La simetría y la invariancia no son tanto temas matemáticos como principios orientadores de la estética matemática. Desde la preocupación de los griegos por el equilibrio, la armonía y el orden hasta la insistencia de Einstein en que las leyes de la física habían de ser invariantes para todos los observadores, estas ideas han inspirado buena parte del mejor trabajo en matemática y en física matemática.
La simetría y la invariancia son dos conceptos complementarios. Algo es simétrico en la medida que es invariante bajo (o no cambia por) algún tipo de transformación. Para ilustrarlo, consideremos un círculo. Podemos girarlo, o hacer una reflexión con respecto a uno cualquiera de sus diámetros y conserva la misma circularidad. Su simetría consiste en su invariancia bajo estos cambios. Pero supongamos ahora que lo aplastamos un poco (por ejemplo, dibujando el círculo sobre un trozo de madera y comprimiéndola). Observamos que toma una forma elíptica. Ya no se cumple que dos cualesquiera de sus diagonales sean iguales; unas son más largas y otras más cortas. Esta propiedad del círculo se ha perdido, pero otras no. Por ejemplo, el centro de la figura achatada sigue siendo el punto medio de cualquier diámetro, sea cual sea la longitud de éste. Esta última propiedad es invariante aun bajo una transformación tan severa como las de este tipo y refleja pues una clase de simetría más profunda.
Observaciones como ésta sugirieron al matemático alemán del siglo XIX Félix Klein la idea de que los teoremas que atañen a las figuras geométricas podían clasificarse según siguieran o no siendo válidos cuando las figuras se someten a distintos cambios y transformaciones. Con mayor generalidad, dado un cierto conjunto de transformaciones (movimientos rígidos en el plano, compresiones uniformes, proyecciones), Klein preguntaba qué propiedades de las figuras permanecen invariantes bajo estas transformaciones. El cuerpo de teoremas relativos a estas propiedades es considerado como la geometría asociada a este conjunto de transformaciones.
La geometría euclídea se puede considerar como el estudio de las propiedades que son invariantes bajo movimientos rígidos: rotaciones, traslaciones y reflexiones. Por contra, se entiende por geometría proyectiva la que se ocupa de una clase menor de propiedades que son invariantes bajo todos los movimientos rígidos más las proyecciones. (La proyección de una figura es, más o menos, la sombra que proyecta cuando se la ilumina por detrás. La proyección de un círculo podría ser algún tipo de elipse, por ejemplo). Y la topología es la disciplina que se dedica a la clase aún menor de propiedades que son invariantes bajo las transformaciones anteriores y además las torsiones, contracciones y estiramientos más severos.
La longitud y el ángulo son propiedades euclídeas (son conservados por los movimientos rígidos), pero no son invariantes bajo transformaciones proyectivas. La linealidad y la triangularidad son propiedades proyectivas (son conservadas por las transformaciones proyectivas, pues las proyecciones transforman siempre las rectas y los triángulos en otras rectas y otros triángulos), pero no son invariantes bajo transformaciones topológicas. Y la conectividad y el número de agujeros de una figura son propiedades que se mantienen a pesar de las torsiones y los estiramientos.
Esta idea de que invariancias profundas indican simetrías más sutiles es muy potente también en ámbitos distintos del puramente geométrico. Las formas de arte simétricas muchísimo más abstractas que, pongamos, el canon griego o la Alhambra de Granada son (en un sentido pickwickiano al menos) el objeto del arte moderno. La teoría especial de la relatividad de Einstein (estuvo pensando en llamarla teoría de los invariantes) fue fruto de su convicción de que las leyes de la física tenían que ser invariantes bajo un grupo de trasformaciones descubierto por el físico holandés H. A. Lorentz.
Una consecuencia social del interés de la matemática por las verdades duraderas y eternas y esta estética de la simetría y la invariancia es que, en su forma más pura, la matemática mantiene necesariamente una cierta reserva hacia el mundo real de la contingencia caprichosa y la idiosincrasia humana. Esta aversión por lo personal se manifiesta incluso en los libros de matemática aplicada y en los de divulgación. Recuerdo haber recibido una carta de un matemático que me decía que le habían gustado mucho mis libros, pero que no eran matemática porque usaba en ellos la palabra «yo» sin ninguna limitación. Tenía en parte razón, desde luego, pero es triste que tuviera que disociar explícitamente el haber disfrutado de los libros y su devoción por la matemática pura. O al menos así lo pienso yo.
La estrategia del matemático consistente en buscar la simetría y la invariancia no puede fracasar, pues el desorden total a todos los niveles del análisis es un imposibilidad lógica. Sin embargo, el descubrimiento de lo asimétrico, lo variable y lo personal no puede hacer daño a nadie.