La trigonometría data de los antiguos griegos y Eratóstenes ya la empleó para calcular la circunferencia de la Tierra, Aristarco para estimar las distancias al Sol y la Luna, y muchos otros para perforar túneles en línea recta y calcular distancias a puntos inaccesibles. Durante siglos los astrólogos la usaron para construir sus cartas y para sus cálculos, y aún hoy muchos explotan la imagen esotérica de la trigonometría celeste para disfrazar la falta de fundamento de sus creencias astrológicas. La parte elemental del tema, en la que nos centraremos principalmente aquí, trata de los triángulos rectángulos y de los cocientes entre sus distintos lados, temas que quizás a primera vista no parezcan nada atractivos, y tampoco a segunda. Sin embargo, está en los programas de estudios (normalmente en un lugar demasiado importante, en mi opinión), así que perseveremos y consideremos un ejemplo canónico. Supongamos que nos encontramos a 30 metros del pie de una torre repetidora de televisión cuya altura queremos conocer. Supongamos también que el ángulo de elevación de la torre, el ángulo que forman nuestros ojos con el suelo cuando miramos a la cima, es de 45°. ¿Cuál es la altura de la torre?
La idea básica de la trigonometría elemental es que para triángulos semejantes, aquellos que tienen los lados proporcionales, si determinamos la razón entre un par de lados de uno de ellos, encontraremos que el par de lados correspondientes del otro triángulo guardan la misma proporción. Así, en triángulos rectángulos cuyos ángulos no rectos midan 45° cada uno (recordemos que la suma de los tres ángulos de un triángulo es siempre 180° y que los triángulos semejantes tienen los ángulos iguales), la razón entre los dos lados más cortos es siempre de 1 a 1, independientemente de lo grandes o pequeños que sean los triángulos. Como estamos a 30 metros del pie de la torre, deducimos que la altura de esa torre de televisión es de 30 metros.
En general, la tangente de un ángulo agudo (menos de 90°) de un triángulo rectángulo se define como el cociente del lado opuesto al ángulo entre el lado adyacente a él. En el ejemplo de la torre de televisión la tangente del ángulo de elevación es la razón de la altura de la torre a nuestra distancia a ella, y cuando este ángulo es de 45°, la tangente es 1 entre 1, que puesto en forma de cociente es 1/1 o simplemente 1. Si estuviéramos a 30 metros de la torre, pero el ángulo de elevación fuera sólo de 20°, entonces podríamos consultar una tabla trigonométrica para determinar que la tangente de este ángulo es aproximadamente 0,36 entre 1, o simplemente 0,36. En este caso, la altura de la torre de televisión sería sólo de 0,36 × 30, es decir, unos 10,8 metros.
La tangente de un ángulo es sólo una de entre las varias funciones trigonométricas, de nombres un tanto soporíferos (seno, coseno, etc.), que asocian cocientes y números con ángulos. (Conocí a alguien que para referirse al seno de X decía Sominex).[17] Con frecuencia conocemos algunos ángulos y algunas longitudes, y por medio de estas funciones podemos determinar los ángulos y longitudes desconocidos que queremos encontrar. El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), mientras que el coseno de un ángulo es la razón entre el lado adyacente al ángulo y la hipotenusa. En el caso del ángulo de 45°, el seno y el coseno son iguales y valen aproximadamente 0,71, mientras que para un ángulo de 20°, el seno es 0,34 y el coseno 0,94. Simbólicamente escribimos: sen(20°) = 0,34 y cos(20°) = 0,94, mientras que tg(20°) = 0,36 y tg(45°) = 1.
Funciones trigonométricas más comunes.
Los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo se pueden encontrar consultando las tablas compiladas a tal efecto, usando las fórmulas de series infinitas (véase la entrada sobre Series) o, más fácilmente, presionando las teclas apropiadas de una calculadora. En la Antigüedad y en la Edad Media no había ni tablas, ni fórmulas, ni calculadoras y tenían que recurrir a métodos geométricos complicados para encontrar el seno, el coseno o la tangente de los ángulos que les interesaban, pero su modo de razonar no era muy distinto del que hemos usado en nuestro ejemplo de la torre de televisión o en los actuales problemas de agrimensura, navegación o astronomía.
Habría de intercalar aquí que, a pesar de lo que crean muchos estudiantes de primer curso, el seno de un ángulo de 60° no es el doble del seno de un ángulo de 30°, ni el triple del seno de un ángulo de 20°. Idem para los cosenos y las tangentes. Las funciones trigonométricas no crecen de este modo proporcional. Además, como son funciones y no productos, simplificar el 20° en sen(20°)/20° = sen es efectivamente un pecado mortal matemático, pero además, matemáticamente hablando, carece de sentido. (Véase la entrada sobre Funciones).
