Un rectángulo cuyas dimensiones de longitud y anchura guarden la proporción áurea se llama rectángulo áureo
Si un matemático de la Grecia antigua viajara en el tiempo y aterrizara en una moderna tienda de artículos de oficina, una de las muchas cosas que quizá le impresionaran serían las fichas de 3 por 5 pulgadas. Después de admirar por un instante las reglas y compases y luego las carpetas de piel y las fantásticas calculadoras, probablemente volvería a las fichas de nuevo, esta vez fascinado por las de 5 por 8 pulgadas. La razón de su fascinación por las fichas (ya sé que es perfectamente posible que no le interesaran lo más mínimo, pero supongamos que sí) consistiría en que sus dimensiones son aproximadamente las del rectángulo áureo, una figura que nuestro matemático griego y sus contemporáneos habían considerado muy interesante.
Antes de volver a las fichas, definiré primero el concepto de sección áurea, una razón que para muchos resulta muy armoniosa y que está íntimamente relacionada con el tema que nos ocupa. Imaginemos que tenemos un segmento de recta AB y queremos dividirlo por algún punto interior C. Podríamos escoger C de modo que fuera el punto medio entre A y B, pero ésta sería una elección muy insulsa, de manera que supondremos que C divide AB en una parte más larga AC y otra más corta CB. Los pitagóricos nos aconsejarían que escogiéramos C de modo que la razón entre el segmento entero y la parte larga sea igual a la razón entre la parte larga y la corta, esto es, AB/AC = AC/CB. Si tomamos C de este modo, se dice que C divide AB en su sección áurea, y se puede calcular que esta razón áurea (entre el todo y la parte larga o entre la parte larga y la corta) es aproximadamente de 1,61803 a 1 (excepto quizás en Wall Street, donde es muy probable que la razón áurea sea precio/ganancias).
Un rectángulo cuyas dimensiones de longitud y anchura guarden la proporción áurea se llama rectángulo áureo
Un rectángulo áureo se define como cualquier rectángulo tal que el cociente entre su longitud y su anchura sea igual a la razón áurea. No es sorprendente pues que el Partenón de Atenas pueda enmarcarse en un rectángulo áureo, al igual que muchas de sus partes. Muchas otras obras de arte griegas utilizaron las proporciones del rectángulo áureo, como también lo hicieron artistas posteriores desde Leonardo a Mondrian y Le Corbusier. La famosa sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … guarda una relación inesperada con los rectángulos áureos y los relaciona con las fichas de las que hablamos al principio. La sucesión se define por la propiedad de que cada término (excepto los dos primeros) es igual a la suma de los dos que le preceden: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; 5 = 3 + 2; 8 = 5 + 3; 13 = 8 + 5. (Véase también la entrada sobre La recurrencia).
Recordando que la razón áurea es aproximadamente 1,61803 (el número tiene una expresión decimal infinita y no periódica) y haciendo algunas divisiones, vemos (se puede demostrar con un poco de álgebra) que el cociente de un término de la sucesión de Fibonacci y su antecesor tiende a esta razón. Para las fichas de 3 por 5, el cociente 5/3 = 1,66666; para las de 5 por 8 el cociente es 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,615384; 34/21 = 1,61905; etc. Si los griegos estuvieran en lo cierto, los blocs de 8 por 13 pulgadas quizá se venderían más que los de 8 1/2 por 11 pulgadas.
La sucesión de Fibonacci también está presente en otros lugares además de las tiendas de material de oficina. En los girasoles, por ejemplo, el número de espirales hacia la izquierda y el número de espirales hacia la derecha son generalmente números de Fibonacci sucesivos. Del mismo modo, el número de conejos en generaciones sucesivas parece seguir una pauta de Fibonacci, y la concha del nautilus se puede generar fibonáccicamente (por inventar un adverbio horrible).
El rectángulo áureo y la armonía estática que representa es típico de la geometría griega clásica, mientras que la sucesión de Fibonacci, que data de cerca del año 1200, sugiere el lento despertar de una concepción más cuantitativa y numérica de la matemática. Uno y otra evocan una placidez que parece un tanto disonante con nuestra era actual, más fracturada y espinosa, cuyo emblema matemático más apropiado es la teoría del caos.
Pero la matemática no respeta en lo más mínimo las pomposas declaraciones históricas y, a principios de los años setenta, el físico matemático inglés Roger Penrose descubrió un nuevo ejemplo de razón áurea con un sabor algo más moderno. Halló dos figuras sencillas (una en forma de cometa y la otra en forma de dardo) tales que con réplicas de ellas se puede recubrir el plano de una manera no periódica y cuyas dimensiones guardan la proporción áurea. Además, y éste es el lado moderno, con ellas no puede recubrirse el plano periódicamente.
Las dos figuras simples de Penrose (un dardo y una cometa) y cómo encajan una en otra
Parte de un recubrimiento no periódico del plano con las dos figuras simples de Penrose