Una trayectoria en un espacio de fases abstracto. La figura en forma de mariposa se conoce como atractor de Lorenz
La gente nos acusa a menudo de que el conocimiento de la matemática produce una ilusión de certeza y la consiguiente arrogancia. Creo que esto es falso y, a modo de ejemplo en el que ocurre exactamente lo contrario, recurro a la teoría del caos. El nombre de este campo del conocimiento, como el de su prima, la teoría de catástrofes, parece especialmente adecuado para una creación matemática del siglo XX, pero olvidémoslo por unos instantes. Todos los dominios técnicos suelen apropiarse de palabras corrientes y las retuercen para convertirlas en parodias deformadas de sí mismas.
La teoría del caos no versa sobre tratados anarquistas ni sobre manifiestos surrealistas o dadaístas, sino sobre el comportamiento de sistemas no lineales arbitrarios. Para lo que nos interesa, un sistema se puede considerar como un conjunto de partes cuyas interacciones se rigen por unas determinadas reglas y/o ecuaciones. El Servicio Postal, el sistema circulatorio humano, la ecología local y el sistema operativo del ordenador que estoy usando, son ejemplos de este vago concepto de sistema. Hablando también en un tono completamente impreciso, un sistema no lineal es aquel cuyas partes no están relacionadas de un modo lineal o proporcional (como lo están, por ejemplo, una báscula de baño o un termómetro); doblar la magnitud de una parte no significa que se vaya a doblar la de otra, y la salida tampoco es proporcional a la entrada. Para entender mejor estos sistemas, la gente se vale de modelos —maquetas a escala reducida, formulaciones matemáticas y simulaciones por ordenador— con la esperanza de que estos modelos más simples arrojen alguna luz sobre los sistemas en cuestión.
En 1960, jugando con uno de esos modelos por ordenador de un sistema meteorológico sencillo, Edward Lorenz descubrió algo muy extraño. Introduciendo inadvertidamente en su modelo unos datos que diferían entre sí en menos de una milésima, descubrió que las proyecciones meteorológicas resultantes divergían enseguida cada vez más, hasta que no guardaban ninguna relación entre sí. Éste fue, según ha observado el autor James Gleick, el inicio de la ciencia matemática de la teoría del caos.
Aunque el modelo no lineal de Lorenz era una simplificación y su equipo informático era muy primitivo, sacó las conclusiones correctas de la divergencia de los pronósticos simulados por ordenador: la causa eran las pequeñas variaciones en las condiciones iniciales del sistema. Más generalmente, los sistemas cuya evolución se rige por reglas y ecuaciones no lineales pueden ser sumamente sensibles a cambios tan ínfimos, y a menudo presentan un comportamiento impredecible y «caótico». Por el contrario, los sistemas lineales son mucho más robustos, y pequeñas diferencias en las condiciones iniciales sólo producen pequeñas diferencias en los resultados finales.
El tiempo, incluso en este modelo simplificado, no admite pronósticos a largo plazo porque es demasiado sensible a cambios casi imperceptibles en las condiciones iniciales, los cuales producen cambios ligeramente mayores un minuto después o un metro más allá, y éstos a su vez dan lugar a desviaciones más notables, de modo que todo el proceso entra en una cascada de impredictibilidad no repetitiva. Si se sigue la evolución de este tiempo simulado, se observa que, si bien se cumplen ciertas condiciones generales (no hay ventiscas en Kenia, gradientes de temperatura estacionales abruptos, etc.), los pronósticos concretos a largo plazo, en el supuesto de que alguien tuviera la temeridad de hacerlos por un año o dos, carecen virtualmente de valor.
Desde el trabajo de Lorenz se han dado muchas manifestaciones del efecto mariposa, o sensibilidad de los sistemas no lineales a las condiciones iniciales, en disciplinas científicas que van desde la hidrodinámica (turbulencia y movimiento de un fluido) a la física (osciladores no lineales), o de la biología (fibrilaciones cardíacas y epilepsia) a la economía (fluctuaciones de los precios). Estos sistemas no lineales muestran una complejidad sorprendente que parece darse aun en el caso de que las reglas y ecuaciones que definen el sistema sean elementales.
