El triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una disposición triangular de números que ya conocían los chinos en 1303, más de 300 años antes de que el matemático y escritor francés Blaise Pascal descubriera muchas de sus propiedades más interesantes. Exceptuando los unos de los lados, cada número del triángulo se obtiene sumando los dos números que están encima suyo. Así, si hubiéramos de añadir una nueva fila a la figura de más abajo, tendríamos 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Triángulo de Pascal

Aunque la regla anterior es bastante simple, es sorprendente la diversidad de pautas contenidas en el triángulo. Probablemente la más importante de ellas tenga que ver con los números combinatorios (o coeficientes binomiales). Estos números nos dicen, entre otras cosas, cuantas manos de póquer, billetes de lotería y cuantos helados de tres gustos de Baskin-Robbins posibles hay. Y, en general, nos dan el número de modos distintos en que podemos elegir R elementos de un conjunto de N.

Para ilustrarlo con un número pequeño, consideremos la cuarta fila del triángulo: 1, 4, 6, 4, 1. Estos cinco números nos dan el número de modos en que podemos escoger 0, 1, 2, 3 y 4 elementos, respectivamente, de un conjunto de cuatro elementos. Así, el primer número de la fila, 1, indica el número de maneras de elegir 0 elementos de un conjunto de 4. Sólo hay un modo de hacerlo: no tomar ninguno. El siguiente número, 4, indica el número de maneras de elegir 1 de los 4 elementos. Astutamente, observamos que tenemos cuatro posibilidades ahora: elegir el primer elemento, el segundo, el tercero o el cuarto. El tercer número de la fila, 6, nos indica los modos en que podemos elegir 2 elementos de los cuatro. Para ilustrarlo mejor, supongamos que los elementos son las letras A, B, C, D. Las seis maneras de tomar exactamente 2 letras son: AB, AC, AD, BC, BD y CD. El siguiente número de la fila, 4, es el número de modos en los que podemos escoger 3 de los cuatro elementos. Hay cuatro maneras de hacerlo: basta con decir cuál de los cuatro no tomamos. Y el número siguiente es 1, pues sólo hay un modo de elegir 4 elementos de 4: tomarlos todos.

Todas las filas funcionan igual. Los números de la sexta fila —1, 6, 15, 20, 15, 6, 1— representan, respectivamente, el número de modos en que podemos tomar 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 elementos de un conjunto de 6. Vemos pues que hay 15 maneras de escoger 2 elementos de entre 6 y 20 maneras de tomar 3 elementos. Si miramos la fila 31.ª del triángulo de Pascal, en el cuarto lugar encontramos el número de maneras posibles de escoger 3 sabores de entre los 31 que ofrecen los helados Baskin-Robbins: 4.495. Si buscamos en la fila 49 y contamos 7 lugares, encontramos el número de modos de elegir 6 elementos de entre 49: esto es, el número de combinaciones posibles en la Lotería Primitiva: 13.983.816. Si vamos a la fila 52.ª y contamos 6 lugares, encontramos el número de maneras de escoger 5 elementos de entre 52, esto es, el número de manos de póquer posibles: 2.598.960.

(Me siento tentado a dar más ejemplos, pero siempre que llego a una situación así, en que cito un ejemplo tras otro, todos ellos muy parecidos, el recuerdo de mi primer profesor de cálculo en la universidad hace que controle mi inclinación a la pedantería y me detenga. Este profesor tenía 200 alumnos en clase, en un aula muy grande. Un buen día empezó a comportarse de manera un tanto extraña, pero, como eso no era poco habitual en él, no le hicimos mucho caso. Estaba hablando de series condicionalmente convergentes y se puso a escribir algo así como 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − … en el lado izquierdo de la pizarra. Siguió así y cuando llegó a la mitad del encerado, que era muy ancho, andaba por el 1/57 − 1/58 + … Tomándolo por otra muestra de sus excentricidades, la clase se divertía con ello, pero cuando se acercaba a la derecha y seguía − 1/124 + 1/125 − …, nos fuimos quedando callados. Por fin llegó al final de la pizarra, se volvió y nos miró. La mano con la que sostenía la tiza tembló por un instante, la dejó caer y a continuación abandonó el aula. No volvió más a clase y más tarde nos contaron que había sufrido una crisis nerviosa).

Para números grandes esta manera de obtener los llamados números combinatorios no es muy práctica, y por ello se usa una fórmula obtenida a partir de la regla del producto (véase la entrada sobre La regla del producto). Dice que el número de maneras de escoger R elementos de un conjunto de N, que se representa normalmente por C(N, R), es N!/R!(N − R)!, donde, para cualquier número X, X! indica el producto de X por X − 1, por X − 2, y así hasta 1. Por ejemplo, 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. Si comprobamos que la fórmula da el mismo resultado que el triángulo de Pascal para N = 6 y R = 2, observamos que 6!/2!4! = 15, el número de maneras de tomar 2 elementos de un conjunto de 6; C(6,2) = 15.

Esta fórmula es particularmente valiosa en la teoría de la probabilidad y en combinatoria, donde se suele recurrir al recuento de posibles situaciones. Por ejemplo, si uno ignora una materia por completo pero ha de realizar un test sobre la misma con 12 preguntas de 5 respuestas posibles cada una, la probabilidad de que conteste bien a las 4 primeras y mal a las 8 restantes es (1/5)⁴ × (4/5)⁸. Ésta es también la probabilidad de que conteste bien a las preguntas 3, 4 7 y 11 y mal al resto. Para determinar la probabilidad de contestar bien a cualquier conjunto de exactamente 4 preguntas, encontramos primero el número de maneras distintas de escoger 4 de entre 12, esto es C(12,4) o 495, y multiplicamos este número por (1/5)⁴ × (4/5)⁸, la probabilidad de contestar bien a un conjunto particular de 4 preguntas. El resultado, C(12,4) × (1/5)⁴ × (4/5)⁸, es la respuesta (aproximadamente el 13%) y también un caso especial de la importante distribución binomial en teoría de la probabilidad.

Hay que decir también que los números de la N-ésima fila del triángulo de Pascal son los coeficientes del desarrollo de (X + Y)^N. Para ilustrar esto, recuerden (o crean en mi palabra) que (X + Y)² es igual a 1X² + 2XY + 1Y² y que (X + Y)³ es igual a 1X³ + 3X²Y + 3XY² + 1Y³ y fíjense en que los números subrayados coinciden con las filas 2.ª y 3.ª del triángulo de Pascal. Y también (X + Y)⁴ = 1X⁴ + 4X³Y + 6X²Y² + 4XY³ + 1Y⁴.

Algunas otras pautas agazapadas en el triángulo de Pascal son: los números enteros a lo largo de las penúltimas diagonales, los números triangulares (expresables por disposiciones triangulares de puntos −3, 6, 10, etc.) a lo largo de las diagonales siguientes según se baja hacia el centro, los números tetraédricos (expresables por disposiciones tetraédricas de puntos −4, 10, 20, etc.) sobre las diagonales siguientes, los análogos a ellos para dimensiones superiores conforme se toman diagonales más interiores, y los números de Fibonacci como sumas de los elementos de las diagonales que suben (bajan) de una fila a la anterior (siguiente). El hallazgo de estas configuraciones, y de otras semejantes, nos hace apreciar la belleza y la complejidad que a veces es inherente a la más simple de las reglas.

Los números de Fibonacci se obtienen del triángulo de Pascal