^[1] La tabla que aparece a continuación es una elaboración de la Tabla 1.1. Refleja las masas y las cargas de fuerza de las partículas de las tres familias. Cada tipo de quark puede tener tres posibles cargas de fuerza nuclear fuerte que se denominan, algo extravagantemente, mediante colores que representan los valores numéricos de dichas cargas de la fuerza nuclear fuerte. Las cargas débiles que se reflejan son, concretando más, la «tercera componente» del isospín débil. (No hemos incluido en la lista las componentes «de mano derecha» de las partículas —ellos difieren en que no tienen carga débil).

Familia 1
Partícula	Masa	Carga eléctrica	Carga débil	Carga fuerte
Electrón	.0054	–1	–1/2	0
Electrón-Neutrino	<10^–8	0	1/2	0
Up Quark	.0047	2/3	1/2	rojo, verde, azul
Down Quark	.0074	–1/3	–1/2	rojo, verde, azul
Familia 2
Partícula	Masa	Carga eléctrica	Carga débil	Carga fuerte
Muon	.11	–1	–1/2	0
Muon-Neutrino	<.0003	0	1/2	0
Charm Quark	1.6	2/3	1/2	rojo, verde, azul
Strange Quark	.16	–1/3	–1/2	rojo, verde, azul
Familia 3
Partícula	Masa	Carga eléctrica	Carga débil	Carga fuerte
Tau	1.9	–1	–1/2	0
Tau-Neutrino	<.033	0	1/2	0
Top Quark	189	2/3	1/2	rojo, verde, azul
Bottom Quark	5.2	–1/3	–1/2	rojo, verde, azul

^[2] Las cuerdas también pueden tener dos extremos que se mueven libremente (las llamadas cuerdas abiertas), además del caso de los bucles (cuerdas cerradas) que se representan en la Figura 1.1. Para hacer más fácil nuestra explicación, la mayoría de las veces nos centraremos en las cuerdas cerradas, aunque en esencia todo lo que digamos se puede aplicar a los dos tipos. <<

^[3] Albert Einstein, en una carta dirigida a un amigo en 1942, según la cita del libro de Tony Hey y Patrick Walters, Einstein’s Mirror (Cambridge University Press, Cambridge, 1977). <<

^[4] Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory (Pantheon, Nueva York, 1992), p. 52. <<

^[5] Entrevista con Edward Witten, 11 de mayo de 1998. <<

^[6] La presencia de cuerpos de gran masa como la Tierra complica todo por la intervención de las fuerzas de la gravedad. Dado que ahora nos estamos centrando en el movimiento en dirección horizontal, no en dirección vertical, podemos ignorar e ignoraremos la presencia de la Tierra. En el próximo capítulo ofreceremos una explicación más detallada de la gravedad. <<

^[7] Para el lector aficionado a las matemáticas, hemos de precisar que estas observaciones se pueden convertir en datos cuantitativos. Por ejemplo, si el reloj de luz, que está en movimiento, tiene una velocidad v y tarda t segundos en realizar un viaje completo de ida y vuelta (según la medición de nuestro reloj de luz, que está inmóvil), entonces este reloj habrá recorrido una distancia vt cuando su fotón ha vuelto al espejo inferior. Podemos ahora utilizar el teorema de Pitágoras para calcular que la longitud de cada uno de los recorridos diagonales de la Figura 2.3 es √[(vt/2)² + h²], donde h es la distancia entre los dos espejos de un reloj de luz (unos quince centímetros en el texto). Los dos recorridos diagonales juntos tienen por consiguiente una longitud 2√[(vt/2)² + h²]. Dado que la velocidad de la luz tiene un valor constante, llamado convencionalmente c, la luz tarda 2√(vt/2)² + h²/c segundos en realizar completo el doble recorrido diagonal. Por lo tanto, tenemos la ecuación t = 2V((vt/2)² + h²)/c, que se puede resolver despejando t, lo que daría t = 2h/√(c² – v² ). Para evitar confusiones, escribamos esto como t_{en movimiento} = 2h/(√c² – v²), donde el subíndice indica que se trata del tiempo que medimos para un tic del reloj que está en movimiento. Por otro lado, el tiempo para un tic del reloj que está inmóvil es t_inmóvil = 2h/c y, como se pone de manifiesto aplicando un poco de álgebra, t_{en movimiento} = t_inmóvil / √(1 – v²/c²), lo cual demuestra directamente que un tic del reloj en movimiento tarda más en producirse que un tic del reloj inmóvil. Esto significa que entre dos sucesos dados, en el reloj en movimiento se producirán en total menos tics que en el reloj inmóvil, lo cual demuestra que ha transcurrido menos tiempo para el observador que se está moviendo. <<

^[8] En el caso de que le resulte a usted más convincente un experimento llevado a cabo en un contexto menos esotérico que un acelerador de partículas, vea lo siguiente. Durante octubre de 1971, J. C. Hafele, que entonces trabajaba en la Universidad de Washington en San Luis, y Richard Keating del United States Naval Observatory hicieron funcionar unos relojes atómicos que utilizaban un haz de luz de cesio en aviones comerciales durante 40 horas. Tras tener en cuenta ciertas características sutiles que tienen que ver con los efectos gravitatorios (lo cual se explicará en el próximo capítulo), la relatividad especial afirma que el tiempo total transcurrido en los relojes atómicos en movimiento debería ser unas pocas centésimas de milésima de millonésima de segundo menos que el tiempo transcurrido en los relojes inmóviles situados en tierra. Esto es precisamente lo que hallaron Hafele y Keating: el tiempo se frena realmente en un reloj en movimiento. <<

^[9] Aunque la Figura 2.4 representa correctamente la contracción de un objeto que se encoge a lo largo de su dirección de movimiento, la imagen no ilustra lo que veríamos realmente si un objeto pasara como un rayo a casi la velocidad de la luz (suponiendo que nuestra vista o nuestro equipo fotográfico fueran capaces de ver algo). Para ver alguna cosa, nuestros ojos —o nuestra cámara— deben recibir la luz que se ha reflejado sobre la superficie del objeto. Pero, dado que la luz reflejada viaja hacia nosotros desde varios lugares del objeto, la luz que vemos en cualquier momento viaja hacia nosotros haciendo recorridos de longitudes diferentes. Esto da como resultado una especie de ilusión óptica relativista en la que el objeto aparecerá en escorzo y con una rotación. <<

^[10] Para el lector aficionado a las matemáticas, hemos de precisar que desde la posición del espacio-tiempo dada por el vector de dimensión cuatro x = (ct, x₁ , x₂, x₃) = (ct, x^→) podemos obtener el vector de dimensión cuatro de la velocidad u = dx/dτ, donde τ es el propio tiempo definido por dτ² = dt² – c²(dx₁² + dx₂² + dx₃²). Entonces la «velocidad a través del espacio-tiempo» es la magnitud del vector u cuadridimensional, √[(c²dt² – dx^→2) / (dt² – c² dx^→2)], que es igual a la velocidad de la luz c. Ahora bien, podemos reordenar la ecuación c²(dt/dτ)² – (dx^→/dτ)² = c², para que sea c²(dτ/dt)² + (dx^→/dt)² = c² Esto demuestra que un aumento en la velocidad de un objeto que atraviesa el espacio, √[(dx^→/dt)²] debe estar acompañado por una disminución en dr/dt, siendo esto último la velocidad del objeto a través del tiempo (la velocidad a la cual el tiempo transcurre en su propio reloj, en comparación con la de nuestro reloj inmóvil, dt). <<

^[11] Isaac Newton, Sir Isaac Newton’s Mathematical Principle of Natural Philosophy and His System of the World, transcription de A. Motte y Florian Cajori (University of California Press, Berkeley, 1962), vol. I, p. 634. <<

^[12] Precisando un poco más, Einstein constató que el principio de equivalencia es aplicable siempre y cuando las observaciones estén confinadas en una región del espacio suficientemente pequeña —es decir, siempre que el «compartimento» sea suficientemente pequeño—. La razón es la siguiente: los campos gravitatorios pueden variar en intensidad (y en dirección) de un lugar a otro. Pero estamos suponiendo que la totalidad del compartimento se acelera como una sola unidad y por consiguiente esa aceleración simula un campo gravitatorio único y uniforme. Sin embargo, cuando el compartimento se va haciendo cada vez más pequeño, hay cada vez menos espacio suyo sobre el que pueda variar un campo gravitatorio y, por lo tanto, el principio de equivalencia se hace cada vez más aplicable. Técnicamente, la diferencia entre el campo gravitatorio uniforme simulado por un punto de observación acelerado y un campo gravitatorio «real» y posiblemente no uniforme creado por algún conjunto de cuerpos dotados de masa se conoce con el nombre de campo gravitatorio «mareal» (ya que explica el efecto gravitatorio de la Luna sobre las mareas que se producen en la Tierra). Por consiguiente, esta nota se puede resumir diciendo que los campos gravitatorios mareales se vuelven menos perceptibles a medida que el tamaño del compartimento disminuye, haciendo que el movimiento acelerado y un campo gravitatorio «real» sean indistinguibles. <<

^[13] Albert Einstein, según se cita en Albert Einstein, de Albrecht Folsing (Viking, Nueva York, 1997), p. 315. <<

