MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Hay varios superhéroes cuyo poder especial es la facultad para reducir su tamaño. Además de Ant-Man y de la Avispa del Universo Marvel, Atom, Elasti-Girl de la Patrulla Condenada, y Shrinking Violet de la Legión de Superhéroes de DC Comics comparten la capacidad de miniaturizarse a sí mismos. La «explicación» de sus poderes reductores varía, pero todos poseen una característica común: a todos les resulta muy difícil comunicarse. No me refiero a los problemas de comunicación entre Ant-Man y la Avispa que les llevaron a su divorcio, sino a las limitaciones físicas que conciernen a las conversaciones con los que no están en el mundo reducido.
Si usted tiene solamente unos pocos milímetros de altura, nadie le puede oír, ni su propio oído será lo bastante agudo, así que tendrá que depender de medios no verbales para comunicarse con la gente del mundo no encogido. Cuando Ant-Man se contrae, su voz adquiere un tono mucho más agudo, hasta que ha alcanzado el tamaño de una hormiga y su voz queda en el rango alto del oído de los humanos de tamaño normal. A la vez su umbral de audición se desplaza también hacia el extremo alto del registro, de modo que se perderá la mayor parte de lo que la gente le dice. Para empeorar las cosas, todo lo que nuestro diminuto héroe ve se hallará en una turbia nube desenfocada. Veamos por qué ser un «detective privado de un par de centímetros de altura», aunque lo hace marginarse por completo del mundo exterior, le comportará sin embargo un enjambre de problemas.
Primero, encararemos las cuestiones básicas. ¿Qué es lo que determina el rango en el que somos capaces de hablar y escuchar? Y la respuesta, manteniendo nuestro contexto de hacer cada problema de física tan sencillo como sea posible, está relacionada con el período de un péndulo. Un péndulo es simplemente una masa conectada a un cordel delgado (despreciaremos la masa del cordel) con el otro extremo sujeto a un punto pivotante sin rozamiento situado en el techo. La masa se supone en general que es alguna esfera densa, como una bola de billar o de bolera, aunque podría tratarse de una piedra o de Spiderman. Esta masa está levantada a cierta altura, tal que el cordel forme un ángulo pequeño con la dirección vertical y, una vez soltado, las fuerzas que actúan sobre él son: a) la gravedad, empujando siempre hacia abajo en la dirección vertical, y b) la tensión hacia arriba del cordel. La dirección de la tensión forma un ángulo con respecto a la vertical que cambia continuamente a medida que la masa oscila adelante y atrás. Parte del peso puede considerarse dirigido a lo largo de la línea del cordel, mientras que la componente que no está compensada por la tensión es la fuerza que cambia la velocidad de la masa, y es responsable de la aceleración que experimenta la masa en sus oscilaciones hacia uno y otro lado.
El tiempo que tarda un péndulo en moverse adelante y atrás, desde cierto punto alto inicial, completando un arco completo y volviendo a su posición original, se llama período, y este movimiento se llama periódico. Ya se trate de Spiderman balanceándose a uno y otro lado de su red, o de una bola de billar atada a un hilo de pesca, el tiempo para completar una oscilación total depende solamente de dos factores: la aceleración debida a la gravedad (lo que llamamos g en el capítulo 1) y la longitud del cordel. Sorprendentemente, una cosa de la que no depende el período (para ángulos de oscilación pequeños) es de la altura inicial a partir de la cual comienza la masa su movimiento.
