación S es verdadera y el interlocutor es o embustero o veraz, tenemos que preguntarle si las dos afirmaciones —Eres una persona veraz y la afirmación S— son o falsas las dos o las dos verdaderas. Podemos fiamos de la respuesta. <<

^[25] Como los veraces y los embusteros son preferibles a las personas normales, se trata de utilizar una de las preguntas para identificar a cualquiera de los primeros. Una vez localizado, hemos reducido el problema al de la nota anterior. Así, la primera pregunta debería hacerse a A y seria: ¿Son las dos afirmaciones siguientes —Eres persona veraz y B es normal— verdaderas las dos o las dos falsas? Supongamos que responde que sí. Si A es veraz o embustero, podemos fiamos de su respuesta, lo que quiere decir que B es normal y C no. En cualquier caso, una respuesta afirmativa significa que C no es normal. Por otro lado, si A responde que no y es veraz o embustero, podemos aceptar su respuesta y pensar que B no es normal. Si A no es veraz ni embustero, entonces sabemos por este otro lado que B no es normal, puesto que ya lo es A. En cualquier caso, un no significa que B no es normal. Si oímos un sí, hemos de hacer a C la siguiente pregunta; si oímos un no, se la hemos de hacer a B. Esta segunda pregunta es la planteada en la nota anterior. <<

^[26] Cambiando de tribu, he advertido que entre los centenares de publicaciones matemáticas que se editan actualmente ningún matemático puede entender más de un puñado. En este sentido, casi todas las matemáticas especializadas están más allá del horizonte de complejidad de todos los matemáticos. <<

^[27] Si el método mnemotécnico se limita a vincular un texto cualquiera a cada dígito que hay que recordar, la cosa no sirve para nada. Si una mujer tuviera que memorizar un teléfono, por ejemplo el 253 37 84, recordando que su mejor amiga tiene 2 hijos, su médico 5, su compañera de despacho 3, que su vecino de la izquierda tiene 3 perros, el de la derecha 7 gatos, que su hermano mayor tiene 8 hijos (contando los de sus exesposas) y que ella misma tiene 4 hijos, no sacaría ningún beneficio. Este «programa» es más largo y complicado que lo que hay que recordar. A veces, sin embargo, cuando un programa está íntimamente vinculado con una lista o un texto que ya se conocen bien su extensión es sólo aparente y recordar un par de hechos puede bastar para recordar el número. <<

^[28] El (primer) teorema de incompletitud dice que cualquier sistema matemático formal que comprenda un mínimo de aritmética es incompleto; siempre habrá proposiciones verdaderas que no serán ni demostrables ni indemostrables dentro del sistema, tenga éste la complejidad que tuviere. <<

^[29] Recordemos la observación de Thomas Jefferson: «Si de mí dependiera tener un gobierno sin periódicos o periódicos sin ningún gobierno, no vacilaría en elegir lo segundo». <<

^[30] Este artículo apareció en la revista Discover, número de marzo de 1994. <<

^[31] Han mejorado el 36% de los 100 miembros del grupo étnico A del primer estudio y el 60% de los 1.000 miembros de A del segundo estudio, lo que da un total de 636 miembros del grupo A. Han mejorado asimismo el 45% de los 1.000 miembros del grupo étnico B del primer estudio y el 65% de los 100 miembros de B del segundo estudio, lo que da un total de 515 miembros del grupo B. <<

^[32] Puesto que un acre contiene 43.560 pies cuadrados, un acre costaría 43.560 × 12² × 0,25 dólares = 1.568.160 dólares; y puesto que hay 640 acres en una milla cuadrada, la fabulosa propiedad de Colorado habría salido a más de mil millones de dólares la milla cuadrada (según precios de fines de los años cincuenta). <<

^[33] Esto es sin duda cierto incluso cuando los lectores son diputados del Parlamento. Vale la pena recordar aquí «A New Golden Age», un cuento de ciencia-ficción escrito por el matemático Rudy Rucker. Trata de un grupo de matemáticos del futuro inmediato que están deseosos de recabar fondos de un Europarlamento filisteo y enloquecido por los ordenadores para financiar la investigación de matemáticas puras. Inventan una máquina que transforma teoremas en piezas musicales capaces de transmitir conocimiento científico mediante el sonido. En una iniciativa de emergencia para vencer las trabas que se ponen, graban dos cintas de música, una de geometría euclídea elemental, la otra de teoría avanzada de conjuntos. Para complacer al marido de una influyente funcionaria de la administración, graban también una cinta basada en un trabajo suyo, un absurdo ensayo de seudomatemáticas. Ponen las cintas a la comisión de ayudas económicas y sus miembros se aburren cuando oyen la de geometría y la de teoría de conjuntos, pero se entusiasman con la de las payasadas. Impresionados por la puesta en música de aquel montón de inconsecuencias y símbolos ostentosos, la comisión concede una importante ayuda económica a la investigación de matemáticas puras. La moraleja la conocen de sobra todos los solicitantes de ayudas. <<

^[34] El programa Ancient Prophecies [Antiguas profecías] de la NBC es otro ejemplo. Uno de los momentos más divertidos del programa se produce al final, cuando la voz en off anima a los telespectadores a ver otro día un episodio totalmente nuevo de Ancient Prophecies. <<

^[35] Puesto que la certeza no admite grados, «tener certeza al 95%» es una incorrección de menor cuantía, aunque corriente. Es lógico pensar que tener certeza al 95% supone tener incertidumbre al 5%, idea que parece sospechosamente embarazosa. <<