^[14] John Stachel, «Einstein and the Rigidly Rotating Disk», en General Relativity and Gravitation, ed. A. Held (Plenum, Nueva York, 1980), p. 1. <<

^[15] El análisis de la vuelta en el Tornado o del «disco de rotación rígida», como se denomina en un lenguaje más técnico, induce fácilmente a caer en una confusión. De hecho, hasta ahora no existe un acuerdo general sobre cierto número de aspectos sutiles de este ejemplo. En el texto hemos seguido el espíritu del propio análisis de Einstein, y en esta nota continuamos con este punto de vista e intentamos clarificar un par de características que han podido parecer confusas al lector. En primer lugar, puede que usted se pregunte por qué la circunferencia del Tornado no sufre la contracción de Lorentz exactamente de la misma manera que la regla, con lo que Slim habría medido la misma longitud que habíamos obtenido nosotros inicialmente. Pero, tenga en cuenta que a lo largo de nuestra explicación el Tornado siempre estaba girando: nunca lo hemos analizado cuando estaba inmóvil. Así pues, desde nuestra perspectiva de observadores inmóviles, la única diferencia entre la medición de la circunferencia hecha por Slim y la nuestra es que la regla de Slim sufre la contracción de Lorentz; el Tornado estaba girando cuando realizamos nuestra medición, y está girando cuando vemos que Slim realiza la suya. Como vemos que su regla está contraída, nos damos cuenta de que tendrá que colocarla más veces para recorrer toda la circunferencia, con lo que mide una longitud mayor que la que medimos nosotros. La contracción de Lorentz que experimenta la circunferencia del Tornado habría sido importante sólo si se comparaban las propiedades de esta atracción de feria cuando está girando con las propiedades que tiene cuando está parada, pero no necesitábamos esta comparación.

En segundo lugar, a pesar del hecho de que no necesitábamos analizar el Tornado cuando estaba parado, puede que el lector se pregunte qué podría suceder cuando va reduciendo la velocidad y se para. Ahora bien, parece que deberíamos tomar en consideración la cambiante circunferencia con una velocidad también cambiante debida a los distintos grados de la contracción de Lorentz. Pero ¿cómo se puede compaginar esto con el hecho de que el radio sea invariable? Se trata de un sutil problema cuya resolución depende del hecho de que en el mundo real no existen objetos totalmente rígidos. Los objetos se pueden estirar y combar y, de esa forma, acomodarse a los estiramientos y contracciones que hemos descubierto; si no es así, como Einstein indicó, un disco en rotación (que inicialmente se formó a partir de una pieza de metal fundido que giraba y se enfrió mientras estaba en movimiento) se rompería en pedazos si su velocidad de rotación sufriera cambios sucesivos. Para más detalles sobre la historia del disco de rotación rígida, véase Stachel, «Einstein and the Rigidly Rotating Disk». <<

^[16] El lector experto reconocerá que en el ejemplo de las vueltas del Tornado, es decir, en el caso de un marco de referencia que gira uniformemente, las secciones espaciales tridimensionales curvas en las que hemos centrado la explicación encajan conjuntamente en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones cuya curvatura todavía se desvanece. <<

^[17] Hermann Minkowski, como se cita en Folsing, Albert Einstein, p. 189. <<

^[18] Entrevista con John Wheeler, 27 de enero de 1998. <<

^[19] Aun así, los relojes atómicos existentes tienen la precisión suficiente para detectar esos pequeños alabeos del tiempo, y también otros aún más pequeños. Por ejemplo, en 1976 Robert Vessot y Martin Levine, del Harvard-Smithsonian Astrophysical Observatory, junto con colaboradores de la National Aeronautics and Space Administration (NASA), lanzaron un cohete Scout D desde Wallops Island, en Virginia, que transportaba un reloj atómico cuya precisión era aproximadamente de hasta una billonésima de segundo por hora. Esperaban demostrar que cuando el cohete ganara altitud (disminuyendo así el efecto del tirón gravitatorio de la Tierra), un reloj atómico idéntico situado en la Tierra (sometido de lleno a la fuerza de la gravedad terrestre) marcaría el tiempo más lentamente. Mediante un flujo de señales de microondas que circulaban en sentido doble, los investigadores pudieron comparar la velocidad a la que marcaban el tiempo los dos relojes atómicos y, en efecto, a la máxima altitud del cohete, que fue de unos 9.650 kilómetros, su reloj atómico iba a una velocidad de aproximadamente 4 milmillonésimas más rápido que el reloj situado en la Tierra, lo cual coincidía con las predicciones teóricas, salvo un error de menos del 0,01 por 100. <<

^[20] A mediados de la década de 1800, el científico francés Urbain Jean Joseph Le Verrier descubrió que el planeta Mercurio se desviaba ligeramente de la órbita alrededor del Sol predicha por la ley de la gravedad de Newton. Durante más de medio siglo, se dio toda una gama de explicaciones —la influencia gravitatoria de un planeta o anillo planetario aún sin descubrir, una luna desconocida, el efecto del polvo interplanetario, el achatamiento del Sol en sus polos— sobre lo que se llama precesión orbital por exceso del perihelio (en lenguaje llano, al final de cada órbita, Mercurio no da la vuelta exactamente donde la teoría de Newton dice que debería hacerlo), pero ninguna tuvo la fuerza suficiente como para conseguir una aceptación general. En 1915, Einstein calculó la precesión del perihelio de Mercurio utilizando sus recién descubiertas ecuaciones de la relatividad general y halló una respuesta que, según él mismo confesó, le dio palpitaciones cardíacas: el resultado obtenido a partir de la relatividad general coincidía exactamente con el de las observaciones. Ciertamente, este éxito fue un motivo importante para que Einstein tuviera tanta fe en su teoría, pero casi todos los demás científicos esperaban la confirmación de una predicción, en vez de la explicación de una anomalía previamente conocida. Para más detalles, véase Abraham Pais, Subtle Is the Lord (Oxford University Press, Nueva York, 1982), p. 253. <<

^[21] Robert P. Crease y Charles C. Mann, The Second Creation (New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press, 1996), p. 39. <<

^[22] Sorprendentemente, investigaciones recientes sobre la velocidad concreta de la expansión cósmica sugieren que el universo puede, de hecho, tener una constante cosmológica muy pequeña pero no nula. <<

^[23] Richard Feynman, The Character of Physical Law (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1965), p. 129. <<

^[24] Aunque el trabajo de Planck resolvía el enigma de la energía infinita, aparentemente no era este objetivo el que motivó directamente dicho trabajo. Lo que Planck estaba buscando era comprender un asunto estrechamente relacionado con dicho enigma: los resultados experimentales relativos a cómo se distribuye la energía en un horno caliente —un «cuerpo negro», para ser más precisos— según varios intervalos de longitudes de onda. Para más detalles sobre la historia de estos descubrimientos, el lector que esté interesado deberá consultar la obra de Thomas S. Kuhn, Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894-1912 (Clarendon, Oxford, 1978). <<

^[25] Para precisar un poco más, diremos que Planck demostró que las ondas cuyo contenido energético mínimo es mayor que su supuesta contribución energética promedio (según la termodinámica del siglo XIX) se suprimen exponencialmente. Esta supresión es cada vez más rápida cuando examinamos ondas de frecuencia cada vez mayor. <<

^[26] La constante de Planck es 1.05 × 10^–27 gramos-centímetros²/segundo. <<

^[27] Timothy Ferris, Coming of Age in the Milky Way (New York: Anchor, 1989), p. 286. <<

^[28] Stephen Hawking, ponencia en el Amsterdam Symposium on Gravity. Agujeros negros y teoría de cuerdas, 21 de junio de 1997. <<

^[29] Es conveniente recalcar que el planteamiento de Feynman en relación con la mecánica cuántica se puede utilizar para deducir el planteamiento basado en las funciones de onda, y viceversa; por lo tanto, los dos planteamientos son totalmente equivalentes. Sin embargo, los conceptos, el lenguaje y la interpretación que cada planteamiento pone de relieve son bastante diferentes, aunque las respuestas que da cada uno son absolutamente idénticas. <<

^[30] Richard Feynman, QED: The Strange Theory of Light and Matter (Princeton: Princeton University Press, 1988). <<

^[31] Stephen Hawking, A Brief History of Time (New York: Bantam Books, 1988), p. 175. <<

^[32] Richard Feynman, como lo cita Timothy Ferris en The Whole Shebang (New York: Simon & Schuster, 1997), p. 97. <<