Suma de varias ondas sinusoidales distintas.
Como suele ocurrir, el centro de interés de una disciplina va cambiando y las definiciones se generalizan. En el caso de la trigonometría se hizo necesario ampliar las definiciones de las funciones trigonométricas para tratar con triángulos no rectángulos y extenderlas al caso de los ángulos obtusos, de más de 90°. Estas definiciones más generales se formulan en términos de círculos y rotaciones, y relacionan la trigonometría elemental con sus materializaciones más modernas.
El seno de un ángulo varía. Vale 0 para un ángulo de 0°, crece continuamente, pero no linealmente, hasta alcanzar un valor máximo de 1 para un ángulo de 90°, vuelve a disminuir hasta 0 para 180°, se hace más y más negativo, bajando hasta −1 para 270°, aumenta gradualmente hasta volver a 0 para 360°, y vuelve a empezar este mismo ciclo para ángulos mayores de 360°. (Un ángulo de 370° es indistinguible de uno de 10°). Al representarla gráficamente, esta variación periódica del seno de un ángulo produce la típica forma u onda sinusoidal, que describe muchos fenómenos físicos y, en particular, la corriente eléctrica alterna.
La trigonometría moderna se interesa más por la periodicidad y otras propiedades de las funciones trigonométricas que por su interpretación en términos de cocientes. En su estudio inicial del calor, el matemático francés Joseph Fourier (chiste matemático estúpido: el nombre se pronuncia ye ye ye ye exactamente igual que tran tran tran tran es el nombre de un conocido lenguaje informático)[18] sumó series de senos y cosenos de distintas frecuencias (grados de movimiento) para imitar el comportamiento de las funciones periódicas no trigonométricas. A modo de analogía, imaginemos que combinamos los sonidos procedentes de dos diapasones que vibran a frecuencias distintas para obtener un sonido que es la «suma» de los dos. Estas técnicas de suma nos permiten aproximar una gran familia de funciones importantes, incluso las no periódicas, con series de Fourier infinitas de funciones trigonométricas, y casi dos siglos de trabajo en esas series de Fourier las han convertido en un instrumento de cálculo indispensable para la ciencia y la ingeniería, y han producido al mismo tiempo teoremas sutiles y profundos de matemática pura.
Sin embargo, mucha gente recuerda las identidades trigonométricas, suponiendo que recuerden algo de ellas, como fórmulas que indican la igualdad incondicional entre expresiones trigonométricas complicadísimas. Frecuentemente se emplea una barbaridad de tiempo de la clase de trigonometría en realizar las manipulaciones formales necesarias para demostrar dichas identidades. De hecho, sólo unas pocas de ellas son cruciales y, probablemente, la más importante de ellas sea la que dice que el cuadrado del seno de un ángulo más el cuadrado del coseno del mismo ángulo siempre da igual a 1. Si lo comprobamos con los valores que hemos dado más arriba, vemos que para el ángulo de 45°, 0,712 + 0,712 = 1, y para el de 20°, 0,342 + 0,942 = 1.
Acabaré con un pequeño rompecabezas y una historieta. La urgencia del primero ha ido disminuyendo con la generalización del uso de los relojes digitales. Usted tiene un reloj de pulsera cuyas manecillas se mueven de manera continua y observa que son las tres. ¿Cuánto tardará la minutera en alcanzar a la horaria? La respuesta aproximada es obvia, entre 15 y 20 minutos, pero ¿cuál es la respuesta exacta? Y ahora la historieta. Recientemente estaba escuchando en la radio el programa de un psicólogo. Su invitado, un famoso de segundo orden, se puso a hablar soporíferamente sobre cómo había llegado a tocar fondo por culpa de las drogas y el alcohol, pero que, gracias al desarrollo espiritual y a sus esfuerzos en una clínica de rehabilitación, recientemente había «conseguido dar a su vida un giro de 360°».
[La solución al rompecabezas: Consideremos el ángulo que se ha movido la horaria cuando la alcanza la minutera, llamémosle X. Como en este tiempo la minutera se mueve 12 veces más rápido (da una vuelta completa mientras la horaria va de las 3 a las 4, 1/12 de vuelta), el ángulo recorrido por la minutera es 12X. Pero otra manera de caracterizar este ángulo es que la minutera se ha movido (90 + X), el ángulo que se ha movido la horaria más los 90° de desventaja que llevaba la primera respecto a la segunda, pues aquélla empezó apuntando a las 12 y ésta a las 3. De la igualdad de ambas expresiones tenemos: 12X = (90 + X). Despejando obtenemos: X = 8,1818°. Y traduciéndolo a minutos y segundos (90°= 15 minutos), encontramos que la minutera alcanza a la horaria a las 3:16:22].