Una trayectoria en un espacio de fases abstracto. La figura en forma de mariposa se conoce como atractor de Lorenz
Sin entrar demasiado en detalles, insistiré en que el estado de estos sistemas en un instante dado puede representarse por un punto en un espacio matemático de varias dimensiones que se llama «espacio de fases», y que su evolución subsiguiente se representa por una curva en este espacio de fases abstracto. Las trayectorias de estos sistemas resultan ser aperiódicas e impredecibles, la gráfica de todas las trayectorias posibles a menudo presenta un sinfín de circunvoluciones y si se la examina de cerca presenta aún más complejidad. Un examen todavía más preciso de las trayectorias del sistema en el espacio de fases revela la presencia de vórtices todavía más pequeños y de complicaciones del mismo tipo genérico. En pocas palabras, el conjunto de todas las trayectorias posibles de estos sistemas no lineales forma un fractal (véase la entrada sobre Fractales) y es una de las muchas factorías donde se producen esos monstruos geométricos del matemático Benoît Mandelbrot, que de pronto se han hecho omnipresentes.
Como ya advertí al principio, el descubrimiento de la teoría del caos podría fomentar en nosotros una cierta cautela. Una causa de esta falta de confianza es el hecho de que estos sistemas a menudo se comportan de un modo perfectamente normal y suave para un amplio dominio de condiciones iniciales y de repente se vuelen caóticos cuando un determinado parámetro del sistema alcanza un valor crítico. Imaginemos, por poner un ejemplo singularmente simple debido al físico Mitchell Feigenbaum, que la población de una determinada especie animal viene dada por la fórmula no lineal X' = RX(1 − X), donde X' es la población en un determinado año, X es la población en el año anterior, y R es un parámetro que varía entre 0 y 4. Por simplicidad supondremos que X y X' son números comprendidos entre 0 y 1, de modo que la población verdadera es 1.000.000 de veces estos valores.
¿Cómo evoluciona la población de esta especie si R = 2? Si suponemos que la población X es ahora 0,3 (esto es, 300.000), aplicando la fórmula sabemos que la población será 2(0,3)(0,7) = 0,41. Para obtener la población al año siguiente, introducimos 0,41 en la fórmula y encontramos 2(0,41)(0,59) = 0,4838. Les ahorraré la aritmética, pero se puede emplear el mismo procedimiento para determinar la población al cabo de tres años, de cuatro, de cinco, de seis, etc. Encontramos que la población se estabiliza en 0,5. Es más, para cualquier valor inicial encontraríamos que la población también se estabiliza en 0,5. Esta población se llama población del estado estacionario para este valor de R.
Cálculos parecidos con un valor de R menor, pongamos R = l, demuestran que sea cual sea el estado inicial, la población se «estabiliza» en 0, se extingue. Cuando R es mayor, pongamos 2,6 para concretar, encontramos después de aplicar este procedimiento que, independientemente de cual sea el estado inicial, la población se estabiliza ahora en aproximadamente 0,62, el estado estacionario para este R.
¿Y qué más? Bueno, pues aumentemos R otra vez, tomemos ahora un valor de 3,2. Como antes, no importa cuál sea la población inicial, cuando aplicamos iteradamente la fórmula 3,2X(1 − X), encontramos que la población de la especie no se estabiliza en un valor, sino que se instala finalmente en una alternancia de dos valores —aproximadamente 0,5 y 0,8—. Esto es, un año la población es 0,5 y el siguiente es 0,8. Aumentemos nuestro parámetro R hasta 3,5 y veamos qué sucede. La población inicial tampoco importa ahora, pero esta vez lo que hace la población a la larga es tomar alternativamente cuatro valores distintos, aproximadamente 0,3, 0,83, 0,50 y 0,88 en años sucesivos. Si volvemos a aumentar ligeramente el valor de R, la población se instala en una alternancia regular de ocho valores distintos. Incrementos cada vez menores de R llevan a nuevos desdoblamientos del número de valores.