^[33] En el caso de que todavía esté usted perplejo pensando cómo puede suceder alguna cosa dentro de una región del espacio que está vacía, es importante constatar que el principio de incertidumbre pone un límite a lo «vacía» que puede estar en realidad una región del espacio; este principio modifica lo que podamos entender por espacio vacío. Por ejemplo, cuando se aplica a las perturbaciones que pueden causar las ondas en un campo (como las ondas electromagnéticas que se desplazan por un campo electromagnético), el principio de incertidumbre muestra que la amplitud de una onda y la velocidad con la cual cambia su amplitud están sometidas a la misma relación inversa que la posición y la velocidad de una partícula: cuanto mayor sea la precisión con la que se especifique la amplitud, menos podemos saber sobre la velocidad con que cambia su amplitud. Entonces, cuando decimos que una región del espacio está vacía, lo que normalmente queremos decir es, entre otras cosas, que no hay ondas que pasen por esa región del espacio, y que todos los campos tienen valor cero. Con un lenguaje torpe, pero en definitiva útil, podemos reformular esto diciendo que las amplitudes de todas las ondas que atraviesan la región valen exactamente cero. Pero, si conocemos con exactitud las amplitudes, el principio de incertidumbre implica que la velocidad de cambio de las amplitudes es totalmente incierta y puede tomar en esencia cualquier valor. Sin embargo, si las amplitudes cambian, esto significa que en el momento siguiente ya no valdrán cero, aunque la región del espacio siga estando «vacía», En realidad, el campo será cero en promedio, ya que en algunos lugares será positivo, mientras en otros es negativo; en cuanto al promedio la energía neta de la región no ha cambiado. Pero esto es sólo como promedio. La incertidumbre cuántica implica que la energía del campo —incluso en una región vacía del espacio— fluctúa hacia arriba y hacia abajo, con un tamaño de las fluctuaciones que se hace cada vez mayor cuando las escalas de distancia y tiempo con las que se examina la región se hacen más pequeñas. La energía que contienen estas momentáneas fluctuaciones se puede convertir mediante la fórmula E = mc² en la creación repentina de pares de partículas y sus correspondientes antipartículas, que se aniquilan mutuamente con gran rapidez, para impedir que cambie la energía, por término medio. <<

^[34] Aunque la ecuación inicial que escribió Schrödinger (la que incluía la relatividad especial) no describía exactamente las propiedades mecánico-cuánticas de los electrones que están en los átomos de hidrógeno, pronto se constató que era una ecuación válida cuando se utilizaba adecuadamente en otros contextos, y, de hecho, todavía está en uso actualmente. Sin embargo, en la época en que Schrödinger publicó esta ecuación, Oskar Klein y Walter Gordon ya se le habían adelantado, por lo que la ecuación relativista de Schrödinger recibe el nombre de «ecuación de Klein-Gordon». <<

^[35] Para el lector aficionado a las matemáticas, queremos matizar que los principios de simetría utilizados en la física de partículas elementales se basan generalmente en los grupos, sobre todo en los grupos de Lie. Las partículas elementales están organizadas en representaciones de varios grupos y las ecuaciones que rigen su evolución en el tiempo han de respetar necesariamente las transformaciones simétricas asociadas. Para la fuerza nuclear fuerte, esta simetría se llama SU(3) (la análoga a las rotaciones tridimensionales ordinarias, pero actuando en un espacio complejo), y los tres colores de un tipo dado de quark se transforman en una representación tridimensional. El desplazamiento (del rojo, verde, azul al amarillo, índigo, violeta) mencionado en el texto es concretamente una transformación SU(3) que actúa en las «coordenadas de color» de un quark. Una simetría gauge es una simetría en la que las transformaciones del grupo pueden tener una dependencia del espacio-tiempo: en este caso, «rotando» los colores del quark de maneras diferentes en ubicaciones diferentes del espacio y en momentos diferentes en el tiempo. <<

^[36] Durante el desarrollo de las teorías cuánticas de las tres fuerzas no gravitatorias, los físicos se encontraron también con cálculos que daban resultados infinitos. Sin embargo, con el tiempo gradualmente fueron dándose cuenta de que esos infinitos se podían suprimir mediante un instrumento llamado renormalización. Los infinitos que surgen al intentar fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica son casos mucho más graves y no se pueden someter a una cura de renormalización. Más recientemente, los físicos han constatado que las soluciones infinitas son señal de que una teoría se está utilizando para analizar un dominio que se encuentra más allá de los límites de su aplicabilidad. Dado que el objetivo de la investigación actual es hallar una teoría cuyo ámbito de aplicación sea, en principio, ilimitado —la teoría «definitiva» o «final»— los físicos desean hallar una teoría en la que no aparezcan soluciones infinitas, independientemente de lo extremado que pueda ser el sistema físico que se está analizando. <<

^[37] El tamaño de la longitud de Planck se puede entender basándolo en un sencillo razonamiento que tiene sus raíces en lo que los físicos llaman análisis dimensional. La idea es la siguiente: cuando una teoría se formula como un conjunto de ecuaciones, los símbolos abstractos deben estar ligados a características físicas del universo, si la teoría ha de estar en contacto con la realidad. En particular, debemos presentar un sistema de unidades tal que si un símbolo, por ejemplo, se ha de referir a una longitud, tengamos una escala mediante la cual se pueda interpretar su valor. Después de todo, si las ecuaciones muestran que la longitud en cuestión es 5, necesitamos saber si eso significa 5 centímetros, 5 kilómetros o 5 años luz, etc. En una teoría que incluye la relatividad general y la mecánica cuántica, surge de forma natural una elección de unidades, de la siguiente manera. Hay dos constantes referidas a la naturaleza de las cuales depende la relatividad general: la velocidad de la luz, c, y la constante de la gravedad de Newton, G. La mecánica cuántica depende de una constante referida a la naturaleza: ħ. Examinando las unidades de estas constantes (por ejemplo, c es una velocidad, por lo tanto se expresa como distancia dividida por el tiempo, etc). se puede ver que la expresión combinada √(ħG/c³) tiene las unidades de una longitud; de hecho es 1,616 × 10^–33 centímetros. Ésta es la longitud de Planck. Dado que incluye datos de la gravedad y del espacio-tiempo (G y c) y tiene asimismo una dependencia mecánico-cuántica (ħ), establece la escala para las mediciones (la unidad natural de longitud) en cualquier teoría que pretenda fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica. Cuando en este texto utilizamos la expresión «longitud de Planck», lo que significa tiene a menudo un sentido aproximado, indicando una longitud que está dentro de unos pocos órdenes de magnitud de 10^–33 centímetros. <<

^[38] Actualmente, además de la teoría de cuerdas, hay otros dos métodos para fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica que se están investigando activamente. Uno de ellos lo dirige Roger Penrose de la Universidad de Oxford y se conoce como teoría del twistor. El otro método, inspirado en parte por el trabajo de Penrose, lo dirige Abhay Ashtekar de la Pennsylvania State University y se conoce como el método de las nuevas variables. Aunque estos otros métodos no se van a explicar en este libro, existe una especulación creciente sobre la idea de que pueden tener una profunda conexión con la teoría de cuerdas y que, posiblemente, junto con la teoría de cuerdas, los tres planteamientos apuntan a la misma solución para fusionar la relatividad general y la mecánica cuántica. <<

^[39] El lector experto se dará cuenta de que este capítulo se centra solamente en la teoría de cuerdas perturbativa; los aspectos no perturbativos se discuten en los capítulos 12 y 13. <<

^[40] Entrevista con John Schwarz, 23 de diciembre de 1997. <<

^[41] Tamiaki Yoneya, así como Korkut Bardakci y Martin Halpern, formularon sugerencias similares de forma independiente. El físico sueco Lars Brink contribuyó también significativamente al desarrollo de la teoría de cuerdas en sus primeros tiempos. <<

^[42] Entrevista con John Schwarz, 23 de diciembre de 1997. <<

^[43] Entrevista con Michael Green, 20 de diciembre de 1997. <<

^[44] El modelo estándar sugiere un mecanismo por el cual las partículas adquieren masa —el mecanismo de Higgs, llamado según el físico escocés Peter Higgs—. Pero, desde la perspectiva de explicar las masas de las partículas, este modelo no hace más que desplazar el énfasis a la explicación de las propiedades de una hipotética «partícula donante de masa» —el llamado bosón de Higgs—. Las búsquedas experimentales de esta partícula están en marcha, pero una vez más, si se encuentran y se miden sus propiedades, estos valores serán datos que habrá que introducir en el modelo estándar, para el cual la teoría no ofrece explicación alguna. <<

^[45] Para el lector aficionado a las matemáticas, ponemos de relieve que la asociación entre los patrones vibratorios de cuerdas y las cargas de fuerza se pueden describir con mayor exactitud del modo siguiente. Cuando se cuantiza el movimiento de una cuerda, sus posibles estados vibratorios se representan mediante vectores en un espacio de Hilbert, más o menos como en cualquier sistema mecánico-cuántico. Estos vectores se pueden etiquetar por sus valores propios según un conjunto de operadores hermíticos conmutativos. Entre estos operadores está el operador de Hamilton, cuyos valores propios dan la energía y, por lo tanto, la masa del estado de vibración, así como los operadores que generan varias simetrías gauge que la teoría respeta. Los valores propios de estos últimos operadores dan las cargas de fuerza transportadas por el estado vibratorio asociado de la cuerda. <<