^[36] Incluso una «muestra» no aleatoria de 250 millones de sujetos puede tener problemas. La Oficina del Censo de Estados Unidos está empeñada en contamos absolutamente a todos y se niega a complementar la cuenta con técnicas normales de muestreo. El resultado es una subestimación notable, en particular de los pobres de las ciudades. <<

^[37] Puesto que aumenta de estatura a razón de 1,75/1,63 = 1,074, su peso, que varía según el cubo de este número, pasará de 68 a 68 (1,074)³ esto es, alrededor de 84 kilos. <<

^[38] Este artículo es una versión reducida del que apareció en el Washington Post de 7 de agosto de 1994. <<

^[39] Aunque los detalles suelen ser muy importantes, la incapacidad para detenerse a «desbrozar» hechos tiende a preferir en muchos contextos las minucias a las ideas. Como ya he dicho, en matemáticas se valora más el cálculo que el conocimiento conceptual; en política se gana más con una táctica astuta que con la prudencia; en el campo bursátil, la verborrea técnica llama más la atención que los análisis de base; entre las personas con sentimientos religiosos, las normas, los ritos y las ceremonias oscurecen el sentido del asombro y el misterio; en el campo sexual, la lujuria y el fetichismo se toman por amor. Admito que en esta serie de elementos opuestos el primero se prefiere a veces al segundo de manera totalmente legítima, pero en términos generales se hace poco hincapié en el segundo. Es mucho más fácil resolver el rompecabezas cuando se ha visto la imagen general (suponiendo que la haya). <<

^[40] Ganaremos dos puntos antes que el rival si ganamos dos veces seguidas, que simbolizamos mediante WW, o si ganamos una vez, perdemos otra y ganamos la siguiente, situación que simbolizamos mediante WLW, o bien si perdemos una vez y ganamos dos veces seguidas a continuación, que simbolizaremos mediante LWW. Mediante el principio de multiplicación para la probabilidad que ya vimos en la Sección 1, la probabilidad de que se produzcan los resultados mencionados es de (0,25)(0,25), (0,25)(0,75)(0,25) y (0,75)(0,25)(0,25), respectivamente. Sumados los tres productos, tendremos aproximadamente 0,156 o, si nos gustan más los quebrados que los decimales, 5/32. Hay más modalidades de ganar 3 puntos antes que el contrincante. Utilizando los mismos símbolos, son: WWW, LWWW, WLWW, WWLW, LLWWW, LWLWW, LWWLW, WLLWW, WLWLW y WWLLW, y sus probabilidades son aproximadamente 0,104 en total. Cuando los números son superiores hay que recurrir a técnicas combinatorias para contar las diversas posibilidades. <<

^[41] La sexualidad individual es un acontecimiento privado cuya frecuencia varía radicalmente según las circunstancias: la edad, las relaciones, el trabajo, la tensión, etc. Vista desde una perspectiva planetaria, sin embargo, la cantidad de actos sexuales por hora varía seguramente muy poco de una hora a otra, todos los días, año tras año. Yo diría que la proporción es de unos 20 millones por hora, con descensos y aumentos periódicos debidos a las diferencias de densidad de población en diversas zonas horarias. Como dice Stanislaw Lem en One Human Minute, lo importante no es la cantidad, que sólo es una conjetura, sino la apabullante continuidad de la pauta, sea cual fuere. <<

^[42] No. Cuando se trata de conjuntos mayores de números, no hay un orden predeterminado para las tres estadísticas (la media, la mediana y la moda). Pero si sólo hay cinco números y la mediana es mayor que la moda, los dos números inferiores a la mediana tienen que ser idénticos, lo que obliga a la media aritmética a ser mayor que la moda. <<

^[43] La explicación de esta disparidad es que hay más «espacio numérico» para la buena suerte que para la mala. La media aritmética es la media de todos los periodos posibles de cien años y los astronómicos beneficios asociados con los siglos de suerte (en que hay muchos más años con el 60% de crecimiento que con el 40% de reducción) empujan los beneficios hacia arriba. Durante los siglos de mala suerte, sin embargo, los beneficios no pueden bajar más de 0 dólares. Lo expondré más detalladamente: el valor de la compañía sube una media del 10% cada año (la media de +60% y −40%). Así, al cabo de cien años, la media de la inversión es de 100.000 × (1,10)¹⁰⁰, es decir, 1378 millones. Por otro lado, el resultado más probable es que el valor de la empresa suba durante cincuenta de los cien años. De aquí que la moda (y la mediana) sea 100.000 × (1,6)⁵⁰ × (0,6)⁵⁰, que son 13.000 dólares. <<

^[44] Es posible que los crucigramas hayan perdido parte de su atractivo por culpa de la tentadora facilidad con que se pueden resolver con diccionarios informatizados y el empleo de comodines en las búsquedas. <<

^[45] El camino más corto sería buscar a la persona N.º 6, cosa posible según el diagrama. La N.º 6 nos puede ayudar a encontrar a la persona N.º 5, que, a su vez, puede ayudamos a nosotros y a la N.º 6 a encontrar a la persona N.º 1. La matriz de incidencia indica que el proceso es posible. <<

^[46] En una entrevista de televisión vi que un autor caracterizaba de este modo su propio libro. Dadas las limitaciones de tiempo de casi todas estas entrevistas y habida cuenta de que todo autor está deseoso de comunicar el meollo del libro, estas chapuzas son casi inevitables, pero muy pocas veces nefastas. Más preocupante para un autor es que un comentarista diga que su libro llena un importante vacío, por ejemplo, entre las matemáticas y el periodismo. <<