No son muchas las aventuras que puede vivir un personaje de unos seis milímetros antes de que la novedad de un superhéroe superpequeño se agote para el lector. Un indicio de que las flores podían haber abandonado el rosal de Ant-Man se puede hallar en el número 48 de Tales to Astonish, donde el supervillano Porcupine (Erizo) captura a Ant-Man e intenta endiabladamente eliminarlo colocándolo en una bañera parcialmente llena de agua, tal como se ve en la figura 14. Dado que nuestro héroe no puede escalar las resbaladizas paredes de porcelana, queda forzado a mantenerse sin cesar a flote hasta quedar exhausto, en cuyo momento se ahogará. Aunque el peligro para Ant-Man es real, es difícil emocionarse con una trampa mortal que consiste en una bañera parcialmente llena. Incluso el calibre de los villanos con los que se enfrentaba Ant-Man en esta etapa reflejaban la dificultad de conservar fresca esta emoción. Porcupine era Alex Gentry, un ingeniero que utiliza sus excelentes dotes tecnológicas para desarrollar un traje recubierto de espinas que oculta una multitud de armas ofensivas y defensivas —tales como gas lacrimógeno, dardos anestésicos, amoníaco (supuestamente para fugas limpias), «fuego líquido» (sospecho que significa un gas lanzallamas), detector de minas, cemento líquido y otros— con los cuales se embarca en una obligada ola de delitos. Debo decir ahora que, como profesor de física, he trabajado con muchos ingenieros en mi carrera académica, y mi experiencia me dice que pocos de ellos visten como erizos gigantes.

Si una de las funciones de los cómics es cumplir los anhelos de sus jóvenes lectores, entonces hay que reconocer que no muchos chicos fantasean acerca de lo estupendo que sería medir unos pocos milímetros o vestir como un puercoespín. Ahora bien, poder crecer diez pies de alto, eso ya sería algo. Y así, en el siguiente ejemplar del número 49 de Tales to Astonish, remando hacia lo inevitable, Henry Pym descubrió una versión opuesta de su poción para reducir, que le permitía crecer mucho más que su altura normal de metro ochenta. Y así nació Giant-Man en el Universo Marvel. Con el tiempo Pym se convirtió de nuevo en un diminuto combatiente contra el delito, esta vez como el flamante Yellowjacket (Chaqueta Amarilla), pero durante gran parte de su carrera de superhéroe Pym luchó por la justicia, bien fuera como el descomunal Giant-Man o bien como Goliat (el mismo héroe y el mismo poder de supertamaño, sólo que con nombre y traje distintos).

Y sin embargo, resulta que ser más grande que lo normal arrastra consigo un conjunto distinto aunque no menos agobiante de desafíos físicos. Por una parte, como se indicó en el número 3 de Ultimates (una versión moderna de los Vengadores, que presenta a un nuevo Giant-Man), su ahora mucho más grandes (superdilatadas) pupilas permitirán que entre mucha más luz en sus ojos. En consecuencia necesitará usar siempre gafas especiales al aumentar de tamaño, para evitar sobrecargar sus nervios ópticos. Además, existe un límite fundamental para el tamaño al que uno puede crecer, suponiendo naturalmente en primer lugar que uno crezca bastante más que su altura normal, y que requiere aceptar la «excepción milagrosa» tanto como la miniaturización. Esta limitación está impuesta por la resistencia de materiales (particularmente los huesos) y la gravedad. La gravedad interviene en la situación debido a que su masa crece en proporción a su volumen si mantiene una densidad constante. La densidad es la masa dividida por el volumen, de modo que cuanto más grande sea usted (es decir, cuanto mayor sea su volumen), mayor será su masa si la relación entre los dos (la densidad) se mantiene sin cambio. Usted tendría una figura menos imponente si su crecimiento mantuviera la misma masa. En este caso, cuanto más alto se vuelva, menor sería su densidad.