Galileo fue quizás no la primera persona en darse cuenta de que el período de un péndulo es una propiedad independiente de la altura del punto inicial desde el que se balancea la masa, pero se le concede con propiedad el crédito de haber determinado lo que controla la frecuencia de la oscilación. Por sorprendente y contrario a la intuición que pueda parecer, el tiempo necesario para que un columpio de patio de recreo vaya hacia atrás y vuelva a su punto inicial no depende de lo pesada o liviana que sea la persona que se sienta en el columpio, ni de lo atrás que comienza su movimiento, sino únicamente de la longitud de la cadena entre el asiento y el pivote del conjunto del columpio. Estamos suponiendo que el columpio no está empujado por un ayudante en reposo y que tampoco la persona sentada en el columpio se propulsa a medida que se mueve adelante y atrás. Es realmente cierto que cuanto más alta sea la posición inicial del columpio, más rápidamente se estará moviendo en el punto más bajo de su balanceo, puesto que la componente de la tensión de la cuerda que se desvía de la vertical (responsable de la aceleración durante el balanceo) es mayor cuanto mayor es el ángulo. ¿No significaría esto que debería tardar menos en completar una oscilación? No, debido a que cuando usted se puede mover más rápido debido a la mayor altura de la posición inicial, tiene que hacer un recorrido mayor hasta llegar al punto más bajo del arco. La combinación de la mayor velocidad con una distancia mayor a recorrer se compensa, de modo que el tiempo necesario para completar el arco sigue siendo el mismo, con independencia del punto de inicio. Ésta es la razón por la cual un péndulo o cualquier otro dispositivo que experimenta un movimiento armónico simple puede hacer las veces de un cronómetro. Dos relojes idénticos que utilicen un movimiento pendular, como en un reloj del abuelo o un resorte que se enrolla y desenrolla como en los relojes de bolsillo ya pasados de moda o en los metrónomos, marcarán idéntico tiempo, independientemente del empuje inicial que comenzó la oscilación. Un metrónomo es un péndulo invertido, y su frecuencia es independiente de cómo se pone en movimiento, pero se altera si se cambia la posición de la masa en el brazo oscilante.
Si el período de un péndulo no depende del punto de comienzo de la oscilación, ¿por qué depende de la gravedad y de la longitud del cordel? No es difícil ver que cuanto más débil es la aceleración debida a la gravedad, menor es la fuerza que tirará de la masa y más lento resultará su movimiento. En la Luna un péndulo tardará más en completar un ciclo de lo que lo hace sobre la Tierra, y en el espacio exterior, donde la aceleración g debida a la gravedad es cero, no se moverá nunca, y el tiempo para completar una oscilación (el período) será infinito. ¿Por qué interviene la longitud del cordel en el período del péndulo? Debido a la geometría. El área barrida por la masa oscilante se asemeja a una porción de pizza (cortada en forma de sector), donde el punto del pivote es el centro de la pizza y la trayectoria de la masa es la corteza del borde de la pizza. Para una pizza completa sin cortar, la distancia a lo largo de la corteza, llamada circunferencia, es 2π × R, donde R es el radio del círculo y la letra griega π es la constante 3,14159… Cuanto mayor sea el radio R, mayor será la circunferencia (2π × R) y mayor la longitud de la corteza de un trozo de pizza. Para el péndulo el papel del radio está representado por la longitud del cordel que enlaza el pivote con la masa. La distancia que debe recorrer la masa crece con la longitud del péndulo, aumentando en consecuencia el tiempo necesario para completar una oscilación.
La frecuencia del péndulo —el número de las oscilaciones que completa en un segundo— es exactamente la inversa del período, que se define como el tiempo necesario para terminar un ciclo. Si un oscilador tiene un período de 0,5 segundos, de forma que completa un ciclo entero en sólo medio segundo, entonces en un segundo termina dos ciclos. Si el período es de una décima (0,1) entonces tendrá una frecuencia de 10 ciclos por segundo. Cuanto más corto sea el período, mayor será la frecuencia. El cuadrado del período, por su parte, es proporcional a la relación de la longitud del cordel del péndulo l y la aceleración debida a la gravedad g. Esto es, (período)2 = (2π)2·(l/g). Para explicar por qué aparece el cuadrado del período y no el período sin más, que depende de la relación entre l y g, y por qué interviene el factor (2π)2, sería necesario que abandonemos nuestro compromiso de «sólo álgebra». Para nuestros propósitos el punto importante es que uno tiene que aumentar la longitud del cordel del péndulo por un factor de cuatro para duplicar el período. Inversamente, al acortar la longitud del cable (digamos que mediante las partículas Pym), disminuye el período y cuanto menor es el período menor es la frecuencia.
