Hacia el año 460 a. C., unos ochenta años después de Pitágoras, pensaba y escribía el filósofo griego Zenón de Elea. Aunque sus obras no nos han llegado, las referencias de Aristóteles nos sugieren un agudo escéptico cuyas diversas paradojas no pudieron ser resueltas por los matemáticos de la época. La más famosa de estas paradojas es la de la carrera entre Aquiles y la tortuga y parece demostrar que, después de haber dado a la tortuga una ventaja de salida, Aquiles nunca puede alcanzarla, independientemente de lo deprisa que vaya. Para alcanzar la tortuga, Aquiles debe llegar primero al punto de partida de ésta, T1. Pero en este tiempo la tortuga habrá avanzado hasta el punto T2, y Aquiles habrá de apresurarse a cubrir la distancia entre T1 y T2. Pero mientras, la tortuga habrá avanzado hasta T3, y mientras Aquiles va de T2 a T3, la tortuga se habrá movido hasta T4.
Así pues, razonaba Zenón, Aquiles nunca adelantará a la tortuga, porque para hacerlo tendría que realizar un número infinito de actos en un período de tiempo finito. Esto es, Aquiles ha de recorrer la distancia entre T0 y T1, entre T1 y T2 entre T2 y T3, entre T3 y T4, entre T17.385 y T17.386, etc. Y como para recorrer cada una de estas distancias se tarda un cierto tiempo, para recorrer una infinidad de ellas se necesitará un tiempo infinito. Por tanto, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, aunque cada vez se le acercará más. La conclusión es obviamente falsa, pero ¿dónde está el fallo del argumento?
Para alcanzar a la tortuga Aquiles ha de atravesar la distancia entre T0 y T1 entre T1 y T2, entre T2 y T3, etc. Zenón razonaba que, como para atravesar cada una de estas distancias hace falta algún tiempo, para atravesar una infinidad de ellas haría falta un tiempo infinito
Antes de describir la solución al dilema, presentaré un par más de ellos. En la paradoja de la flecha, Zenón sostenía que una flecha está quieta incluso cuando está en mitad de su vuelo. En un instante particular cualquiera, la flecha simplemente está donde está y ocupa un volumen de espacio exactamente igual al suyo propio. En este instante, durante este momento preciso, la flecha no puede moverse pues, de hacerlo, se seguiría una de las dos consecuencias absurdas siguientes. El movimiento implicaría que el instante tiene una parte inicial y una parte final, pero por definición los instantes no tienen partes. O si no, implicaría que la flecha ocupa un volumen de espacio mayor que el suyo, para tener espacio para poder cambiar de posición. Ninguna de las dos posibilidades tiene sentido y, por tanto, deducimos la imposibilidad del movimiento durante este instante. Concluimos también que el movimiento es imposible porque, de producirse, habría de tener lugar durante un instante u otro.
Como antes, la conclusión es claramente falsa, pero ¿qué falla? El genio de Zenón consistió precisamente en su disposición a seguir los argumentos hasta sus últimas consecuencias, aunque le llevaran a posiciones contradictorias, en este caso relativas al espacio y al tiempo. ¿Son infinitamente divisibles el espacio y el tiempo? ¿Cómo se explica entonces la paradoja de Aquiles y la tortuga? ¿Son discretos y espasmódicamente cinematográficos? ¿Cómo se explica entonces la paradoja de la flecha?
Y un último enigma que, aunque no es comparable a los anteriores por su importancia histórica sino que más bien es un truco, también va de movimiento y deporte griego, y quizás éste sea su lugar apropiado. Consideremos dos corredores de la categoría sénior que corren una maratón —la distancia aproximada es de unos 42,2 kilómetros—. Uno de los corredores, Jorge, marcha a un ritmo constante de 6 minutos por kilómetro. El otro, Juan, va a un ritmo bastante desigual, pero se sabe que si le cronometramos cualquier tramo de un kilómetro de longitud de la carrera tarda siempre 6 minutos y 1 segundo. La pregunta es: ¿puede Juan ganar a Jorge en la maratón a pesar de su ritmo persistentemente más lento?
La respuesta es que sí, naturalmente ¿Por qué, si no, habría planteado el problema? Podría suceder que Juan «esprintara» los primeros 200 metros en 25 segundos y luego recorriera los siguientes 800 metros en 5 minutos y 36 segundos. Y fuera repitiendo esta pauta alternante de sprints de 25 segundos seguidos de recuperaciones de 5 minutos y 36 segundos. Como la maratón son 42,2 kilómetros, el tiempo total de Jorge será 253,2 minutos (42,2 kilómetros × 6 minutos/kilómetro) o 253 minutos y 12 segundos; el tiempo total de Juan será 253 minutos y 7 segundos (42 kilómetros × 6 minutos 1 segundo/kilómetro más los 25 segundos de los últimos 200 metros). Así pues, gana Juan por 5 segundos.
¿Cuáles son las soluciones modernas a las paradojas de Zenón? En la de Aquiles, Zenón supone incorrectamente que la suma total de una infinidad de intervalos (en los cuales Aquiles va de T0 a T1, de T1 a T2, etc.) es infinita, de lo que deduce que Aquiles nunca alcanza a la tortuga. Que no tiene por qué ser necesariamente así se ve considerando la serie 1 + 1/2 + 1/4 + + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …, que, a pesar de tener una infinidad de términos, sólo suma 2. Estos temas no se aclararon completamente hasta el siglo XIX, con la rigorización del cálculo y las series infinitas (véanse también las entradas sobre Series y Límites).
En cuanto a la paradoja de la flecha, Zenón tenía razón al pensar que en un instante particular la flecha está en una posición particular. También estaba en lo cierto al creer que no hay ninguna diferencia intrínseca entre que una flecha esté en reposo en un instante dado y que esté en movimiento en este mismo instante; el movimiento y el reposo son instantáneamente indistinguibles. Su error fue deducir de ello que el movimiento era imposible. La diferencia entre el reposo y el movimiento se manifiesta sólo cuando consideramos las posiciones de la flecha en distintos instantes de tiempo. El movimiento consiste precisamente en estar en lugares distintos en instantes distintos, y el reposo en estar en el mismo lugar en instantes distintos.
Un aspecto notable de estas paradojas es lo que se tardó en resolverlas. Se necesitan algunas de las técnicas más sutiles del cálculo y las series para aclarar los enigmas planteados hace 2.500 años por Zenón de Elea. Estos experimentos teóricos nos proporcionan pues un magnífico ejemplo de ideas y narrativa matemáticas anteriores a las ecuaciones y los cálculos.
Éste es el orden natural de desarrollo, pero se invierte con demasiada frecuencia, especialmente en la pedagogía matemática. Cuando esto pasa, las matemáticas se convierten en una colección de técnicas, y se pierde su relación íntima con la filosofía, la literatura, la historia, la ciencia y la vida cotidiana. Sin el apoyo de su contenido humano, la matemática deja de ser una de las artes liberales para convertirse en un simple instrumento técnico. Creo que hay que oponerse a ello y he aquí mi contribución a la resistencia activa.