A una situación así hubo de enfrentarse Reed Richards, de los Cuatro Fantásticos, cuando encontró al monstruoso invasor alienígena Gormun en el número 271 de Fantastic Four, en el que se relata una historia que tuvo lugar antes de que Richards y sus tres camaradas hubieran quedado expuestos a los rayos cósmicos que habrían de otorgarles sus superpoderes. Gormun era un guerrero invasor proveniente del planeta Kraalo, una criatura deforme y verde de seis metros de alto. Esta historia ofrecía una concesión nostálgica por parte del guionista y dibujante John Byrne a las historias del Monster Invader from Space (Monstruo invasor procedente del espacio) que dominaron los cómics de Marvel a finales de los años cincuenta hasta que llegaron los Cuatro Fantásticos para salvar al universo y a las fortunas financieras de Stan Lee y Jack Kirby. Las criaturas de estos cómics (Tales to Astonish, Strange Tales, Journey into Mystery y Tales of Suspense, antes del renacimiento de los superhéroes de la Edad de Plata) eran siempre al menos tan grandes como una casa y todos tenían nombres con dobles letras, tales como Orrgo (el Inconquistable), Bruttu, Googam (hijo de Goom), y Fin Fang Foom. La ventaja competitiva de Gormun en lo que se refiere a la conquista del mundo era que su tamaño crecía siempre que era alcanzado por alguna forma de «energía radiante». Richards, después de examinar una huella del pie de tres metros de largo y de varios centímetros de profundidad dejada por el ya enorme alienígena, se dio cuenta de que la única manera de detener esa amenaza esta seguir atacándolo con más y más potencia de ondas de radio, pues cualquier criatura lo bastante grande como para dejar una huella de tres metros de largo debería dejar también una impresión de algunos metros de profundidad si su masa creciera en la misma proporción que su volumen. Al descubrir que el crecimiento de Gormun mantenía una masa constante, en vez de una densidad constante, Richard cebó al extraterrestre con tanta energía que lo hizo crecer más que la Tierra y menos denso que el entorno del espacio, hasta que se convirtió en insustancial y decididamente en una inexistente amenaza para la historia de la edad atómica de nuestra nación. Teniendo en cuenta el aleccionador relato de Gorum, supongamos que Henry Pym, en su guisa de Giant-Man, se las arregla para mantener una densidad constante a medida que crece, de forma que su peso crece en proporción uniforme respecto de su volumen. Para tratar matemáticamente la situación de Giant-Man, debemos hacer un supuesto simplificador, y es que Henry Pym es una caja gigante.

Al tratar con las confusas complicaciones del mundo real, los físicos han de hacer a veces simplificaciones drásticas con el fin de efectuar algún progreso en la comprensión de la naturaleza. Esta tendencia a reducir un problema a sus componentes más básicos se refleja en el chiste de los granjeros de pollos y el físico teórico: Un grupo de granjeros de pollos habían comprado un surtido de gallinas premiadas en concurso en la Exposición Estatal. Cuando llevaron las aves de corral a su gallinero, descubrieron que había un problema: no ponían huevos. Los granjeros intentaron todo lo que pudieron imaginar para conseguir que las gallinas empezaran a poner huevos: música ambiental en el gallinero, alumbrado del suelo, alfombrado sensual, pero siempre con el mismo resultado: ningún huevo. En su desesperación llamaron a un físico teórico para que les diera algún consejo. Después de estudiar el problema durante una semana desde todos los puntos de vista, el científico convocó a los granjeros en una sala de conferencias y anunció triunfalmente que había resuelto el problema. Sin embargo, el ánimo de los granjeros se derrumbó cuando el físico comenzó su disertación dibujando un gran círculo en la pizarra diciendo: «Supongamos un pollo esférico…». Pero a veces este enfoque, comenzando con un pollo esférico por ejemplo, es el correcto. Visto de lejos, después de todo, los pollos parecen esféricos, al menos si usted entorna lo suficiente los ojos. Si el modelo esférico capta algún aspecto esencial del problema de los pollos, entonces uno puede más adelante añadir detalles para formar una descripción más precisa de esa ave de corral. Por otro lado, es posible que el modelo esférico inicial sea demasiado simplista y no capte los principios básicos que subyacen en el problema. La alternativa, sin embargo, es sumergirse en un mar de detalles técnicos, algunos cruciales y otros irrelevantes en cuanto al problema de que se trata. El saber decidir qué factores deben incluirse en el modelo esférico inicial y cuáles pueden diferirse hasta más tarde sin problemas es algo que normalmente sólo se da con la práctica.