Una cuerda vocal humana no es una masa balanceándose colgada de una cuerda, pero la belleza del péndulo como descripción de un movimiento armónico simple es lo que capta la física importante de cualquier sistema oscilatorio[33]. Cuando Henry Pym se reduce hasta el tamaño de una hormiga, reduce sus dimensiones en unas 300 veces. La frecuencia fundamental del oscilador es, en correspondencia, diecisiete veces mayor (es decir, por la raíz cuadrada de 300). La voz humana normal tiene lugar con un tono de más o menos 200 ciclos por segundo, pero para una persona del tamaño de una hormiga la frecuencia se desplaza por un factor de 17, hasta 3.400 ciclos por segundo. El rango de nuestro oído se extiende desde los 20 ciclos por segundo en el extremo inferior hasta los 20.000 ciclos por segundo, de forma que todavía deberíamos ser capaces de escuchar a Ant-Man, pero él tendrá una voz de un tono alto, dado que la cavidad de su pecho se encoge de modo semejante. A escuchar a un superhéroe de seis milímetros de altura ordenando a un supervillano que se rinda con una voz tan chirriante, sorprende que los adversarios de Ant-Man no sucumban a un ataque de risa en lugar de a su diminuto garfio.
No solamente cambiará su voz cuando se encoge, sino que el oído de Ant-Man resultará también afectado por su tamaño reducido. La frecuencia resonante de un tambor también aumenta cuando se reduce su diámetro. Un bombo grande tiene un tono bajo y profundo, mientras que un tambor pequeño emite un tono más agudo cuando se le golpea. Cuando los tímpanos del Dr. Pym se encogen bajo la exposición a las partículas Pym, las frecuencias que es capaz de detectar se desplazan de acuerdo con ello. (La física que subyace al rango del oído humano es realmente bastante complicada, pero para nuestros fines supondremos que está determinada por el tímpano.) La menor frecuencia que puede oír con su tamaño normal de un metro ochenta es de unos 20 ciclos por segundo que, una vez encogido, se convierte en 17 veces mayor, cercana a los 340 ciclos por segundo. La voz de una persona normal, con un tono de 200 ciclos por segundo, quedará por lo tanto por debajo del rango de detección de nuestro diminuto titán. Por esta razón, Ant-Man y sus colegas miniaturizados necesitarán ser astutos estudiantes del lenguaje humano al interactuar con el mundo ordinario.
Además del cambio en el umbral de frecuencia de sus tímpanos, cuando Henry Pym se encoge hasta el tamaño de una hormiga su sensibilidad auditiva quedará también afectada. Cuando las cuerdas vocales vibran provocan compresiones y dilataciones alternantes del aire que pasa a través de ellas, forzado a pasar a través de la garganta por las contracciones del diafragma. Esta variación de la densidad es ligera —sólo una parte en diez mil distingue las regiones comprimidas de las rarificadas adyacentes—. Cuanto mayor es la variación de densidad, mayor es el volumen o sonoridad de la onda de sonido. Usted solamente tiene control sobre la variación inicial de la densidad cuando el sonido abandona su boca. La región comprimida de aire se expande y comprime la región que queda delante de ella, la cual a su vez se expande y comprime a la siguiente región de aire. Lo que usted oye es el conjunto de instrucciones de la onda de sonido, generadas por sus cuerdas vocales y transmitidas a sus oídos. El aire de su boca no viaja físicamente desde usted hasta el oyente. Si le digo que almorcé ajo, usted oye esta información antes de esté lo bastante cerca como para recibir una confirmación independiente de este hecho. Puesto que la información se propaga en todas las direcciones, a una gran distancia del hablante la variación de la densidad del aire —la onda de sonido— se atenúa en magnitud, y quedará por debajo del umbral de detección si uno está demasiado alejado.
Alternativamente, si uno está demasiado cerca del origen, el tímpano es incapaz de responder linealmente a las variaciones de densidad, y la capacidad para distinguir sonidos diferentes pierde calidad. Esto puede resultar útil, como descubre Atom, el héroe miniaturizado de DC Comics en «The Case of the Innocent Thief» («El caso del ladrón inocente») en el número 4 de Atom[34]. En esta historia, un malhechor llamado Elkins descubre un rayo hipnótico que obliga a cualquiera a obedecer cualesquiera mandatos orales que escuche. Mientras Atom tiene solamente unas pocas pulgadas de alto, el delincuente lo expone a su rayo y grita una orden prohibiendo a Atom que lo capture. Pero casi inmediatamente Atom pone fuera de combate a Elkins utilizando una goma de borrar rosa como trampolín para llegar hasta una distancia desde la que le puede asestar un puñetazo. Atom es capaz de resistir el mandato mesmérico porque, como explica al final de la historia, «en su excitación, Elkins me chilló su orden —lo cual ¡me sonó como un trueno!—. Y puesto que no pude entender ni una palabra de lo que me dijo, no tuve que obedecerlo». Es curioso, mis hijos me proponen el mismo argumento casi a diario, a pesar de que todavía no han conseguido la tecnología de la miniaturización y de que yo no grite.