Luego, de repente, aproximadamente en R = 3,57, el número de valores se hace infinito y la población de la especie varía al azar de un año a otro. [Se trata, sin embargo, de una extraña clase de azar, pues resulta de iterar la fórmula 3,57X(1 − X), con lo que la sucesión de poblaciones está totalmente determinada por la población inicial.] Aún más extraño que esta variación caótica de la población de la especie es el hecho de que un ligero aumento de R vuelve a dar lugar a una alternancia regular de la población de un año para otro, y un nuevo incremento vuelve a producir una variación caótica. Estas alternancias ordenadas, seguidas de caos aleatorio, al cual suceden a su vez ventanas de comportamiento regular, dependen críticamente del parámetro R, que parece ser una medida grosera de la volatilidad del modelo.
Relación entre los valores de R, poblaciones y caos. La región caótica es muy intrincada. Este tipo de diagrama es debido al biólogo Robert May
Aunque un primer plano de la región caótica revela una complejidad inesperada, la variación anual de la población no da un fractal especialmente bello como ocurre con algunos sistemas no lineales. Sin embargo, hay suficiente complejidad para dejar clara la siguiente enseñanza. Si un sistema tan trivial como esta única ecuación no lineal puede dar lugar a una tal impredictibilidad caótica, quizá no debiéramos ser tan enérgicos ni tan dogmáticos al referirnos a los resultados predichos por las distintas políticas sociales, económicas y ecológicas aplicadas a enormes sistemas no lineales como Estados Unidos o el planeta Tierra. Las consecuencias de esas políticas son, podría pensarse, bastante más oscuras que las del valor de R en este modelo.
Siempre es peligroso, y a menudo estúpido, aplicar resultados técnicos fuera de su contexto originario. Así pues, no pretendo sugerir con mis observaciones cautelares que debamos adoptar una actitud pasiva de lavarnos las manos por el mero hecho de que nunca podamos estar seguros de los efectos de nuestras acciones. Sólo pretendo decir que la teoría del caos (y muchas otras cosas) aconseja que la adopción de cualquier medida política, económica o militar vaya acompañada de un cierto escepticismo y una cierta humildad. (Por falta de un clavo se perdió la batalla y cosas así). Puedo añadir una anécdota personal al respecto: en algunas entrevistas destinadas a promocionar mi libro El hombre anumérico me preguntaron muchas veces qué opiniones globales tenía yo acerca de la decadencia de Estados Unidos. He de admitir que sucumbí algunas veces y me aventuré más allá de la educación matemática para caer en la monótona letanía del estado lamentable de nuestra sociedad. Sin embargo, la mayoría de las veces pude resistir, y contestaba que si no fui capaz de predecir el éxito de El hombre anumérico, mucho menos iba a serlo de la caída de la civilización norteamericana.
Se podría extraer la consecuencia de que estos sistemas no lineales y caóticos son animales raros, curiosidades que sólo preocupan a los matemáticos y a algunos científicos fanáticos. Esto no es ni muchísimo menos cierto. Como dijo en cierta ocasión el matemático Stanislaw Ulam, llamar a la teoría del caos «ciencia no lineal» es como llamar a la zoología «estudio de los no elefantes». Ahora que disponemos de más útiles, los científicos han empezado a darse cuenta de que ya no es necesario esconder el ruido, la estática y el rozamiento ni ignorar las turbulencias, la arritmia ni las contingencias «aleatorias». Estos fenómenos, al igual que los fractales, están por todas partes y, por el contrario, son sus primos lineales los que, como los elefantes, son raros.