^[46] Basándose en ideas recogidas de la segunda revolución de las supercuerdas (comentada en el capítulo 12), Witten y, sobre todo, Joe Lykken del Fermi National Accelerator Laboratory han identificado en esta conclusión un sutil, pero posible, agujero de bucle. Lykken, aprovechando este descubrimiento, ha sugerido que podría ser que las cuerdas estuvieran posiblemente sometidas a mucha menos tensión, y fueran, en consecuencia, de un tamaño mucho mayor que el que inicialmente se les adjudicaba. De hecho, tan grandes que podrían ser observables para la próxima generación de aceleradores de partículas. Si esta remota posibilidad resulta verdadera, se plantea la emocionante perspectiva de que muchas de las importantes implicaciones de la teoría de cuerdas que se comentan en este y en los siguientes capítulos sean verificables experimentalmente durante la próxima década. Sin embargo, incluso en el marco más «convencional», adoptado por los especialistas en teoría de cuerdas, en el que las cuerdas son generalmente del orden de 10^–33 centímetros de longitud, existen modos indirectos para buscarlas experimentalmente, como veremos en el capítulo 9. <<

^[47] El lector experto se dará cuenta de que el fotón producido en una colisión entre un electrón y un positrón es un fotón virtual y por consiguiente debe soltar su energía rápidamente disociándose en un par partícula-antipartícula. <<

^[48] Por supuesto, una cámara funciona captando fotones que rebotan sobre el objeto enfocado y reuniéndolos sobre un trozo de película fotográfica. Nuestra utilización de una cámara en este ejemplo es simbólica, ya que no nos imaginamos que los fotones reboten sobre las cuerdas con las que chocan. Lo que queremos es sencillamente recoger en la Figura 6.7 (c) toda la historia de la interacción. Dicho esto, debemos señalar otro aspecto sutil que la discusión en el texto ha dejado encubierto. Vimos en el capítulo 4 que podemos formular la mecánica cuántica utilizando el método de Feynman de sumar trayectorias, en el que analizamos el movimiento de los objetos combinando las contribuciones de todas las trayectorias posibles que van desde algún punto de partida que se ha seleccionado, hasta algún destino elegido (contribuyendo cada trayectoria con un peso estadístico determinado por Feynman). En las Figuras 6.6 y 6.7 mostramos una de las infinitas trayectorias posibles recorridas por partículas puntuales (Figura 6.6) o por cuerdas (Figura 6.7), llevándolas desde sus posiciones iniciales hasta sus destinos definitivos. La discusión que se lleva a cabo en esta sección, no obstante, es aplicable igualmente a cualquiera de las demás trayectorias posibles y, por lo tanto, es aplicable a todo el proceso mecánico-cuántico en sí mismo. (La formulación de Feynman relativa a la mecánica cuántica de las partículas puntuales en el marco de las trayectorias sumadas se generalizó a la teoría de cuerdas mediante los trabajos de Stanley Mandelstarn de la Universidad de California en Berkeley, y del físico ruso Alexander Polyakov, que trabaja ahora en el cuerpo docente del departamento de física de la Universidad de Princeton).<<

^[49] Albert Einstein, como lo cita R. Clark en Einstein: The Life and Times (New York: Avon Books, 1984), p. 287. <<

^[50] Más exactamente, espín–½ significa que el momento angular del electrón a partir de su espín es h/2. <<

^[51] El descubrimiento y desarrollo de la supersimetría tienen una historia complicada. Además de las ya citadas en el texto, hubo contribuciones tempranas esenciales realizadas por R. Haag, M. Sohnius, J. T. Lopuszanski, Y. A. Golfand, E. P. Lichtman, J. L. Gervais, B. Sakita, V. P. Akulov, D. V. Volkov y V. A. Soroka, entre otros muchos. Algunos de sus trabajos están documentados en Rosanne Di Stefano, Notes on the Conceptual Development of Supersymmetry, Institute for Theoretical Physics, State University of New York en Stony Brook, preimpresión ITP-SB-8878. <<

^[52] Para el lector aficionado a las matemáticas diremos que esta extensión lleva consigo el aumento de las conocidas coordenadas cartesianas del espacio-tiempo mediante nuevas coordenadas cuánticas, por ejemplo u y v, que son anticonmutativas: u × v = –v × u. Se puede concebir entonces la supersimetría como traslaciones en este tipo de espacio-tiempo aumentado de una manera mecánico-cuántica. <<

^[53] Para el lector que esté interesado en conocer más detalles sobre esta cuestión técnica, aclaramos lo siguiente. En la nota 44 del capítulo 6 decíamos que el modelo estándar alude a una «partícula donante de masa» (el bosón de Higgs) que dotaría de sus masas observadas a las partículas de las Tablas 1.1 y 1.2. Para que este procedimiento funcione, la partícula de Higgs no puede tener un peso demasiado grande; varios estudios muestran que su masa ciertamente no debe ser mayor que alrededor de 1.000 veces la masa de un protón. Pero resulta que las fluctuaciones cuánticas tienden a contribuir sustancialmente a la masa de la partícula de Higgs, haciendo que su masa se vaya acercando potencialmente a la escala de Planck. Los teóricos han descubierto, sin embargo, que este resultado, que revelaría un defecto importante en el modelo estándar, se puede evitar si ciertos parámetros del modelo estándar (sobre todo, la llamada masa simple de la partícula de Higgs) se ajustan con precisión de hasta 1 parte entre 10¹⁵ para contrarrestar los efectos de dichas fluctuaciones cuánticas sobre la masa de la partícula de Higgs. <<

^[54] Un aspecto sutil que se puede mencionar en relación con la Figura 7.1 es que se ha demostrado que la intensidad de la fuerza nuclear débil está entre la de la fuerza nuclear fuerte y la de la fuerza electromagnética, mientras que anteriormente hemos dicho que es inferior a ambas. La razón de esto se puede ver en la Tabla 1.2 en la que se pone de manifiesto que las partículas mensajeras de la fuerza nuclear débil tienen una masa bastante grande, mientras que las de la fuerza nuclear fuerte y las de la fuerza electromagnética no tienen masa. Intrínsecamente, la intensidad de la fuerza nuclear débil —según la medición realizada mediante su constante de acoplamiento (un método que encontraremos en el capítulo 12)— es como se muestra en la Figura 7.1, pero sus partículas mensajeras, dotadas de masa, son perezosas a la hora de transportar su influencia y hacen que sus efectos disminuyan. En el capítulo 14 veremos cómo encaja la fuerza gravitatoria en la Figura 7.1. <<

^[55] Edward Witten, conferencia en Heinz Pagels Memorial Lecture Series, Aspen, Colorado, 1997. <<

^[56] Para una explicación a fondo de estos y otros conceptos relacionados, véase Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory. <<

^[57] Es una idea sencilla, pero dado que la imprecisión del lenguaje corriente puede a veces inducir a confusión, conviene hacer dos observaciones aclaratorias. En primer lugar, estamos suponiendo que la hormiga se ve obligada a vivir sobre la superficie de la manguera de riego. Si, por el contrario, la hormiga pudiera excavar una madriguera en el interior de la manguera —si pudiera penetrar en el material de goma de la manguera— necesitaríamos tres números para precisar su posición, ya que también tendríamos que indicar la profundidad hasta la que ha excavado. Pero, si la hormiga vive únicamente en la superficie de la manguera, su ubicación se puede especificar con tan sólo dos números. Esto nos lleva al segundo punto. Incluso en el caso de que la hormiga viva en la superficie de la manguera, podríamos, si optamos por ello, especificar su ubicación mediante tres números: las posiciones habituales izquierda-derecha, adelante-atrás y arriba-abajo de nuestro espacio tridimensional habitual. Sin embargo, una vez que sabemos que la hormiga vive en la superficie de la manguera, los dos números mencionados en el texto nos dan los datos mínimos que determinan de manera unívoca la posición de la hormiga. Esto es lo que queremos decir cuando hablamos de que la superficie de la manguera es bidimensional. <<

^[58] Sorprendentemente, los físicos Savas Dimopoulos, Nima Arkani-Hamed y Gia Dvali, trabajando sobre anteriores descubrimientos de Ignatios Antionadis y Joseph Lykken, han señalado que, aunque una dimensión adicional arrollada tuviera un tamaño de un milímetro, es posible que todavía no hubiera sido detectada experimentalmente. La razón es que los aceleradores de partículas comprueban el microcosmos utilizando las fuerzas nucleares débil y fuerte, y la fuerza electromagnética. La fuerza de la gravedad en general se ignora, ya que es increíblemente débil cuando se utilizan las energías tecnológicamente accesibles. Pero Dimopoulos y sus colaboradores observaron que si la dimensión adicional arrollada produce impacto predominantemente en la fuerza de la gravedad (algo que resulta bastante plausible en la teoría de cuerdas), podía ser que ninguno de los experimentos realizados hasta el momento la hubieran detectado. En un futuro cercano se realizarán nuevos experimentos altamente sensibles a la gravedad que buscarán esas dimensiones arrolladas «grandes». Un resultado positivo sería uno de los mayores descubrimientos de todos los tiempos. <<

^[59] Edwin Abbott, Flatland (Princeton: Princeton University Press, 1991). <<

^[60] Albert Einstein en una carta a T. Kaluza citada en Abraham Pais, “Subtle is the Lord”: The Science and the Life of Albert Einstein (Oxford: Oxford University Press, 1982), p. 330. <<

^[61] A. Einstein en una carta a T. Kaluza citada en D. Freedman y P. van Nieuwenhuizen, “The Hidden Dimensions of Spacetime”, Scientific American 252 (1985), 62. <<

