Una curva cerrada en un plano lo divide en dos partes, la interior y la exterior. ¿Está P en el interior o en el exterior?, ¿y Q?
Según Woody Allen, las falsas manchas de tinta, hechas de goma, tenían originalmente un diámetro de 11 pies y no engañaban a nadie, hasta que un físico suizo «demostró que un objeto de un tamaño dado podía reducir sus dimensiones simplemente “encogiéndose”, y este descubrimiento revolucionó el negocio de las manchas de tinta de broma». Este pequeño cuento se podría interpretar como una parodia de la topología, un tema cuyas ideas pueden parecer a primera vista un tanto obvias. Se trata, con todo, de una rama de la geometría que se ocupa únicamente de aquellas propiedades básicas de las figuras geométricas que permanecen invariantes cuando las retorcemos y distorsionamos, las estiramos y contraemos, o las sometemos a cualquier «deformación» siempre y cuando no las rasguemos ni las desgarremos.
En vez de dar una definición técnica de «deformación» seguiré con algunas observaciones y ejemplos más. El tamaño no es una propiedad topológica, pues como señaló el físico Woody Allen, las esferas (o las manchas de tinta de goma) se pueden hacer mayores o menores por dilatación o contracción sin necesidad de desgarrarlas, simplemente agrandándolas o encogiéndolas (pensemos en un globo que se hincha o se deshincha). Tampoco la forma es una propiedad topológica, pues un globo esférico (o una mancha de tinta con una forma rara) puede deformarse en un elipsoide, un cubo o incluso darle forma de conejo sin tener que desgarrarlo.
Como precisamente las propiedades topológicas son como las propiedades de una membrana de goma, que no cambian al estirarla, comprimirla o deformarla, la topología ha sido llamada también geometría de la «membrana de goma». (Esta expresión me recuerda a mi profesor de cálculo del instituto en Milwaukee, que fue a un cursillo de verano sobre «matemática moderna» y a partir de entonces atribuyó todas las dificultades con que se topaban sus estudiantes a la ignorancia de la geometría de la membrana de goma. Se pasaba el tiempo estirando una gran cinta de goma, como si esto ilustrara de alguna manera lo incontrovertible de su afirmación).
Si una curva cerrada en el espacio, pongamos un trozo de hilo, tiene o no un nudo es una propiedad topológica de la curva en el espacio. Una propiedad topológica de las curvas en el plano es que una curva cerrada divide el plano que la contiene en dos partes —la interior y la exterior (teorema de Jordan)—. El número de dimensiones de una figura, el hecho de tener o no borde, y en este caso de qué clase es, son también propiedades topológicas. (Véase la entrada sobre Cintas de Möbius y orientabilidad).
Una curva cerrada en un plano lo divide en dos partes, la interior y la exterior. ¿Está P en el interior o en el exterior?, ¿y Q?
Una cuestión que también tiene su importancia es el género de una figura: el número de agujeros que tiene o, como diría un carnicero, el máximo número de cortes que podemos hacerle sin partirla en dos trozos. Una esfera tiene género 0 pues carece de agujeros y basta un corte para romperla en dos pedazos. Un toro (una rosquilla o una figura en forma de neumático) tiene género 1, pues tiene un agujero (el agujero de la rosquilla) y se le puede hacer un corte sin romperlo en dos pedazos. Las figuras de género 2, como unas gafas sin los cristales, tienen dos agujeros y se les pueden hacer dos cortes sin romperlas en dos partes separadas. Y así sucesivamente para las figuras con un género mayor.
Las esferas, piedras y cubos, que tienen todos ellos género 0, son topológicamente equivalentes. Para continuar con otro ejemplo de la misma índole, miremos el desayuno con los ojos de un topólogo. Henri Poincaré, uno de los fundadores de la topología (y de muchas cosas más), quizás habría observado que una rosquilla y una taza de café, ambas figuras de género 1, son topológicamente equivalentes. Para verlo, imaginemos una taza de café hecha con arcilla. Aplanemos el cuerpo de la taza y agrandemos el tamaño del asa, estrujando la arcilla para que pase del uno a la otra. El agujero del asa se convierte así en el agujero de la rosquilla y podemos percibir fácilmente la equivalencia topológica. Los seres humanos tienen también, al menos grosso modo, género 1. Somos topológicamente equivalentes a las rosquillas, y nuestro canal digestivo/excretor correspondería al agujero de la rosquilla. (Pero esto último tiene menos encanto que la inútil especulación del desayuno).
