LEY DE NEWTON DE LA GRAVITACIÓN
Ahora que hemos determinado que para que Superman pueda saltar por encima de un edificio debe provenir de un planeta en el cual la gravedad haya sido 15 veces más intensa que la de la Tierra, la siguiente pregunta es: ¿qué podemos hacer para construir un planeta semejante? Para contestar a ello debemos comprender la naturaleza de la atracción gravitatoria de un planeta, y aquí volvemos a apoyarnos en el genio de Newton. Lo que sigue implica más matemáticas, pero tenga paciencia conmigo durante un momento. Hay una bella recompensa en unas cuantas páginas que explican la relación entre la manzana de Newton y la gravedad.
Como si la descripción de las leyes del movimiento anteriormente discutidas y la invención del cálculo no fuera suficiente, Isaac Newton elucidó también la naturaleza de la fuerza que dos objetos ejercen entre sí debido a su atracción gravitatoria. Para dar cuenta de las órbitas de los planetas, Newton concluyó que la fuerza debida a la gravedad entre dos masas (llamémoslas Masa 1 y Masa 2) separadas por una distancia d está dada por:
FUERZA DEBIDA A LA GRAVEDAD = (G) × [(MASA 1) × (MASA 2)] (DISTANCIA)2
donde G es la constante universal de gravitación. Esta expresión describe la atracción gravitatoria entre dos masas cualesquiera, bien sea entre el Sol y la Tierra, entre la Tierra y la Luna o entre la Tierra y Superman. Si una masa es la Tierra y la otra es Superman, entonces la distancia entre ellos es el radio de la Tierra (la distancia entre el centro de la Tierra y su superficie, sobre la cual está de pie el Hombre de Acero).
Para una distribución de masa de simetría esférica, tal como un planeta, la fuerza atractiva se comporta como si toda la masa del mismo estuviera concentrada en un único punto en su centro. Por esta razón podemos utilizar en la ecuación de Newton el radio de la Tierra como la distancia que separa las dos masas (la Tierra y Superman). La fuerza es justamente el tirón gravitatorio que experimenta Superman (como cualquier otra persona). Utilizando la masa de Superman (100 kg) la masa de la Tierra y la distancia entre Superman y el centro de la Tierra (el radio terrestre), junto con el valor medido de la constante gravitatoria en la ecuación anterior, obtenemos que la fuerza F entre Superman y la Tierra es igual a F = 100 kilopondios. Pero éste es precisamente el peso de Superman en la Tierra, que es el que mide cuando se sube a una báscula de baño en la Tierra. Lo bueno es que esas dos expresiones para la fuerza gravitatoria sobre Superman son ¡la misma cosa! Comparando las dos expresiones peso de Superman = (Masa 1) × g y fuerza de la gravedad = (Masa 1) × [(G × Masa 2)/(distancia)2], y dado que las fuerzas son la misma y también es la misma la masa de Superman, Masa 1 = 100 kg, entonces las cantidades que multiplican a Masa 1 deben ser la misma, es decir, que la aceleración debida a la gravedad g es igual a (G × Masa 2)/d2. Sustituyendo en esta expresión Masa 2 por la masa de la Tierra y d por el radio de la Tierra, obtenemos g = 10 m/s2.
La belleza de la fórmula de Newton para la gravedad es que nos dice por qué la aceleración debida a la gravedad tiene el valor que medimos. Para un mismo objeto sobre la superficie de la Luna, que tiene una masa y un radio menores, la aceleración debida a la gravedad resulta ser según los cálculos solamente de 160 cm/seg2, alrededor de un sexto de su valor sobre la Tierra.
Éste es el verdadero significado de la historia de Isaac Newton y de la manzana. No es cierto que se diera el caso de que en 1665 Newton viese caer una manzana de un árbol y se diera cuenta de inmediato de la existencia de la gravedad, ni tampoco que viese caer una manzana y escribiera enseguida F = G (m1 m2)/(d)2. En lugar de ello, la brillante deducción de Newton en el siglo XVII fue que exactamente la misma fuerza que tiraba de la manzana hacia la Tierra tiraba también de la Luna hacia la Tierra, conectando de ese modo lo terrestre con lo celeste. Para que la Luna permanezca en una órbita circular alrededor de la Tierra, una fuerza debe tirar de ella para hacer que cambie constantemente su dirección, manteniéndola en una órbita cerrada.