^[63] Los físicos descubrieron que, dentro del modelo estándar, la característica que resultaba más difícil de expresar mediante una formulación definida en una dimensión superior era lo que se llama la chirality. Para no sobrecargar la discusión no hemos cubierto este concepto en el texto principal, pero lo haremos aquí brevemente para aquellos lectores que estén interesados. Supongamos que alguien nos muestra una filmación de algún experimento científico particular y nos plantea el desafío inusual de determinar si se filmó el experimento directamente o si se filmó su reflejo en un espejo. Como el operador era bastante experto, no hay indicios que revelen la utilización de un espejo. ¿Podríamos aceptar el desafío? A mediados de la década de 1950, los hallazgos teóricos de T. D. Lee y C. N. Yang, así como los resultados experimentales de C. S. Wu y sus colaboradores, demostraron que se puede aceptar el desafío, siempre y cuando se haya filmado el experimento adecuado. Concretamente, su trabajo establece que las leyes del universo no tienen una simetría de espejo perfecta, en el sentido de que la versión reflejada de ciertos procesos —aquellos que dependen directamente de la fuerza nuclear débil— no pueden suceder en nuestro universo, aunque el proceso original sí pueda suceder. Por consiguiente, cuando miramos la película, si vemos que tiene lugar uno de esos procesos prohibidos, sabemos que estamos viendo una imagen del experimento reflejada en el espejo, en vez del auténtico experimento. Dado que los espejos intercambian la izquierda y la derecha, la obra de Lee, Yang y Wu establece que el universo no tiene una simetría izquierda-derecha perfecta, es decir, en el lenguaje de los especialistas el universo es chiral. Ésta es la característica del modelo estándar (de la fuerza nuclear débil, en particular) que los físicos consideran casi imposible de incorporar a un marco de la supergravedad de dimensión superior. Para evitar confusiones, téngase en cuenta que en el capítulo 10 discutiremos un concepto de la teoría de cuerdas conocido como «simetría especular», pero el uso de la palabra «espejo» en ese contexto es completamente diferente del que tiene aquí. <<

^[64] Para el lector aficionado a las matemáticas, diremos que una variedad de Calabi-Yau es una variedad compleja de Káhler con una clase principal de anulación de Chern. En 1957, Calabi formuló la conjetura según la cual toda variedad de este tipo admite una métrica de Ricci plana, y en 1977 Yau demostró que esto es cierto. <<

^[65] Esta ilustración es cortesía de Andrew Hanson de la Universidad de Indiana y se realizó utilizando el paquete gráfico Mathematica 3-D. <<

^[66] Para el lector aficionado a las matemáticas diremos que concretamente este espacio de Calabi-Yau es una rodaja tridimensional real de la hipersuperficie quíntica en un espacio proyectivo complejo de cuatro dimensiones. <<

^[67] Edward Witten, “Reflections on the Fate of Spacetime” Physics Today, Abril de 1996, p. 24. <<

^[68] Entrevista con Edward Witten, 11 de Mayo de 1998. <<

^[69] Sheldon Glashow y Paul Ginsparg, “Desperately Seeking Superstrings?”, Physics Today, Mayo de 1986, p. 7. <<

^[70] Sheldon Glashow, en The Superworld I, ed. A. Zichichi (New York: Plenum, 1990), p. 250. <<

^[71] Sheldon Glashow, Interactions (New York: Warner Books, 1988), p. 335. <<

^[72] Richard Feynman, en Superstrings: A Theory of Everything? ed. Paul Davies and Julian Brown (Cambridge, Eng: Cambridge University Press, 1988). <<

^[73] Howard Georgi, in The New Physics, ed. Paul Davies (Cambridge: Cambridge University Press 1989), p. 446. <<

^[74] Entrevista con Edward Witten, 4 de Marzo de 1998. <<

^[75] Entrevista con Cumrun Vafa, 12 de Enero de 1998. <<

^[76] Murray Gell-Mann, citado en Robert P. Crease y Charles C. Mann, The Second Creation (New Brunswick, N.J.: Rutgers University Press), 1996, p. 414. <<

^[77] Entrevista con Sheldon Glashow, 28 de Diciembre de 1997. <<

^[78] Entrevista con Sheldon Glashow, 28 de Diciembre de 1997. <<

^[79] Entrevista con Howard Georgi, 28 de Diciembre de 1997. Durante la entrevista, Georgi también indicó que la refutación experimental de la predicción del decaimiento del protón que surgía de su propuesta con Glashow de la primera gran teoría unificada (ver Capítulo 7) juega un rol importante en su reluctancia a abrazar la teoría de supercuerdas. Afirmaba en tono mordaz que su gran teoría unificada se refería a un dominio de energía considerablemente mayor que el de cualquier teoría anterior, y, cuando se demostró que su teoría estaba equivocada —cuando resultó, según sus propias palabras, que «la naturaleza lo había derribado de una bofetada»— su actitud con respecto al estudio de la física de energías extremadamente altas cambió de una manera drástica. Cuando le pregunté si la confirmación experimental de su gran teoría unificada hubiera podido inducirle a remitir la carga a la escala de Planck, me respondió: «Sí, probablemente lo hubiera hecho». <<

^[80] David Gross, “Superstrings and Unification”, en Proceedings of the XXIV International Conference on High Energy Physics, ed. R. Kotthaus y J. Kühn (Berlin: Springer-Verlag, 1988), p. 329. <<

^[81] Dicho esto, vale la pena recordar la posibilidad remota, apuntada en la nota final 46 del capítulo 6, de que las cuerdas podrían ser significativamente más largas de lo que se pensó inicialmente y que, por consiguiente, dentro de unas pocas décadas podrían ser sometidas a una observación experimental directa mediante aceleradores de partículas. <<

^[82] Para el lector aficionado a las matemáticas añadiremos que, dicho de un modo matemático más preciso, el número de familias es la mitad del valor absoluto del número de Euler del espacio de Calabi-Yau. El número de Euler es la suma alternante de las dimensiones de los grupos de homologías de las variedades, siendo estos grupos lo que vulgarmente denominamos agujeros multidimensionales. Así, hay tres familias que surgen de los espacios de Calabi-Yau cuyo número de Euler es ±6. <<

^[83] Entrevista con John Schwarz, 23 de Diciembre de 1997. <<

^[84] Para el lector aficionado a las matemáticas precisaremos que nos referimos a las variedades de Calabi-Yau con un grupo fundamental no trivial y finito, cuyo orden, en ciertos casos, determina los denominadores de las cargas fraccionarias. <<

^[85] Entrevista con Edward Witten, 4 de marzo de 1998. <<

^[86] Para el experto diremos que algunos de estos procesos infringen la conservación del número de leptones así como la simetría inversa del tiempo de la paridad de carga (charge-parity-time: CPT). <<

^[87] Para completar lo dicho, añadamos que, aunque mucho de lo que hemos cubierto hasta ahora en el texto se aplica igualmente a las cuerdas abiertas (cuerdas con los extremos sueltos) y a los bucles de las cuerdas cerradas (las cuerdas en las que nos hemos centrado), en el tema que se discute aquí resultaría que los dos tipos de cuerdas tienen propiedades diferentes. Después de todo, una cuerda abierta no se va a enmarañar por hacer bucles en torno a una dimensión circular. No obstante, en 1989, con un trabajo que decididamente ha desempeñado un papel decisivo en la segunda revolución de las supercuerdas, Joe Polchinski, de la Universidad de California en Santa Bárbara, y dos de sus discípulos, Jian-Hui Dai y Robert Leigh, demostraron cómo las cuerdas abiertas encajan perfectamente en las conclusiones a las que llegamos en este capítulo. <<

^[88] En el caso de que usted se esté preguntando por qué las posibles energías de vibración uniformes son múltiplos enteros de 1/R, basta con que retroceda mentalmente a la discusión sobre mecánica cuántica —concretamente el ejemplo del almacén— del capítulo 4. Allí vimos que la mecánica cuántica implica que la energía, como el dinero, se presenta en paquetes discretos: múltiplos enteros de distintas denominaciones o valores de la energía. En el caso del movimiento de vibración uniforme de las cuerdas en el universo de la manguera de riego, este valor de la energía es precisamente 1/R, como demostramos en el texto aplicando el principio de incertidumbre. Por lo tanto, las energías de vibración uniformes son múltiplos enteros de 1/R. <<

^[89] Matemáticamente, la identidad entre las energías de las cuerdas en un universo dotado de una dimensión circular cuyo radio es o bien R, o 1/R, se deriva del hecho de que las energías son de la forma v/R + wR, donde v es el número cuántico de vibración u oscilación, y w es el número de enrollamiento. Esta ecuación es invariable con respecto al intercambio simultáneo de v y w, así como de R y 1/R —es decir, con respecto al intercambio de los números cuánticos de vibración y enrollamiento, y con respecto a la inversión del radio—. En nuestra discusión trabajamos con unidades de Planck, pero también lo podemos hacer con unidades más convencionales reescribiendo la fórmula de la energía en términos de √α’ —la denominada escala de las cuerdas— cuyo valor es más o menos la longitud de Planck, 10^–33 centímetros. A continuación podemos expresar las energías de las cuerdas como v/R + wR/α’, que es invariable con respecto al intercambio de v y w así como de R y α’/R, donde estos dos últimos valores se expresan ahora en unidades convencionales de longitud. <<

^[90] Puede que usted se esté preguntando cómo es posible que una cuerda que se despliega siempre en torno a una dimensión circular de radio R, sin embargo nos dé una medida del radio con valor 1/R. Aunque ésta es una preocupación plenamente justificable, la respuesta se basa realmente en la imprecisa formulación de la propia pregunta. Cuando decimos que una cuerda se enrolla envolviendo un círculo de radio R, necesariamente estamos aludiendo a una definición de distancia (de tal modo que la expresión «radio R» tenga sentido). Pero esta definición de distancia es la que resulta importante para los modos de cuerdas no enrolladas, es decir, los modos de vibración. Desde la perspectiva de esta definición de distancia —y sólo de esta definición— las configuraciones de las cuerdas enrolladas se estiran rodeando la parte circular del espacio. Sin embargo, a partir de la segunda definición de distancia, la que se refiere a las configuraciones de las cuerdas enrolladas, las configuraciones están formadas por cada trozo en cuanto a que dicho trozo se encuentra localizado en el espacio, al igual que los modos de vibración lo están desde la perspectiva de la primera definición de distancia, y el radio que «ven» es 1/R, tal como se dice en el texto.