Así pues, quizás me perdonarán si, al tratar de Giant-Man, supongo un Henry Pym cúbico. Para el razonamiento que trato de hacer la matemática es mucho más sencilla si Giant-Man se considera como una gran caja con lados de igual longitud. Por supuesto, quedaría descrito de modo más natural como un gran cilindro, pero quiero que las matemáticas sean lo más sencillas posible. Bien, si es una caja, entonces el volumen es el producto de su longitud, anchura y altura. Si cada lado del cubo tiene una longitud L, entonces su volumen es L × L × L. Una caja que tiene una longitud de tres metros, una anchura de tres metros y una altura de tres metros, tendrá un volumen de 3 m × 3 m × 3 m, o sea, 27 m³. Esta unidad de volumen se llama metro cúbico o m³ y representa el hecho de que hemos multiplicado una longitud (metro) por una longitud por una longitud. Supongamos ahora que Giant-Man utiliza sus partículas Pym para crecer dos veces en todas las direcciones. Su altura es ahora de 6 metros, y su anchura y longitud serán también de 6 metros cada una. En este caso su volumen es 6 m × 6 m × 6 m, o sea, 216 m³. Así pues, duplicar su longitud en las tres direcciones aumenta su volumen por un factor de ocho. Si su longitud crece en las tres direcciones por un factor de diez, de forma que su largo, ancho y alto serán ahora de 30 metros en lugar de 3 metros, su volumen sería entonces de 27.000 m³, mil veces mayor que su volumen inicial de 27 m³.

Si Giant-Man ha de mantener una densidad constante al crecer, entonces su masa debe aumentar en la misma proporción que su volumen, no que su longitud. Al duplicar su altura (así como su anchura y su profundidad) es necesario que su peso crezca también por un factor de ocho para que la densidad se conserve igual. Así, Hank Pym se vuelve más pesado cuanto más grande se hace: Y entonces, ¿qué? El problema es que su peso crece mucho más deprisa que la capacidad de su esqueleto para soportarlo, de modo que, al llegar a una cierta altura, Giant-Man corre el riesgo de que se rompan sus piernas simplemente por el hecho de estar de pie. La fortaleza de un objeto, o su resistencia a doblarse o a ser desviado por un empujón o por un puñetazo, depende de su amplitud y no de su longitud. La manera técnica de decir esto es que la «resistencia de carga» de un objeto está determinada por el área de su sección transversal.

