Las series infinitas y sus aplicaciones constituyen un importante dominio del análisis matemático. Las series fueron usadas informalmente por los matemáticos mucho antes de que se las llegara a comprender plenamente (véase la entrada sobre Zenón), y todavía siguen resultando seductoras para nuestra intuición de los conceptos de número e infinito. Hablando un poco vagamente (N simbolizará un entero positivo arbitrario y… indicará que la serie sigue indefinidamente), afirmo que la suma 1 + 1/3 + 1/9 + + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 + … + 1/3N + … es finita, mientras que la suma 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + … + 1/N +… es infinita. ¿Por qué esta diferencia? Y también, bueno, ¿y qué?
A grandes rasgos, la respuesta a la primera pregunta es que los términos de la primera serie disminuyen lo suficientemente deprisa para que la suma sea acotada, mientras que no ocurre lo mismo con los de la segunda serie. En la primera serie se pasa de un término al siguiente dividiendo por 3. En la segunda los términos se van reduciendo muy lentamente y puede demostrarse que si se suma un número suficientemente grande de ellos se obtiene un resultado mayor que cualquier número fijado de antemano —mil trillones, por ejemplo. Se dice que la primera serie converge (su suma es 3/2 o 1 1/2) y que la segunda diverge—. (Las palabras «converge» o «diverge» pueden sonar un tanto raras aquí pero son las que se usan corrientemente en matemáticas).
No siempre es evidente si una serie converge o diverge. La serie 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … + 1/N2 + … converge (maravillosamente, su suma es π2/6), mientras que 1/log(2) + 1/log(3) + 1/log(4) + 1/log(5) + … diverge. (Para los aficionados a la notación, señalaré que frecuentemente se usa la letra griega ∑ para indicar una serie y ∞ para simbolizar el infinito; así pues 
y 
diverge). La serie cuyos términos consisten en 1 dividido por los sucesivos factoriales, 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + … + 1/N! + …, converge (también maravillosamente, me parece) al número e, mientras que la serie 1/1.000 + 1/(1.000 × √2) + 1/(1.000 × √3) + 1/(1.000 × √4) + 1/ /(1.000 × √5) + … + 1/(1.000 × √N) + … diverge.
El significado de convergencia de una serie se puede aclarar mejor mediante el concepto de «suma parcial». La idea consiste en llegar a la «suma infinita» por medio de una sucesión de sumas parciales. Para las tres series convergentes citadas esto significa que: la sucesión de sumas parciales 1, 1 + 1/3, 1 + 1/3 + 1/9, 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27, … se aproxima tanto como queramos a 1 1/2; las sumas parciales 1, 1 + 1/4, 1 + 1/4 + 1/9, 1 + 1/4 + + 1/9 + 1/16,… se aproximan a π2/6 con una precisión arbitrariamente grande; y análogamente, las diferencias entre las sumas parciales 1, 1 + 1/1!, 1 + 1/1! + 1/2!, 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3!, … y la constante matemática e se hacen tan pequeñas como queramos (véase la entrada sobre E para su definición).
Las series llamadas geométricas son relativamente fáciles de manejar. En ellas, cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante. La primera de las series citadas es un ejemplo, al igual que 12 + 12(1/5) + 12(1/25) + 12(1/125) + + 12(1/625) + … Las series geométricas finitas aparecen en muchos contextos de la vida cotidiana. Si cada año invertimos 100.000 ptas. al 10% de interés en un fondo de pensiones, al cabo de 18 años tendremos en el fondo 100.000 ptas. + 100.000(1,1) ptas. + 100.000(1,1)2 ptas. + 100.000(1,1)3 ptas. + 100.000(1,1)4 ptas. + … + 100.000(1,1)18 ptas., que da aproximadamente 5.600.000 ptas. El primer término de la serie son las 100.000 ptas. que acabamos de invertir. El segundo término de 100.000(1,1) ptas., el 110% de 100.000 ptas., es el valor de las 100.000 ptas. que invertimos hace un año. El tercer término es el valor acumulado de las 100.000 ptas. invertidas hace dos años, y así sucesivamente hasta llegar al último término de la serie, 100.000(1,1)18 ptas., que es lo que valen hoy las 100.000 ptas. invertidas hace dieciocho años.
Un ejemplo concreto de serie geométrica infinita lo tenemos en las pensiones vitalicias. ¿Cuánto dinero ha de depositar hoy en una cuenta para que usted, sus herederos, y los herederos de sus herederos puedan sacar 100.000 ptas. anuales por siempre jamás? Si suponemos un rédito constante del 10%, es claro que bastará con 1.000.000 ptas. para producir 100.000 ptas. de interés anual.