Esta descripción explica en cierto modo por qué las cuerdas enrolladas y no enrolladas miden distancias que están en relación inversa. Pero, dado que esta cuestión es bastante sutil, quizá sea conveniente, para el lector aficionado a las matemáticas, que señalemos cuál es el análisis técnico en que se basa esto. En la mecánica cuántica ordinaria de las partículas puntuales, la distancia y el ímpetu (esencialmente la energía) están relacionados mediante la transformación de Fourier. Es decir, el estado propio |x> de posición en un círculo de radio R se puede definir mediante |x> = Σ_ve^ixp|p>;, donde p = v/R y |p> es un estado propio del ímpetu (la analogía directa de lo que hemos llamado el modo de vibración uniforme de una cuerda: movimiento global sin cambio en la forma). Sin embargo, en la teoría de cuerdas existe una segunda noción de estado propio de posición |x^~> que se define utilizando los estados de enrollamiento de las cuerdas: |x^~> = Σ_we^{ix^~p^~}|p^~> donde p^~> es un estado propio de enrollamiento, siendo p^~ = wR A partir de estas definiciones vemos que x es periódica con período 2πR mientras que x^~ es periódica con período 2π/R, mostrando que x es una coordenada de posición en un círculo de radio R^~ , mientras que x^~ es la coordenada de posición en un círculo de radio 1/R. De una manera aún más explícita, podemos suponer que tomamos los dos paquetes de ondas |x> y \x^~>, comenzando ambos, por ejemplo, en el origen, y que dejamos que evolucionen en el tiempo con el fin de aplicar nuestro método operativo para definir la distancia. El radio del círculo, según la medición de cada sondeo, es entonces proporcional al lapso de tiempo requerido para que el paquete vuelva a su configuración inicial. Puesto que un estado con una energía E evoluciona mediante un vector de fase en el que interviene Et, vemos que el lapso de tiempo, y por lo tanto el radio, es t~1/E~R para los modos de vibración y t~1/E~1/R para los modos de enrollamiento. <<

^[91] Para el lector aficionado a las matemáticas, aclararemos que, más exactamente, el número de familias de vibraciones de cuerdas es un medio del valor absoluto del número característico de Euler del espacio de Calabi-Yau, como ya mencionamos en la nota 82 del capítulo 9. Esto viene dado por el valor absoluto de la diferencia entre h ^2,1 y h^1,1, donde h^p,q denota el número de Hodge (p,q) Salvo un cambio numérico, estos números indican la cantidad de ciclos homológicos, tridimensionales y no triviales («agujeros tridimensionales») y el número de ciclos homológicos bidimensionales («agujeros bidimensionales»). Y así, mientras en el texto principal hablamos del número total de agujeros, un análisis más preciso demuestra que el número de familias depende del valor absoluto de la diferencia entre los agujeros de dimensión par y los de dimensión impar. La conclusión, no obstante, es la misma. Por ejemplo, si dos espacios de Calabi-Yau difieren por el intercambio de sus respectivos h ^2,1 y h^1,1 números de Hodge, el número de familias de partículas —y el número total de «agujeros»— no cambiará. <<

^[92] El nombre procede del hecho de que los «diamantes de Hodge» —un resumen matemático de los agujeros de distintas dimensiones en un espacio de Calabi-Yau— son reflejo especular unos de otros para cada espacio de Calabi-Yau formado por un par de espejos. <<

^[93] El término simetría especular se utiliza también en otros contextos completamente diferentes dentro de la física, tales como la cuestión de la chiralidad —es decir, si el universo tiene simetría izquierda-derecha— como se explicó en la nota 63 del capítulo 8. <<

^[94] El lector aficionado a las matemáticas se dará cuenta de que estamos preguntando si la topología del espacio es dinámica, es decir, si puede cambiar. Aunque, a menudo, podemos utilizar el lenguaje del cambio de topología dinámico, en la práctica nos referimos generalmente a una familia de espacios-tiempos cuya topología cambia en función del parámetro. En términos técnicos, este parámetro no es el tiempo, pero dentro de ciertos límites puede identificarse esencialmente con el tiempo. <<

^[95] Para el lector aficionado a las matemáticas, diremos que este procedimiento incluye la supresión de las curvas racionales de una variedad de Calabi-Yau y el posterior uso del hecho de que, en determinadas circunstancias, la singularidad resultante se puede reparar mediante pequeñas resoluciones diferentes. <<

^[96] K. C. Cole, New York Times Magazine, 18 de Octubre de 1987, p. 20. <<

^[97] Albert Einstein, según se cita en John D. Barrow, Theories of Everything (New York: Fawcett-Columbine, 1992), p. 13. <<

^[98] Resumamos brevemente las diferencias entre las cinco teorías de cuerdas. Para ello, hemos de tener en cuenta que las perturbaciones vibratorias pueden recorrer un bucle de cuerda en el sentido de las agujas del reloj, o en el sentido contrario. Las teorías de cuerdas del Tipo IIA y del Tipo IIB difieren en que en la última teoría, estas vibraciones en el sentido de las agujas del reloj y en el contrario son idénticas, mientras que en la primera son opuestas en cuanto a la forma.

Opuestas tiene un significado matemático preciso en este contexto, pero lo más fácil es pensar en ella en los términos de los espines de los patrones vibratorios resultantes en cada teoría. En la teoría del Tipo IIB, resulta que todas las partículas giran en el mismo sentido (tienen todas la misma chiralidad), mientras que en la teoría del Tipo IIA giran en ambos sentidos (tienen ambas chiralidades). Sin embargo cada teoría posee supersimetría. Las dos teorías heteróticas difieren de un modo similar, pero más drástico. Cada una de sus vibraciones de cuerdas en el sentido de las agujas del reloj tiene el mismo aspecto que las de la teoría de cuerdas del Tipo II (cuando nos centramos exclusivamente en las vibraciones realizadas en el sentido de las agujas del reloj, las teorías del Tipo IIA y del Tipo IIB son la misma teoría), pero las vibraciones correspondientes en el sentido opuesto al de las agujas del reloj son las de la teoría bosónica de cuerdas original. Aunque las cuerdas bosónicas plantean problemas irresolubles cuando se eligen tanto para las vibraciones de cuerdas en el sentido de las agujas del reloj, como para las otras, en 1985 David Gross, Jeffrey Harvey, Emit Martinez y Ryan Rohm (todos trabajaban entonces en la Universidad de Princeton y doblaban al «Princeton String Quartet») demostraron que surge una teoría perfectamente coherente, si se usa en combinación con la teoría de cuerdas del Tipo II. La auténtica característica extraña es que desde que se publicó el trabajo de Claude Lovelace de la Rutgers University en 1971 y el de Richard Brower de la Universidad de Boston, Peter Goddard de la Universidad de Cambridge y Charles Thorn de la Universidad de Florida en Gainesville en 1972, se ha sabido que la cuerda bosónica requiere un espacio-tiempo de 26 dimensiones, mientras que la supercuerda, como ya hemos explicado, requiere uno de 10 dimensiones. Por lo tanto, las construcciones de cuerdas heteróticas son un extraño híbrido —una heterosis— donde, curiosamente, los patrones vibratorios en el sentido contrario a las agujas del reloj viven en 26 dimensiones y los modelos en el sentido de las agujas del reloj viven en 10 dimensiones. Antes de que el lector se haga un lío intentando comprender esta sorprendente unión, ha de saber que Gross y sus colaboradores demostraron que las 16 dimensiones adicionales de la parte bosónica deben arrollarse en una de las dos formas muy especiales, de dimensión superior y parecidas a una rosquilla, que dan lugar a las teorías Heterótica-O y Heterótica-E. Dado que estas 16 dimensiones adicionales de la parte bosónica están rígidamente arrolladas, cada una de estas teorías se comporta como si en realidad tuviera 10 dimensiones, justamente como en el caso del tipo II. Una vez más, ambas teorías heteróticas incluyen una versión de la supersimetría. Finalmente, la teoría del Tipo I es pariente cercana de la teoría de cuerdas del Tipo IIB, salvo que, además de los bucles cerrados de cuerdas que hemos mencionado en capítulos anteriores, tiene también cuerdas cuyos extremos no están conectados, es decir, las llamadas cuerdas abiertas. <<