Recuerde que la segunda ley de Newton se expresa F = m a: si no hay fuerza, no hay cambio en el movimiento. Cuando usted ata un cordel a un cubo y lo hace girar en un círculo horizontal, debe tirar continuamente de la cuerda. Si la tensión en la cuerda no cambia, entonces el cubo permanece en movimiento circular uniforme. La tensión en la cuerda no actúa en la dirección en la que se mueve el cubo; por lo tanto solamente puede cambiar su dirección pero no su velocidad. En el momento en que usted suelte la cuerda, el cubo se alejará de usted.
Volvamos al caso de la Luna. Si no hubiera gravedad, no actuaría ninguna fuerza sobre ella, y entonces la Luna viajaría en línea recta alejándose de la Tierra. Si existiera gravedad pero la Luna permaneciera estacionaria, entonces sería arrastrada hacia abajo y se estrellaría contra nuestro planeta. La distancia de la Luna a la Tierra y su velocidad son tales que equilibran exactamente el tirón gravitatorio, de forma que sigue en una órbita circular estable. La Luna no se escapa de nosotros debido a que está sujeta por la gravedad terrestre, haciendo que «caiga» hacia la Tierra, mientras que su velocidad es lo bastante grande como para evitar que la Luna sea arrastrada hacia nosotros. La misma fuerza que hace que la Luna «caiga» en una órbita circular alrededor de la Tierra y que provoca que esta última lo haga en una órbita elíptica alrededor del Sol es la que causa que la manzana caiga hacia el suelo desde el árbol. Y esa misma fuerza gravitatoria hace que Superman se frene en su ascenso una vez ha saltado, hasta que alcanza el techo de un alto rascacielos. Una vez que sabemos que para llevar a cabo un salto tan poderoso su cuerpo tenía que haber estado adaptado a un entorno en donde la aceleración debida a la gravedad es 15 veces mayor que la de la Tierra, esa misma fuerza gravitatoria nos informa acerca de la geología de Krypton.
Una consecuencia de la ley de la gravitación de Newton, que afirma que a medida que aumenta la distancia entre dos objetos la fuerza gravitatoria entre ellos se vuelve más débil en razón al cuadrado de su separación, es la de que todos los planetas son redondos. Una esfera tiene un volumen que crece con el cubo de su radio, mientras que el área de su superficie crece con el cuadrado del radio. Esta combinación del cuadrado del radio para el área de la superficie con el inverso del cuadrado de la fuerza gravitatoria conduce a que la forma esférica es la única forma estable que puede adoptar una masa gravitatoria grande. De hecho, para despejar la cuestión de la astrofísica acerca de lo que distingue un asteroide muy grande de un pequeño planeta, se puede atender a su forma. Una roca pequeña, de un tamaño tal que la pueda sostener en su mano, puede tener una forma irregular, ya que su propio empuje de cohesión gravitatoria no es lo bastante grande como para deformarla hasta convertirla en una esfera. Sin embargo, si la roca tuviera el tamaño de Plutón, la gravedad dominaría y sería imposible estructurar el planetoide para que tuviera un perfil que no fuera esférico. Por consiguiente, los planetas cúbicos tales como el mundo de Bizarro han de ser muy pequeños. De hecho, la distancia promedio desde el centro del planeta Bizarro a una de sus caras no puede ser mayor de 480 kilómetros, para evitar que se deforme convirtiéndose en una esfera. No obstante, un planeta cúbico tan pequeño no tendría suficiente gravedad para mantener una atmósfera en su superficie y sería una roca sin aire. Puesto que hemos visto con frecuencia que el cielo del mundo Bizarro es azul como el nuestro (¿y no debería ser de cualquier otro color si quiere responder al concepto bizarro?), realmente debe haber aire en este planeta cúbico. Debemos concluir, por lo tanto, que un planeta Bizarro no es físicamente posible, independientemente de cuántas veces podamos notar en el curso de un día que hemos sido transportados instantáneamente de algún modo a un mundo tal.
Volvamos a los planetas esféricos normales como Krypton. Si la aceleración debida a la gravedad en Krypton gK es 15 veces mayor que la aceleración debida a la gravedad en la Tierra gT, entonces la razón entre estas aceleraciones es gK/gT = 15. Acabamos de mostrar que la aceleración debida a la gravedad de un planeta es g = GM/d2. La distancia d que utilizaremos es el radio R del planeta. La masa de un planeta (o de cualquier cosa en lo que a esto se refiere) se puede escribir como el producto de su densidad (para representar la densidad se utiliza tradicionalmente la letra griega ρ) por su volumen, que en este caso es el volumen de una esfera (ya que los planetas son redondos). Dado que la constante gravitatoria G debe ser la misma en Krypton que en la Tierra, la razón gK/gT vendrá dada por la siguiente expresión sencilla:
gK/gT = [ρK RK]/[ρT RT] = 15
en la que ρK y RK representan la densidad y el radio de Krypton y ρT y RT son la densidad y el radio de la Tierra, respectivamente. Al comparar la aceleración debida a la gravedad en Krypton con la de la Tierra, todo lo que necesitamos saber es el producto de la densidad por el radio de cada planeta. Si Krypton tuviera el mismo tamaño que la Tierra debería ser 15 veces más denso; si, por el contrario, tiene la misma densidad, entonces sería 15 veces más grande.