Quizá es algo más difícil ver que 1.000.000 ptas. es la suma de la siguiente serie infinita: 100.000 ptas. + 100.000/1,1 ptas. + 100.000/(1,1)2 ptas. + 100.000/(1,1)3 ptas. + 100.000/(1,1)4 ptas. + … + 100.000/(1,1)N ptas. + … El primer término de la serie son las 100.000 ptas. que sacará usted mañana. El término siguiente son las 100.000 ptas. que sacará el próximo año (hay que dividir por 1,1 o el 110 porque su valor actual es mucho menor que 100.000 ptas.). El término siguiente son las 100.000 ptas. que sacará dentro de dos años [divididas por (1,1)2 porque su valor actual es todavía más pequeño], Y cada término sucesivo se divide por otro factor 1,1 para reflejar la devaluación correspondiente a un año más. Si esta pensión fuera el premio de una lotería, podría llamarse la lotería del fin de los tiempos: 100.000 ptas. anuales por siempre jamás. Es menos engañoso hablar del 1.000.000 ptas. de su valor actual. Del mismo modo, un millón de pesetas al año por siempre jamás sólo son diez millones de pesetas actuales.
Las series geométricas aparecen también cuando nos interesa saber la cantidad de medicina contenida en la sangre de un paciente que la está tomando en un tratamiento diario a largo plazo. Ello se debe a que hemos de sumar la cantidad de medicina en sangre de la tomada hoy, la que queda de la de ayer (una fracción de la de hoy), la de anteayer (la misma fracción de la de ayer), etc. Por razones parecidas también salen esas series cuando nos interesamos ya sea en el impacto total de una compra de títulos del Estado por parte del Banco de España o en la distancia total recorrida por una pelota que bota. La fórmula de la suma de una serie infinita de la forma A + AR + AR2 + AR3 + AR4 + AR5 + … + ARN +…, cuando R es menor que 1 y mayor que −1, es A/(1 − R). A es el término inicial de la serie y R es el factor constante por el que se multiplica cada término para obtener su sucesor. En la primera de las series geométricas citadas A es 1 y R, 1/3, de ahí que su suma 1/(1 −R) sea 1/[1 − (1/3)] o 3/2. ¿Cuánto vale la suma de 12 + 12(1/5) + 12(1/25) + 12(1/125) + 12(1/625) +…?
Desgraciadamente, no todas las series son geométricas y se han inventado reglas y tests sofisticados para determinar si son o no convergentes, para calcular su velocidad de convergencia, para encontrar su suma, etc. La suma de una serie, insisto, se define por consideración de la sucesión de sus sumas parciales. En la serie 1 + 1/4 + 1/27 + 1/256 + … + 1/NN + …, esta sucesión es 1, 1 + 1/4, 1 + 1/4 + 1/27, 1 + 1/4 + 1/27 + 1/256, … Si esta sucesión tiene límite, como es el caso, se dice que este límite es la suma de la serie. O, dicho de otro modo, si la sucesión de sumas parciales se aproxima tanto como queramos a un cierto número, este número (en este caso algo menor que 3/2) es la suma de la serie. (Véase la entrada sobre Límites).
Estas reglas y tests de convergencia son especialmente valiosos para tratar con series de potencias (o polinomios infinitos). Los polinomios normales (finitos) son expresiones algebraicas tales como 3X − 4X2 + 11X3, 7 − 17X2 + 4,7X5, o 2X + 5X3 − 2,81X4 + 31X9. Como el álgebra y el cálculo con esos polinomios es especialmente fácil, los matemáticos han tratado de aproximar otras funciones comunes mediante funciones polinómicas (series de Taylor). (Véase la entrada sobre Funciones). Esto puede hacerse para una clase bastante general de funciones. Puede demostrarse, por ejemplo, que la función trigonométrica sen(X) se puede representar por la serie de potencias (o polinomio infinito) X − X3/3! + X5/5! − X7/7! + X9/9! … y puede aproximarse por una suma parcial de dicha serie. Es decir, sen(X) es aproximadamente igual a X − X3/3! + X5/5! − X7/7!. Análogamente, la función exponencial eX puede representarse por la serie 1 + X + + X2/2! + X3/3! + X4/4! + … + XN/N! + … y puede aproximarse por la suma polinómica de algunos de los términos primeros. Así, e2 vale aproximadamente 1 + 2 + 22/2! + 23/3! + 24/4! + 25/5!.
El cálculo de derivadas e integrales, la resolución de ecuaciones diferenciales y el trabajo con números complejos son tareas que se simplifican muchísimo si tratamos con funciones que, como eX o sen(X), se pueden representar por series de potencias. De hecho, la importancia de las series infinitas para el análisis matemático es difícilmente sobreestimable. Los muchos teoremas sobre esta materia son de una gran belleza dentro de la austera estética típica de la matemática.
[La suma de la serie geométrica 12 + 12(1/5) + 12(1/25) + 12(1/125) + 12(1/625) +… es 15].