^[99] Cuando hablamos en este capítulo de respuestas «exactas», tales como el movimiento «exacto» de la Tierra, lo que esto significa realmente es la predicción exacta de alguna cantidad física dentro de cierto marco teórico previamente elegido Hasta que tengamos verdaderamente la teoría final —quizá la tengamos ahora, quizá no la tengamos jamás— todas nuestras teorías serán en sí mismas aproximaciones de la realidad. Pero este concepto de aproximación no tiene nada que ver con lo que discutimos en este capítulo. Aquí lo que nos preocupa es el hecho de que, dentro de una teoría determinada, a menudo es difícil, si no imposible, obtener las predicciones exactas que hace la teoría. En vez de esto, hemos de obtener esas predicciones utilizando métodos de aproximación basados en un planteamiento perturbativo. <<

^[100] Estos diagramas son versiones de los llamados diagramas de Feynman llevados a la teoría de cuerdas. Richard Feynman inventó estos diagramas para realizar cálculos perturbativos dentro de la teoría de campos cuánticos de partículas puntuales. <<

^[101] Más exactamente, todo par de cuerdas virtuales, es decir, todo bucle dentro de un diagrama dado, contribuye —entre otros términos más complicados— con un factor multiplicativo a la constante de acoplamiento de cuerdas. La existencia de más bucles implica más factores en el cálculo de la constante de acoplamiento de cuerdas. Si la constante de acoplamiento de cuerdas es menor que 1, las multiplicaciones reiteradas hacen que la contribución global sea cada vez menor; si la constante es igual o mayor que 1, las multiplicaciones reiteradas producen una contribución de la misma magnitud o mayor. <<

^[102] Para el lector aficionado a las matemáticas, precisaremos que la ecuación afirma que el espacio-tiempo debe admitir una métrica de Ricci plana. Si dividimos el espacio-tiempo en un producto cartesiano de un espacio-tiempo de Minkowski y un espacio compacto de Kahler de seis dimensiones, el carácter plano de Ricci es equivalente a que este último espacio sea una variedad de Calabi-Yau. Ésta es la razón por la que los espacios de Calabi-Yau desempeñan un papel tan prominente en la teoría de cuerdas. <<

^[103] Desde luego, no hay absolutamente nada que asegure que estos métodos indirectos estén justificados. Por ejemplo, del mismo modo que algunos rostros no poseen simetría izquierda-derecha, podría ser que las leyes de la física fueran diferentes en otras regiones remotas del universo, como explicaremos brevemente en el capítulo 14. <<

^[104] El lector experto se dará cuenta de que estos planteamientos requieren la llamada supersimetría N=2. <<

^[105] Para ser un poco más precisos, si llamamos g_HO a la constante de acoplamiento en la teoría Heterótica-O, y g_I a la constante de acoplamiento de la teoría del Tipo I, entonces la relación entre las dos teorías confirma que son físicamente idénticas siempre que se cumpla g_HO = 1/g_I que es equivalente a g_I = 1/g_HO. Cuando una constante de acoplamiento es grande, la otra es pequeña. <<

^[106] Se trata de una analogía muy cercana a la dualidad entre R y 1/R que hemos explicado anteriormente. Si llamamos g_IIB a la constante de acoplamiento de cuerdas de la teoría del Tipo IIB, entonces lo cierto es que los valores g_IIB y 1/g_IIB describen la misma física. Si g_IIB es grande, 1/g_IIB es pequeña, y viceversa. <<

^[107] Si todas las dimensiones excepto cuatro de ellas están arrolladas, una teoría con un total de más de once dimensiones origina necesariamente partículas sin masa con un espín mayor que 2, algo que prohíben tanto las consideraciones teóricas, como las experimentales. <<

^[108] Una excepción notable es el importante trabajo de 1987 realizado por Duff, Paul Howe, Takeo Inami, y Kelly Stelle en el que incluyeron anteriores concepciones de Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin, y Townsend para afirmar que la teoría de cuerdas en diez dimensiones debe tener una profunda conexión con las once dimensiones. <<

^[109] Más exactamente, este diagrama se debe interpretar diciendo que tenemos una única teoría que depende de un cierto número de parámetros. Entre los parámetros se incluyen constantes de acoplamiento, así como parámetros geométricos para el tamaño y la forma. En principio, tendríamos que ser capaces de utilizar la teoría con el fin de calcular valores concretos de todos esos parámetros —un valor concreto para su constante de acoplamiento y una forma concreta para la geometría del espacio-tiempo— pero con nuestros conocimientos teóricos actuales no sabemos cómo llevar a cabo esta tarea. Y así, para comprender mejor la teoría los especialistas en teoría de cuerdas estudian sus propiedades cuando los valores de esos parámetros varían recorriendo todos los valores posibles. Si se eligen los valores de los parámetros de tal forma que estén en alguna de las seis regiones peninsulares de la Figura 12.11, la teoría tendrá las propiedades inherentes a una de las cinco teorías de cuerdas, o a la supergravedad en once dimensiones, como ya se ha indicado. Si los valores de los parámetros se eligen de tal forma que estén en la región central, la física estará gobernada por la aún misteriosa Teoría-M. <<

^[110] Sin embargo, hemos de poner de manifiesto que, incluso en las regiones peninsulares, existen algunos métodos exóticos en los que las branas pueden producir algún efecto sobre la física que conoce nuestra intuición. Por ejemplo, se ha sugerido que nuestras tres dimensiones espaciales extendidas podrían ser ellas mismas una tribrana extensa y desplegada. Si es así, cuando nos movemos en nuestras actividades diarias, estaríamos deslizándonos por el interior de una membrana tridimensional. Actualmente se está emprendiendo la investigación de estas posibilidades. <<

^[111] Entrevista con Edward Witten, 11 de mayo de 1998. <<

^[112] El lector experto se dará cuenta de que, cuando se somete a una simetría especular, una esfera tridimensional que se esté colapsando en un espacio de Calabi-Yau se dibuja como una esfera bidimensional que se está colapsando en el espacio espejo de Calabi-Yau —llevándonos aparentemente a la situación de las transiciones blandas que comentamos en el capítulo 11—. Sin embargo, la diferencia es que una remodelación especular de este tipo da como resultado que se desvanezca el campo de tensores antisimétricos B^„ —la parte real de la forma complejizada de Káhler en el espacio espejo de Calabi-Yau— y éste es un tipo de singularidad mucho más drástica que la que hemos comentado en el capítulo 11. <<

^[113] Más precisamente, éstos son ejemplos de agujeros negros extremados: agujeros negros que tienen la masa mínima que es coherente con las cargas de fuerza que transportan, igual que los estados BPS del capítulo 12. Unos agujeros negros similares desempeñarán también un papel decisivo en la discusión sobre la entropía de los agujeros negros que veremos más adelante. <<

^[114] La radiación emitida por un agujero negro debe ser exactamente igual que la que emite un horno caliente —el mismo problema, mencionado al final del capítulo 4, que desempeñó un papel tan decisivo en el desarrollo de la mecánica cuántica—. <<

^[115] Resulta que, debido a que los agujeros negros que participan en las transiciones de plegado cónico con rasgado del espacio son extremados, no emiten las radiaciones que predecía Hawking, independientemente de lo ligeros que lleguen a ser. <<

^[116] Stephen Hawking, conferencia durante el Simposio de Amsterdam sobre gravedad, agujeros negros y cuerdas, 21 de junio de 1997. <<

^[117] En su cálculo inicial, Strominger y Vafa descubrieron que los cálculos matemáticos se volvían más fáciles trabajando con cinco —no cuatro— dimensiones extendidas del espacio-tiempo. Sorprendentemente, después de terminar su cálculo de la entropía de uno de estos agujeros negros de cinco dimensiones, constataron que ningún teórico había elaborado hasta entonces aquellos hipotéticos agujeros negros extremados en el marco de la relatividad general en cinco dimensiones. Dado que sólo podían confirmar sus resultados comparando su respuesta con el área del horizonte de sucesos de uno de aquellos hipotéticos agujeros negros, Strominger y Vafa se pusieron a construir matemáticamente un agujero negro de cinco dimensiones. Lo consiguieron. Entonces fue sencillo demostrar que el cálculo microscópico de la entropía, realizado según la teoría de cuerdas, coincidía con lo que Hawking habría predicho basándose en el área del horizonte de sucesos del agujero negro. Sin embargo, es interesante constatar que, debido a que la solución del agujero negro se halló más tarde, Strominger y Vafa no sabían cuál era la respuesta que estaban buscando mientras realizaban sus cálculos de la entropía. Desde que se realizó este trabajo, muchos físicos, dirigidos principalmente por el físico de Princeton Curtis Callan, habían logrado extender los cálculos de la entropía al marco más familiar de las cuatro dimensiones extendidas del espacio-tiempo, y todos están de acuerdo con las predicciones de Hawking. <<