Ahora, si tal como dijimos al comienzo de este libro, la esencia de la física consiste en hacer las preguntas correctas, entonces es tan cierto en la física como en la vida que cada respuesta que uno obtiene le conduce a más cuestiones. Hemos determinado que con el fin explicar la capacidad de Superman para saltar 200 metros (la altura de un rascacielos) de un solo salto sobre la Tierra, el producto de la densidad por el radio de Krypton, su mundo de origen, debe de haber sido 15 veces mayor que el que corresponde a la Tierra. Nos preguntamos a continuación si es posible que el tamaño de Krypton sea igual al de la Tierra (RK = RT) de modo que todo el exceso de gravedad de Krypton pueda atribuirse al hecho de ser más denso que la Tierra (ρK/ρT =15 veces más denso, para ser precisos). Resulta que si suponemos que las leyes de la física son las mismas en Krypton que en la Tierra (si no estamos de acuerdo con eso, el juego habría terminado antes de empezar y podríamos dejarlo aquí), en tal caso es extremadamente improbable que Krypton sea 15 veces más denso que la Tierra.
Acabamos de hacer uso del hecho de que la masa es igual a la densidad multiplicada por el volumen, lo cual es justamente otro modo de decir que la densidad de un objeto es la masa por unidad de volumen del mismo. Ahora, para entender lo que limita esta densidad, y por qué no podemos hacer fácilmente la densidad de Krypton 15 veces mayor que la de la Tierra, hemos de dar un paseo rápido hacia el nivel atómico. Tanto la masa total de un objeto como el volumen que adopta resultan estar gobernados por sus átomos. La masa de un objeto es una función de la cantidad de átomos que contiene. Los átomos están compuestos de protones y neutrones dentro de un pequeño núcleo, rodeado por electrones más ligeros. El número de protones cargados positivamente en un átomo está compensado por un número igual de electrones cargados negativamente. Los electrones son muy ligeros comparados con los protones o los neutrones, que son partículas sin carga eléctrica que pesan ligeramente más que los protones y residen en el núcleo (en el capítulo 15 trataremos de lo que hacen los neutrones en el núcleo). Aproximadamente toda la masa de un átomo está determinada por los protones y neutrones de su núcleo, debido a que los electrones son casi 2.000 veces más ligeros que los protones.
El tamaño de un átomo, por otra parte, está determinado por los electrones o, más específicamente, por sus órbitas cuánticas. El tamaño de un núcleo es aproximadamente la trillonésima parte de un centímetro, mientras que el radio de un átomo se calcula por la distancia al núcleo a la que es probable hallar un electrón, que es de unas diez mil veces mayor que el núcleo. Si el núcleo de un átomo fuera del tamaño de una canica (1 cm de diámetro) y se colocara en la zona del final de un campo de fútbol, el radio de la órbita del electrón se extendería hasta el final de la zona opuesta, unos 90 metros más lejos. El espacio entre los átomos de un sólido está gobernado esencialmente por el tamaño de los propios átomos, por lo que no se les puede empaquetar más cerca que el límite que impone su propio tamaño.
En consecuencia, si la mecánica cuántica es la misma en Krypton que en la Tierra, el espacio ocupado por un determinado número de átomos en una roca, por ejemplo, no depende significativamente del planeta en el cual reside la roca. La roca pesará más en un planeta con una gravedad mayor, pero el número de átomos que contiene (así como el espacio entre sus átomos, con su densidad determinada por ambas cosas) será independiente del planeta en el que se encuentre la roca. Debido a que el número de átomos determina también la masa de la roca, se sigue de aquí que la densidad de un objeto dado será la misma, con independencia del planeta de origen. La mayoría de los objetos sólidos tiene a grandes rasgos la misma densidad, al menos dentro de un factor de diez. La densidad del agua, por ejemplo, es de 1 g/cm3, mientras que la densidad del plomo es de 11 g/cm3 (un gramo es la milésima parte de un kilogramo). En otras palabras, un cubo que mida 1 cm de lado tendrá una masa de 1 g si está compuesto de agua y de 11 g si está compuesto de plomo. Esta mayor densidad del plomo es debida casi por completo al hecho de que un átomo de plomo posee una masa diez veces mayor que una molécula de agua. Aunque hay mucha agua en la superficie de la Tierra, hay mucha más roca sólida en el interior del planeta, y así la densidad media de la Tierra es de 5 g/cm3. De hecho, la Tierra es el planeta más denso de nuestro sistema solar y Mercurio y Venus la siguen de cerca. Incluso si Krypton fuera de uranio sólido, tendría una densidad media de 19 g/cm3, que es menos de cuatro veces mayor que la de la Tierra. Para que Krypton tuviese una gravedad 15 veces mayor que la Tierra debido solamente a la densidad, ésta debería ser de 75 g/cm3, y ninguna materia normal es tan densa.