Piense en un hilo de pescar calculado para 10 kilos, es decir, para soportar un pez de 10 kilos de peso. Un pez más pesado podría romper el hilo cuando intentemos subirlo a la barca. Si queremos mantener suspendido un pez más pesado, cambiar la longitud del hilo de pescar no ayudará en absoluto. Para aumentar la resistencia de un hilo de pesca, no aumente su longitud sino su diámetro^[35]. Cuanto más ancho sea el hilo de pesca, mayor será el área sobre la cual se distribuye la fuerza de elevación, y menor será la fuerza aplicada a lo largo de cualquier minúsculo elemento que mantiene unido al hilo. Cuando se rompe un hilo de pescar, o cualquier otra cosa, pues para el caso es lo mismo, los enlaces químicos que mantienen unido el material se rompen y se separan. Cuanto mayor es el área disponible para soportar una fuerza determinada, menor es el esfuerzo o la tensión aplicada a cada molécula en particular, y menos probable es que tenga lugar un fallo catastrófico. Cuando tiene lugar la rotura, generalmente se debe a que una imperfección molecular o algún defecto amplifica la fuerza aplicada localmente, haciendo que el material resulte más débil que si fuera uniforme y atómicamente perfecto. La dependencia de la resistencia material del área de su sección transversal limita los tamaños a los cuales se pueden agrandar Mr. Fantástico o los Cuatro Fantásticos. Después de haber sido bombardeado con rayos cósmicos durante el malhadado viaje inaugural del navío espacial que diseñó, Reed Richards obtuvo la capacidad de alargar o comprimir cualquier parte de su cuerpo. Pero como se explica en el número 1 de Fantastic Four Annual, no podía extender la longitud de su cuerpo más allá de 450 metros. Un tablero de madera de cinco por diez (que tiene una sección transversal rectangular de 5 cm × 10 cm) y de un metro de largo puede ser mantenido encima del suelo mediante un caballete en cada extremo y permanecer paralelo al suelo. Un tablero de dos metros de largo de la misma área de sección transversal se hundirá ligeramente en su zona media, si se sustenta por los extremos. Un tablero de veinte metros de largo se curvará considerablemente, mientras que un tablero de diez kilómetros de largo tocará el suelo en su centro aunque se ignore la curvatura de la Tierra. Como indica Reed en el número 1 de Fantastic Four Annual, «cuanto más se agranda mi cuerpo, más débiles se vuelven mis músculos^[36], de forma que no puedo ejercer tanta fuerza al alargarme mucho en proporción a la que puedo hacer a menor tamaño». Reed Richards, cuya comprensión de la relación masa-volumen salvó la Tierra del terror de Gormun, es asimismo una ilustración andante de la ley cubo-cuadrado de la resistencia a la carga.

Cuando nuestro Henry Pym crece convirtiéndose en Giant-Man, su volumen aumenta más deprisa que el área de su sección transversal. La resistencia a la compresión de un objeto, tal como el fémur de su muslo o las vértebras de su espina dorsal, está determinada por el área de su sección transversal —es decir, el área de una de sus caras si fuera un sólido rectangular—. Cuando Giant-Man se hace más grande, sus huesos crecen proporcionalmente en tamaño como el resto de su cuerpo. La resistencia de su fémur o de sus vértebras crece con el cuadrado de su razón de expansión. Pero cuanto más grande se hace, más peso han de soportar sus huesos (a una densidad constante su peso crece según el cubo de su factor de crecimiento). Supongamos que con su altura normal el Dr. Pym tiene una altura de un metro ochenta y pesa 84 kilos. Su fémur con esta altura normal puede soportar un peso de 8.000 kilos, mientras que una única vértebra puede soportar 360 kilos, lo que indica que la naturaleza forja una redundancia considerable en algunos componentes estructurales que son críticos para soportar peso. El fémur de los elefantes y dinosaurios es más grueso y denso que el de los humanos, mientras que los ratones y los pájaros tienen huesos que son proporcionalmente más delgados y ligeros. Con una altura de dieciocho metros, el factor de expansión de Giant-Man es de diez. Su volumen crece en consecuencia por un factor de 1.000, mientras que el área de la sección transversal de sus huesos crece solamente por un factor de 100. Henry Pym pesaría ahora 84.000 kilos, mientras que sus vértebras solamente podrían soportar un peso de 40.000 kilos y su fémur podría aguantar 900.000 kilos. Con esta altura su esqueleto no es capaz de soportar uniformemente su peso.

Fig. 15. Una escena del n.º 2 de Ultimates, una actualización de los Vengadores del año 2002. Aquí Henry Pym y su mujer, Janet van Dyne (conocida también como la Avispa) se prepara para la primera prueba experimental del suero del Dr. Pym, quien está preocupado con razón de que, si sobrepasa la altura de dieciocho metras, sus huesos no podrán soportar el peso de su cuerpo.

