Conozco personas inteligentes capaces de seguir con facilidad los argumentos legales más complicados, las discusiones sentimentales más cargadas de matices y los relatos históricos más enrevesados, pero que, cuando se enfrentan a un sencillo «problema de letra» de matemáticas, se les pone inmediatamente una mirada vidriosa de no entender nada. Se quedan helados y se olvidan de plantearse las preguntas heurísticas de sentido común adecuadas, como suelen hacer en otros dominios de la vida: ¿de dónde viene este problema? ¿Qué quiero encontrar realmente y por qué? ¿Cómo podría simplificar la situación u obtener una respuesta aproximada? ¿Tiene el problema algo que ver con alguna cosa que conozca ya? ¿Puedo proceder en sentido inverso, de la solución a los datos?
A muchas de estas personas les parece que para los problemas matemáticos hace falta un modo de pensar rutinario y estúpido, así como la realización instantánea de algún tipo de cálculo. Si no se dan inmediatamente de narices con la respuesta, les parece que nunca van a hallarla. Encontrarían raro abordar un discurso matemático, pensar un problema matemático con palabras (véase también la entrada sobre Cálculo rutina). Como el personaje de Molière, que se sorprendió al descubrir que había estado toda la vida hablando en prosa, muchas personas se sorprenden cuando les dicen que buena parte de lo que llaman sentido común o lógica no es otra cosa que matemática.
Estas actitudes erróneas quizá procedan en parte de que el discurso de la matemática formal tiene algunas propiedades peculiares que no tienen los argumentos legales, las conversaciones sentimentales o los relatos históricos. Para ilustrar un ejemplo, que no por pequeño es menos importante, volvamos a Euclides y a la venerable práctica de sustituir iguales por iguales.
Si nos acomete el impulso perverso de hacerlo, en un cálculo siempre podemos sustituir «25» por «52» o por «(33 − 2)» sin que ello afecte al resultado. Análogamente, si en una discusión matemática sustituimos en todas partes «triángulo equilátero» por «triángulo equiángulo», la discusión seguirá teniendo el mismo sentido, pues las dos expresiones son maneras distintas de referirse a la misma clase de figuras. En general, las expresiones que adoptemos para describir o denotar los objetos matemáticos no afectan a la veracidad de los enunciados en los que aparecen estas expresiones. Esta propiedad de sustituibilidad, que se conoce habitualmente como extensividad, puede parecer perfectamente razonable y obvia, pero es característica de la matemática formal.
Decimos que dos conjuntos de números son iguales si tienen los mismos elementos, pues el modo en que se describen los conjuntos matemáticos no tiene importancia. Por contra, decimos que dos clubs escolares son distintos aunque tengan precisamente los mismos estudiantes, pues es esencial la caracterización (los objetivos) del club. En lógica se dice que la conversación informal sobre creencias, aspiraciones, objetivos y otras cosas por el estilo es comprensiva y no extensiva, y que por esta razón no permite la sustituibilidad. Por ejemplo, si alguien de la costa este con unas ideas geográficas no demasiado claras cree que Cheyenne está en Montana, aunque «Cheyenne» sea igual a «la capital del estado de Wyoming», ciertamente no se sigue de ahí que este alguien crea que la capital del estado de Wyoming está en Montana. La primera caracterización de la ciudad no se puede sustituir por la segunda en este contexto comprensivo de creencia.
El programa de ordenador que traduce «El espíritu está dispuesto, pero la carne es débil» por «El vodka es agradable, pero la carne es tierna», o «tres hombres sabios» por «tres tipos listos» está atribuyendo a los lenguajes naturales (y en particular a los proverbios) una extensividad de la que simplemente carecen. No podemos decir que una familia que planea llegar a Disneylandia el 7 de enero esté planeando llegar para el cumpleaños de Millard Fillmore, aunque resulte que «7 de enero» y «cumpleaños de Millard Fillmore» denoten el mismo día. Como antes, la sustitución de iguales por iguales no conserva la veracidad del enunciado.
Quiero recalcar, no obstante, que la distinción entre contextos extensivos y comprensivos no es equivalente a la distinción entre contextos matemáticos y no matemáticos. He puesto mucho cuidado antes en escribir que sólo la matemática formal es extensiva; cuando se manejan símbolos, se comprueban deducciones o se hacen cálculos, no hay nada que objetar a la sustitución. Pero es seguro que en la interpretación y la aplicación de la matemática se habla también de necesidades, creencias y objetivos y, en estos contextos más humanos, la matemática es comprensiva también. Buena parte del estudio matemático, ya sea en un ambiente profesional o en la vida cotidiana, se dedica a aprender cómo demostrar los teoremas de la matemática formal, cómo interpretarlos en una situación concreta, y cómo y cuándo aplicar las reglas y fórmulas obtenidas. Aquí hay valores e historias —el origen del problema, su relación con otros problemas, sus posibles aplicaciones— y aquí es donde aparecen la heurística, la charla informal y los contextos comprensivos. En estos aspectos, el pensamiento matemático se parece mucho más al derecho, la historia, la literatura y la vida diaria.
Cada progreso matemático importante tiene su historia que le da contenido y significado: el teorema de Pitágoras, el desarrollo de nuestro sistema numérico, los avances de los árabes en álgebra, la evolución del cálculo desde Isaac Newton hasta Leonhard Euler, la geometría no euclídea, la teoría de Galois, el teorema de Cauchy en análisis complejo, la teoría de conjuntos de Cantor, el teorema de incompletitud de Gödel, y muchísimos otros teoremas e ideas. ¿No son más que simples cálculos o demostraciones formales? Normalmente se cree que los cálculos y las demostraciones son lo característico de la matemática, pero por necesarios que sean a veces, la mayoría de gente tampoco los quiere la mayor parte del tiempo. Quieren lo mismo que en otros campos: explicaciones, historias y heurística.
La idea de que el modo de pensar matemático difiere en lo fundamental del de otros campos es perniciosa. Uno de sus orígenes reside en los profesores de matemáticas que no saben establecer la conexión entre lo que enseñan y el resto del plan de estudios, ni con sucesos y noticias corrientes que permitan un enfoque matemático, ni con ningún otro aspecto de la vida cotidiana del estudiante. Otra razón es la imagen equivocada de la frialdad, la irrelevancia y la dificultad de las matemáticas. Y otra razón más, como ya he sugerido aquí, es el malentendido filosófico que confunde la sustituibilidad y la extensividad vacía de la matemática formal con el núcleo central de esta materia, más rico y comprensivo (y además realza a aquélla frente a éste). La matemática tiene tanto de narración, propósitos y relatos como de cálculo y fórmulas. Si no somos capaces de darnos cuenta de ello y permanecemos en la ignorancia de la matemática pero ciegamente reverentes hacia sus técnicas, nos empobrecemos sin necesidad y delegamos demasiado en otros.