Si la densidad del planeta Krypton fuera la misma que la de la Tierra, entonces, con el fin de dar cuenta de la gravedad mayor de Krypton, su radio debería ser 15 veces mayor que el de la Tierra. Sin embargo, resulta que esto no es más fácil de cumplir que el ajustar la densidad. Mientras que los planetas de nuestro propio sistema solar son de todos los tamaños —desde Plutón con un radio de un quinto del terrestre, haciéndolo poco más grande que algunas lunas, hasta Júpiter con un radio de más de once veces el de la Tierra— la geología del planeta es una función delicada en relación con su tamaño. Los planetas mayores que Urano con un radio cuatro veces mayor que el de la Tierra incluyen Neptuno, Saturno y Júpiter. Estos planetas son gigantes gaseosos, faltos de un manto sólido sobre el cual se puedan construir edificios y ciudades, incapaces de soportar siquiera la vida de tipo humano. De hecho, si Júpiter fuera diez veces mayor, sería del tamaño de nuestro propio Sol. En este caso la presión gravitatoria en el núcleo de Júpiter iniciaría una fusión nuclear, el proceso que hace que el Sol brille. Así pues, si Júpiter fuera solamente un poco mayor, no sería un planeta gigante sino más bien una estrella pequeña. Los planetas grandes son gaseosos porque si usted tiene que construir un planeta muy grande necesitará muchísimos átomos, y casi toda la materia prima disponible es hidrógeno o helio gaseosos. Para ser precisos, el 73% de la masa elemental del universo es hidrógeno y el 25% es helio. Todo lo demás que podría utilizar para fabricar un planeta sólido —carbono, silicio, cobre, nitrógeno, etc.— comprende solamente el 2% de la masa elemental del universo conocido. Planetas tan grandes son casi siempre gigantes gaseosos, con órbitas alejadas de una estrella, donde la radiación solar más débil no puede evaporar las superficies gaseosas acumuladas. La concentración de elementos más pesados con los cuales se pueden formar planetas sólidos es mucho menor, de modo que tenderán a ser más pequeños y más cercanos a una estrella. Si esos planetas sólidos interiores fuesen muy grandes, las fuerzas gravitatorias de marea provocadas por su sol pronto los romperían en pedazos. La civilización avanzada de Krypton, con científicos capaces de construir un cohete espacial apenas lo bastante grande como para albergar a un único bebé, no podrían haber surgido en un gigante gaseoso con un radio de 15 veces el de la Tierra.
Así pues, ¿es eso? ¿Es la historia de Superman y Krypton, con una superficie del tipo de la de la Tierra y una gravedad 15 veces la de ella, totalmente falsa? No necesariamente. Recuerde que antes se subrayó que ningún material normal podría ser 15 veces más denso que la materia que hay sobre la Tierra. No obstante, los astrónomos han descubierto materia exótica con densidades excepcionalmente altas, que es el remanente de explosiones de supernovas. Como se mencionó, cuando el tamaño de un planeta gaseoso excede de un cierto umbral, la compresión gravitatoria en su centro es tan grande que los núcleos de átomos diversos se funden literalmente entre sí, creando núcleos mayores y liberando el exceso de energía en el proceso. La fuente de esta energía está expresada por la famosa ecuación de Einstein, E = m c2. Dicho de otro modo: la Energía E es equivalente a la masa m multiplicada por la velocidad de la luz c al cuadrado. La masa de los núcleos producto de la fusión es realmente una parte ínfima de la de los dos núcleos inicialmente separados. La pequeña diferencia de masa, cuando se multiplica por la velocidad de la luz al cuadrado (un número ciertamente muy grande) da como resultado una gran cantidad de energía. Esta energía se irradia hacia el exterior del centro de la estrella, produciendo un flujo hacia afuera que equilibra la fuerza atractiva dirigida hacia el interior, manteniendo estable el radio de la estrella. Cuando todo el hidrógeno del núcleo se haya fundido en forma de núcleos de helio, parte de, estos núcleos se fundirán a su vez en núcleos de carbono, algunos de los cuales se comprimen igualmente para formar nitrógeno, oxígeno y todos los elementos más pesados hasta llegar al hierro. El proceso de fusión se acelera a medida que la estrella genera núcleos más y más pesados, de forma que todo su hierro y su níquel se crea durante la última semana de la vida de la estrella. A medida que se combinan