Para permitir que Giant-Man crezca tanto como para que ningún villano, aunque se trate de uno dotado con superpoderes, pueda plantearle una amenaza creíble, Stan Lee argumentó en los años sesenta que el aumento de tamaño añadía una resistencia biológica a Henry-Pym. Su resistencia óptima tenía lugar con una altura de unos 3,60 metros, y si crecía más de 12 o 15 metros, sería tan alto como una casa pero tan frágil como un gatito. Años más tarde, la limitación metabólica fue reemplazada por otra física derivada de la ley del cubo-cuadrado. Como ilustra la figura 15, del número 2 de Ultimates, ahora se reconoce que incluso si se resuelven las consecuencias metabólicas involucradas mediante un suero de crecimiento, la gravedad y la física seguirán imponiendo límites estrictos a su tamaño definitivo (tal como hemos calculado, su espalda se rompería antes de que se partan los huesos de sus muslos).

El hecho de que el volumen crezca más deprisa que el área superficial es cierto aunque no se trate de objetos cúbicos. El volumen de una esfera viene dado por la expresión matemática de una constante (4π/3) multiplicada por el radio de la esfera al cubo, es decir, (4π/3) r³, mientras que el área de su superficie es 4π veces el radio al cuadrado, o sea 4πr². Un volumen tendrá siempre las unidades de una longitud al cubo, tal como metro-cúbico, mientras que toda área tiene las dimensiones de una longitud al cuadrado, de modo que las alfombras se miden en metros cuadrados. Por consiguiente, las burbujas ascendentes en un tanque de ácido en el que Batman y Robin han sido introducidos lentamente proporciona al Cruzado Enmascarado una ilustración de libro de texto del principio físico de la ley cubo-cuadrado.

Si ha pensado alguna vez que las burbujas de su vaso de champán o de cerveza ascienden más rápidamente cuanto más cercanas están de la parte superior de su acanalada copa, no es que el alcohol esté afectando a su discernimiento. La burbujeante bebida está supersaturada con dióxido de carbono (el mismo gas que proporciona a la gaseosa su efervescencia y a la cerveza su espuma), lo que significa que la presión del gas dióxido de carbono introducido en el líquido es mayor que la presión atmosférica. Cuando salta el tapón de la botella de champán, o cuando se saca el tapón de una botella de gaseosa o de cerveza (o, si a usted le gusta comprar barato, cuando se saca la tapa de su botella de champán) se produce un estallido o un siseo, debido a parte del exceso de gas bajo presión que sale rápidamente del recipiente. Todavía queda dióxido de carbono adicional en el líquido, que se reúne en forma de burbujas alrededor de pequeñas imperfecciones en el vidrio y luego, al ser más ligeras que el líquido circundante, suben hacia la parte superior.

La fuerza de flotación que eleva la burbuja está relacionada directamente con su volumen esférico, que depende del cubo del radio de la burbuja. La fuerza de resistencia al arrastre que frena a la burbuja depende del área de su superficie (cuanto mayor es el área, más líquido ha de ser apartado del trayecto de la burbuja ascendente) la que a su vez crece con el cuadrado del radio de la burbuja. A medida que la burbuja se mueve a través del champán, arrastra más moléculas de dióxido de carbono dispersas en el líquido, ganando tamaño en el proceso. Se crea así un exceso de fuerza neta que hace subir la burbuja. Si hay una fuerza, hay una aceleración (la segunda ley de Newton sigue valiendo incluso en el interior de una botella de champán) y la burbuja subirá cada vez más deprisa.

Si tuviera un vaso infinitamente alto, ¿aceleraría la burbuja hasta la velocidad de la luz? No; en el capítulo 5 se vio cómo la resistencia al avance depende no solamente del área superficial sino también de la velocidad del objeto (comporta más esfuerzo desviar el fluido del trayecto de un objeto que se mueve rápidamente que de otro que avanza despacio). A medida que la burbuja se eleva y se mueve cada vez más deprisa, una fuerza de resistencia adicional equilibra eventualmente el empuje hacia arriba, y una vez que no se tiene fuerza neta, la burbuja sigue moviéndose con velocidad uniforme (primera ley de Newton) llamada velocidad límite.

Es un buen momento para detenernos con el fin de llevar a cabo algunos experimentos con champán, cerveza o soda para comprobar algunas de las cosas aprendidas, pero puramente en interés de la ciencia, por supuesto.

10. ¿El tamaño importa?