Una dificultad adicional que acompaña la reducción al tamaño de una hormiga es que la visión de Ant-Man resultará borrosa. El espacio medio entre picos y valles de los campos eléctricos y magnéticos alternativos que forman una onda luminosa (lo que se denomina longitud de onda) determina el color de la luz. Digamos que una luz blanca promedio —que consiste en luz de todas las longitudes de onda desde el rojo [650 nanómetros] hasta el violeta [400 nanómetros] sumadas entre sí en magnitudes iguales— tiene una longitud de onda de 500 nanómetros (un nanómetro es la milmillonésima parte de un metro). Para que la luz sea detectada debe incidir en los bastones y los conos del fondo de su ojo, y para llegar a esos fotorreceptores debe pasar antes por su pupila. Esta abertura en la parte delantera de su ojo, dependiendo de la luz con la que esté leyendo esto, es de unos 5 mm de diámetro. Un milímetro es igual a un millón de nanómetros, de modo que la abertura de su pupila es unas 10.000 veces mayor que la longitud de onda de la luz blanca visible. Desde el punto de vista de las ondas de luz, la pupila es un túnel muy grande a través del cual pueden pasar fácilmente. Cuando Ant-Man se encoge hasta el tamaño de un insecto, sin embargo, la abertura de su pupila será 300 veces menor que con su tamaño normal. El orificio de su ojo es ahora un factor de 30 veces mayor que la longitud de onda de la luz visible, que es de 500 nanómetros. Las ondas de luz pueden pasar todavía por el «túnel», pero con dificultad.
Para comprender cuales son las consecuencias cuando el tamaño de la abertura es solamente unas pocas veces mayor que la longitud de onda de la luz, considere ondas de agua en la superficie de un gran lago. Se forma un canal entre dos embarcaderos que se mueven despacio sobre la superficie del agua. Cuando la separación entre los embarcaderos es muy grande, digamos cerca de medio kilómetro de distancia, comparado con el espacio entre los picos de las ondas de agua, las ondas pasan a través de esta región sin perturbación perceptible. Justo cerca del embarcadero, al romper las ondas, hay un cambio en el frente de onda que llega, pero en el espacio intermedio entre los embarcaderos las ondas no son afectadas por los embarcaderos. Ésta es la situación para Henry Pym en su altura normal, cuando su pupila es 10.000 veces mayor que la longitud de onda de la luz. Para el miniaturizado Ant-Man, es como si los dos embarcaderos se juntaran para formar un cuello de botella, de modo que la separación entre ellos fuera sólo unas pocas veces mayor que la separación entre picos de onda adyacentes. Las ondas seguirán moviéndose a través del estrangulamiento, pero cuando se esparcen tras cada embarcadero establecen un patrón de interferencia complicado en el otro lado de la obstrucción. Este efecto se llama difracción y es más apreciable cuando las dimensiones del objeto que dispersa una onda son comparables a la longitud de la onda. Si usted espera obtener información acerca de la causa de las ondulaciones del agua examinando los frentes de onda, obtendrá una imagen clara y bien definida cuando los embarcaderos están separados por miles de metros y una imagen distorsionada y confusa cuando están separados solamente por unos pocos metros.
El efecto para Ant-Man es que la imagen que observa a través de su empequeñecida pupila será borrosa y desenfocada. Es por esto que el ojo de un insecto, y en particular sus lentes, es radicalmente distinto de las lentes de los ojos de los humanos o de los animales de gran tamaño. Los insectos usan lentes compuestas que se ajustan a los efectos de difracción. Aun así, sería difícil para una mosca leer un periódico, incluso aunque le interesen los acontecimientos de la actualidad. El ojo de un insecto es muy bueno para detectar cambios en las fuentes de luz (tal como la sombra en movimiento creada por la amenaza de fatal destino de un periódico enrollado), pero es pobre para discernir el contraste entre bordes contrastados. En consecuencia se apoyan en otros sentidos, tales como el olfato y el tacto (filamentos pilosos detectan sutiles variaciones en las corrientes de aire) para desplazarse a través del ancho mundo. Por desgracia para Ant-Man, el único sentido que resulta menos afectado por la miniaturización, el olfato, es al que los humanos somos menos sensibles.