núcleos más y más pesados, el proceso se vuelve cada vez menos eficaz, de modo que la energía liberada cuando se funden los núcleos de hierro es insuficiente para contrarrestar de forma estable la presión gravitatoria hacia el interior. Llegados a este punto la gravedad vence claramente, comprimiendo rápidamente el material en un volumen mucho menor. En este breve momento la presión en el centro de la estrella es tan enorme que tiene lugar un último aliento de fusión, y se generan elementos más pesados en el rango que alcanza hasta el uranio, con una tremenda liberación de energía concomitante. Esta última etapa en la vida de las estrellas más grandes se conoce como la fase «supernova». Con esta explosión final de energía, los elementos que habían sido sintetizados en el interior de la estrella son despedidos al espacio, en donde la gravedad podría eventualmente agruparlos en aglomerados que pueden formar planetas u otras estrellas. Cada átomo único de su cuerpo, de la silla en la que está sentado o del papel y tinta del número 1 de Action Comics fue sintetizado dentro de una estrella que murió y expulsó seguidamente su contenido. Así pues, todos estamos compuestos de polvo de estrellas o, si se siente un poco más cínico, excremento solar.
Para estrellas realmente grandes la presión gravitatoria en el centro es tan enorme que incluso después de la fase supernova queda un gran núcleo remanente cuya gravedad comprime a los protones y electrones formando neutrones, que están estrujados hasta tocarse entre sí, y se convierte en un sólido compuesto de materia nuclear. Los remanentes de tales estrellas masivas se llaman «estrellas de neutrones» y su densidad es sobrepasada solamente por la de los agujeros negros (remanentes de la muerte de estrellas todavía mayores, cuya atracción gravitatoria es tan alta que ni siquiera la luz puede escapar a su empuje). Comparado con la densidad del plomo (11 g/cm3), la densidad del material de una estrella de neutrones es de cien billones de gramos por centímetro cúbico. Es decir, sobre la Tierra una cucharadita de té de la materia de una estrella de neutrones pesaría más de 100 millones de toneladas. Ésta es precisamente la materia necesaria para aumentar la gravedad de Krypton.
Si un planeta del tamaño de la Tierra tuviera un pequeño volumen de materia de estrella de neutrones en el interior de su núcleo, la masa adicional aumentaría espectacularmente la gravedad en la superficie del planeta. De hecho, solamente haría falta una esfera de materia de estrella de neutrones con un radio de 600 m (aproximadamente la longitud de seis campos de fútbol) en el centro de un planeta del tamaño de la Tierra para crear una aceleración de la gravedad en su superficie de 150 m/s2, mientras que la gravedad debida a la Tierra es de 10 m/s2. Así, para que la gravedad de Krypton haya sido 15 veces mayor que la de la Tierra, debe haber tenido un núcleo de materia de estrella de neutrones en su centro.
¡Y así vemos por qué explotó Krypton! Un núcleo tan denso produciría esfuerzos enormes sobre la superficie del planeta, haciendo que la distribución estable de materia fuese a lo sumo algo tenue. En cierto momento de la historia del planeta, la actividad volcánica y la tectónica de placas dio como resultado convulsiones masivas. Tales terremotos previos al desastre habrían puesto en guardia a los científicos, quienes llegaron a la conclusión de que había llegado el momento de colocar a su niño en un cohete y enviarlo a algún otro planeta distante, preferiblemente a uno que no tuviera el núcleo de una estrella de neutrones.
Hagamos una pausa para admirar la perspicacia científica de Jerry Siegel y Joe Shuster. Esos adolescentes de Cleveland, Ohio, o bien tenían una comprensión de la astrofísica y de la mecánica cuántica que excedía la de muchos profesores de física de 1938, o bien eran unos adivinos muy afortunados. Solamente cinco años antes los astrónomos Walter Baade y Fritz Zwicky habían propuesto la existencia de las estrellas de neutrones, cuya evidencia definitiva no sería encontrada hasta la década de 1960. Quizás si Sheldon Mayer, de National Publications, no se hubiera arriesgado con sus tiras de Superman, Siegel y Shuster podrían haber considerado su publicación en una revista científica como Physical Review, y la historia tanto de la ciencia como de los cómics sería muy distinta en la actualidad.