La rima de la «St. Ivés Mother Goose» [«La mamá oca de St. Ivés»] plantea un problema que ya aparece en una forma casi idéntica en el papiro Rhind del antiguo Egipto que data del año 1650 a. C.: «Yendo hacia St. Ivés me encontré un hombre con siete esposas. Cada esposa tenía siete sacos y cada saco contenía siete gatos, cada gato tenía siete gatitos. Gatitos, gatos, sacos, y esposas ¿cuántos iban a St. Ivés?». La respuesta es uno, pues todos los demás iban en dirección contraria a St. Ivés, pero la determinación del tamaño de un grupo depende de la comprensión de la regla del producto.
La matemática combinatoria no contiene ninguna otra idea tan simple, y a pesar de ello tan potente, como esta inofensiva regla: si se puede realizar tal acción o hacer una elección en M modos diferentes y luego se puede realizar otra acción u otra elección en N modos distintos, entonces se pueden realizar esas dos acciones o esas dos elecciones consecutivamente en M × N modos distintos.
Tomando un ejemplo menos antiguo, suponga que se encuentra en Los Angeles y ha de llegar como sea a la Costa Este de Estados Unidos; cualquier lugar de la Costa Este sirve. Consulta los horarios de las líneas aéreas y descubre que no hay vuelos directos, pero sí los hay a tres ciudades del Medio Oeste (Minneapolis, Chicago y San Luis, pongamos por caso), y de cada una de ellas parten vuelos a cuatro ciudades de la Costa Este (Boston, Nueva York, Filadelfia y Washington, por ejemplo). La regla del producto nos dice que hay 12 (= 3 × 4) maneras distintas de llegar a la Costa Atlántica. Se pueden simbolizar estas 12 maneras por: MB, MN, MF, MW, CB, CN, CF, CW, SB, SN, SF y SW, donde las siglas corresponden a las iniciales de las ciudades citadas.
La regla puede aplicarse más de una vez. Por ejemplo, si el alumnado de una escuela consta de 18.000 alumnos, podemos estar absolutamente seguros de que al menos dos de ellos tienen las mismas tres iniciales. La razón es que las 26 primeras iniciales posibles pueden ir seguidas de cualquier otra de las 26 iniciales centrales posibles, las cuales pueden a su vez ir seguidas de otra cualquiera de las 26 iniciales últimas posibles. Así pues, por la regla del producto, hay 263 o 17.576 conjuntos de tres iniciales (ordenadas). Como este número es menor que el de alumnos matriculados podemos concluir que por lo menos dos estudiantes han de tener las mismas iniciales. (De hecho, esto ocurre al menos con 424 alumnos y, en términos prácticos, es probable que sean muchos más).
El alfabeto Braille, cuyos símbolos consisten en combinaciones de dos columnas verticales de tres puntos cada una, nos proporciona otro ejemplo. Las distintas letras y símbolos de este alfabeto para ciegos se distinguen por el subconjunto de los seis puntos que están en relieve. Así por ejemplo, la letra «a» se indica poniendo en relieve sólo el punto superior del lado izquierdo, mientras que la letra «r» se indica dejando en relieve los tres puntos de la columna izquierda y el punto central de la derecha. ¿Cuántos símbolos hay en total? Tenemos dos posibilidades para cada punto: en relieve o no. Por tanto, como hay seis puntos, tenemos 26 posibilidades distintas. Como una de ellas no tiene ningún punto en relieve, es imperceptible, por lo que hay 63 símbolos Braille distintos (letras, números, combinaciones de letras, palabras más corrientes y signos de puntuación).
O considérese un mensaje codificado en inglés que haya de tener la forma SPOOK7, de modo que los dos primeros signos sean consonantes, los dos siguientes vocales, el siguiente una consonante y el último un número comprendido entre 1 y 9. Hay (212 × 52 × 21 × 9) o 2.083.725 posibles mensajes de este tipo. Si todos los signos del mensaje han de ser distintos sólo hay (21 × 20 × 5 × 4 × 19 × 9) o 1.436.400 mensajes de esta segunda clase. El número de teléfonos posibles en una provincia es aproximadamente 8 × 106, pues el primer número puede ser cualquier dígito distinto de 0 o 1 y los seis restantes, cualquiera de los 10 dígitos. (En la práctica los números telefónicos están sujetos a más condiciones que no hemos tenido en cuenta aquí).
Si las placas de matrícula de una cierta provincia siguen la pauta NNNN-LL, cuatro dígitos seguidos de dos letras, el número de placas de matrícula posibles de dicha provincia es de (104 × 262) o de 6 760.000. Si las letras y los dígitos hubieran de ser todos distintos, tendríamos sólo (10 × 9 × 8 × 7 × 26 × 25) o 3.276.000 placas distintas.
Los números que usan los grandes almacenes, las empresas de servicios públicos y las compañías de tarjetas de crédito para identificarnos suelen constar de 15 o 20 símbolos, muchísimo más de lo que haría falta, atendiendo a la población de Estados Unidos. Aun consistiendo sólo en dígitos, una sucesión de 20 símbolos basta para asignar un número de identificación a 1020 personas, 20.000 millones de veces toda la población mundial. Una utilidad de esta capacidad extra consiste en hacer muy improbable que un posible impostor o un estafador pueda dar por casualidad con una sucesión que corresponda a un cliente real.
Como ilustran estos ejemplos, una consecuencia sorprendente de la regla del producto es el gran número de posibilidades que resultan de su aplicación repetida. Este número crece exponencialmente con el número de veces que se aplica la regla, y hasta los ordenadores más rápidos, al intentar enumerar todas las posibilidades o al aplicar métodos de fuerza bruta para resolver problemas complejos, enseguida tropiezan con la dificultad conocida como explosión combinatoria y van a paso de tortuga.
El mismo rebrotar de posibilidades (aunque a una escala más modesta) es un problema que fastidia los intentos de algunos autores o algunos directores de escribir un libro o hacer una película en la que haya un cierto número de coyunturas en las que el lector o el espectador puedan expresar su deseo y elegir el modo de continuar. Con sólo 5 de tales situaciones habría que escribir 32 libros distintos o hacer 32 películas para acomodarse a todas las posibles elecciones. (Habría dos opciones en la primera coyuntura, cada una de las cuales llevaría a una nueva coyuntura, que tendría a su vez dos opciones que llevarían a una coyuntura cada una, etc., de lo que resultarían en total 25 o 32 tratamientos distintos). Si hubiera más coyunturas o más opciones en cada una de ellas, el número sería muchísimo mayor. De hecho, el número de obras necesarias que un autor o director habría de realizar para simular la sensación de libertad inherente incluso a una conversación breve con alguien, le obligaría a dedicar toda la vida a explorar todas las posibles representaciones. (Véase la entrada sobre La conciencia humana).
Esta idea de ramificación continua subyace en las muchas metáforas acerca de amigos que se separan, historias divergentes y personas que se vuelven excéntricas con los años. También juega un papel importante, como ya hemos apuntado, en nuestra concepción de la libertad y (para poner un ejemplo más extravagante) en la llamada interpretación de los universos paralelos de la mecánica cuántica, en la que el universo se descompone a cada instante en una infinidad de universos incomunicados.
La regla del producto tiene muchas otras aplicaciones y variantes. De entre ellas, las más útiles y mejor conocidas hacen intervenir los números combinatorios. (Véase la entrada acerca del Triángulo de Pascal para una discusión acerca de los mismos).
[El número del grupo del poema del St. Ivés Mother Goose es 2.801. ¿Cuál sería la respuesta si cada gatito tuviera siete pulgas?].