^[118] Entrevista con Sheldon Glashow, 29 de diciembre de 1997. <<

^[119] Laplace, Philosophical Essay on Probabilities, traductor. Andrew I. Dale (New York: Springer-Verlag, 1995). <<

^[120] Stephen Hawking, en Hawking y Roger Penrose, The Nature of Space and Time (Princeton: Princeton University Press, 1995), p. 41. <<

^[121] Stephen Hawking, conferencia durante el Simposio de Amsterdam sobre gravedad, agujeros negros y cuerdas, 21 de junio de 1997. <<

^[122] Entrevista con Andrew Strominger, 29 de diciembre de 1997. <<

^[123] Entrevista con Cumrun Vafa, 12 de enero de 1998. <<

^[124] Stephen Hawking, conferencia durante el Simposio de Amsterdam sobre gravedad, agujeros negros y cuerdas, 21 de junio de 1997. <<

^[125] Este tema tiene también alguna relación con la cuestión de la pérdida de información, ya que algunos físicos han especulado durante años con la posibilidad de que pudiera haber una «pepita» central incrustada en las profundidades del agujero negro donde se almacenaría toda la información aportada por la materia que queda atrapada dentro del horizonte del agujero negro. <<

^[126] De hecho, las transiciones de plegado cónico con rasgado del espacio que se han comentado en este capítulo incluyen a los agujeros negros, por lo que podría parecer que estuvieran vinculadas con la cuestión de sus singularidades. Pero debemos reconocer que el rasgado asociado con el plegado cónico se produce justo cuando el agujero negro se ha despojado de toda su masa, por lo que, como consecuencia, dicho rasgado no está directamente relacionado con cuestiones concernientes a las singularidades de los agujeros negros. <<

^[127] Más precisamente, el universo debería estar lleno de fotones correspondientes a la radiación emitida térmicamente por un cuerpo perfectamente absorbente —un «cuerpo negro» en la jerga de la termodinámica— que tiene la gama de temperaturas mencionada. Se trata del mismo espectro de radiación emitida mecánico-cuánticamente por los agujeros negros, como explicó Hawking, y por un horno caliente, según explicó Planck. <<

^[128] Esta discusión expresa el espíritu de los temas relacionados, aunque estamos ignorando algunas características sutiles relacionadas con el movimiento de la luz en un universo en expansión que afecta a ciertas magnitudes concretas. En particular, aunque la relatividad especial afirma que nada puede desplazarse a una velocidad mayor que la de la luz, esto no impide a dos fotones que se desplazan por la estructura espacial en expansión que se alejen el uno del otro con una velocidad que supere a la de la luz. Por ejemplo, en la época en que el universo se volvió transparente por primera vez, alrededor de 300.000 años ATB, unas posiciones en el espacio que estuvieran a unos 900.000 años luz de distancia habrían podido ejercer influencia la una sobre la otra, incluso a pesar de que la distancia entre ellas superara los 300.000 años luz. El tres, como factor añadido, se deriva de la expansión de la estructura espacial. Esto significa que, cuando pasamos la película cósmica hacia atrás en el tiempo, al llegar a los 300.000 años ATB, dos puntos del espacio sólo tienen que estar a menos de 900.000 años luz de distancia para haber tenido la posibilidad de influirse el uno al otro en cuanto a la temperatura. Estos valores concretos no cambian las características cualitativas de los temas que hemos comentado. <<

^[129] Para una discusión detallada y en vivo sobre el descubrimiento del modelo cosmológico del hinchamiento y de los problemas que éste resuelve, véase Alan Guth, The Inflationary Universe (Addison-Wesley, Reading, Mass., 1997). <<

^[130] Para el lector interesado por las matemáticas, explicaremos cuál es la idea que subyace a esta conclusión: si la suma de las dimensiones del espacio-tiempo de las trayectorias recorridas por cada uno de los dos objetos es mayor o igual que la dimensión del espacio-tiempo de la región a través de la cual se desplazan, entonces las trayectorias generalmente se cortarán. Por ejemplo, si unas partículas puntuales recorren trayectorias unidimensionales en el espacio-tiempo, entonces la suma de las dimensiones en el espacio-tiempo de dos de las trayectorias de estas partículas es dos. La dimensión de Linealandia en el espacio-tiempo es también dos, por lo tanto sus trayectorias en general llegarán a cortarse (suponiendo que sus velocidades no se hayan ajustado con precisión para que sean exactamente iguales). De manera similar, las cuerdas recorren trayectorias bidimensionales en el espacio-tiempo (las láminas universales correspondientes); para dos cuerdas la suma en cuestión es por consiguiente cuatro. Esto significa que las cuerdas que se mueven en cuatro dimensiones en el espacio-tiempo (tres dimensiones espaciales y una temporal) generalmente llegarán a cortarse. <<

^[131] Con el descubrimiento de la Teoría-M y el reconocimiento de una undécima dimensión, los especialistas en teoría de cuerdas han comenzado a estudiar distintas maneras de hacer que las siete dimensiones adicionales se conviertan en dimensiones arrolladas, de tal modo que todas ellas queden más o menos en pie de igualdad. Las opciones posibles para estas variedades de siete dimensiones se conocen con el nombre de variedades Joyce, en honor de Domenic Joyce de la Universidad de Oxford, al que se reconoce el hallazgo de las primeras técnicas para la construcción matemática de dichas variedades. <<

^[132] Entrevista con Cumrun Vafa, 12 de enero de 1998. <<

^[133] El lector experto observará que nuestra descripción se desarrolla en el llamado marco de referencia de las cuerdas, en el que la creciente curvatura durante el pre big bang surge a partir de un aumento (inducido por el dilatón) de la intensidad de la fuerza de la gravedad. En el llamado marco de Einstein, esta evolución se describiría como una fase de contracción acelerada. <<

^[134] Entrevista con Gabriele Veneziano, 19 de mayo de 1998. <<

^[135] Las ideas de Smolin se explican en su libro The Life of the Cosmos (Oxford University Press, Nueva York, 1997). <<

^[136] Dentro de la teoría de cuerdas, por ejemplo, esta evolución podría estar impulsada por pequeños cambios en la forma de las dimensiones arrolladas, partiendo así de un universo y llegando hasta su progenie. A partir de nuestros resultados relativos a las transiciones de plegado cónico con rasgado del espacio, sabemos que una sucesión suficientemente larga de esos pequeños cambios puede llevamos de un espacio de Calabi-Yau a otro, permitiendo al multiverso reunir muestras de la eficiencia reproductora de todos los universos basados en las cuerdas. Después de que el multiverso ha pasado a través de una cantidad suficiente de fases de reproducción, la hipótesis de Smolin nos induciría a esperar que el universo típico tuviera una componente de Calabi-Yau que estaría optimizada para la fertilidad. <<

^[137] Entrevista con Edward Witten, 4 de Marzo de 1998. <<

^[138] Algunos teóricos ven un indicio de esta idea en el principio holográfico, un concepto inventado por Susskind y el renombrado físico holandés Gerard’t Hooft. Del mismo modo que un holograma puede reproducir una imagen visual tridimensional a partir de una película bidimensional especialmente diseñada, Susskind y Gerard’t Hooft han sugerido que todos los acontecimientos con los que nos encontramos pueden en realidad codificarse completamente mediante unas ecuaciones definidas en un universo de dimensión inferior. Aunque esto pueda sonar tan extraño como intentar hacer el retrato de alguien viendo sólo su sombra, podemos hacemos una idea de lo que quieren decir, y entender en parte la motivación de Susskind y Gerard’t Hooft, pensando en la entropía de los agujeros negros tal como se explicó en el capítulo 13. Recordemos que la entropía de un agujero negro está determinada por el área de la superficie de su horizonte de sucesos, y no por el volumen total del espacio que delimita el horizonte de sucesos. Por lo tanto, el desorden que hay en un agujero negro, y en correspondencia con esto la información que puede contener, están codificados en los datos bidimensionales de su superficie. Es casi como si el horizonte de sucesos del agujero negro actuara como un holograma capturando toda la información contenida en el interior tridimensional del agujero negro. Susskind y Gerard’t Hooft han generalizado esta idea a la totalidad del universo, sugiriendo que todo lo que ocurre en el «interior» de éste es meramente un reflejo de los datos y las ecuaciones definidas en una distante superficie que lo delimita. Recientemente, un trabajo realizado por el físico de Harvard Juan Maldacena, junto con el importante trabajo posterior de Witten y de los físicos de Princeton Steven Gubser, Igor Klebanov y Alexander Polyakov, ha demostrado que, al menos en ciertos casos, la teoría de cuerdas incluye el principio holográfico. De una manera que actualmente está siendo investigada vigorosamente, resulta que las propiedades físicas de un universo gobernado por la teoría de cuerdas tiene una descripción equivalente que abarca sólo las propiedades físicas que se dan en esa superficie delimitadora; una superficie que necesariamente tiene una dimensión inferior a la del interior. Algunos especialistas en teoría de cuerdas han sugerido que la total comprensión del principio holográfico y su rol dentro de la teoría de cuerdas puede muy probablemente llevarnos a la tercera revolución de las supercuerdas. <<

Notas