Una taza de café de arcilla con una asa se puede deformar continuamente hasta convertirla en una rosquilla. Son topológicamente equivalentes.
Estas ideas tienen varias aplicaciones, pero en su mayoría son internas a la propia matemática. Frecuentemente en el trabajo teórico, por ejemplo, es importante saber que existe una solución pero no hace falta tener un método para encontrarla. Para hacerse una idea de esos llamados teoremas de existencia, pensemos en un escalador que empieza su ascenso a las seis de la mañana de un lunes y llega a la cumbre a mediodía. Y empieza el descenso el martes por la mañana a las seis y llega al pie a mediodía. No suponemos nada más acerca de si va rápido o lento en su ascenso y descenso de estos dos días. Podría, por ejemplo, haber subido a un ritmo lento, descansando a menudo, en su ascenso del lunes, y, después de pasear despreocupadamente cerca de la cumbre el martes por la mañana, haber bajado literalmente a mata caballo, incluso cayendo los últimos 300 metros. La pregunta es: ¿podemos estar seguros de que, independientemente de cómo suba o baje, habrá necesariamente un instante entre las seis de la mañana y el mediodía en el cual el escalador estará exactamente a la misma altura, tanto a la subida como a la bajada?
La respuesta es sí, y la demostración es clara y convincente. Imaginemos el ascenso y el descenso, en todos sus detalles, realizados simultáneamente por dos escaladores. Uno empieza en el pie y el otro en la cumbre y ambos parten a las seis de la mañana, imitando lo que el escalador original hizo el lunes y el martes, respectivamente. Está claro que estos escaladores se cruzarán en algún punto del camino y que en este instante los dos estarán a la misma altura. Como no hacen sino reconstruir los pasos del escalador original, podemos concluir con toda seguridad que éste estaba a la misma altura a la misma hora de los dos días sucesivos.
Un ejemplo menos intuitivo de teorema de existencia es el resultado de que siempre hay un par de puntos diametralmente opuestos (antipodales) sobre la superficie de la Tierra que tienen la misma temperatura y la misma presión barométrica. Estos puntos van variando y no tenemos manera de encontrarlos, pero podemos demostrar que existen siempre. No se trata de un fenómeno meteorológico, sino matemático. Otro ejemplo: tomemos un pedazo de papel rectangular y coloquémoslo plano en el fondo de una caja, poniendo cuidado en que todo el fondo quede perfectamente cubierto. Si ahora arrugamos el papel y hacemos una pelota con él y lo dejamos en la caja, podemos estar topológicamente seguros de que al menos un punto del papel está precisamente en la vertical del mismo punto del fondo de la caja que cubría antes de arrugar el papel. La existencia de dicho punto fijo es segura.
Siempre hay un par de puntos antipodales que tienen exactamente la misma temperatura y presión
Teoremas como éstos a veces nos llevan a resultados concretos y prácticos en campos como las teorías de grafos y redes, que se ocupan, entre otras cosas, de idealizaciones matemáticas de las redes de calles y autopistas. Pero, como ya dije, contribuyen más frecuentemente a avances teóricos en otras ramas de la matemática. La topología algebraica, por ejemplo, usa ideas topológicas y algebraicas para caracterizar diversas estructuras geométricas, mientras que la topología diferencial emplea técnicas de las ecuaciones diferenciales y de la topología para estudiar tipos muy generales de variedades (superficies) de muchas dimensiones. Y la teoría de catástrofes, una subdisciplina de la topología diferencial, se ocupa de la descripción y clasificación de discontinuidades —pliegue, cúspide, mariposa, …—. La topología es mucho más que las manchas de tinta de broma.